Sistemas de Energia Eléctrica

Resolução de um problema de exame

Sistemas de Energia Eléctrica, da Universidade Lusofona

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Sinais e Sistemas - Relação de Parseval

Determinar a Potencia de sinais em tempo e em frequência

Como determinar o valor de um integral no domínio da transformada (de Fourier), recorrendo à relação de Parseval:

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Processamento Digital de Sinais - FFT

Transformada de Fourier de um sinal sinusoidal com frequência de 60Hz, corrompido com interferência de outro sinal sinusoidal com 1/10 da frequência e, com ruído

FFT calculada e gráficos gerados no Matlab.

Com a FFT consegue-se o espectro do sinal (representação do sinal em frequência), onde se visualizam as riscas nas frequências presentes (60Hz e 6Hz) e também o Leakage, devido ao comprimento da amostra não conter um número inteiro de períodos do sinal.

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Sinais, Soma de Sinais e Período

Teste de Novembro de 2010

Exercício I.2)

Dado um conjunto de sinais pretende-se saber:

• se são periódicos
• quais os seus períodos fundamentais
• se a soma dos sinais é um sinal periódico
• e, se for, qual o seu período fundamental

Dados:

• x₁(t) = cos(t/3) 
• x₂(t) = sen(2t/7)
• x₃(t) = 2 cos(5t/2)

Resolução:

Quando temos sinais cos(ωt) ou sen(ωt), o período destes sinais é:

T = 2π/ω

Para os sinais acima, temos:

• T₁ = 2π/(1/3) = 6π
• T₂ = 2π/(2/7) = 7π
• T₃ = 2π/(5/2) = 4π/5

Para sabermos se a soma dos sinais é periódica, temos que fazer a razão entre o menor dos períodos e cada um dos outros. Se forem quocientes (fracções) de números inteiros, então o sinal soma é também periódico.

T₃/T₁ = (4π/5)/(6π) = 2/15 → Razão de n.º inteiros ✓ 

T₃/T₂ = (4π/5)/(7π) = 4/35 → Razão de n.º inteiros ✓

Para calcular o período fundamental da soma, temos que determinar o mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores dos períodos acima:

mmc(15, 35) = 105

T₀ = 105 x T₃ = 105 x 4π/5 ⟹ T₀ = 84π

  
Nota: imagens melhoradas em 2025 com ajuda de Claude Sonnet 4, a partir da minha resolução manuescrita no final da página.

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