Resumo extraído do Capítulo 33, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 33 – Circuitos em corrente alternada (AC)

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33.1 Fontes de Corrente Alternada

Uma fonte de corrente alternada (AC) fornece uma tensão alternada que varia sinusoidalmente com o tempo, descrita por:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$$

onde $\Delta V_{max}$ é a amplitude da tensão e $v$ é a frequência angular (ligada à frequência $f$ por $v = 2\pi f$). Exemplos de fontes AC incluem geradores e osciladores eléctricos. Em casa, cada tomada serve de fonte de AC.

A tensão alternada muda de sinal ao longo de cada ciclo: positiva numa metade, negativa na outra. O resultado é que a corrente no circuito também alterna de sentido, variando sinusoidalmente.

A frequência comercial varia consoante o país; em Portugal é de 50 Hz (o que dá uma frequência angular de 314 rad/s).

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33.2 Resistências num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC simples com uma resistência ligada a uma fonte AC. Usando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - i_R R = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$i_R = \frac{\Delta V_{max}}{R} \sin (vt) = I_{max} \sin (vt)$$

Assim, a corrente alternada numa resistência varia em fase com a tensão: ambos atingem os seus valores máximos e mínimos em simultâneo. Em gráficos de tensão e corrente versus tempo, os dois são sinusoides coincidentes.

Conceito de fase: Para resistências, corrente e tensão estão sempre em fase.

Diagramas fasoriais: Um fasor representa uma grandeza (corrente ou tensão) como um vetor rotativo cuja projeção no eixo vertical dá o valor instantâneo. Para uma resistência, os fasores de corrente e tensão estão alinhados, indicando fase igual.

Valores eficazes (rms): Em AC usa-se o valor eficaz (root-mean-square, rms) para facilitar comparações com DC:

$$I_{rms} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{max}$$ $$\Delta V_{rms} = \frac{\Delta V_{max}}{\sqrt{2}}$$

Por exemplo, quando dizemos que uma tomada fornece 230 V AC, referimo-nos ao valor rms; o valor de pico seria cerca de 330 V.

Potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

As resistências dissipam potência independentemente da direção da corrente: aquecem igualmente com corrente positiva ou negativa.

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33.3 Bobines num Circuito AC 

Agora considera-se um circuito AC com apenas uma bobine:

$$\Delta v_L = -L \frac{di_L}{dt}$$

Usando $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$\Delta V_{max} \sin (vt) = L \frac{di_L}{dt}$$

Integrando:

$$i_L = -\frac{\Delta V_{max}}{vL} \cos (vt) = \frac{\Delta V_{max}}{vL} \sin \left(vt - \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente numa bobine atrasa-se 90° em relação à tensão. Em gráficos de tempo, a tensão atinge o máximo um quarto de ciclo antes da corrente.

Diagramas fasoriais: os fasores de corrente e tensão são ortogonais (90° de diferença).

Reactância indutiva: a oposição de uma bobine à corrente AC depende da frequência:

$$X_L = vL$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_L}$$

Assim, para frequências mais altas, a reactância indutiva aumenta, reduzindo a corrente. Isto está de acordo com a lei de Faraday: maior variação de corrente gera uma força contra-electromotriz (emf) maior.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_L}$$

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33.4 Condensadores num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC constituído apenas por um condensador de capacitância $C$. Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - \frac{q}{C} = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$:

$$q = C \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente é dada por:

$$i_C = \frac{dq}{dt} = vC \Delta V_{max} \cos(vt)$$

Usando a identidade trigonométrica $\cos(vt) = \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$:

$$i_C = vC \Delta V_{max} \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente num condensador antecipa-se 90° em relação à tensão. Ou seja, a corrente antecipa a tensão por um quarto de ciclo.

Representação gráfica: nos gráficos de tempo, o pico da corrente ocorre antes do pico da tensão. Em pontos onde a corrente é nula, o condensador está carregado ao máximo.

Diagrama fasorial: o fasor da corrente está 90° à frente do fasor da tensão.

Reactância capacitiva: o condensador oferece oposição à corrente alternada dependente da frequência:

$$X_C = \frac{1}{vC}$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_C}$$

Interpretação: para frequências mais altas, a reactância capacitiva diminui, permitindo mais corrente. Quando a frequência se aproxima de zero (DC), $X_C$ tende para infinito, bloqueando a corrente.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_C}$$

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33.5 O Circuito Série RLC 

Agora estuda-se um circuito série com resistência (R), bobine (L) e condensador (C) ligados a uma fonte de tensão AC:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente no circuito é comum a todos os elementos:

$$i = I_{max} \sin(vt - \phi)$$

onde $\phi$ é o ângulo de fase entre a tensão aplicada e a corrente.

