Resumo extraído do capítulo 3 do livro Modern Control Engineering de Katsuhiko Ogata, 5ª edição

Capítulo 3 – Modelos Matemáticos para Sistemas Mecânicos e para Sistemas Elétricos

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3–1 INTRODUÇÃO

Esta secção introduz o objectivo e o conteúdo geral do Capítulo 3, que trata da modelação matemática de sistemas mecânicos e eléctricos no contexto de engenharia de controlo.

No capítulo anterior (Capítulo 2), foram apresentados exemplos muito simples: um circuito eléctrico básico e um sistema mecânico elementar. Esses exemplos serviram para introduzir as ideias fundamentais de modelação. Agora, o propósito é generalizar e sistematizar o processo de modelação, aplicando-o a sistemas mais realistas e variados que se encontram com frequência em problemas de controlo.

O objectivo principal é mostrar como se podem obter modelos matemáticos de sistemas físicos que descrevam a sua dinâmica, ou seja, como a saída ou estado do sistema evolui em resposta a entradas ou forças actuantes. Esses modelos matemáticos podem depois ser usados para:

• Análise do comportamento dinâmico (por exemplo, estabilidade, resposta transitória).

• Projecto e síntese de controladores (compensadores, realimentação de estados).

• Simulação computacional.

Os dois domínios principais que serão estudados:

• Sistemas mecânicos, cuja dinâmica é governada pela segunda lei de Newton. Na Secção 3–2, será feita a aplicação directa dessa lei para derivar modelos de sistemas mecânicos mais complexos, incluindo a dedução de funções de transferência (que relacionam entrada e saída no domínio de Laplace) e modelos em espaço de estados (representação em termos de variáveis de estado e equações diferenciais de primeira ordem).

• Sistemas eléctricos, cujo comportamento segue as leis de Kirchhoff (lei das correntes e lei das tensões). A Secção 3–3 apresentará como aplicar estas leis a diferentes circuitos eléctricos, incluindo circuitos com resistências, bobines, condensadores e amplificadores operacionais (AmpOps), componentes muito usados em circuitos de controlo, filtros e compensadores.

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3–2 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS

A Secção 3–2 apresenta métodos sistemáticos para obter modelos matemáticos de sistemas mecânicos, fundamentais para o projecto e análise de sistemas de controlo. A abordagem baseia-se directamente na segunda lei de Newton, que relaciona forças com acelerações.

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Molas em paralelo e em série

• Apresenta como determinar a constante de mola equivalente (keq) para arranjos de molas:

  • Em paralelo: as constantes somam-se directamente (keq = k₁ + k₂).

  • Em série: a constante equivalente obtém-se pela fórmula do tipo resistência em paralelo (1/keq = 1/k₁ + 1/k₂).

• O Exemplo 3–1 mostra como deduzir estas fórmulas analisando as forças e deslocamentos nos sistemas representados em figuras.

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Amortecedores em paralelo e em série

• Um amortecedor é descrito como um amortecedor viscoso (óleo), gerando força proporcional à velocidade relativa.

• Para amortecedores:

  • Em paralelo: o coeficiente de atrito viscoso equivalente soma-se (beq = b₁ + b₂).

  • Em série: aplica-se a fórmula de resistências em paralelo (1/beq = 1/b₁ + 1/b₂).

• Exemplo 3–2 detalha estas deduções, mostrando como obter beq a partir de balanços de forças.

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Sistema massa–mola–amortecedor montado num carro sem massa

• Analisa um sistema com uma massa m, mola de constante k e amortecedor de coeficiente b, montado num carro considerado sem massa.

• Define-se a entrada como o deslocamento do carro (u(t)) e a saída como o deslocamento da massa (y(t)).

• Aplica-se a segunda lei de Newton para escrever a equação diferencial:

  $$m \frac{d^2 y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + ky = b \frac{du}{dt} + ku$$

• A transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) permite obter a função de transferência:

  $$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{bs + k}{ms^2 + bs + k}$$

• O texto explica que estas representações em função de transferência são amplamente usadas em engenharia de controlo.

• Em seguida, apresenta um modelo em espaço de estados para o mesmo sistema:

  • Define variáveis de estado.

  • Deduz as equações de estado e a equação de saída.

  • Mostra como expressar o sistema na forma matricial padrão.

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Sistema mecânico com duas massas ligadas

• Exemplo 3–4 analisa um sistema com duas massas (m₁ e m₂) ligadas por molas e amortecedores.

