Resumo extraído do Capítulo 32, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 32 – Indutância

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32.1 Auto-indução e Indutância

Quando fechamos um circuito com uma fonte de força electromotriz (f.e.m.), um interruptor e uma resistência, a corrente não atinge imediatamente o valor final dado por ε/R. À medida que a corrente aumenta, o campo magnético gerado pela corrente cria um fluxo magnético através da área do circuito. Segundo a Lei de Faraday, esta variação de fluxo induz uma f.e.m. no próprio circuito.

A f.e.m. induzida tem sinal oposto à f.e.m. da bateria — por isso chama-se força contra-electromotriz — e resiste ao aumento da corrente, fazendo com que esta cresça de forma gradual. Este fenómeno chama-se auto-indução, porque a variação de fluxo que causa a f.e.m. surge do próprio circuito.

A f.e.m. auto-induzida (eL) é proporcional à taxa de variação temporal da corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

onde L é a indutância, uma constante que depende da geometria do circuito (número de espiras, área, comprimento, etc.). Para um enrolamento de N espiras, com fluxo magnético Φ_B através de cada uma:

$$L = \frac{N \Phi_B}{i}$$

A indutância mede a oposição a variações de corrente, de forma semelhante ao modo como a resistência mede a oposição ao fluxo de corrente. A unidade SI de indutância é o henry (H), definido como 1 V·s/A.

O exemplo clássico é o solenoide de N espiras, comprimento ℓ (muito maior que o raio) e área A:

$$L = \mu_0 \frac{N^2 A}{\ell}$$

Este exemplo mostra que L depende fortemente do número de espiras ao quadrado e da geometria do enrolamento. A analogia com a capacitância (dependência da geometria das placas) e com a resistência (dependência do comprimento e área do condutor) é salientada.

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32.2 Circuitos RL

Um circuito RL contém uma resistência e uma bobine (indutor) ligadas em série a uma fonte de f.e.m. A presença de uma bobine impede mudanças instantâneas na corrente. Quando se fecha o interruptor, a corrente começa em zero e cresce de forma exponencial, pois a força contra-electromotriz da bobine opõe-se ao aumento.

Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\varepsilon - iR - L \frac{di}{dt} = 0$$

Resolvendo a equação diferencial obtém-se:

$$i(t) = \frac{\varepsilon}{R} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

com a constante de tempo:

$$\tau = \frac{L}{R}$$

Esta constante representa o tempo necessário para a corrente atingir 63,2% do valor final (ε/R). Quanto maior a indutância L ou menor a resistência R, mais lenta será a resposta do circuito.

Quando a fonte é desligada (substituída por um curto-circuito), o circuito passa a ter apenas a resistência e a bobine. A corrente decresce exponencialmente:

$$i(t) = I_i e^{-t/\tau}$$

A bobine impede que a corrente caia instantaneamente a zero. A força contra-electromotriz gerada tenta manter a corrente, libertando a energia armazenada no campo magnético.

Em resumo, a bobine «suaviza» as variações de corrente, criando uma resposta "preguiçosa" ou atrasada às mudanças de tensão.

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32.3 Energia num Campo Magnético

Quando uma bobine conduz corrente, armazena energia no seu campo magnético. Parte da energia fornecida pela fonte é dissipada em calor na resistência, mas parte é armazenada como energia magnética na bobine.

A taxa de fornecimento de energia pela fonte é:

$$\varepsilon i = iR + L i \frac{di}{dt}$$

O termo $iR$ é a potência dissipada como calor. Já $L i \frac{di}{dt}$ corresponde à taxa de armazenamento de energia na bobine. Integrando, obtém-se a energia total armazenada:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

Esta forma é análoga à energia armazenada num condensador:

$$U_E = \frac{1}{2} C V^2$$

Para um solenoide (ou outra distribuição de campo magnético conhecido), podemos calcular a densidade de energia magnética (energia por unidade de volume):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

Este resultado mostra que a energia armazenada no campo magnético depende do quadrado da intensidade do campo, de forma semelhante à densidade de energia num campo eléctrico.

Um exemplo trabalhado no texto demonstra que quando a bobine descarrega (por exemplo, num circuito RL isolado), toda a energia inicialmente armazenada no campo magnético se converte em energia interna (calor) na resistência.

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32.4 Indutância Mútua

Nesta secção, introduz-se o conceito de indutância mútua. Quando há dois circuitos próximos, a corrente variável num deles pode induzir uma f.e.m. no outro, porque o campo magnético de um atravessa a área do outro.

Imagina duas bobinas próximas (bobina 1 e bobina 2):

• A corrente i₁ em 1 cria um campo magnético. Parte desse campo atravessa a área de 2, gerando fluxo magnético Φ₁₂ em 2.

• Se i₁ varia no tempo, Φ₁₂ varia, induzindo uma f.e.m. em 2.

