Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Introduction to Signal Processing de Sophocles J. Orfanidis

Capítulo 2 – Quantização

2.1 Processo de Quantização

Esta secção explica o processo fundamental de quantização, etapa essencial da conversão de sinais analógicos em digitais, após a amostragem.

• Um conversor analógico-digital (ADC) converte cada amostra do sinal $x(nT)$ num valor quantizado $x_Q(nT)$, representável por um número finito de bits $B$, com $2^B$ níveis de quantização.

• A resolução do quantizador, ou largura de quantização $Q$, é $Q = R/2^B$, onde $R$ é a gama total do sinal (full-scale range).

• A quantização por arredondamento é preferível à truncagem, pois introduz menor viés no erro de quantização.

• O erro de quantização $e(nT) = x_Q(nT) - x(nT)$ tem amplitude máxima de $Q/2$, e a variância média do erro é $Q^2/12$. O erro pode ser modelado como ruído branco com distribuição uniforme em $[-Q/2, Q/2]$, desde que o sinal ocupe bem a gama $R$.

• O modelo aditivo de ruído considera que $x_Q(n) = x(n) + e(n)$, sendo $e(n)$ ruído branco, estacionário, não correlacionado com o sinal.

• Para sinais de baixa amplitude, o erro de quantização não é ruído branco, podendo introduzir distorções chamadas granulação.

• A técnica de dithering (adição de ruído antes da quantização) pode eliminar essas distorções, tornando o erro mais aleatório, ainda que à custa de um aumento ligeiro do ruído (3 a 6 dB).

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2.2 Sobreamostragem e modelação do ruído

Esta secção apresenta técnicas para melhorar a qualidade da quantização sem aumentar o número de bits por amostra.

Conceitos principais:

• O ruído de quantização é uniformemente distribuído no espectro (ruído branco).

• Com sobreamostragem (oversampling), o sinal é amostrado a uma taxa $f_s' > f_s$. Isto espalha o ruído por uma banda maior, reduzindo o ruído na banda útil.

• Mesmo com menor resolução (menos bits por amostra), o desempenho pode manter-se ou até melhorar devido ao maior número de amostras.

Cálculos:

• Com sobreamostragem, a potência de ruído dentro da banda útil é reduzida: $\sigma_e^2 = \sigma_{e'}^2 / L$, com $L = f_s' / f_s$.

• A poupança de bits por sobreamostragem sem modelação de ruído é pequena: $\Delta B = 0.5 \log_2 L$.

• Para aumentar essa poupança, usa-se modelação de ruído, que filtra o ruído de quantização com um filtro $H_{NS}(f)$ para "empurrar" o ruído para fora da banda útil.

• Com quantizadores de ordem $p$ e sobreamostragem, a poupança é maior: $\Delta B = (p + 0.5) \log_2 L - 0.5 \log_2\left(\frac{\pi^{2p}}{2p+1}\right)$.

• Por exemplo, com ordem 2 e $L = 128$, é possível obter o equivalente a um quantizador de 16 bits usando apenas 1 bit por amostra.

Aplicações:

• Esta técnica é usada em conversores delta-sigma, presentes em leitores de CD, sistemas de áudio digital e codificação de voz.

• O sistema de DSP com sobreamostragem permite filtros analógicos mais simples, menor resolução nos conversores, e ainda assim manter a qualidade através de filtragem digital (interpolação e decimação).

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2.3 Conversores D/A

Esta secção discute os conversores digital-analógico (DACs), focando-se nas convenções de codificação e funcionamento lógico, sem entrar em detalhes eléctricos.

• Um DAC de $B$ bits converte uma palavra digital $[b_1, b_2, ..., b_B]$ num valor analógico $x_Q$ dentro da gama $R$.

• Três tipos de codificação:

  1. Unipolar natural binario: $x_Q = R \cdot \sum_{i=1}^{B} b_i \cdot 2^{-i}$

  2. Bipolar offset binario: igual ao anterior, mas com deslocamento $-R/2$

  3. Complemento para dois: semelhante ao offset binario, mas com o bit mais significativo invertido para representar sinais negativos de forma natural.

