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quarta-feira, 16 de abril de 2025

Resumo extraído do Capítulo 1 do livro Introduction to Signal Processing de Sophocles J. Orfanidis

Capítulo 1 – Amostragem e Reconstrução 

1.1 Introdução

O processamento digital de sinais analógicos ocorre em três etapas:

  1. Digitalização: o sinal analógico é amostrado e quantizado, processo conhecido como conversão A/D.

  2. Processamento: os sinais digitalizados são manipulados por um processador digital de sinais (DSP).

  3. Reconstrução: os sinais processados são convertidos novamente para formato analógico através de uma conversão D/A.

O DSP pode ser implementado com computadores de uso geral, microprocessadores, chips DSP dedicados ou hardware especializado. Os conceitos fundamentais de amostragem e quantização são os pilares do processamento digital e serão aprofundados nos dois primeiros capítulos.


1.2 Revisão de Sinais Analógicos

Esta secção revê conceitos fundamentais:

  • Um sinal analógico é uma função contínua no tempo, x(t)x(t).

  • O espectro de frequência é obtido através da Transformada de Fourier X(Ω)X(\Omega), onde Ω=2πf\Omega = 2\pi f.

  • A Transformada de Fourier permite representar o sinal como uma soma de sinusoides.

  • A Transformada de Laplace generaliza a de Fourier, introduzindo s=σ+jΩs = \sigma + j\Omega, útil na análise de sistemas com exponenciais.

  • O sistema linear é caracterizado por uma resposta ao impulso h(t)h(t), e a saída y(t)y(t) é dada pela convolução entre x(t)x(t) e h(t)h(t).

  • No domínio da frequência, a saída é Y(Ω)=H(Ω)X(Ω)Y(\Omega) = H(\Omega)X(\Omega), onde H(Ω)H(\Omega) é a resposta em frequência do sistema.

A filtragem permite atenuar ou realçar componentes de frequência específicas.


1.3 Teorema da Amostragem

Esta secção explora os fundamentos da amostragem:

  • A amostragem de um sinal consiste em medir o seu valor a intervalos regulares TT, com taxa de amostragem fs=1/Tf_s = 1/T.

  • A amostragem replica o espectro do sinal em múltiplos inteiros de fsf_s, o que pode levar a aliasing (sobreposição de espectros).

  • Para evitar aliasing, o Teorema da Amostragem estabelece que:

    1. O sinal deve ser limitado em banda (não conter frequências acima de fmaxf_{max}).

    2. A taxa de amostragem deve ser pelo menos o dobro da frequência máxima: fs2fmaxf_s \geq 2f_{max} (chamada taxa de Nyquist).

1.3.2 Filtros Anti-Aliasing

Antes da amostragem, é necessário aplicar um filtro passa-baixo analógico que limita o sinal à banda permitida (até fs/2f_s/2) para evitar aliasing.

1.3.3 Limitações de Hardware

O hardware impõe uma limitação superior à taxa de amostragem, pois cada amostra requer um tempo de processamento TprocT_{proc}. Assim, a taxa deve satisfazer:

2fmaxfsfproc2f_{max} \leq f_s \leq f_{proc}

1.4 Amostragem de Sinusoides

A análise da amostragem de sinais sinusoidais leva às mesmas conclusões do teorema da amostragem:

  • Um mínimo de duas amostras por ciclo é necessário para representar uma sinusoide.

  • Quando o sinal não está limitado em banda, conterá componentes de frequência infinitamente altas, impossibilitando uma amostragem correta.

  • Se violado o teorema, o processo de reconstrução poderá reconstruir uma frequência errada — fenómeno conhecido como aliasing.

O sinal reconstruído será uma versão do sinal original onde todas as frequências foram mapeadas para o intervalo de Nyquist.


1.5 Amostragem Prática e Reconstrução

1.5.1 Sampler Ideal e Reconstructor Ideal

  • Um amostrador ideal extrai o valor exato do sinal contínuo em instantes t=nTt = nT.

  • Um reconstructor ideal é um filtro passa-baixo com frequência de corte igual à frequência de Nyquist fs/2f_s/2.

  • Este reconstrutor remove as réplicas espectrais introduzidas pela amostragem e reconstrói o sinal original, se não houver aliasing.

1.5.2 Reconstrução Prática

  • Na prática, a reconstrução envolve:

    1. Um retentor de ordem zero, que mantém o valor da última amostra até à seguinte.

    2. Um filtro de suavização (low-pass) analógico que suaviza o sinal em degraus.

  • Este método introduz distorções, mas é amplamente utilizado por ser simples e eficaz em muitos casos.

1.5.3 Escolha do Filtro

  • Os filtros de reconstrução e antialiasing não podem ser ideais, mas devem atenuar suficientemente as componentes fora da banda desejada.

  • A ordem do filtro está relacionada com a rapidez de atenuação em dB por oitava:

    • Por exemplo: um filtro com atenuação de 60 dB/oct corresponde a um filtro de ordem 10 (regra: 6 dB/oct por ordem).

  • Filtros mais complexos têm melhor desempenho, mas maior custo e dificuldade de implementação analógica.


