Teorema Binomial e Triângulo de Pascal

O Teorema Binomial e o Triângulo de Pascal

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📘 Teorema Binomial

O Teorema Binomial permite expandir potências de binómios, ou seja, expressões do tipo:

$$(a + b)^n$$

Segundo o teorema:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Onde:

• $\binom{n}{k}$ é o coeficiente binomial 

• Os coeficientes indicam quantas combinações de k elementos se podem fazer a partir de um conjunto de n elementos.

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🔺 Triângulo de Newton (ou de Pascal)

O Triângulo de Newton organiza esses coeficientes binomiais de forma triangular. Cada linha corresponde ao valor de $n$ e contém os coeficientes de $(a + b)^n$.

Por exemplo, as primeiras linhas do triângulo são:

	1
	1  1
	1  2  1
	1  3  3  1
	1  4  6  4  1

Cada número é obtido somando os dois números acima dele no triângulo.

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📌 Relação entre ambos

• Os coeficientes do desenvolvimento do Teorema Binomial são precisamente os números que aparecem em cada linha do Triângulo de Newton.

• Assim, o Triângulo de Newton é uma forma prática de encontrar os coeficientes de qualquer potência de um binómio sem fazer cálculos combinatórios.

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✅ Exemplo

$$(a + b)^3 = \binom{3}{0}a^3b^0 + \binom{3}{1}a^2b^1 + \binom{3}{2}a^1b^2 + \binom{3}{3}a^0b^3$$ $$= 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$$

Os coeficientes $1, 3, 3, 1$ correspondem à linha 3 do Triângulo de Newton.

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