Define-se indutância mútua M₁₂ como:

$$M_{12} = \frac{N_2 \Phi_{12}}{i_1}$$

onde N₂ é o número de espiras da bobina 2.

A f.e.m. induzida em 2 devido a i₁ é:

$$\varepsilon_2 = -M_{12} \frac{di_1}{dt}$$

Analogamente, se i₂ em 2 variar, induz uma f.e.m. em 1:

$$\varepsilon_1 = -M_{21} \frac{di_2}{dt}$$

Pode-se demonstrar que M₁₂ = M₂₁ = M, porque depende apenas da geometria mútua dos circuitos e das suas orientações.

A unidade de indutância mútua é o henry (H), como na auto-indução.

Exemplo prático: carregadores sem fios. Uma bobina na base (primária) cria um campo magnético variável, induzindo corrente na bobina do aparelho (secundária).

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32.5 Oscilações num Circuito LC

Nesta secção estuda-se o circuito LC ideal: um condensador ligado a uma bobine, sem resistência e sem radiação electromagnética.

• Supondo o condensador inicialmente carregado (carga Q_max), quando o circuito se fecha, a energia armazenada no campo eléctrico do condensador começa a transferir-se para a bobine.

• À medida que o condensador se descarrega, a corrente aumenta, armazenando energia no campo magnético da bobine.

• Quando o condensador está totalmente descarregado, a energia está toda na bobine.

• A corrente continua, recarregando o condensador com polaridade oposta.

Este processo repete-se, criando oscilações electromagnéticas entre energia eléctrica (condensador) e magnética (bobine).

Matematicamente:

• A equação diferencial do circuito é:

$$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$$

• Solução:

$$q(t) = Q_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)$$

onde

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

é a frequência angular natural das oscilações.

• A corrente é:

$$i(t) = \frac{dq}{dt} = -\omega Q_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)$$

Observa-se que carga e corrente estão desfasadas de 90°: quando a carga é máxima, a corrente é zero e vice-versa.

A energia total do circuito (conservada no ideal):

$$U = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L i^2$$

oscila entre o campo eléctrico do condensador e o campo magnético da bobine, mas permanece constante no tempo se não houver perdas.

Analogia mecânica: é como um sistema massa–mola sem atrito, em oscilação harmónica simples.

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32.6 O Circuito RLC

Aqui estuda-se o circuito RLC em série (resistência R, bobine L e condensador C).

Ao contrário do LC ideal:

• A resistência provoca dissipação de energia.

• A energia armazenada no campo eléctrico do condensador e no campo magnético da bobine diminui com o tempo, transformando-se em energia interna (calor) na resistência.

A equação diferencial que descreve o circuito é:

$$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$$

Esta é matematicamente equivalente à equação de movimento de um oscilador harmónico amortecido:

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

onde:

• q ↔ posição x

• i ↔ velocidade dx/dt

• L ↔ massa m

• R ↔ coeficiente de atrito b

• 1/C ↔ constante elástica k

Solução para amortecimento fraco (R pequeno):

$$q(t) = Q_{\text{max}} e^{-Rt/2L} \cos(v_d t)$$

com

$$v_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}$$

 As oscilações são amortecidas: a amplitude decai exponencialmente com o tempo.

 Para valores altos de R, as oscilações podem desaparecer totalmente (sobreamortecimento ou amortecimento crítico).

O comportamento geral do circuito RLC inclui:

• Oscilações amortecidas (R pequeno).

• Resposta crítica ou sobreamortecida (R grande).

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32.7 Resumo

• A auto-indução L mede a oposição de um circuito a variações de corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

• A energia armazenada num campo magnético é:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

• A densidade de energia magnética (no campo B):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

• Indutância mútua M relaciona as f.e.m. induzidas entre dois circuitos:

$$\varepsilon_2 = -M \frac{di_1}{dt}, \quad \varepsilon_1 = -M \frac{di_2}{dt}$$

• Circuito RL: apresenta resposta retardada à variação de corrente, com constante de tempo τ = L/R.

• Circuito LC: oscilações sinusoidais ideais, sem perdas:

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

• Circuito RLC: oscilações amortecidas, com energia dissipada na resistência.

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Resumo extraído do Capítulo 31, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 31 – Lei de Faraday

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31.1 – Lei da Indução de Faraday

Esta secção introduz a descoberta de Faraday de que um campo magnético variável no tempo pode induzir uma corrente eléctrica num circuito. Experiências simples com uma espira de fio e um íman mostram que mover o íman em relação à espira gera uma corrente detectável. A corrente só aparece quando há variação do fluxo magnético (e não com campos magnéticos constantes), sendo chamada de corrente induzida, e surge devido a uma força electromotriz (fem) induzida.

A lei de Faraday quantifica este fenómeno:

• Para uma espira:
  $\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$

• Para uma bobina com $N$ espiras:
  $\mathcal{E} = -N\dfrac{d\Phi_B}{dt}$

O fluxo magnético $\Phi_B$ é dado por:

$$\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA\cos\theta$$

e pode variar:

• pela mudança do campo magnético $B$,

• pela mudança da área da espira,

• pela mudança da orientação entre o campo e a espira.