Características de fase:

• Na resistência: tensão e corrente em fase.

• Na bobine: tensão adianta-se à corrente por 90°.

• No condensador: tensão atrasa-se da corrente por 90°.

Tensões instantâneas:

$$\Delta v_R = I_{max} R \sin(vt)$$ $$\Delta v_L = I_{max} X_L \cos(vt)$$ $$\Delta v_C = -I_{max} X_C \cos(vt)$$

Impedância (Z): combina as três componentes considerando as diferenças de fase:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL, \quad X_C = \frac{1}{vC}$$

Corrente máxima:

$$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{Z}$$

Ângulo de fase:

$$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

• Se $X_L > X_C$: circuito mais indutivo → corrente atrasa-se em relação à tensão.

• Se $X_L < X_C$: circuito mais capacitivo → corrente antecipa-se em relação à tensão.

• Se $X_L = X_C$: circuito resistivo puro, $\phi = 0$.

Diagramas fasoriais: permitem somar as tensões nos diferentes elementos considerando as suas fases relativas. A soma vetorial resulta na tensão aplicada.

Conclusão: o comportamento do circuito série RLC depende fortemente da frequência de operação devido à variação de $X_L$ e $X_C$. Este circuito pode exibir ressonância (discutida mais adiante no capítulo).

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33.6 Potência num Circuito AC 

A potência instantânea fornecida por uma fonte AC é:

$$P = i \Delta v$$

Para um circuito RLC:

$$P = I_{max} \sin(vt - \phi) \cdot \Delta V_{max} \sin(vt)$$

Usando identidades trigonométricas e calculando o valor médio ao longo de um ciclo:

$$P_{avg} = \frac{1}{2} I_{max} \Delta V_{max} \cos \phi$$

Em termos de valores eficazes (rms):

$$P_{avg} = I_{rms} \Delta V_{rms} \cos \phi$$

onde $\cos \phi$ é o factor de potência.

Interpretação:

• $\cos \phi = 1$: carga puramente resistiva, máxima potência transferida.

• $\cos \phi = 0$: carga puramente reativa (bobine ou condensador puros), potência média zero.

Explicação física:

• Numa resistência, a energia elétrica converte-se em calor → há consumo real de potência.

• Numa bobine ou condensador ideais, a energia é armazenada e devolvida ao circuito → não há dissipação líquida de potência.

Factor de potência na prática: Em instalações industriais com cargas indutivas significativas (motores, transformadores), usa-se a compensação capacitiva para melhorar $\cos \phi$, reduzindo perdas e aumentando a eficiência da rede.

Expressão alternativa para potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

Conclusão: a potência dissipada num circuito AC depende não só da corrente e tensão rms, mas também do factor de potência, que quantifica o desfasamento entre corrente e tensão.

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33.7 Ressonância num Circuito Série RLC 

Um circuito série RLC comporta-se como um oscilador eléctrico. Quando a frequência da fonte coincide com a frequência natural do sistema, ocorre ressonância.

Impedância em AC:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL \quad \text{e} \quad X_C = \frac{1}{vC}.$$

A corrente eficaz (rms) é:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{Z}.$$

Na ressonância, $X_L = X_C$, logo:

$$v_0 L = \frac{1}{v_0 C} \quad \Rightarrow \quad v_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Propriedades da ressonância:

• A impedância atinge o mínimo $Z = R$.

• A corrente rms atinge o máximo:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{R}.$$

• Corrente e tensão estão em fase (ângulo de fase $\phi = 0$).

Curva de ressonância:

• A largura da curva (em frequência) está relacionada com a resistência.

• Quanto menor a resistência, mais estreita e alta é a curva de corrente em função da frequência.

Fator de qualidade (Q):

$$Q = \frac{v_0}{\Delta v} = \frac{v_0 L}{R}$$

onde $\Delta v$ é a largura da curva a meia-potência (half-power points).

Aplicações práticas:

• Circuitos de sintonia em rádios.

• Seleção de uma frequência específica num sinal complexo.

• Em rádios, o condensador variável permite ajustar a frequência de ressonância para captar diferentes estações.

Ideia central: A ressonância permite maximizar a resposta de corrente para uma frequência específica e filtrar todas as outras.