• Deriva as equações diferenciais que descrevem os movimentos relativos.

• Aplica a transformada de Laplace para obter funções de transferência que relacionam entradas e saídas (forças aplicadas e deslocamentos das massas).

• Mostra como resolver sistemas de equações no domínio de Laplace para obter essas funções.

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Pêndulo invertido montado num carro

• Exemplo 3–5 estuda um pêndulo invertido (modelo clássico em controlo), montado num carro com motor.

• O objectivo do sistema é manter o pêndulo na vertical, o que é naturalmente instável.

• Considera deslocamentos angulares pequenos para linearizar as equações:

  • Usa aproximações como sen(u) ≈ u e cos(u) ≈ 1.

• Deriva as equações de movimento usando a segunda lei de Newton para a translação e rotação.

• Obtém um modelo matemático que descreve o acoplamento entre o movimento do carro e o ângulo do pêndulo:

  $$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = u$$ $$(I + ml^2)\ddot{\theta} + ml\ddot{x} = mgl\theta$$

• Estas equações descrevem a dinâmica acoplada do carro e do pêndulo.

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Pêndulo invertido com massa concentrada no topo

• Exemplo 3–6 simplifica o modelo anterior assumindo que a massa do pêndulo está toda no topo (momento de inércia I ≈ 0).

• As equações tornam-se mais simples:

  $$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = u$$ $$ml\ddot{x} + ml^2\ddot{\theta} = mgl\theta$$

• Deriva uma função de transferência do ângulo do pêndulo em relação à força de controlo aplicada ao carro.

• Mostra que o sistema tem pólos reais, um no semi-eixo positivo (indicando instabilidade em malha aberta).

• Define variáveis de estado (x, ẋ, θ, θ̇) para obter uma representação em espaço de estados completa com matriz A (dinâmica), matriz B (entrada) e matriz C (saída)

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3–3 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉCTRICOS

Esta secção apresenta métodos para obter modelos matemáticos de sistemas eléctricos, baseando-se nas leis fundamentais que regem os circuitos eléctricos: as leis de Kirchhoff.

Leis de Kirchhoff

• Lei das correntes (lei dos nós): a soma algébrica das correntes que entram e saem de um nó é zero.

• Lei das tensões (lei das malhas): a soma algébrica das tensões em qualquer malha fechada é zero.

Estas leis são aplicadas para escrever equações diferenciais que descrevem o comportamento de circuitos eléctricos. A partir dessas equações diferenciais, obtêm-se funções de transferência e modelos em espaço de estados.

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Modelação de um circuito LRC

• Considere um circuito em série com indutância L, resistência R e capacitância C.

• Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff, obtém-se uma equação diferencial que relaciona a corrente i(t) com as tensões de entrada ei(t) e saída eo(t).

• Equações diferenciais:

  $$\frac{1}{C}\int i \,dt = e_o$$ $$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i\,dt = e_i$$

• A transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) permite obter a função de transferência:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}$$

• Também se apresenta um modelo em espaço de estados, definindo variáveis de estado adequadas para expressar o sistema como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem.

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Funções de Transferência em circuitos RC em cascata com efeito de carga

• Analisa-se um sistema formado por duas malhas RC ligadas em cascata.

• Mostra-se que a ligação em cascata causa efeito de carga: o segundo circuito "carrega" o primeiro, afectando o seu comportamento.

• São deduzidas as equações diferenciais e as transformadas no domínio de Laplace, mostrando que a função de transferência global não é simplesmente o produto das funções de transferência individuais dos estágios.

• Explica-se matematicamente como surge o termo extra no denominador (representando a interacção entre os estágios).

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Impedâncias complexas

• Introduz-se o conceito de impedância complexa no domínio de Laplace:

  • Resistor: R.

  • Indutor: LS.

  • Condensador: 1/(CS).

• As impedâncias em série somam-se, e em paralelo combinam-se como resistências equivalentes.

• Usando impedâncias complexas, pode-se obter directamente a função de transferência sem resolver as equações diferenciais originais.

• Exemplo:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = \frac{Z_2(s)}{Z_1(s) + Z_2(s)}$$

• Esta abordagem simplifica muito a análise de circuitos lineares.

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Elementos em cascata sem carga

• Aborda a situação em que dois blocos são ligados em cascata sem efeito de carga (o segundo não carrega o primeiro).

• Mostra que, quando a impedância de entrada do segundo bloco é infinita (por exemplo, com um amplificador de isolamento), o modelo global é o produto directo dos modelos individuais:

  $$G(s) = G_1(s) \times G_2(s)$$

• Exemplifica a prática comum de usar amplificadores com alta impedância de entrada para evitar o efeito de carga.

