Resumo extraído do capítulo 3 do livro Modern Control Engineering de Katsuhiko Ogata, 5ª edição

Capítulo 3 – Modelos Matemáticos para Sistemas Mecânicos e para Sistemas Elétricos

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3–1 INTRODUÇÃO

Esta secção introduz o objectivo e o conteúdo geral do Capítulo 3, que trata da modelação matemática de sistemas mecânicos e eléctricos no contexto de engenharia de controlo.

No capítulo anterior (Capítulo 2), foram apresentados exemplos muito simples: um circuito eléctrico básico e um sistema mecânico elementar. Esses exemplos serviram para introduzir as ideias fundamentais de modelação. Agora, o propósito é generalizar e sistematizar o processo de modelação, aplicando-o a sistemas mais realistas e variados que se encontram com frequência em problemas de controlo.

O objectivo principal é mostrar como se podem obter modelos matemáticos de sistemas físicos que descrevam a sua dinâmica, ou seja, como a saída ou estado do sistema evolui em resposta a entradas ou forças actuantes. Esses modelos matemáticos podem depois ser usados para:

• Análise do comportamento dinâmico (por exemplo, estabilidade, resposta transitória).

• Projecto e síntese de controladores (compensadores, realimentação de estados).

• Simulação computacional.

Os dois domínios principais que serão estudados:

• Sistemas mecânicos, cuja dinâmica é governada pela segunda lei de Newton. Na Secção 3–2, será feita a aplicação directa dessa lei para derivar modelos de sistemas mecânicos mais complexos, incluindo a dedução de funções de transferência (que relacionam entrada e saída no domínio de Laplace) e modelos em espaço de estados (representação em termos de variáveis de estado e equações diferenciais de primeira ordem).

• Sistemas eléctricos, cujo comportamento segue as leis de Kirchhoff (lei das correntes e lei das tensões). A Secção 3–3 apresentará como aplicar estas leis a diferentes circuitos eléctricos, incluindo circuitos com resistências, bobines, condensadores e amplificadores operacionais (AmpOps), componentes muito usados em circuitos de controlo, filtros e compensadores.

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3–2 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS

A Secção 3–2 apresenta métodos sistemáticos para obter modelos matemáticos de sistemas mecânicos, fundamentais para o projecto e análise de sistemas de controlo. A abordagem baseia-se directamente na segunda lei de Newton, que relaciona forças com acelerações.

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Molas em paralelo e em série

• Apresenta como determinar a constante de mola equivalente (keq) para arranjos de molas:

  • Em paralelo: as constantes somam-se directamente (keq = k₁ + k₂).

  • Em série: a constante equivalente obtém-se pela fórmula do tipo resistência em paralelo (1/keq = 1/k₁ + 1/k₂).

• O Exemplo 3–1 mostra como deduzir estas fórmulas analisando as forças e deslocamentos nos sistemas representados em figuras.

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Amortecedores em paralelo e em série

• Um amortecedor é descrito como um amortecedor viscoso (óleo), gerando força proporcional à velocidade relativa.

• Para amortecedores:

  • Em paralelo: o coeficiente de atrito viscoso equivalente soma-se (beq = b₁ + b₂).

  • Em série: aplica-se a fórmula de resistências em paralelo (1/beq = 1/b₁ + 1/b₂).

• Exemplo 3–2 detalha estas deduções, mostrando como obter beq a partir de balanços de forças.

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Sistema massa–mola–amortecedor montado num carro sem massa

• Analisa um sistema com uma massa m, mola de constante k e amortecedor de coeficiente b, montado num carro considerado sem massa.

• Define-se a entrada como o deslocamento do carro (u(t)) e a saída como o deslocamento da massa (y(t)).

• Aplica-se a segunda lei de Newton para escrever a equação diferencial:

  $$m \frac{d^2 y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + ky = b \frac{du}{dt} + ku$$

• A transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) permite obter a função de transferência:

  $$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{bs + k}{ms^2 + bs + k}$$

• O texto explica que estas representações em função de transferência são amplamente usadas em engenharia de controlo.

• Em seguida, apresenta um modelo em espaço de estados para o mesmo sistema:

  • Define variáveis de estado.

  • Deduz as equações de estado e a equação de saída.

  • Mostra como expressar o sistema na forma matricial padrão.

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Sistema mecânico com duas massas ligadas

• Exemplo 3–4 analisa um sistema com duas massas (m₁ e m₂) ligadas por molas e amortecedores.

• Deriva as equações diferenciais que descrevem os movimentos relativos.

• Aplica a transformada de Laplace para obter funções de transferência que relacionam entradas e saídas (forças aplicadas e deslocamentos das massas).

• Mostra como resolver sistemas de equações no domínio de Laplace para obter essas funções.

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Pêndulo invertido montado num carro

• Exemplo 3–5 estuda um pêndulo invertido (modelo clássico em controlo), montado num carro com motor.

• O objectivo do sistema é manter o pêndulo na vertical, o que é naturalmente instável.

• Considera deslocamentos angulares pequenos para linearizar as equações:

  • Usa aproximações como sen(u) ≈ u e cos(u) ≈ 1.

• Deriva as equações de movimento usando a segunda lei de Newton para a translação e rotação.

• Obtém um modelo matemático que descreve o acoplamento entre o movimento do carro e o ângulo do pêndulo:

  $$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = u$$ $$(I + ml^2)\ddot{\theta} + ml\ddot{x} = mgl\theta$$

• Estas equações descrevem a dinâmica acoplada do carro e do pêndulo.