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33.8 O Transformador e a Transmissão de Energia 

Os transformadores são dispositivos que mudam a tensão e a corrente alternada sem alterar significativamente a potência. São essenciais para a transmissão eficiente de energia elétrica a longas distâncias.

Estrutura:

• Dois enrolamentos (primário e secundário) num núcleo de ferro.

• O núcleo guia o fluxo magnético, garantindo acoplamento entre os enrolamentos.

Lei de Faraday:

$$\Delta v_1 = -N_1 \frac{d\Phi_B}{dt}, \quad \Delta v_2 = -N_2 \frac{d\Phi_B}{dt}.$$

Assumindo fluxo comum:

$$\frac{\Delta v_2}{\Delta v_1} = \frac{N_2}{N_1}.$$

Dois tipos principais:

• Elevador de tensão: $N_2 > N_1$, aumenta a tensão.

• Redutor de tensão: $N_2 < N_1$, reduz a tensão.

Conservação de potência (ideal):

$$I_1 \Delta v_1 = I_2 \Delta v_2.$$

Equivalência de resistências vistas do primário:

$$R_{eq} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 R_L.$$

Permite ajustar resistências para maximizar transferência de potência.

Transmissão de energia elétrica:

• Alta tensão → Baixa corrente → Menores perdas $I^2 R$.

• Linhas de transmissão podem operar a centenas de quilovolts.

• Subestações reduzem gradualmente a tensão para níveis seguros e úteis (ex.: 230 kV → 20 kV → 400 V → 230 V).

Eficiência: Transformadores reais têm eficácias elevadas (90%–99%).

Exemplos quotidianos:

• Adaptadores de parede para aparelhos electrónicos.

• Transformadores em redes de distribuição eléctrica.

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33.9 Rectificadores e Filtros 

Muitos dispositivos electrónicos precisam de corrente contínua (DC) apesar de a rede fornecer corrente alternada (AC). Para isso usam-se rectificadores e filtros.

Rectificação:

• Processo de conversão de AC em DC.

• Principal elemento: díodo, que só conduz corrente num sentido.

• Circuito típico: rectificador de meia-onda com díodo em série com a carga.

• Resultado: corrente pulsante apenas numa direcção.

Filtro com condensador:

• Adiciona-se um condensador em paralelo com a carga.

• Suaviza a variação da tensão e corrente.

• O condensador carrega-se quando a tensão sobe e descarrega-se lentamente, mantendo corrente na carga mesmo quando a entrada AC desce.

Problema do ripple:

• Mesmo após filtragem, há uma pequena componente AC (ripple).

• É importante reduzir o ripple para níveis insignificantes, especialmente em áudio para evitar hums (ex.: 50/60 Hz).

Filtros RC:

• Circuitos específicos que deixam passar ou bloqueiam certas frequências.

• Exemplo: filtro passa-alto RC.

  • Baixas frequências → tensão de saída muito menor que a entrada.

  • Altas frequências → saída ≈ entrada.

Aplicação: eliminar componentes de baixa frequência indesejadas e permitir sinais úteis de alta frequência.

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33.10 Resumo

• A corrente alternada (AC) varia sinusoidalmente, permitindo transporte eficiente de energia.

• Em resistências, corrente e tensão estão em fase.

• Em bobines, a corrente atrasa-se 90° em relação à tensão.

• Em condensadores, a corrente antecipa-se 90° em relação à tensão.

• A impedância combina resistência e reactâncias indutiva e capacitiva, dependendo da frequência.

• Ressonância em circuitos série RLC ocorre quando $X_L = X_C$, minimizando a impedância e maximizando a corrente.

• Transformadores permitem alterar níveis de tensão e corrente para transmissão eficiente de energia.

• Rectificadores convertem AC em DC, com filtros (normalmente com condensadores) para suavizar a saída.

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Resumo extraído do Capítulo 32, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 32 – Indutância

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32.1 Auto-indução e Indutância

Quando fechamos um circuito com uma fonte de força electromotriz (f.e.m.), um interruptor e uma resistência, a corrente não atinge imediatamente o valor final dado por ε/R. À medida que a corrente aumenta, o campo magnético gerado pela corrente cria um fluxo magnético através da área do circuito. Segundo a Lei de Faraday, esta variação de fluxo induz uma f.e.m. no próprio circuito.

A f.e.m. induzida tem sinal oposto à f.e.m. da bateria — por isso chama-se força contra-electromotriz — e resiste ao aumento da corrente, fazendo com que esta cresça de forma gradual. Este fenómeno chama-se auto-indução, porque a variação de fluxo que causa a f.e.m. surge do próprio circuito.