• As representações natural e offset têm os mesmos padrões binários, mas diferentes níveis de saída.

• A tabela 2.3.2 mostra, por exemplo com $B = 4$, como as palavras binárias mapeiam para níveis analógicos em cada codificação.

• O código complemento para dois é obtido facilmente a partir da forma natural binaria, complementando os bits e somando 1 (ex: 0011 = +3 → 1101 = −3).

• São apresentadas funções C para simular conversores DAC de  complemento para dois (usando a regra de Horner para calcular $x_Q$).

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro Introduction to Signal Processing de Sophocles J. Orfanidis

Capítulo 1 – Amostragem e Reconstrução 

1.1 Introdução

O processamento digital de sinais analógicos ocorre em três etapas:

1. Digitalização: o sinal analógico é amostrado e quantizado, processo conhecido como conversão A/D.

2. Processamento: os sinais digitalizados são manipulados por um processador digital de sinais (DSP).

3. Reconstrução: os sinais processados são convertidos novamente para formato analógico através de uma conversão D/A.

O DSP pode ser implementado com computadores de uso geral, microprocessadores, chips DSP dedicados ou hardware especializado. Os conceitos fundamentais de amostragem e quantização são os pilares do processamento digital e serão aprofundados nos dois primeiros capítulos.

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1.2 Revisão de Sinais Analógicos

Esta secção revê conceitos fundamentais:

• Um sinal analógico é uma função contínua no tempo, $x(t)$.

• O espectro de frequência é obtido através da Transformada de Fourier $X(\Omega)$, onde $\Omega = 2\pi f$.

• A Transformada de Fourier permite representar o sinal como uma soma de sinusoides.

• A Transformada de Laplace generaliza a de Fourier, introduzindo $s = \sigma + j\Omega$, útil na análise de sistemas com exponenciais.

• O sistema linear é caracterizado por uma resposta ao impulso $h(t)$, e a saída $y(t)$ é dada pela convolução entre $x(t)$ e $h(t)$.

• No domínio da frequência, a saída é $Y(\Omega) = H(\Omega)X(\Omega)$, onde $H(\Omega)$ é a resposta em frequência do sistema.

A filtragem permite atenuar ou realçar componentes de frequência específicas.

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1.3 Teorema da Amostragem

Esta secção explora os fundamentos da amostragem:

• A amostragem de um sinal consiste em medir o seu valor a intervalos regulares $T$, com taxa de amostragem $f_s = 1/T$.

• A amostragem replica o espectro do sinal em múltiplos inteiros de $f_s$, o que pode levar a aliasing (sobreposição de espectros).

• Para evitar aliasing, o Teorema da Amostragem estabelece que:

  1. O sinal deve ser limitado em banda (não conter frequências acima de $f_{max}$).

  2. A taxa de amostragem deve ser pelo menos o dobro da frequência máxima: $f_s \geq 2f_{max}$ (chamada taxa de Nyquist).

1.3.2 Filtros Anti-Aliasing

Antes da amostragem, é necessário aplicar um filtro passa-baixo analógico que limita o sinal à banda permitida (até $f_s/2$) para evitar aliasing.

1.3.3 Limitações de Hardware

O hardware impõe uma limitação superior à taxa de amostragem, pois cada amostra requer um tempo de processamento $T_{proc}$. Assim, a taxa deve satisfazer:

$$2f_{max} \leq f_s \leq f_{proc}$$

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1.4 Amostragem de Sinusoides

A análise da amostragem de sinais sinusoidais leva às mesmas conclusões do teorema da amostragem:

• Um mínimo de duas amostras por ciclo é necessário para representar uma sinusoide.

• Quando o sinal não está limitado em banda, conterá componentes de frequência infinitamente altas, impossibilitando uma amostragem correta.

