Resumo extraído do Capítulo 31, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 31 – Lei de Faraday

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31.1 – Lei da Indução de Faraday

Esta secção introduz a descoberta de Faraday de que um campo magnético variável no tempo pode induzir uma corrente eléctrica num circuito. Experiências simples com uma espira de fio e um íman mostram que mover o íman em relação à espira gera uma corrente detectável. A corrente só aparece quando há variação do fluxo magnético (e não com campos magnéticos constantes), sendo chamada de corrente induzida, e surge devido a uma força electromotriz (fem) induzida.

A lei de Faraday quantifica este fenómeno:

• Para uma espira:
  $\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$

• Para uma bobina com $N$ espiras:
  $\mathcal{E} = -N\dfrac{d\Phi_B}{dt}$

O fluxo magnético $\Phi_B$ é dado por:

$$\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA\cos\theta$$

e pode variar:

• pela mudança do campo magnético $B$,

• pela mudança da área da espira,

• pela mudança da orientação entre o campo e a espira.

Apresentam-se aplicações práticas como o interruptor de circuito por falha à terra (GFCI) e as bobinas de captação de guitarras eléctricas, que funcionam com base na indução de fem por variação de fluxo magnético.

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31.2 – Fem de Movimento 

Esta secção analisa a indução de fem em condutores em movimento dentro de campos magnéticos constantes. Um condutor rectilíneo que se move perpendicularmente a um campo magnético sofre uma separação de cargas devido à força magnética sobre os electrões, criando um campo eléctrico interno e uma diferença de potencial:

$$\Delta V = B\ell v$$

Quando este condutor faz parte de um circuito fechado (por exemplo, uma barra a deslizar sobre calhas condutoras), há corrente induzida e podem aplicar-se as leis de Faraday e da conservação de energia:

• A fem induzida é:

  $$\mathcal{E} = -B\ell v$$

• A corrente induzida:

  $$I = \dfrac{B\ell v}{R}$$

A força necessária para manter a barra a mover-se com velocidade constante deve compensar a força magnética (contrária ao movimento), garantindo conservação da energia:

$$P = F_{\text{aplicada}} v = \dfrac{\mathcal{E}^2}{R}$$

Exemplos analisados incluem a barra deslizante e uma barra rotativa num campo magnético, mostrando como a velocidade angular ou linear influencia a fem gerada.

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31.3 – Lei de Lenz

A Lei de Lenz dá ao sinal negativo da Lei de Faraday um significado físico: a corrente induzida flui de forma a opor-se à variação do fluxo magnético que a causou. Isto está intimamente ligado ao princípio da conservação da energia.

• Se o fluxo aumenta, a corrente induzida cria um campo que se opõe ao aumento.

• Se o fluxo diminui, a corrente induzida cria um campo que tenta manter o fluxo original.

Exemplos incluem:

• A barra a mover-se numa calha com campo constante: se o fluxo aumenta, a corrente opõe-se, gerando uma força contrária ao movimento.

• Um íman a aproximar-se de uma espira: o sentido da corrente depende de se o fluxo está a aumentar ou diminuir.

Apresenta-se também o paradoxo energético: se a corrente não se opusesse à variação de fluxo, poder-se-ia criar energia a partir do nada, violando a conservação da energia. Assim, a lei de Lenz garante que a energia seja conservada.

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31.4 – Fem Induzida e Campos Eléctricos

Nesta secção, explora-se como um campo magnético variável no tempo induz um campo eléctrico, mesmo na ausência de um fio condutor. A corrente induzida numa espira metálica é causada por um campo eléctrico induzido que age sobre as cargas no fio. Este campo não é conservativo (ao contrário do campo electrostático), pois o trabalho realizado ao mover uma carga à volta de um percurso fechado não é zero.

A indução do campo eléctrico é consequência directa da Lei de Faraday. Considerando uma espira circular de raio $r$, quando o fluxo magnético varia com o tempo, surge um campo eléctrico $\vec{E}$, tangente à espira, tal que:

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$$

O campo eléctrico induzido depende da variação temporal do fluxo e não da presença de cargas. Esta propriedade é fundamental para a compreensão das ondas electromagnéticas, onde campos eléctricos e magnéticos se induzem mutuamente.

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31.5 – Geradores e Motores

Aqui são descritos os princípios de funcionamento dos geradores e motores eléctricos, ambos baseados na Lei de Faraday.

• Geradores de corrente alternada (AC): um laço de fio é feito rodar num campo magnético, o que provoca uma variação periódica do fluxo e, consequentemente, uma fem sinusoidal:

  $$\mathcal{E} = NBAv \sin(\omega t)$$

• Geradores de corrente contínua (DC): usam um comutador que inverte as ligações a cada meia rotação, de forma a manter a polaridade constante, embora a tensão varie em valor.

Os motores eléctricos funcionam de forma inversa: recebem energia eléctrica e convertem-na em trabalho mecânico. À medida que o motor acelera, gera uma força contra-electromotriz que reduz a corrente de entrada.