A f.e.m. auto-induzida (eL) é proporcional à taxa de variação temporal da corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

onde L é a indutância, uma constante que depende da geometria do circuito (número de espiras, área, comprimento, etc.). Para um enrolamento de N espiras, com fluxo magnético Φ_B através de cada uma:

$$L = \frac{N \Phi_B}{i}$$

A indutância mede a oposição a variações de corrente, de forma semelhante ao modo como a resistência mede a oposição ao fluxo de corrente. A unidade SI de indutância é o henry (H), definido como 1 V·s/A.

O exemplo clássico é o solenoide de N espiras, comprimento ℓ (muito maior que o raio) e área A:

$$L = \mu_0 \frac{N^2 A}{\ell}$$

Este exemplo mostra que L depende fortemente do número de espiras ao quadrado e da geometria do enrolamento. A analogia com a capacitância (dependência da geometria das placas) e com a resistência (dependência do comprimento e área do condutor) é salientada.

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32.2 Circuitos RL

Um circuito RL contém uma resistência e uma bobine (indutor) ligadas em série a uma fonte de f.e.m. A presença de uma bobine impede mudanças instantâneas na corrente. Quando se fecha o interruptor, a corrente começa em zero e cresce de forma exponencial, pois a força contra-electromotriz da bobine opõe-se ao aumento.

Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\varepsilon - iR - L \frac{di}{dt} = 0$$

Resolvendo a equação diferencial obtém-se:

$$i(t) = \frac{\varepsilon}{R} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

com a constante de tempo:

$$\tau = \frac{L}{R}$$

Esta constante representa o tempo necessário para a corrente atingir 63,2% do valor final (ε/R). Quanto maior a indutância L ou menor a resistência R, mais lenta será a resposta do circuito.

Quando a fonte é desligada (substituída por um curto-circuito), o circuito passa a ter apenas a resistência e a bobine. A corrente decresce exponencialmente:

$$i(t) = I_i e^{-t/\tau}$$

A bobine impede que a corrente caia instantaneamente a zero. A força contra-electromotriz gerada tenta manter a corrente, libertando a energia armazenada no campo magnético.

Em resumo, a bobine «suaviza» as variações de corrente, criando uma resposta "preguiçosa" ou atrasada às mudanças de tensão.

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32.3 Energia num Campo Magnético

Quando uma bobine conduz corrente, armazena energia no seu campo magnético. Parte da energia fornecida pela fonte é dissipada em calor na resistência, mas parte é armazenada como energia magnética na bobine.

A taxa de fornecimento de energia pela fonte é:

$$\varepsilon i = iR + L i \frac{di}{dt}$$

O termo $iR$ é a potência dissipada como calor. Já $L i \frac{di}{dt}$ corresponde à taxa de armazenamento de energia na bobine. Integrando, obtém-se a energia total armazenada:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

Esta forma é análoga à energia armazenada num condensador:

$$U_E = \frac{1}{2} C V^2$$

Para um solenoide (ou outra distribuição de campo magnético conhecido), podemos calcular a densidade de energia magnética (energia por unidade de volume):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

Este resultado mostra que a energia armazenada no campo magnético depende do quadrado da intensidade do campo, de forma semelhante à densidade de energia num campo eléctrico.

Um exemplo trabalhado no texto demonstra que quando a bobine descarrega (por exemplo, num circuito RL isolado), toda a energia inicialmente armazenada no campo magnético se converte em energia interna (calor) na resistência.

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32.4 Indutância Mútua

Nesta secção, introduz-se o conceito de indutância mútua. Quando há dois circuitos próximos, a corrente variável num deles pode induzir uma f.e.m. no outro, porque o campo magnético de um atravessa a área do outro.

Imagina duas bobinas próximas (bobina 1 e bobina 2):

• A corrente i₁ em 1 cria um campo magnético. Parte desse campo atravessa a área de 2, gerando fluxo magnético Φ₁₂ em 2.

• Se i₁ varia no tempo, Φ₁₂ varia, induzindo uma f.e.m. em 2.

Define-se indutância mútua M₁₂ como:

$$M_{12} = \frac{N_2 \Phi_{12}}{i_1}$$

onde N₂ é o número de espiras da bobina 2.