• Se violado o teorema, o processo de reconstrução poderá reconstruir uma frequência errada — fenómeno conhecido como aliasing.

O sinal reconstruído será uma versão do sinal original onde todas as frequências foram mapeadas para o intervalo de Nyquist.

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1.5 Amostragem Prática e Reconstrução

1.5.1 Sampler Ideal e Reconstructor Ideal

• Um amostrador ideal extrai o valor exato do sinal contínuo em instantes $t = nT$.

• Um reconstructor ideal é um filtro passa-baixo com frequência de corte igual à frequência de Nyquist $f_s/2$.

• Este reconstrutor remove as réplicas espectrais introduzidas pela amostragem e reconstrói o sinal original, se não houver aliasing.

1.5.2 Reconstrução Prática

• Na prática, a reconstrução envolve:

  1. Um retentor de ordem zero, que mantém o valor da última amostra até à seguinte.

  2. Um filtro de suavização (low-pass) analógico que suaviza o sinal em degraus.

• Este método introduz distorções, mas é amplamente utilizado por ser simples e eficaz em muitos casos.

1.5.3 Escolha do Filtro

• Os filtros de reconstrução e antialiasing não podem ser ideais, mas devem atenuar suficientemente as componentes fora da banda desejada.

• A ordem do filtro está relacionada com a rapidez de atenuação em dB por oitava:

  • Por exemplo: um filtro com atenuação de 60 dB/oct corresponde a um filtro de ordem 10 (regra: 6 dB/oct por ordem).

• Filtros mais complexos têm melhor desempenho, mas maior custo e dificuldade de implementação analógica.

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1.6 Oversampling e Decimação

Oversampling (sobreamostragem)

• Aumentar a taxa de amostragem para além da taxa de Nyquist:

  • Vantagens:

    • Maior separação entre réplicas espectrais.

    • Permite usar filtros antialiasing com menor ordem.

    • Reduz o ruído de quantização (ver Capítulo 2).

    • Diminui a distorção por aliasing.

  • Exemplo: amostragem a 80 kHz para sinais com banda até 20 kHz.

Decimação

• Redução controlada da taxa de amostragem:

  • Antes da redução, o sinal deve ser filtrado com um filtro digital de decimação para evitar aliasing.

  • O filtro atua sobre o sinal digital (pós-amostragem) e remove frequências acima da nova Nyquist.

• Permite que a parte inicial do sistema opere com alta taxa de amostragem e, posteriormente, reduza a taxa para valores padrão (por exemplo, 44.1 kHz para CDs).

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1.7 Interpolação Digital

Definição

• Processo inverso da decimação: aumenta a taxa de amostragem.

• Implica:

  1. Inserção de zeros entre as amostras (up-sampling).

  2. Aplicação de um filtro interpolador digital que suaviza o sinal e remove as imagens espectrais introduzidas pela inserção dos zeros.

Objectivos

• Produzir um sinal com uma forma mais suave ou compatível com uma nova taxa de processamento.

• Utilizado em:

  • Conversores digitais para analógico com oversampling.

  • Ajustes de taxas de amostragem entre sistemas com frequências diferentes.

Filtro de Interpolação

• Deve ter corte em $\pi/L$ (onde $L$ é o fator de interpolação).

• Tal como na decimação, a qualidade do filtro determina o nível de distorção.

 

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

Este capítulo apresenta a base matemática dos sistemas LTI, destacando a convolução como ferramenta central. As propriedades estabelecidas são fundamentais para análise e projeto de sistemas, em Sinais e Sistemas.

Resumo do Capítulo 2: Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)

2.0 Introdução

Os sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI), desempenham um papel essencial na análise de sinais e sistemas. A linearidade e a invariância no tempo são propriedades fundamentais que facilitam a modelação de processos físicos e permitem uma análise detalhada com ferramentas matemáticas como a convolução.