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Amplificadores operacionais (AmpOps)

• Introduz os AmpOps como componentes fundamentais em sistemas de controlo, sensores e electrónica em geral.

• Explica o funcionamento básico: amplificam a diferença de potencial entre os terminais de entrada, com ganho diferencial muito elevado.

• Características ideais:

  • Impedância de entrada infinita (não consome corrente).

  • Impedância de saída nula (pode fornecer corrente sem variação de tensão).

  • Necessidade de realimentação negativa para funcionamento estável.

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Circuitos com AmpOps

• Amplificador inversor: ganho negativo proporcional a -R₂/R₁.

• Amplificador não inversor: ganho positivo proporcional a 1 + R₂/R₁.

• Malhas de atraso de 1ª ordem: redes RC com AmpOp geram um polo de 1ª ordem no domínio de Laplace.

• Malhas de avanço ou atraso: redes RC específicas configuradas com AmpOps permitem criar compensadores do tipo avanço ou atraso, úteis para ajustar margens de fase e estabilidade.

• Efeito de inversão de sinal: alguns circuitos têm ganho negativo. Mostra-se como se pode adicionar um inversor de sinal para corrigir isso se necessário.

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PID com AmpOps

• Apresenta o controlador PID electrónico construído com AmpOps.

• Deduz a função de transferência geral:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$$

• Mostra como definir os parâmetros proporcional (Kp), integral (Ki) e derivativo (Kd) em função das resistências e condensadores no circuito.

• Fornece fórmulas explícitas para determinar tempo integral (Ti) e tempo derivativo (Td) a partir dos componentes.

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Tabela de circuitos típicos

• Inclui uma tabela (Table 3–1) com esquemas de circuitos com AmpOps usados como controladores:

  • Proporcionais (P)

  • Integrais (I)

  • Proporcionais–derivativos (PD)

  • Proporcionais–integrais (PI)

  • Proporcionais–integrais–derivativos (PID)

  • Compensadores de avanço, atraso e avanço-atraso

• Para cada configuração, mostra a função de transferência correspondente em termos dos componentes eléctricos (resistências e condensadores).

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Problema de teste Controlo de Sistemas, resolvido

Resolução da Pergunta 2b do 1º teste de Controlo de Sistemas (2024-04-30), do Politécnico de Setúbal

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Resumo extraído do capítulo 2 do livro Modern Control Engineering de Katsuhiko Ogata, 5ª edição

Capítulo 2 – Modelos Matemáticos para Sistemas de Controlo

Este capítulo foca-se em representar sistemas físicos através de funções de transferência — uma abordagem baseada na frequência e fundamental na teoria clássica de controlo. Enquanto o Capítulo 1 se centrava na modelação no domínio do tempo (com equações diferenciais), aqui passa-se para a representação no domínio da frequência, mais especificamente usando transformadas de Laplace e funções de transferência. Esta metodologia simplifica a análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI), transformando equações diferenciais em equações algébricas.

O capítulo introduz a ideia de que qualquer sistema linear descrito por equações diferenciais com coeficientes constantes pode ser analisado no domínio da frequência, o que facilita o estudo da resposta do sistema a entradas variadas, a análise de estabilidade e a síntese de controladores.

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Secção 2.1: A transformada de Laplace

Esta secção introduz e define a transformada de Laplace, que converte funções no domínio do tempo $f(t)$ em funções de variável complexa $F(s)$ no domínio da frequência. A definição da transformada de Laplace unilateral é apresentada como:

$$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$$

São discutidas as propriedades fundamentais da transformada, incluindo:

• Linearidade

• Deslocamento no tempo

• Derivadas e integrais

• Teorema do valor inicial e final

A transformada é particularmente útil para resolver equações diferenciais, pois transforma a operação de diferenciação numa multiplicação algébrica por $s$, simplificando a análise de sistemas.

Além disso, a secção fornece várias transformadas comuns e usa exemplos para mostrar como aplicar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais ordinárias que descrevem sistemas dinâmicos.

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Secção 2.2: Função de transferência de Sistemas Lineares

Esta secção define a função de transferência como a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada de um sistema, assumindo condições iniciais nulas:

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$

São analisados diferentes tipos de sistemas físicos (mecânicos e elétricos), ilustrando como derivar as suas funções de transferência a partir das equações diferenciais que os governam. Exemplos incluem:

• Sistemas massa-mola-amortecedor

• Circuitos RLC

Para cada tipo de sistema, a equação diferencial é transformada numa equação algébrica via transformada de Laplace e reorganizada para obter $G(s)$.