Apresentam-se aplicações práticas como o interruptor de circuito por falha à terra (GFCI) e as bobinas de captação de guitarras eléctricas, que funcionam com base na indução de fem por variação de fluxo magnético.

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31.2 – Fem de Movimento 

Esta secção analisa a indução de fem em condutores em movimento dentro de campos magnéticos constantes. Um condutor rectilíneo que se move perpendicularmente a um campo magnético sofre uma separação de cargas devido à força magnética sobre os electrões, criando um campo eléctrico interno e uma diferença de potencial:

$$\Delta V = B\ell v$$

Quando este condutor faz parte de um circuito fechado (por exemplo, uma barra a deslizar sobre calhas condutoras), há corrente induzida e podem aplicar-se as leis de Faraday e da conservação de energia:

• A fem induzida é:

  $$\mathcal{E} = -B\ell v$$

• A corrente induzida:

  $$I = \dfrac{B\ell v}{R}$$

A força necessária para manter a barra a mover-se com velocidade constante deve compensar a força magnética (contrária ao movimento), garantindo conservação da energia:

$$P = F_{\text{aplicada}} v = \dfrac{\mathcal{E}^2}{R}$$

Exemplos analisados incluem a barra deslizante e uma barra rotativa num campo magnético, mostrando como a velocidade angular ou linear influencia a fem gerada.

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31.3 – Lei de Lenz

A Lei de Lenz dá ao sinal negativo da Lei de Faraday um significado físico: a corrente induzida flui de forma a opor-se à variação do fluxo magnético que a causou. Isto está intimamente ligado ao princípio da conservação da energia.

• Se o fluxo aumenta, a corrente induzida cria um campo que se opõe ao aumento.

• Se o fluxo diminui, a corrente induzida cria um campo que tenta manter o fluxo original.

Exemplos incluem:

• A barra a mover-se numa calha com campo constante: se o fluxo aumenta, a corrente opõe-se, gerando uma força contrária ao movimento.

• Um íman a aproximar-se de uma espira: o sentido da corrente depende de se o fluxo está a aumentar ou diminuir.

Apresenta-se também o paradoxo energético: se a corrente não se opusesse à variação de fluxo, poder-se-ia criar energia a partir do nada, violando a conservação da energia. Assim, a lei de Lenz garante que a energia seja conservada.

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31.4 – Fem Induzida e Campos Eléctricos

Nesta secção, explora-se como um campo magnético variável no tempo induz um campo eléctrico, mesmo na ausência de um fio condutor. A corrente induzida numa espira metálica é causada por um campo eléctrico induzido que age sobre as cargas no fio. Este campo não é conservativo (ao contrário do campo electrostático), pois o trabalho realizado ao mover uma carga à volta de um percurso fechado não é zero.

A indução do campo eléctrico é consequência directa da Lei de Faraday. Considerando uma espira circular de raio $r$, quando o fluxo magnético varia com o tempo, surge um campo eléctrico $\vec{E}$, tangente à espira, tal que:

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$$

O campo eléctrico induzido depende da variação temporal do fluxo e não da presença de cargas. Esta propriedade é fundamental para a compreensão das ondas electromagnéticas, onde campos eléctricos e magnéticos se induzem mutuamente.

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31.5 – Geradores e Motores

Aqui são descritos os princípios de funcionamento dos geradores e motores eléctricos, ambos baseados na Lei de Faraday.

• Geradores de corrente alternada (AC): um laço de fio é feito rodar num campo magnético, o que provoca uma variação periódica do fluxo e, consequentemente, uma fem sinusoidal:

  $$\mathcal{E} = NBAv \sin(\omega t)$$

• Geradores de corrente contínua (DC): usam um comutador que inverte as ligações a cada meia rotação, de forma a manter a polaridade constante, embora a tensão varie em valor.

Os motores eléctricos funcionam de forma inversa: recebem energia eléctrica e convertem-na em trabalho mecânico. À medida que o motor acelera, gera uma força contra-electromotriz que reduz a corrente de entrada.

Exemplo aplicado: quando um motor é bloqueado (por exemplo, numa serra), a corrente aumenta significativamente, o que pode danificar o equipamento devido ao aquecimento excessivo.

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31.6 – Correntes de Foucault 

As correntes de Foucault são correntes circulares induzidas em massas metálicas (não em fios) em movimento através de campos magnéticos. Estas correntes criam campos magnéticos opostos à variação que as gerou, de acordo com a Lei de Lenz.

Exemplo clássico: uma placa metálica a oscilar entre os polos de um íman. As correntes de Foucault geram forças magnéticas que travam o movimento, levando eventualmente à paragem. Se a placa tiver cortes ou ranhuras, estas correntes são suprimidas, reduzindo o efeito de travagem.

Aplicações:

• Travões electromagnéticos em comboios e metros.