A f.e.m. induzida em 2 devido a i₁ é:

$$\varepsilon_2 = -M_{12} \frac{di_1}{dt}$$

Analogamente, se i₂ em 2 variar, induz uma f.e.m. em 1:

$$\varepsilon_1 = -M_{21} \frac{di_2}{dt}$$

Pode-se demonstrar que M₁₂ = M₂₁ = M, porque depende apenas da geometria mútua dos circuitos e das suas orientações.

A unidade de indutância mútua é o henry (H), como na auto-indução.

Exemplo prático: carregadores sem fios. Uma bobina na base (primária) cria um campo magnético variável, induzindo corrente na bobina do aparelho (secundária).

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32.5 Oscilações num Circuito LC

Nesta secção estuda-se o circuito LC ideal: um condensador ligado a uma bobine, sem resistência e sem radiação electromagnética.

• Supondo o condensador inicialmente carregado (carga Q_max), quando o circuito se fecha, a energia armazenada no campo eléctrico do condensador começa a transferir-se para a bobine.

• À medida que o condensador se descarrega, a corrente aumenta, armazenando energia no campo magnético da bobine.

• Quando o condensador está totalmente descarregado, a energia está toda na bobine.

• A corrente continua, recarregando o condensador com polaridade oposta.

Este processo repete-se, criando oscilações electromagnéticas entre energia eléctrica (condensador) e magnética (bobine).

Matematicamente:

• A equação diferencial do circuito é:

$$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$$

• Solução:

$$q(t) = Q_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)$$

onde

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

é a frequência angular natural das oscilações.

• A corrente é:

$$i(t) = \frac{dq}{dt} = -\omega Q_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)$$

Observa-se que carga e corrente estão desfasadas de 90°: quando a carga é máxima, a corrente é zero e vice-versa.

A energia total do circuito (conservada no ideal):

$$U = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L i^2$$

oscila entre o campo eléctrico do condensador e o campo magnético da bobine, mas permanece constante no tempo se não houver perdas.

Analogia mecânica: é como um sistema massa–mola sem atrito, em oscilação harmónica simples.

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32.6 O Circuito RLC

Aqui estuda-se o circuito RLC em série (resistência R, bobine L e condensador C).

Ao contrário do LC ideal:

• A resistência provoca dissipação de energia.

• A energia armazenada no campo eléctrico do condensador e no campo magnético da bobine diminui com o tempo, transformando-se em energia interna (calor) na resistência.

A equação diferencial que descreve o circuito é:

$$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$$

Esta é matematicamente equivalente à equação de movimento de um oscilador harmónico amortecido:

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

onde:

• q ↔ posição x

• i ↔ velocidade dx/dt

• L ↔ massa m

• R ↔ coeficiente de atrito b

• 1/C ↔ constante elástica k

Solução para amortecimento fraco (R pequeno):

$$q(t) = Q_{\text{max}} e^{-Rt/2L} \cos(v_d t)$$

com

$$v_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}$$

 As oscilações são amortecidas: a amplitude decai exponencialmente com o tempo.

 Para valores altos de R, as oscilações podem desaparecer totalmente (sobreamortecimento ou amortecimento crítico).

O comportamento geral do circuito RLC inclui:

• Oscilações amortecidas (R pequeno).

• Resposta crítica ou sobreamortecida (R grande).

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32.7 Resumo

• A auto-indução L mede a oposição de um circuito a variações de corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

• A energia armazenada num campo magnético é:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

• A densidade de energia magnética (no campo B):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

• Indutância mútua M relaciona as f.e.m. induzidas entre dois circuitos:

$$\varepsilon_2 = -M \frac{di_1}{dt}, \quad \varepsilon_1 = -M \frac{di_2}{dt}$$

• Circuito RL: apresenta resposta retardada à variação de corrente, com constante de tempo τ = L/R.

• Circuito LC: oscilações sinusoidais ideais, sem perdas:

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

• Circuito RLC: oscilações amortecidas, com energia dissipada na resistência.

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Resumo extraído do Capítulo 31, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 31 – Lei de Faraday

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31.1 – Lei da Indução de Faraday

Esta secção introduz a descoberta de Faraday de que um campo magnético variável no tempo pode induzir uma corrente eléctrica num circuito. Experiências simples com uma espira de fio e um íman mostram que mover o íman em relação à espira gera uma corrente detectável. A corrente só aparece quando há variação do fluxo magnético (e não com campos magnéticos constantes), sendo chamada de corrente induzida, e surge devido a uma força electromotriz (fem) induzida.