Exemplo aplicado: quando um motor é bloqueado (por exemplo, numa serra), a corrente aumenta significativamente, o que pode danificar o equipamento devido ao aquecimento excessivo.

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31.6 – Correntes de Foucault 

As correntes de Foucault são correntes circulares induzidas em massas metálicas (não em fios) em movimento através de campos magnéticos. Estas correntes criam campos magnéticos opostos à variação que as gerou, de acordo com a Lei de Lenz.

Exemplo clássico: uma placa metálica a oscilar entre os polos de um íman. As correntes de Foucault geram forças magnéticas que travam o movimento, levando eventualmente à paragem. Se a placa tiver cortes ou ranhuras, estas correntes são suprimidas, reduzindo o efeito de travagem.

Aplicações:

• Travões electromagnéticos em comboios e metros.

• Dispositivos de segurança (ex. serras) que usam estas correntes para parar rapidamente peças móveis.

• Para reduzir perdas energéticas (aquecimento), as peças condutoras em transformadores e motores são laminadas, ou seja, feitas em camadas finas separadas por materiais isolantes.

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Resumo

• A Lei de Faraday estabelece que a fem induzida é proporcional à variação temporal do fluxo magnético:

  $$\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$$

• A Lei de Lenz indica que a corrente induzida opõe-se à causa que a gera, garantindo a conservação da energia.

• Um campo magnético variável no tempo pode induzir um campo eléctrico não conservativo.

• A fem de movimento é induzida quando um condutor se move num campo magnético:

  $$\mathcal{E} = B\ell v$$

• Geradores e motores baseiam-se na variação do fluxo magnético e no aproveitamento da energia eléctrica e mecânica.

• As correntes de Foucault são efeitos secundários importantes, podendo ser úteis (travagem) ou indesejáveis (perdas energéticas).

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Resumo extraído do Capítulo 28, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 28 – Corrente contínua

Secção 28.1 – Força Electromotriz (f.e.m.)
Nesta secção introduz-se o conceito de força electromotriz (f.e.m.) como a diferença de potencial máxima que uma fonte (por exemplo, uma bateria) pode fornecer entre os seus terminais, denotada por $\mathcal{E}$. Embora o termo “força” seja histórico — pois a f.e.m. não é uma força mas sim uma tensão — pode entender-se a fonte de f.e.m. como uma “bomba de cargas” que eleva as cargas do potencial mais baixo para o mais alto dentro da bateria.

Num circuito real, a bateria apresenta uma resistência interna $r$, de modo que a tensão nos terminais, $V_{\text{term}}$, difere da f.e.m. quando há corrente. A relação fundamental é

$$V_{\text{term}} = \mathcal{E} - I\,r,$$

onde $I$ é a corrente do circuito. Assim, quando o circuito está em circuito aberto ($I=0$), $V_{\text{term}} = \mathcal{E}$ (tensão em vazio), mas quando a corrente circula, parte da energia é dissipada internamente na bateria.

Combinando-se com a lei de Ohm para a resistência externa $R$, obtém-se

$$\mathcal{E} = I R + I r \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}.$$

Multiplicando por $I$ vemos ainda que a potência total fornecida pela fonte, $I\mathcal{E}$, divide-se entre $I^2 R$ no circuito externo e $I^2 r$ na resistência interna. Para maximizar a potência útil, deve minimizar-se $r$.

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Secção 28.2 – Resistências em Série e em Paralelo
Descreve-se primeiro a montagem em série, onde $R_1, R_2, \dots$ partilham a mesma corrente $I$. A tensão total divide-se pelas resistências, resultando numa resistência equivalente

$$R_{\mathrm{eq}} = R_1 + R_2 + \cdots,$$

sempre maior do que qualquer resistência individual. Uma falha em série causa circuito aberto e interrompe toda a corrente.

Em seguida analisa-se a montagem em paralelo, em que todos as resistências estão sujeitos à mesma tensão $V$ mas a corrente divide-se em cada ramo. A resistência equivalente satisfaz

$$\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots,$$

sendo $R_{\mathrm{eq}}$ sempre inferior à mais pequena das resistências. Neste esquema, uma falha num ramo não impede a corrente nos restantes.

São também discutidas aplicações práticas: em paralelo, cada aparelho doméstico opera independentemente sob a mesma tensão; em série, como nos pequenos enfeites de Natal, usa-se um jumper interno para manter o circuito mesmo quando um filamento queima, mas isso aumenta a corrente nos restantes.

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Secção 28.3 – Leis de Kirchhoff
Para circuitos mais complexos, que não se reduzem a simples séries ou paralelos, aplicam-se as duas leis de Kirchhoff:

1. Lei dos Nós: a soma algébrica das correntes num nó (ponto de ramificação) é zero, refletindo a conservação de carga:
   $\sum I_{\text{entradas}} - \sum I_{\text{saídas}} = 0.$

2. Lei das Malhas: ao percorrer uma malha fechada, a soma das diferenças de potencial é nula, expressando a conservação de energia:
   $\sum \Delta V = 0.$

Para aplicar, escolhe-se direções arbitrárias para as correntes e percorrem-se laços assumindo sinal positivo para subidas de potencial (por exemplo, atravessar a f.e.m. de – para +) e negativo para descidas (queda $IR$ no sentido da corrente). Resolve-se então o sistema de equações lineares obtido, onde soluções negativas indicam correntes no sentido oposto ao assumido.