• Dispositivos de segurança (ex. serras) que usam estas correntes para parar rapidamente peças móveis.

• Para reduzir perdas energéticas (aquecimento), as peças condutoras em transformadores e motores são laminadas, ou seja, feitas em camadas finas separadas por materiais isolantes.

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Resumo

• A Lei de Faraday estabelece que a fem induzida é proporcional à variação temporal do fluxo magnético:

  $$\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$$

• A Lei de Lenz indica que a corrente induzida opõe-se à causa que a gera, garantindo a conservação da energia.

• Um campo magnético variável no tempo pode induzir um campo eléctrico não conservativo.

• A fem de movimento é induzida quando um condutor se move num campo magnético:

  $$\mathcal{E} = B\ell v$$

• Geradores e motores baseiam-se na variação do fluxo magnético e no aproveitamento da energia eléctrica e mecânica.

• As correntes de Foucault são efeitos secundários importantes, podendo ser úteis (travagem) ou indesejáveis (perdas energéticas).

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Resumo extraído do Capítulo 30, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 30 – Fontes de Campo Magnético

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30.1 – A Lei de Biot–Savart

Esta secção introduz a lei de Biot–Savart, que permite calcular o campo magnético produzido por um elemento de corrente. Baseia-se em observações experimentais feitas por Biot e Savart em 1820:

• O campo magnético elementar $d\vec{B}$ gerado por um segmento de fio $d\vec{s}$ com corrente $I$ é:

  • Perpendicular tanto a $d\vec{s}$ como ao vector unitário $\hat{r}$, que aponta do elemento para o ponto de observação.

  • Proporcional a $I$, ao comprimento do elemento $ds$ e ao seno do ângulo entre $d\vec{s}$ e $\hat{r}$.

  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância $r^2$.

A expressão matemática é:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\, d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

com $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T·m/A}$ (permeabilidade do vácuo).

Para obter o campo total $\vec{B}$, integra-se sobre toda a distribuição de corrente:

$$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

Exemplos importantes:

• Fio rectilíneo infinito: resulta num campo $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$, com $a$ a distância ao fio.

• Segmento de fio curvo (arco): campo no centro $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi a}$.

• Espira circular: no eixo da espira o campo é $B_x = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$.

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30.2 – Força Magnética entre Dois Condutores Paralelos

Esta secção mostra que dois condutores paralelos com corrente exercem força um sobre o outro devido aos campos magnéticos que cada um gera:

• O campo criado por um fio rectilíneo é:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$$

• A força magnética por unidade de comprimento sobre o segundo fio (separado por uma distância $a$) é:

$$\frac{F_B}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi a}$$

Conclusões importantes:

• Correntes no mesmo sentido → força atractiva.

• Correntes em sentidos opostos → força repulsiva.

Esta interacção é a base da definição do ampere: duas correntes de 1 A em fios paralelos separados por 1 metro exercem uma força de $2 \times 10^{-7} \, \text{N/m}$.

Exemplo 30.4: determina o valor de corrente necessário nos fios do solo para levitar um terceiro fio (com corrente oposta) através do equilíbrio entre força magnética e peso.

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30.3 – Lei de Ampère

A Lei de Ampère fornece uma forma alternativa à de Biot–Savart para calcular o campo magnético em casos com elevada simetria:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$

Esta equação afirma que a integral de linha do campo magnético $\vec{B}$ ao longo de um caminho fechado é proporcional à corrente total $I_{\text{enc}}$ que atravessa a superfície delimitada por esse caminho.

Aplicações típicas:

• Fio rectilíneo longo: permite derivar novamente $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

• Fios com corrente uniforme: campo interno varia com $r$ (proporcional), campo externo varia como $1/r$.

• Toroides: $B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$ dentro do toróide, e zero fora.

• Solenoide ideal: campo uniforme no interior, dado por:

$$B = \mu_0 n I$$

onde $n = N/\ell$ é o número de espiras por unidade de comprimento.

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30.4 – O Campo Magnético de um Solenóide

Um solenóide é um fio enrolado em forma de hélice, normalmente com muitas espiras, por onde circula uma corrente. Esta configuração produz um campo magnético quase uniforme no seu interior.

Características do campo magnético:

• As linhas de campo são paralelas e densamente espaçadas no interior → campo forte e quase uniforme.

• No exterior, o campo é fraco e disperso, semelhante ao de um íman de barra.

Campo magnético de um solenóide ideal:

• Num solenóide longo, com espiras apertadas, o campo interior é:

$$B = \mu_0 n I$$

onde:

• $\mu_0$ é a permeabilidade do vazio,

• $n$ é o número de espiras por unidade de comprimento ($n = N/\ell$),

• $I$ é a corrente no solenóide.

Observações:

• Esta fórmula é válida no centro do solenóide (longe das extremidades).

• À medida que o solenóide se torna mais comprido, o campo no interior torna-se mais uniforme e o campo exterior tende para zero.