2.1 Sistemas LTI em Tempo Discreto: Soma de Convolução

Representação de Sinais em Tempo Discreto

A ideia principal é representar um sinal discreto como uma combinação linear de impulsos unitários deslocados. Isso permite decompor qualquer sinal x[n] na forma:

$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k]$

Resposta ao Impulso e Soma de Convolução

Para sistemas lineares, a resposta a um impulso deslocado pode ser expressa em termos da resposta ao impulso unitário, h[n]. Assim, a saída y[n] de um sistema LTI pode ser obtida pela soma de convolução:

$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$

Esta expressão implica que um sistema LTI é completamente caracterizado pela sua resposta ao impulso.

Exemplos

Vários exemplos ilustram o cálculo da convolução em tempo discreto, incluindo sinais exponenciais e funções degrau.

2.2 Sistemas LTI em Tempo Contínuo: Integral de Convolução

Representação de Sinais Contínuos

Sinais contínuos podem ser representados como uma soma de impulsos infinitesimais, levando à expressão integral:

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau$

Resposta ao Impulso e Integral de Convolução

Analogamente ao caso discreto, a saída de um sistema LTI contínuo pode ser obtida através do integral de convolução:

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$

Exemplos

São discutidos exemplos práticos de cálculo de convolução em sinais exponenciais e retangulares, demonstrando a aplicação prática do integral de convolução.

2.3 Propriedades dos Sistemas LTI

Comutatividade

A convolução é uma operação comutativa:

$x[n] * h[n] = h[n] * x[n]$

Distributividade

A convolução distribui-se sobre a adição:

$x[n] * (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] * h_1[n] + x[n] * h_2[n]$

Associatividade

A associação de três sinais na convolução é independente da ordem:

$x[n] * (h_1[n] * h_2[n]) = (x[n] * h_1[n]) * h_2[n]$

Estas propriedades facilitam a análise e simplificação de circuitos e sistemas.

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Sinais e Sistemas - FEUP - exame de 24-1-2017, pag 6 de 6

Resolução das perguntas de escolha múltipla versão A.

A página 5 está aqui.

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

O primeiro capítulo do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab introduz os conceitos fundamentais de sinais e sistemas, abordando a sua classificação, propriedades e representações matemáticas.

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1.1 Introdução aos Sinais

Os sinais são funções matemáticas que representam quantidades variáveis no tempo ou noutro domínio. Estes podem ser classificados como:

• Sinais de tempo contínuo $x$: definidos para todo $t\in \mathbb{R}$.
• Sinais de tempo discreto $x[n]$: definidos apenas para valores inteiros $n$.

Os sinais podem ainda ser categorizados de acordo com:

• Periocidade: periódicos ou aperiódicos.
• Determinismo: determinísticos ou aleatórios.
• Energia e potência: sinais de energia finita ou potência finita.

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1.2 Transformações no Domínio do Tempo

Os sinais podem sofrer diversas transformações no tempo, tais como:

• Deslocamento temporal: $x(t-t_0)$ representa um atraso e $x(t+t_0)$ representa um avanço, quando t0 > 0.
• Escalonamento temporal: $x(at)$ comprime ou expande o sinal.
• Inversão temporal: $x(-t)$reflete o sinal em torno da origem.

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1.3 Sinais Exponenciais e Sinusoidais

Os sinais exponenciais e sinusoidais são fundamentais em muitas aplicações, sendo expressos como:

$$x(t)=C{e}^{\mathrm{(a}\mathrm{t)}}$$

onde $C$ e $a$ podem ser números complexos. Se $a$ for puramente imaginário ($j$), o sinal será um sinusoide:

$$x(t)$$

Os sinais sinusoidais são essenciais porque qualquer sinal periódico pode ser expresso como uma soma de sinusoidais (série de Fourier).

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1.4 Sinais de Tempo Discreto

No domínio discreto, os sinais exponenciais e sinusoidais são representados como:

$$x[n]=A{e}^{\mathrm{(j}\omega \mathrm{n)}}$$

onde $\omega$ está confinado a um intervalo $[-\mathrm{pi},pi]$ devido à periodicidade do domínio discreto.