A função de transferência fornece uma descrição completa do comportamento dinâmico do sistema (para sistemas LTI), permitindo prever a resposta a entradas arbitrárias no domínio da frequência.

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Secção 2.3: Diagrama de Blocos

Esta secção introduz os diagramas de blocos, uma ferramenta gráfica para representar a interligação de sistemas dinâmicos e os fluxos de sinal. Cada bloco representa um subsistema com a sua função de transferência associada, e as conexões entre blocos representam as relações de sinal (soma, subtração, ramificações).

São introduzidas várias regras fundamentais de simplificação de diagramas de blocos, tais como:

• Combinação de blocos em série e paralelo

• Realimentações (feedback)

• Movimentação de somadores e ramos

São fornecidos exemplos para mostrar como converter uma equação diferencial num diagrama de blocos equivalente, e como simplificar esse diagrama para obter a função de transferência global de sistemas compostos. Esta técnica é essencial para a modelação modular e análise de sistemas complexos de controlo.

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Secção 2.4 – Modelação no Espaço de Estados 

Esta secção introduz a abordagem moderna à modelação de sistemas dinâmicos — a representação no espaço de estados — que se tornou essencial com o aumento da complexidade dos sistemas e o uso intensivo de computadores no projeto de controlo.

Conceitos fundamentais:

• Estado: É definido como o conjunto mínimo de variáveis necessário para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico a partir de um determinado instante e entrada.

• Variáveis de estado: São os elementos do vetor de estado, escolhidos geralmente como saídas de integradores no sistema.

• Vector de estado: Um vetor que agrupa todas as variáveis de estado.

• Espaço de estados: Um espaço n-dimensional em que cada eixo representa uma variável de estado.

Equações no espaço de estados:

O comportamento de sistemas dinâmicos é descrito por:

• Equação de estado:

  $$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t)$$

• Equação de saída:

  $$y(t) = g(x(t), u(t), t)$$

Nos sistemas lineares e invariantes no tempo, estas equações assumem a forma matricial:

$$\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$$

• $$y(t) = C x(t) + D u(t)$$

Exemplo:

A secção inclui um exemplo prático com um sistema massa-mola-amortecedor, onde se mostra como escolher as variáveis de estado (deslocamento e velocidade) e formular as equações no espaço de estados.

Esta representação é vantajosa para sistemas com múltiplas entradas e saídas (MIMO), sistemas não lineares e para o projeto de controladores em tempo real.

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Secção 2.5 – Representação em Espaço de Estados de Sistemas com Equações Diferenciais Escalares 

Esta secção mostra como converter uma equação diferencial escalar de ordem n numa forma de primeira ordem no espaço de estados. Isto é essencial porque os métodos modernos de análise e controlo operam sobre sistemas de primeira ordem em forma matricial.

Casos abordados:

1. Sem derivadas da entrada (u):
   Uma equação diferencial como

   $$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = u(t)$$

   pode ser convertida definindo variáveis de estado sucessivas como

   $$x_1 = y, \quad x_2 = \dot{y}, \quad \dots, \quad x_n = y^{(n-1)}$$

   resultando numa forma padrão:

   $$\dot{x} = A x + B u, \quad y = C x$$

2. Com derivadas da entrada (u):
   Quando a entrada também aparece com derivadas, como:

   $$y^{(n)} + \cdots = b_0 u^{(n)} + b_1 u^{(n-1)} + \cdots$$

   O truque está em escolher variáveis de estado que absorvam as derivadas da entrada, garantindo que a equação de estado não as contenha explicitamente. A matriz B será ajustada com base nos coeficientes $b_i$, calculados a partir de uma fórmula que os reexprime em função das constantes $a_i$ e $b_i$.

Este processo é fundamental para gerar modelos equivalentes que podem ser manipulados com ferramentas modernas (como MATLAB).

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Secção 2.6 – Transformação de Modelos Matemáticos com MATLAB 

Esta secção apresenta as funções básicas do MATLAB usadas para converter entre funções de transferência e representações no espaço de estados, e vice-versa.

Transformar de função de transferência para espaço de estados:

• Comando:

  [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)
  

  Onde num e den são os coeficientes do numerador e denominador da função de transferência.

• Esta transformação retorna uma forma canónica controlável por padrão, mas outras formas são possíveis com manipulações adicionais.