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30.5 – A Lei de Gauss para o Eletromagnetismo

Esta secção introduz a lei de Gauss para o Eletromagnetismo, análoga à lei de Gauss para o campo eléctrico, mas com uma diferença fundamental:

$$\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$

Isto significa que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é sempre zero.

Implicações:

• As linhas de campo magnético não têm princípio nem fim, formando laços fechados.

• Isto reflete o facto de não existirem monopólos magnéticos (ou seja, nunca foram observadas cargas magnéticas isoladas).

• As linhas de campo que entram numa superfície fechada são sempre equilibradas pelas que saem.

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30.6 – Magnetismo na Matéria

Nesta secção explora-se a origem do magnetismo nos materiais, com base nos momentos magnéticos atómicos, que resultam:

1. Do movimento orbital dos electrões.

2. Do spin intrínseco dos electrões (propriedade quântica).

Momento Magnético Orbital

• Um electrão em órbita comporta-se como uma espira de corrente.

• O momento magnético associado é proporcional ao momento angular orbital:

$$\vec{m} = \frac{e}{2m_e} \vec{L}$$

mas com sentido oposto ao de $\vec{L}$ devido à carga negativa do electrão.

Momento Magnético de Spin

• Mesmo sem se mover em órbita, o electrão possui um momento magnético devido ao seu spin.

• Este é dado por:

$$\mu_{\text{spin}} = \frac{e \hbar}{2m_e} = \mu_B$$

onde $\mu_B$ é o magnetão de Bohr.

Comportamento dos materiais magnéticos

Os materiais classificam-se segundo a resposta ao campo magnético:

1. Ferromagnéticos:

   • Materiais como o ferro e o níquel têm domínios magnéticos onde os momentos estão alinhados.

   • Em ausência de campo externo, os domínios estão desordenados → o material não está magnetizado.

   • Com campo externo, os domínios alinham-se → o material fica magnetizado permanentemente.

   • Acima da temperatura de Curie, perdem o ferromagnetismo e tornam-se paramagnéticos.

2. Paramagnéticos:

   • Átomos com momentos magnéticos permanentes, mas sem interação forte entre si.

   • Em campo externo, os momentos tendem a alinhar-se, mas o movimento térmico dificulta este alinhamento → magnetização fraca e temporária.

3. Diamagnéticos:

   • Ocorre em todos os materiais, mas é geralmente fraco.

   • Um campo externo induz correntes atómicas que criam um campo oposto ao campo aplicado → efeito repulsivo.

   • Em materiais supercondutores, ocorre o efeito de Meissner, onde o campo magnético é completamente expulso do interior do material.

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Resumo

O capítulo aborda as fontes dos campos magnéticos, com foco nos seguintes pontos principais:

• A lei de Biot–Savart permite calcular o campo magnético gerado por elementos de corrente.

• Dois condutores paralelos com corrente exercem forças magnéticas entre si, fundamento para a definição do ampere.

• A lei de Ampère fornece uma forma simplificada de calcular o campo magnético em geometrias simétricas.

• Em configurações especiais como solenóides e toroides, os campos magnéticos podem ser intensos e previsíveis.

• A lei de Gauss para o magnetismo mostra que não existem monopólos magnéticos: o fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é zero.

• O magnetismo na matéria tem origem em momentos magnéticos atómicos (orbitais e de spin), levando a diferentes tipos de comportamento: ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo.

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Resumo extraído do Capítulo 29, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 29 – Campo Magnético

29.1 Modelo de Partícula num Campo Magnético

Nesta secção é introduzido o conceito de campo magnético B, análogo ao campo eléctrico, mas caracterizado pelas forças que exerce sobre cargas em movimento. O campo é definido através da força magnética que actua num carga-teste q com velocidade v, dada pela relação vectorial

$$\mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}\times \mathbf{B},$$

onde o produto vetorial implica que Fₗ é perpendicular tanto a v como a B, e  o seu módulo satisfaz

$$F_B = |q|\,v\,B\,\sin\theta,$$

sendo θ o ângulo entre v e B .

São apresentadas duas regras da mão direita para determinar a direcção de Fₗ:

1. Estenda os dedos na direcção de v, curve-os para B; o polegar indica v×B.

2. Coloque o polegar em v, os dedos em B; a força sai perpendicular à palma da mão .

Com base nas experiências clássicas (Oersted, Faraday, Gilbert), destaca-se que:

• F_B é proporcional à carga q, velocidade v e intensidade do campo B.

• F_B é nula se v for paralelo a B (θ=0° ou 180°) e máxima se θ=90°.

• Ao contrário da força eléctrica, F_B não pode realizar trabalho sobre a carga (é sempre perpendicular ao deslocamento), pelo que não altera a energia cinética, apenas a direcção do movimento .

Por fim, introduz-se a unidade SI do campo magnético—o tesla (1 T = 1 N/(A⋅m))—e menciona-se a unidade não SI gauss (1 T = 10⁴ G).