A lei de Faraday quantifica este fenómeno:

• Para uma espira:
  $\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$

• Para uma bobina com $N$ espiras:
  $\mathcal{E} = -N\dfrac{d\Phi_B}{dt}$

O fluxo magnético $\Phi_B$ é dado por:

$$\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA\cos\theta$$

e pode variar:

• pela mudança do campo magnético $B$,

• pela mudança da área da espira,

• pela mudança da orientação entre o campo e a espira.

Apresentam-se aplicações práticas como o interruptor de circuito por falha à terra (GFCI) e as bobinas de captação de guitarras eléctricas, que funcionam com base na indução de fem por variação de fluxo magnético.

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31.2 – Fem de Movimento 

Esta secção analisa a indução de fem em condutores em movimento dentro de campos magnéticos constantes. Um condutor rectilíneo que se move perpendicularmente a um campo magnético sofre uma separação de cargas devido à força magnética sobre os electrões, criando um campo eléctrico interno e uma diferença de potencial:

$$\Delta V = B\ell v$$

Quando este condutor faz parte de um circuito fechado (por exemplo, uma barra a deslizar sobre calhas condutoras), há corrente induzida e podem aplicar-se as leis de Faraday e da conservação de energia:

• A fem induzida é:

  $$\mathcal{E} = -B\ell v$$

• A corrente induzida:

  $$I = \dfrac{B\ell v}{R}$$

A força necessária para manter a barra a mover-se com velocidade constante deve compensar a força magnética (contrária ao movimento), garantindo conservação da energia:

$$P = F_{\text{aplicada}} v = \dfrac{\mathcal{E}^2}{R}$$

Exemplos analisados incluem a barra deslizante e uma barra rotativa num campo magnético, mostrando como a velocidade angular ou linear influencia a fem gerada.

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31.3 – Lei de Lenz

A Lei de Lenz dá ao sinal negativo da Lei de Faraday um significado físico: a corrente induzida flui de forma a opor-se à variação do fluxo magnético que a causou. Isto está intimamente ligado ao princípio da conservação da energia.

• Se o fluxo aumenta, a corrente induzida cria um campo que se opõe ao aumento.

• Se o fluxo diminui, a corrente induzida cria um campo que tenta manter o fluxo original.

Exemplos incluem:

• A barra a mover-se numa calha com campo constante: se o fluxo aumenta, a corrente opõe-se, gerando uma força contrária ao movimento.

• Um íman a aproximar-se de uma espira: o sentido da corrente depende de se o fluxo está a aumentar ou diminuir.

Apresenta-se também o paradoxo energético: se a corrente não se opusesse à variação de fluxo, poder-se-ia criar energia a partir do nada, violando a conservação da energia. Assim, a lei de Lenz garante que a energia seja conservada.

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31.4 – Fem Induzida e Campos Eléctricos

Nesta secção, explora-se como um campo magnético variável no tempo induz um campo eléctrico, mesmo na ausência de um fio condutor. A corrente induzida numa espira metálica é causada por um campo eléctrico induzido que age sobre as cargas no fio. Este campo não é conservativo (ao contrário do campo electrostático), pois o trabalho realizado ao mover uma carga à volta de um percurso fechado não é zero.

A indução do campo eléctrico é consequência directa da Lei de Faraday. Considerando uma espira circular de raio $r$, quando o fluxo magnético varia com o tempo, surge um campo eléctrico $\vec{E}$, tangente à espira, tal que:

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$$

O campo eléctrico induzido depende da variação temporal do fluxo e não da presença de cargas. Esta propriedade é fundamental para a compreensão das ondas electromagnéticas, onde campos eléctricos e magnéticos se induzem mutuamente.

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31.5 – Geradores e Motores

Aqui são descritos os princípios de funcionamento dos geradores e motores eléctricos, ambos baseados na Lei de Faraday.

• Geradores de corrente alternada (AC): um laço de fio é feito rodar num campo magnético, o que provoca uma variação periódica do fluxo e, consequentemente, uma fem sinusoidal:

  $$\mathcal{E} = NBAv \sin(\omega t)$$

• Geradores de corrente contínua (DC): usam um comutador que inverte as ligações a cada meia rotação, de forma a manter a polaridade constante, embora a tensão varie em valor.

Os motores eléctricos funcionam de forma inversa: recebem energia eléctrica e convertem-na em trabalho mecânico. À medida que o motor acelera, gera uma força contra-electromotriz que reduz a corrente de entrada.

Exemplo aplicado: quando um motor é bloqueado (por exemplo, numa serra), a corrente aumenta significativamente, o que pode danificar o equipamento devido ao aquecimento excessivo.