Este método geral permite analisar circuitos de múltiplos ramos e fontes, sendo essencial em casos de malhas e nós em número maior do que os casos tratáveis apenas com combinações série/paralelo.

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Secção 28.4 – Circuitos RC

Num circuito RC em série, uma resistência R e um condensador C estão ligados a uma fonte de emf $\mathcal{E}$ através de um interruptor. Existem dois casos distintos:

1. Carregamento do condensador

   • No instante em que o interruptor é colocado na posição de carga ($t=0$), o condensador está descarregado ($q=0$) e a corrente inicial máxima é

     $$I_i=\frac{\mathcal{E}}{R}.$$

   • À medida que o condensador acumula carga, a diferença de potencial $q/C$ cresce, reduzindo a corrente segundo a equação diferencial

     $$\mathcal{E}-\frac{q}{C}-iR=0,\quad i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$$

     Integrando, obtém-se

     $$q(t)=Q_{\max}\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr),\quad Q_{\max}=C\mathcal{E},$$ $$i(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/RC}.$$

     A constante de tempo do circuito é

     $$\tau=RC,$$

     e caracteriza o decaimento exponencial: após $t=\tau$, a carga atinge 63,2 % de $Q_{\max}$ e a corrente cai para 36,8 % de $I_i$.

2. Descarregamento do condensador

   • Se, após carregado, o interruptor passa para a posição de descarga num circuito sem fonte de emf, a equação da malha torna-se

     $$\frac{q}{C}+iR=0,\quad i=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$$

     A solução é

     $$q(t)=Q_i\,e^{-t/RC},\quad i(t)=-\frac{Q_i}{RC}\,e^{-t/RC},$$

     onde $Q_i$ é a carga inicial do condensador e o sinal negativo em $i(t)$ indica que a corrente flui no sentido oposto ao do carregamento.

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Secção 28.5 – Instalações Elétricas Domésticas e Segurança

1. Ligação da rede

   • A empresa de energia fornece duas fases em paralelo: o fio “vivo” (aprox. 230 V) e o fio neutro (0 V). Um contador mede a energia no fio vivo antes de o circuito interior se subdividir em vários ramos, cada um protegido por fusíveis ou disjuntores dimensionados para a corrente máxima do ramo.

   • Num circuito típico, aparelhos como uma torradeira (1 000 W), micro-ondas (1 300 W) e cafeteira (800 W) são ligados em paralelo consomem correntes individuais.

2. Proteções e riscos

   • Curto-circuito: contacto acidental do fio vivo com terra ou neutro produz corrente muito elevada e dispara o disjuntor, evitando sobreaquecimento.

   • Fio de terra: em tomadas de três pinos, o terceiro fio liga a carcaça dos aparelhos à terra; em caso de fuga do fio vivo ao chassis, a corrente prefere esse caminho de baixa resistência, poupando o utilizador a choque elétrico.

   • GFCI (Ground-Fault Circuit Interrupter): usado em zonas húmidas (cozinhas, casas de banho), desliga o circuito em <1 ms ao detetar fugas de corrente, protegendo contra choques elétricos.

   • Efeitos no corpo humano: correntes ≤5 mA provocam apenas formigueiro; entre 10 mA e 100 mA podem causar contrações musculares e paragem respiratória; correntes de ≈1 A produzem queimaduras graves e podem ser fatais. Contacto com água ou superfícies metálicas aumenta o risco.

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Resumo do Capítulo 28

• Força electromotriz (f.e.m.) $\mathcal{E}$: tensão máxima que uma fonte fornece em vazio; tensão aos terminais em carga:

  $$V_{\rm term}=\mathcal{E}-I\,r.$$

• Resistências em série e paralelo:

  $$R_{\rm eq}^{(\text{série})}=\sum_i R_i, \quad \frac{1}{R_{\rm eq}^{(\text{par})}}=\sum_i\frac{1}{R_i}.$$

• Leis de Kirchhoff:

  1. Lei dos Nós: $\sum I_{\rm entr}=\sum I_{\rm sai}$.

  2. Lei das Malhas: $\sum\Delta V=0$ em cada malha, com sinais conforme o sentido da corrente e polaridade das fontes.

• Circuitos RC:

  • Carregamento:
    $\displaystyle q(t)=C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC}),\quad i(t)=\tfrac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/RC}.$

  • Descarregamento:
    $\displaystyle q(t)=Q_i\,e^{-t/RC},\quad i(t)=-\tfrac{Q_i}{RC}e^{-t/RC}.$