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29.2 Movimento de uma Partícula Carregada num Campo Magnético Uniforme

Quando uma carga positiva entra num campo magnético uniforme com v perpendicular a B, a força resultante é centrípeta, levando a movimento circular uniforme num plano ortogonal a B. Aplicando

$$qvB = \frac{mv^2}{r},$$

obtém-se o raio do trajecto

$$r = \frac{m\,v}{q\,B}, \tag{29.3}$$

e a frequência angular (ou “frequência de ciclotrão”)

$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{q\,B}{m}, \tag{29.4}$$

bem como o período

$$T = \frac{2\pi m}{q\,B}, \tag{29.5}$$

independentes da velocidade inicial .

Se v fizer um ângulo arbitrário com B, decompõe-se o movimento em duas componentes:

• Paralela a B → deslocamento rectilíneo uniforme.

• Perpendicular a B → movimento circular uniforme.

O resultado global é um movimento helicoidal, cujo raio é dado por Eq. (29.3) usando a componente perpendicular de v .

Exemplos práticos incluem a órbita de protões em aceleradores e a curvatura de feixes de electrões em tubos de raios catódicos, ilustrados em vários exemplos numéricos nesta secção.

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29.3 Aplicações com Partículas em Movimento num Campo Magnético

1. Força de Lorentz
   Uma carga num campo eléctrico E e magnético B experimenta a combinação das duas forças:

   $$\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}, \tag{29.6}$$

   permitindo classificar comportamentos e dispositivos baseados na selecção e análise de partículas .

2. Garrafa Magnética (Magnetic Bottle)
   Num campo não uniforme, mais forte nas extremidades e mais fraco no centro, as partículas são retidas numa região de oscilação entre os pontos de maior campo, formando um “bottle” que já foi proposto para confinamento de plasmas em fusão nuclear .

3. Cinturas de Van Allen e Auroras
   As cinturas de radiação da Terra compostas por protões e electrões aprisionados pelo campo magnético terrestre formam trajectórias helicoidais entre os polos. Colisões com a atmosfera produzem auroras boreais e austrais.

4. Selector de Velocidade
   Campos E e B perpendiculares permitem filtrar partículas com velocidade

   $$v = \frac{E}{B}, \tag{29.7}$$

   desviando as mais rápidas e as mais lentas para garantir feixes mono-velocidade em experiências.

5. Espectrómetro de Massas
   No espectrómetro de Bainbridge, o feixe selecionado entra num segundo campo magnético uniforme B₀, descrito pelo movimento circular. A razão massa/carga obtém-se por

   $$\frac{m}{q} = \frac{r\,B_0}{v},$$

   ou, usando o selector de velocidade,

   $$\frac{m}{q} = \frac{r\,B_0\,B}{E}. \tag{29.8}$$

   A técnica foi seminal na determinação de e/m do electrão por J. J. Thomson em 1897.

6. Ciclotrão
   Um ciclotrão acelera partículas num campo magnético uniforme explorando o facto de o período de órbita (Eq. 29.5) ser independente da velocidade, até aos primeiros efeitos relativísticos. A energia final em função do raio R é

   $$K = \tfrac12 m v^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2\,m}. \tag{29.9}$$

   Este dispositivo produz isótopos para aplicações médicas e investigações em física nuclear.

---

Nota: Os números entre parêntesis, como (29.3), correspondem às equações tal como numeradas no texto original.

29.4 Força Magnética em Condutores com Corrente
Nesta secção é alargado o conceito de força magnética para condutores percorridos por corrente. Para um segmento retilíneo de comprimento L e corrente I imerso num campo uniforme B, a força total é

$$\mathbf{F}_B = I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B},$$

onde o vector $\mathbf{L}$ tem magnitude igual ao comprimento do condutor e direção da corrente. Para um fio de forma arbitrária, a força diferencial num elemento $d\mathbf{s}$ é

$$d\mathbf{F}_B = I\,d\mathbf{s}\times\mathbf{B}.$$

Quando se integra sobre um fio fechado num campo uniforme, obtém-se $\mathbf{F}_\text{total}=0$: não há força líquida sobre um laço fechado .
Num exemplo de um condutor semicircular, a força sobre a parte retilínea é $F_1=IRB$ e sobre a parte curva é $F_2=2IRB$, mas como agem em direcções opostas a resultante é $F_\text{net}=0$ e as forças exercem um binário no laço.

---

29.5 Binário num Circuito de Corrente
Quando um laço de área A percorre uma corrente I num campo B, define-se o momento dipolar magnético

$$\mathbf{m} = I\,\mathbf{A},$$

onde $\mathbf{A}$ é o vector área perpendicular ao plano do laço (magnitude igual à área, direção dada pela regra da mão direita). O binário é máximo sobre o laço, quando $\mathbf{m}\perp\mathbf{B}$, é

$$\tau_\text{max} = IAB,$$

e, para qualquer orientação, o binário geral é

$$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}.$$

A energia potencial de um dipolo magnético no campo é

$$U_B = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B},$$

com mínimo $U_\text{min}=-mB$ quando $\mathbf{m}\parallel\mathbf{B}$ e máximo $U_\text{max}=+mB$ para a orientação oposta.