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31.6 – Correntes de Foucault 

As correntes de Foucault são correntes circulares induzidas em massas metálicas (não em fios) em movimento através de campos magnéticos. Estas correntes criam campos magnéticos opostos à variação que as gerou, de acordo com a Lei de Lenz.

Exemplo clássico: uma placa metálica a oscilar entre os polos de um íman. As correntes de Foucault geram forças magnéticas que travam o movimento, levando eventualmente à paragem. Se a placa tiver cortes ou ranhuras, estas correntes são suprimidas, reduzindo o efeito de travagem.

Aplicações:

• Travões electromagnéticos em comboios e metros.

• Dispositivos de segurança (ex. serras) que usam estas correntes para parar rapidamente peças móveis.

• Para reduzir perdas energéticas (aquecimento), as peças condutoras em transformadores e motores são laminadas, ou seja, feitas em camadas finas separadas por materiais isolantes.

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Resumo

• A Lei de Faraday estabelece que a fem induzida é proporcional à variação temporal do fluxo magnético:

  $$\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$$

• A Lei de Lenz indica que a corrente induzida opõe-se à causa que a gera, garantindo a conservação da energia.

• Um campo magnético variável no tempo pode induzir um campo eléctrico não conservativo.

• A fem de movimento é induzida quando um condutor se move num campo magnético:

  $$\mathcal{E} = B\ell v$$

• Geradores e motores baseiam-se na variação do fluxo magnético e no aproveitamento da energia eléctrica e mecânica.

• As correntes de Foucault são efeitos secundários importantes, podendo ser úteis (travagem) ou indesejáveis (perdas energéticas).

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Resumo extraído do Capítulo 30, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 30 – Fontes de Campo Magnético

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30.1 – A Lei de Biot–Savart

Esta secção introduz a lei de Biot–Savart, que permite calcular o campo magnético produzido por um elemento de corrente. Baseia-se em observações experimentais feitas por Biot e Savart em 1820:

• O campo magnético elementar $d\vec{B}$ gerado por um segmento de fio $d\vec{s}$ com corrente $I$ é:

  • Perpendicular tanto a $d\vec{s}$ como ao vector unitário $\hat{r}$, que aponta do elemento para o ponto de observação.

  • Proporcional a $I$, ao comprimento do elemento $ds$ e ao seno do ângulo entre $d\vec{s}$ e $\hat{r}$.

  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância $r^2$.

A expressão matemática é:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\, d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

com $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T·m/A}$ (permeabilidade do vácuo).

Para obter o campo total $\vec{B}$, integra-se sobre toda a distribuição de corrente:

$$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

Exemplos importantes:

• Fio rectilíneo infinito: resulta num campo $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$, com $a$ a distância ao fio.

• Segmento de fio curvo (arco): campo no centro $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi a}$.

• Espira circular: no eixo da espira o campo é $B_x = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$.

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30.2 – Força Magnética entre Dois Condutores Paralelos

Esta secção mostra que dois condutores paralelos com corrente exercem força um sobre o outro devido aos campos magnéticos que cada um gera:

• O campo criado por um fio rectilíneo é:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$$

• A força magnética por unidade de comprimento sobre o segundo fio (separado por uma distância $a$) é:

$$\frac{F_B}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi a}$$

Conclusões importantes:

• Correntes no mesmo sentido → força atractiva.

• Correntes em sentidos opostos → força repulsiva.

Esta interacção é a base da definição do ampere: duas correntes de 1 A em fios paralelos separados por 1 metro exercem uma força de $2 \times 10^{-7} \, \text{N/m}$.

Exemplo 30.4: determina o valor de corrente necessário nos fios do solo para levitar um terceiro fio (com corrente oposta) através do equilíbrio entre força magnética e peso.

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30.3 – Lei de Ampère

A Lei de Ampère fornece uma forma alternativa à de Biot–Savart para calcular o campo magnético em casos com elevada simetria:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$

Esta equação afirma que a integral de linha do campo magnético $\vec{B}$ ao longo de um caminho fechado é proporcional à corrente total $I_{\text{enc}}$ que atravessa a superfície delimitada por esse caminho.

Aplicações típicas:

• Fio rectilíneo longo: permite derivar novamente $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

• Fios com corrente uniforme: campo interno varia com $r$ (proporcional), campo externo varia como $1/r$.

• Toroides: $B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$ dentro do toróide, e zero fora.