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Pêndulo invertido com massa concentrada no topo

• Exemplo 3–6 simplifica o modelo anterior assumindo que a massa do pêndulo está toda no topo (momento de inércia I ≈ 0).

• As equações tornam-se mais simples:

  $$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = u$$ $$ml\ddot{x} + ml^2\ddot{\theta} = mgl\theta$$

• Deriva uma função de transferência do ângulo do pêndulo em relação à força de controlo aplicada ao carro.

• Mostra que o sistema tem pólos reais, um no semi-eixo positivo (indicando instabilidade em malha aberta).

• Define variáveis de estado (x, ẋ, θ, θ̇) para obter uma representação em espaço de estados completa com matriz A (dinâmica), matriz B (entrada) e matriz C (saída)

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3–3 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉCTRICOS

Esta secção apresenta métodos para obter modelos matemáticos de sistemas eléctricos, baseando-se nas leis fundamentais que regem os circuitos eléctricos: as leis de Kirchhoff.

Leis de Kirchhoff

• Lei das correntes (lei dos nós): a soma algébrica das correntes que entram e saem de um nó é zero.

• Lei das tensões (lei das malhas): a soma algébrica das tensões em qualquer malha fechada é zero.

Estas leis são aplicadas para escrever equações diferenciais que descrevem o comportamento de circuitos eléctricos. A partir dessas equações diferenciais, obtêm-se funções de transferência e modelos em espaço de estados.

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Modelação de um circuito LRC

• Considere um circuito em série com indutância L, resistência R e capacitância C.

• Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff, obtém-se uma equação diferencial que relaciona a corrente i(t) com as tensões de entrada ei(t) e saída eo(t).

• Equações diferenciais:

  $$\frac{1}{C}\int i \,dt = e_o$$ $$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i\,dt = e_i$$

• A transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) permite obter a função de transferência:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}$$

• Também se apresenta um modelo em espaço de estados, definindo variáveis de estado adequadas para expressar o sistema como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem.

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Funções de Transferência em circuitos RC em cascata com efeito de carga

• Analisa-se um sistema formado por duas malhas RC ligadas em cascata.

• Mostra-se que a ligação em cascata causa efeito de carga: o segundo circuito "carrega" o primeiro, afectando o seu comportamento.

• São deduzidas as equações diferenciais e as transformadas no domínio de Laplace, mostrando que a função de transferência global não é simplesmente o produto das funções de transferência individuais dos estágios.

• Explica-se matematicamente como surge o termo extra no denominador (representando a interacção entre os estágios).

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Impedâncias complexas

• Introduz-se o conceito de impedância complexa no domínio de Laplace:

  • Resistor: R.

  • Indutor: LS.

  • Condensador: 1/(CS).

• As impedâncias em série somam-se, e em paralelo combinam-se como resistências equivalentes.

• Usando impedâncias complexas, pode-se obter directamente a função de transferência sem resolver as equações diferenciais originais.

• Exemplo:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = \frac{Z_2(s)}{Z_1(s) + Z_2(s)}$$

• Esta abordagem simplifica muito a análise de circuitos lineares.

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Elementos em cascata sem carga

• Aborda a situação em que dois blocos são ligados em cascata sem efeito de carga (o segundo não carrega o primeiro).

• Mostra que, quando a impedância de entrada do segundo bloco é infinita (por exemplo, com um amplificador de isolamento), o modelo global é o produto directo dos modelos individuais:

  $$G(s) = G_1(s) \times G_2(s)$$

• Exemplifica a prática comum de usar amplificadores com alta impedância de entrada para evitar o efeito de carga.

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Amplificadores operacionais (AmpOps)

• Introduz os AmpOps como componentes fundamentais em sistemas de controlo, sensores e electrónica em geral.

• Explica o funcionamento básico: amplificam a diferença de potencial entre os terminais de entrada, com ganho diferencial muito elevado.

• Características ideais:

  • Impedância de entrada infinita (não consome corrente).

  • Impedância de saída nula (pode fornecer corrente sem variação de tensão).

  • Necessidade de realimentação negativa para funcionamento estável.

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Circuitos com AmpOps

• Amplificador inversor: ganho negativo proporcional a -R₂/R₁.

• Amplificador não inversor: ganho positivo proporcional a 1 + R₂/R₁.

• Malhas de atraso de 1ª ordem: redes RC com AmpOp geram um polo de 1ª ordem no domínio de Laplace.

• Malhas de avanço ou atraso: redes RC específicas configuradas com AmpOps permitem criar compensadores do tipo avanço ou atraso, úteis para ajustar margens de fase e estabilidade.

• Efeito de inversão de sinal: alguns circuitos têm ganho negativo. Mostra-se como se pode adicionar um inversor de sinal para corrigir isso se necessário.

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PID com AmpOps

• Apresenta o controlador PID electrónico construído com AmpOps.

• Deduz a função de transferência geral:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$$

• Mostra como definir os parâmetros proporcional (Kp), integral (Ki) e derivativo (Kd) em função das resistências e condensadores no circuito.

• Fornece fórmulas explícitas para determinar tempo integral (Ti) e tempo derivativo (Td) a partir dos componentes.

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Tabela de circuitos típicos

• Inclui uma tabela (Table 3–1) com esquemas de circuitos com AmpOps usados como controladores:

  • Proporcionais (P)

  • Integrais (I)

  • Proporcionais–derivativos (PD)

  • Proporcionais–integrais (PI)

  • Proporcionais–integrais–derivativos (PID)

  • Compensadores de avanço, atraso e avanço-atraso

• Para cada configuração, mostra a função de transferência correspondente em termos dos componentes eléctricos (resistências e condensadores).

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