---

29.6 Efeito Hall
Ao colocar um condutor percorrido por corrente I num campo magnético perpendicular, desenvolve-se uma diferença de potencial transversal ($V_H$) – o Efeito Hall. Equilíbrio das forças elétrica e magnética dá

$$V_H = E_H\,d = v_d B\,d,$$

onde $v_d$ é a velocidade de deriva dos portadores e $d$ a largura do condutor . Em termos de densidade de carga $n$ e espessura $t$, obtém-se 

$$V_H = \frac{I\,B}{n\,q\,t},$$

sendo este instrumento útil para medir intensidade de campos magnéticos e determinar o sinal e densidade dos portadores de carga num material.

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Resumo do Capítulo 29

• Modelo Partícula em Campo Magnético: $\mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$; se $\mathbf{v}\perp\mathbf{B}$, trajectória circular de raio $r=mv/(qB)$ e frequência $\omega=qB/m$.

• Força em Fio Condutor: $\mathbf{F}_B = I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}$; laço fechado em campo uniforme sofre binário mas não força líquida.

• Binário e Momento Magnético: $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}$, com $\mathbf{m}=I\mathbf{A}$ e energia $U_B=-\mathbf{m}\cdot \mathbf{B<span\; style="font-family:\; verdana;"><br></span>}$

• Efeito Hall: gera tensão $V_H$ proporcional a $I B/(nq t)$, usada para medir campos e caracterizar materiais.

 

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Resumo extraído do Capítulo 28, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 28 – Corrente contínua

Secção 28.1 – Força Electromotriz (f.e.m.)
Nesta secção introduz-se o conceito de força electromotriz (f.e.m.) como a diferença de potencial máxima que uma fonte (por exemplo, uma bateria) pode fornecer entre os seus terminais, denotada por $\mathcal{E}$. Embora o termo “força” seja histórico — pois a f.e.m. não é uma força mas sim uma tensão — pode entender-se a fonte de f.e.m. como uma “bomba de cargas” que eleva as cargas do potencial mais baixo para o mais alto dentro da bateria.

Num circuito real, a bateria apresenta uma resistência interna $r$, de modo que a tensão nos terminais, $V_{\text{term}}$, difere da f.e.m. quando há corrente. A relação fundamental é

$$V_{\text{term}} = \mathcal{E} - I\,r,$$

onde $I$ é a corrente do circuito. Assim, quando o circuito está em circuito aberto ($I=0$), $V_{\text{term}} = \mathcal{E}$ (tensão em vazio), mas quando a corrente circula, parte da energia é dissipada internamente na bateria.

Combinando-se com a lei de Ohm para a resistência externa $R$, obtém-se

$$\mathcal{E} = I R + I r \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}.$$

Multiplicando por $I$ vemos ainda que a potência total fornecida pela fonte, $I\mathcal{E}$, divide-se entre $I^2 R$ no circuito externo e $I^2 r$ na resistência interna. Para maximizar a potência útil, deve minimizar-se $r$.

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Secção 28.2 – Resistências em Série e em Paralelo
Descreve-se primeiro a montagem em série, onde $R_1, R_2, \dots$ partilham a mesma corrente $I$. A tensão total divide-se pelas resistências, resultando numa resistência equivalente

$$R_{\mathrm{eq}} = R_1 + R_2 + \cdots,$$

sempre maior do que qualquer resistência individual. Uma falha em série causa circuito aberto e interrompe toda a corrente.

Em seguida analisa-se a montagem em paralelo, em que todos as resistências estão sujeitos à mesma tensão $V$ mas a corrente divide-se em cada ramo. A resistência equivalente satisfaz

$$\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots,$$

sendo $R_{\mathrm{eq}}$ sempre inferior à mais pequena das resistências. Neste esquema, uma falha num ramo não impede a corrente nos restantes.

São também discutidas aplicações práticas: em paralelo, cada aparelho doméstico opera independentemente sob a mesma tensão; em série, como nos pequenos enfeites de Natal, usa-se um jumper interno para manter o circuito mesmo quando um filamento queima, mas isso aumenta a corrente nos restantes.

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Secção 28.3 – Leis de Kirchhoff
Para circuitos mais complexos, que não se reduzem a simples séries ou paralelos, aplicam-se as duas leis de Kirchhoff:

1. Lei dos Nós: a soma algébrica das correntes num nó (ponto de ramificação) é zero, refletindo a conservação de carga:
   $\sum I_{\text{entradas}} - \sum I_{\text{saídas}} = 0.$

2. Lei das Malhas: ao percorrer uma malha fechada, a soma das diferenças de potencial é nula, expressando a conservação de energia:
   $\sum \Delta V = 0.$

Para aplicar, escolhe-se direções arbitrárias para as correntes e percorrem-se laços assumindo sinal positivo para subidas de potencial (por exemplo, atravessar a f.e.m. de – para +) e negativo para descidas (queda $IR$ no sentido da corrente). Resolve-se então o sistema de equações lineares obtido, onde soluções negativas indicam correntes no sentido oposto ao assumido.