1.6 Oversampling e Decimação

Oversampling (sobreamostragem)

  • Aumentar a taxa de amostragem para além da taxa de Nyquist:

    • Vantagens:

      • Maior separação entre réplicas espectrais.

      • Permite usar filtros antialiasing com menor ordem.

      • Reduz o ruído de quantização (ver Capítulo 2).

      • Diminui a distorção por aliasing.

    • Exemplo: amostragem a 80 kHz para sinais com banda até 20 kHz.

Decimação

  • Redução controlada da taxa de amostragem:

    • Antes da redução, o sinal deve ser filtrado com um filtro digital de decimação para evitar aliasing.

    • O filtro atua sobre o sinal digital (pós-amostragem) e remove frequências acima da nova Nyquist.

  • Permite que a parte inicial do sistema opere com alta taxa de amostragem e, posteriormente, reduza a taxa para valores padrão (por exemplo, 44.1 kHz para CDs).


1.7 Interpolação Digital

Definição

  • Processo inverso da decimação: aumenta a taxa de amostragem.

  • Implica:

    1. Inserção de zeros entre as amostras (up-sampling).

    2. Aplicação de um filtro interpolador digital que suaviza o sinal e remove as imagens espectrais introduzidas pela inserção dos zeros.

Objectivos

  • Produzir um sinal com uma forma mais suave ou compatível com uma nova taxa de processamento.

  • Utilizado em:

    • Conversores digitais para analógico com oversampling.

    • Ajustes de taxas de amostragem entre sistemas com frequências diferentes.

Filtro de Interpolação

  • Deve ter corte em π/L\pi/L (onde LL é o fator de interpolação).

  • Tal como na decimação, a qualidade do filtro determina o nível de distorção.


Capítulo 1 do livro Introduction to Signal Processing de Sophocles J. Orfanidis

 


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domingo, 28 de janeiro de 2024

Processamento de Sinal - ISEC

Resolução da pergunta 1c, da 2ª frequência de 2023/2024








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sexta-feira, 3 de setembro de 2021

Processamento de Sinal - compilação/resumo (pag3)


Página 3 da compilação sobre Processamento de Sinal da Universidade do Minho




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segunda-feira, 30 de agosto de 2021

Processamento de Sinal - compilação/resumo (pag2)


Página 2 da compilação sobre Processamento de Sinal da Universidade do Minho


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quarta-feira, 25 de agosto de 2021

Processamento de Sinal - compilação/resumo (pag1)


Página 1 da compilação sobre Processamento de Sinal da Universidade do Minho



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domingo, 19 de janeiro de 2020

Processamento de Sinal - pergunta de teste U. Minho


Resolução parcial



Enunciado






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sexta-feira, 16 de novembro de 2018

Resolução de problema de teste de Processamento de Sinal


Problema 2, do 2º teste de Processamento de Sinal, Junho de 2009



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quinta-feira, 18 de outubro de 2018

Resolução: determinar a transformada Z inversa


Como determinar a Transformada Z inversa a partir da função de transferência H(Z)?






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quarta-feira, 3 de outubro de 2018

Soma de termos de uma progressão geométrica


Como calcular a soma de n termos de uma progressão geométrica, sendo n um valor finito.


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terça-feira, 14 de março de 2017

Problema 2, do 2º teste de Processamento de Sinal, Junho de 2009

Processamento de Sinais - Transformada Z


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segunda-feira, 29 de setembro de 2014

Cálculo da Transformada Z

Cálculo da Transformada Z de u(-n).




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terça-feira, 4 de junho de 2013

Processamento de Sinais - Transformada Z


Problema 2, do 2º teste de Processamento de Sinal, Junho de 2009







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terça-feira, 21 de agosto de 2012

Revisão de tipos de Transformadas


Tipos de transformadas usadas no estudo de Sinais e Sistemas, em tempo contínuo (t) e em tempo discreto (n).



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domingo, 29 de julho de 2012

Matlab - Soma, diferença, produto e divisão da função seno pela função coseno


Gráficos da soma, diferença, produto e divisão da função seno pela função coseno, em tempo discreto. Funções e gráficos implementados com o Matlab.



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quarta-feira, 18 de julho de 2012

Matlab - Produto de coseno por exponenciais


Gráficos do produto da função coseno por funções exponenciais crescente e decrescente, em tempo discreto.
Funções e gráficos implementados com o Matlab.



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domingo, 1 de julho de 2012

Tabela de Transformadas Z


Estão listadas as Transformadas Z mais frequentemente usadas e as respectivas Regiões de Convergência (RC).


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sexta-feira, 1 de junho de 2012

Transformada Z

Alguns exercícios com Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), Transformada Z, Transforma Z inversa, Região de Convergência, Equação às Diferenças, expansão em fracções parciais e alguma manipulação matemática.








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sexta-feira, 25 de maio de 2012

Processamento de Sinais


Como determinar a Transformada Z inversa a partir da função de transferência H(Z)?



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terça-feira, 19 de abril de 2011

Soma de n termos de uma progressão geométrica


Como calcular a soma de n termos de uma progressão geométrica, sendo n um valor finito.




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