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1.5 Sistemas de Tempo Contínuo e Discreto

Os sistemas processam sinais e podem ser classificados como:

• Tempo contínuo ou discreto: dependendo se as entradas e saídas são contínuas ou discretas.
• Determinísticos ou estocásticos: dependendo da previsibilidade da resposta do sistema.
• Causais ou não causais: um sistema é causal se a saída em um instante $t$ depender apenas de entradas presentes ou passadas.

Exemplo de sistema em tempo contínuo:

$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$

Exemplo de sistema em tempo discreto:

$$y[n]=0.9y[n-1]+x[n]$$

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1.6 Propriedades dos Sistemas

Os sistemas possuem diversas propriedades:

• Linearidade: segue o princípio da sobreposição $S(a{x}_1+b{x}_2)=aS(x_1)+bS(x_2)$
• Invariância no tempo: o comportamento não depende do instante em que é analisado.
• Estabilidade: entradas limitadas resultam em saídas limitadas.
• Causalidade: a saída depende apenas de valores presentes e passados da entrada.

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Resolução das perguntas de escolha múltipla versão A, pag5 de 6

Sinais e Sistemas - FEUP - exame de 24-1-2017

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Sinais e Sistemas - FEUP - exame de 24-1-2017, pág 4 de 6

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Sinais e Sistemas - ISEP, exame de 5-2-2024

Resolução da pergunta 6, Parte 2.

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Resolução das perguntas de escolha múltipla versão A

Sinais e Sistemas - FEUP - exame de 24-1-2017, pág 3 de 6

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Sinais e Sistemas - FEUP - exame de 24-1-2017

Resolução das perguntas de escolha múltipla versão A, pag2 de 6

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Sinais e Sistemas - FEUP

Resolução das perguntas de escolha múltipla versão A, pag1 de 6

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Sinais e Sistemas - ISEL

Página 1 da resolução de um problema de exame.

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Potência - Resolução de problema de teste/exame de Sinais e Sistemas do ISEL

Pretende-se determinar a potência, em Watt, de dois sinais descritos pela sua equação matemática em função do tempo.

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SLIT - Resolução de problema de teste/exame de Sinais e Sistemas do ISEL

Pretende-se determinar a resposta global do SLIT representado no diagrama de blocos

Contacte-nos para ver a pág. 2

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TF - Resolução de problema de teste/exame de Sinais e Sistemas do ISEL

Pretende-se determinar a Transforma de Fourier usando as tabelas de transformadas e de propriedades.

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Controlo de sistemas: modelação de sistema físico e simulação em Matlab

Modelo matemático, em equação diferencial, de um sistema constituído por uma massa, uma mola e um amortecedor. A Massa está presa a uma parede pela mola e pelo amortecedor e é-lhe aplicada uma força em forma de degrau unitário.

Estuda-se o efeito, na resposta ao degrau, da alteração dos parâmetros: constante da elasticidade da mola, valor da massa e constante do amortecedor.

Código em Matlab para a 1ª simulação:

M=2; B=0.2; K=1;

s = tf('s'); sys1 = 1/(M*s^2+B*s+K)

hold on;

t =0:0.01:120; U = ones(size(t));

U(1:100)=0;

y = lsim(sys1,U,t);

plot(t,U,'r','linewidth',2);hold on;

plot(t,y,'k','linewidth',2); grid on

legend('Força: U=1N', 'Deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio [metro]');

xlabel('tempo[s]');

title('Resposta de um sistema Massa Mola Amortecedor à entrada degrau unitário', 'M=2kg, B=0.2Ns/m, k=1N/m');

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App para determinar Transformada de Laplace

Introduza na app abaixo a função no domínio do tempo (t) e clique em submit para obter a Transforma de Laplace da função. 

Se introduzir a resposta impulsiva, h(t), obterá a função de transferência, H(s).

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