Transformar de espaço de estados para função de transferência:

• Comando:

  [num, den] = ss2tf(A, B, C, D)
  

  Para sistemas com múltiplas entradas, é possível indicar qual entrada usar com um argumento adicional:

  [num, den] = ss2tf(A, B, C, D, iu)
  

Exemplos:

São apresentados exemplos em MATLAB mostrando a aplicação dos comandos a sistemas simples, verificando que a conversão é consistente e mantendo a equivalência matemática entre as representações.

Esta secção destaca o poder e a utilidade das ferramentas computacionais para a análise e síntese de sistemas de controlo complexos.

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Secção 2.7 – Linearização de Modelos Matemáticos Não Lineares 

Esta secção trata do processo de linearização, uma técnica essencial para lidar com sistemas não lineares, ao aproximar o comportamento do sistema em torno de um ponto de operação em equilíbrio.

Sistemas não lineares:

• Um sistema é considerado não linear quando não obedece ao princípio da sobreposição.

• Muitos sistemas físicos apresentam não linearidades (como saturação, zona morta, ou comportamentos quadráticos), mesmo que sejam tratados como lineares em regime limitado.

Linearização em torno de um ponto de equilíbrio:

• Na prática, os sistemas operam muitas vezes próximos de um ponto de equilíbrio (estado estacionário), o que permite aproximar o sistema por um modelo linear válido nesse intervalo.

• A técnica baseia-se no desenvolvimento em série de Taylor da função não linear em torno de um ponto de equilíbrio $(x_0, y_0)$, desprezando os termos de ordem superior:

  $$y = f(x) \approx f(x_0) + \left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0} (x - x_0)$$

• Para sistemas com múltiplas variáveis de entrada (e.g. $x_1, x_2$), a aproximação linear torna-se:

  $$y - y_0 \approx \frac{\partial f}{\partial x_1} (x_1 - x_{10}) + \frac{\partial f}{\partial x_2} (x_2 - x_{20})$$

Aplicações:

• Esta abordagem permite aplicar as ferramentas de controlo linear a sistemas originalmente não lineares, desde que as variações em torno do ponto de equilíbrio sejam pequenas.

• Inclui-se um exemplo de linearização da equação $z = x y$, mostrando o cálculo do erro ao substituir o modelo exato pelo linearizado.

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Secção 2.8 – Modelos de Sistemas Dinâmicos com MATLAB 

Esta secção mostra como usar o MATLAB para criar e manipular modelos de sistemas dinâmicos representados por funções de transferência e representações em espaço de estados.

Funções principais apresentadas:

1. Criação de uma função de transferência:

   sys = tf(num, den)
   

2. Criação de um sistema em espaço de estados:

   sys = ss(A, B, C, D)
   

3. Conversão de uma função de transferência para espaço de estados:

   [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)
   

4. Conversão inversa – espaço de estados para função de transferência:

   [num, den] = ss2tf(A, B, C, D)
   

5. Impressão da função de transferência:

   printsys(num, den)
   

Exemplos práticos:

Incluem-se exemplos detalhados onde são aplicadas estas funções:

• Representações de sistemas com múltiplos blocos (em cascata, paralelo ou com realimentação).

• Verificação de equivalência entre modelos diferentes (transferência vs. espaço de estados).

• Uso de comandos series, parallel e feedback para combinar blocos.

Esta secção prepara o leitor para análises mais avançadas com auxílio computacional.

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Secção 2.9 – Observações Finais sobre a Modelação de Sistemas 

Esta secção encerra o capítulo com reflexões importantes sobre a prática de modelação.

Pontos principais:

• Modelos matemáticos são aproximações: Um modelo é sempre uma representação simplificada da realidade. O nível de detalhe a incluir depende do objetivo da análise.

• Validade limitada: Um modelo que é válido para uma condição de operação pode não ser adequado noutras. Isso reforça a importância de:

  • Validar o modelo com dados experimentais.

  • Reconhecer a existência de propriedades negligenciadas (não linearidades, parâmetros distribuídos, atrito, etc.).

• Escolha da representação: Dependendo do tipo de análise (resposta no tempo, frequência, controlo ótimo), pode ser mais conveniente usar:

  • Funções de transferência para sistemas SISO lineares.

  • Espaço de estados para sistemas MIMO ou para controlo moderno.

• Linearização como ferramenta: Permite usar métodos lineares em sistemas originalmente não lineares, desde que haja limitação no intervalo de operação.