• Solenoide ideal: campo uniforme no interior, dado por:

$$B = \mu_0 n I$$

onde $n = N/\ell$ é o número de espiras por unidade de comprimento.

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30.4 – O Campo Magnético de um Solenóide

Um solenóide é um fio enrolado em forma de hélice, normalmente com muitas espiras, por onde circula uma corrente. Esta configuração produz um campo magnético quase uniforme no seu interior.

Características do campo magnético:

• As linhas de campo são paralelas e densamente espaçadas no interior → campo forte e quase uniforme.

• No exterior, o campo é fraco e disperso, semelhante ao de um íman de barra.

Campo magnético de um solenóide ideal:

• Num solenóide longo, com espiras apertadas, o campo interior é:

$$B = \mu_0 n I$$

onde:

• $\mu_0$ é a permeabilidade do vazio,

• $n$ é o número de espiras por unidade de comprimento ($n = N/\ell$),

• $I$ é a corrente no solenóide.

Observações:

• Esta fórmula é válida no centro do solenóide (longe das extremidades).

• À medida que o solenóide se torna mais comprido, o campo no interior torna-se mais uniforme e o campo exterior tende para zero.

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30.5 – A Lei de Gauss para o Eletromagnetismo

Esta secção introduz a lei de Gauss para o Eletromagnetismo, análoga à lei de Gauss para o campo eléctrico, mas com uma diferença fundamental:

$$\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$

Isto significa que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é sempre zero.

Implicações:

• As linhas de campo magnético não têm princípio nem fim, formando laços fechados.

• Isto reflete o facto de não existirem monopólos magnéticos (ou seja, nunca foram observadas cargas magnéticas isoladas).

• As linhas de campo que entram numa superfície fechada são sempre equilibradas pelas que saem.

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30.6 – Magnetismo na Matéria

Nesta secção explora-se a origem do magnetismo nos materiais, com base nos momentos magnéticos atómicos, que resultam:

1. Do movimento orbital dos electrões.

2. Do spin intrínseco dos electrões (propriedade quântica).

Momento Magnético Orbital

• Um electrão em órbita comporta-se como uma espira de corrente.

• O momento magnético associado é proporcional ao momento angular orbital:

$$\vec{m} = \frac{e}{2m_e} \vec{L}$$

mas com sentido oposto ao de $\vec{L}$ devido à carga negativa do electrão.

Momento Magnético de Spin

• Mesmo sem se mover em órbita, o electrão possui um momento magnético devido ao seu spin.

• Este é dado por:

$$\mu_{\text{spin}} = \frac{e \hbar}{2m_e} = \mu_B$$

onde $\mu_B$ é o magnetão de Bohr.

Comportamento dos materiais magnéticos

Os materiais classificam-se segundo a resposta ao campo magnético:

1. Ferromagnéticos:

   • Materiais como o ferro e o níquel têm domínios magnéticos onde os momentos estão alinhados.

   • Em ausência de campo externo, os domínios estão desordenados → o material não está magnetizado.

   • Com campo externo, os domínios alinham-se → o material fica magnetizado permanentemente.

   • Acima da temperatura de Curie, perdem o ferromagnetismo e tornam-se paramagnéticos.

2. Paramagnéticos:

   • Átomos com momentos magnéticos permanentes, mas sem interação forte entre si.

   • Em campo externo, os momentos tendem a alinhar-se, mas o movimento térmico dificulta este alinhamento → magnetização fraca e temporária.

3. Diamagnéticos:

   • Ocorre em todos os materiais, mas é geralmente fraco.

   • Um campo externo induz correntes atómicas que criam um campo oposto ao campo aplicado → efeito repulsivo.

   • Em materiais supercondutores, ocorre o efeito de Meissner, onde o campo magnético é completamente expulso do interior do material.

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Resumo

O capítulo aborda as fontes dos campos magnéticos, com foco nos seguintes pontos principais:

• A lei de Biot–Savart permite calcular o campo magnético gerado por elementos de corrente.

• Dois condutores paralelos com corrente exercem forças magnéticas entre si, fundamento para a definição do ampere.

• A lei de Ampère fornece uma forma simplificada de calcular o campo magnético em geometrias simétricas.

• Em configurações especiais como solenóides e toroides, os campos magnéticos podem ser intensos e previsíveis.

• A lei de Gauss para o magnetismo mostra que não existem monopólos magnéticos: o fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é zero.

• O magnetismo na matéria tem origem em momentos magnéticos atómicos (orbitais e de spin), levando a diferentes tipos de comportamento: ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo.

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