Este método geral permite analisar circuitos de múltiplos ramos e fontes, sendo essencial em casos de malhas e nós em número maior do que os casos tratáveis apenas com combinações série/paralelo.

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Secção 28.4 – Circuitos RC

Num circuito RC em série, uma resistência R e um condensador C estão ligados a uma fonte de emf $\mathcal{E}$ através de um interruptor. Existem dois casos distintos:

1. Carregamento do condensador

   • No instante em que o interruptor é colocado na posição de carga ($t=0$), o condensador está descarregado ($q=0$) e a corrente inicial máxima é

     $$I_i=\frac{\mathcal{E}}{R}.$$

   • À medida que o condensador acumula carga, a diferença de potencial $q/C$ cresce, reduzindo a corrente segundo a equação diferencial

     $$\mathcal{E}-\frac{q}{C}-iR=0,\quad i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$$

     Integrando, obtém-se

     $$q(t)=Q_{\max}\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr),\quad Q_{\max}=C\mathcal{E},$$ $$i(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/RC}.$$

     A constante de tempo do circuito é

     $$\tau=RC,$$

     e caracteriza o decaimento exponencial: após $t=\tau$, a carga atinge 63,2 % de $Q_{\max}$ e a corrente cai para 36,8 % de $I_i$.

2. Descarregamento do condensador

   • Se, após carregado, o interruptor passa para a posição de descarga num circuito sem fonte de emf, a equação da malha torna-se

     $$\frac{q}{C}+iR=0,\quad i=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$$

     A solução é

     $$q(t)=Q_i\,e^{-t/RC},\quad i(t)=-\frac{Q_i}{RC}\,e^{-t/RC},$$

     onde $Q_i$ é a carga inicial do condensador e o sinal negativo em $i(t)$ indica que a corrente flui no sentido oposto ao do carregamento.

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Secção 28.5 – Instalações Elétricas Domésticas e Segurança

1. Ligação da rede

   • A empresa de energia fornece duas fases em paralelo: o fio “vivo” (aprox. 230 V) e o fio neutro (0 V). Um contador mede a energia no fio vivo antes de o circuito interior se subdividir em vários ramos, cada um protegido por fusíveis ou disjuntores dimensionados para a corrente máxima do ramo.

   • Num circuito típico, aparelhos como uma torradeira (1 000 W), micro-ondas (1 300 W) e cafeteira (800 W) são ligados em paralelo consomem correntes individuais.

2. Proteções e riscos

   • Curto-circuito: contacto acidental do fio vivo com terra ou neutro produz corrente muito elevada e dispara o disjuntor, evitando sobreaquecimento.

   • Fio de terra: em tomadas de três pinos, o terceiro fio liga a carcaça dos aparelhos à terra; em caso de fuga do fio vivo ao chassis, a corrente prefere esse caminho de baixa resistência, poupando o utilizador a choque elétrico.

   • GFCI (Ground-Fault Circuit Interrupter): usado em zonas húmidas (cozinhas, casas de banho), desliga o circuito em <1 ms ao detetar fugas de corrente, protegendo contra choques elétricos.

   • Efeitos no corpo humano: correntes ≤5 mA provocam apenas formigueiro; entre 10 mA e 100 mA podem causar contrações musculares e paragem respiratória; correntes de ≈1 A produzem queimaduras graves e podem ser fatais. Contacto com água ou superfícies metálicas aumenta o risco.

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Resumo do Capítulo 28

• Força electromotriz (f.e.m.) $\mathcal{E}$: tensão máxima que uma fonte fornece em vazio; tensão aos terminais em carga:

  $$V_{\rm term}=\mathcal{E}-I\,r.$$

• Resistências em série e paralelo:

  $$R_{\rm eq}^{(\text{série})}=\sum_i R_i, \quad \frac{1}{R_{\rm eq}^{(\text{par})}}=\sum_i\frac{1}{R_i}.$$

• Leis de Kirchhoff:

  1. Lei dos Nós: $\sum I_{\rm entr}=\sum I_{\rm sai}$.

  2. Lei das Malhas: $\sum\Delta V=0$ em cada malha, com sinais conforme o sentido da corrente e polaridade das fontes.

• Circuitos RC:

  • Carregamento:
    $\displaystyle q(t)=C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC}),\quad i(t)=\tfrac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/RC}.$

  • Descarregamento:
    $\displaystyle q(t)=Q_i\,e^{-t/RC},\quad i(t)=-\tfrac{Q_i}{RC}e^{-t/RC}.$