O autor reforça que a compreensão dos princípios de modelação e das suas limitações é essencial para a análise e o projeto eficaz de sistemas de controlo.

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Resumo extraído do capítulo 1 do livro Modern Control Engineering de Katsuhiko Ogata, 5ª edição

Capítulo 1 – Introdução aos Sistemas de Controlo

1.1 Introdução

Este capítulo apresenta uma visão geral da teoria dos sistemas de controlo, abordando as teorias clássica, moderna e robusta. Explica a importância dos sistemas de controlo automático em diversas áreas da engenharia, como veículos espaciais, sistemas robóticos e processos industriais.

O livro destina-se a estudantes de engenharia e inclui materiais matemáticos complementares sobre transformadas de Laplace e análise vetorial-matricial nos apêndices.

Breve História do Desenvolvimento da Teoria de Controlo

• James Watt (século XVIII) desenvolveu o governador centrífugo para o controlo de velocidade de motores a vapor.
• Minorsky (1922) trabalhou em controladores automáticos para navios e estudou estabilidade.
• Nyquist (1932) desenvolveu um método para análise da estabilidade de sistemas em malha fechada.
• Hazen (1934) introduziu o termo servomecanismos e discutiu controladores de posição.
• Anos 1940–1950: desenvolvimento do diagrama de Bode e do método do lugar das raízes (Evans). A teoria clássica tornou-se predominante, baseada na resposta em frequência e no domínio da transformada de Laplace.
• Anos 1960–1980: a teoria moderna emergiu com o uso de variáveis de estado e análise no domínio do tempo, permitindo o controlo de sistemas mais complexos e multivariáveis.
• Anos 1980–1990: foco na teoria de controlo robusto, que considera incertezas nos modelos e utiliza métodos avançados para garantir estabilidade e desempenho.

1.2 Exemplos de Sistemas de Controlo

São apresentados vários exemplos práticos de sistemas de controlo:

• Sistema de controlo de velocidade: exemplificado pelo governador de Watt para motores, que ajusta automaticamente a quantidade de combustível para manter a velocidade desejada.
• Sistema de controlo de temperatura: um forno elétrico cuja temperatura é monitorizada e ajustada automaticamente.
• Sistemas empresariais: o controlo pode ser aplicado a processos organizacionais para otimizar desempenho e minimizar erros.
• Sistemas de controlo robusto: abordagem que considera incertezas no modelo do sistema, garantindo que o desempenho seja mantido apesar das variações.

1.3 Controlo em Malha Fechada vs. Malha Aberta

• Sistemas de controlo em malha fechada (feedback): utilizam realimentação para comparar o valor de saída com o valor desejado, ajustando a entrada para minimizar erros. Exemplo: um termostato regula a temperatura de uma sala.
• Sistemas de controlo em malha aberta: não possuem realimentação, operam com base em configurações predefinidas e não corrigem automaticamente desvios. Exemplo: uma máquina de lavar roupa que executa ciclos com tempos fixos sem medir a limpeza das roupas.

Comparação:
-> Vantagens da malha fechada: insensibilidade a perturbações, maior precisão e correção automática de erros.
-> Desvantagens: maior complexidade, custo e possível instabilidade se o feedback não for bem projetado.

1.4 Projeto e Compensação de Sistemas de Controlo

O capítulo introduz conceitos de projeto e compensação de sistemas de controlo:

• Compensação refere-se a ajustes no sistema para garantir que atenda às especificações desejadas. Pode ser feita por controladores PID, técnicas de resposta em frequência, lugar das raízes e espaço de estados.
• O primeiro passo no projeto é definir as especificações de desempenho, como tempo de resposta, estabilidade e erro em regime permanente.

1.5 Estrutura do Livro

Os capítulos seguintes tratam de modelação matemática de sistemas, resposta transitória e em regime permanente, análise de estabilidade, técnicas de compensação e métodos modernos de controlo, incluindo a teoria de controlo ótimo e robusto.

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Problema de teste de Controlo de Sistemas, resolvido

Resolução do Problema 1 do 1º teste de Controlo de Sistemas (2024-04-30), do Politécnico de Setúbal.

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Suspensão activa - Modelo matemático para Controlo de Sistemas

Resolução do teste de 02-04-2014, de Controlo de Sistemas, eng. Mecânica, IST
Pag. 1 da resolução:

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Quadro resumo de controladores PID

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Modelos matemáticos de sistemas físicos dinâmicos - 2

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Modelos matemáticos de sistemas físicos dinâmicos - 1

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