Leibniz e a matemática

Leibniz e as derivadas

Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig em 1646 e estudou direito, teologia, filosofia e matemática na universidade local, tendo-se licenciado aos 17 anos. Depois de obter o doutoramento em direito, aos 20 anos, Leibniz ingressou no serviço diplomático e passou grande parte da sua vida a viajar pelas capitais da Europa em missões políticas. Em particular, trabalhou para evitar uma ameaça militar francesa contra a Alemanha e tentou reconciliar as igrejas Católica e Protestante.

O seu estudo sério da matemática só começou em 1672, enquanto estava em Paris numa missão diplomática. Aí construiu uma máquina de calcular e conheceu cientistas, como Huygens, que orientou a sua atenção para os desenvolvimentos mais recentes em matemática e ciência. Leibniz procurou desenvolver uma lógica simbólica e um sistema de notação que simplificasse o raciocínio lógico. Em particular, a versão do cálculo que publicou em 1684 estabeleceu a notação e as regras para encontrar derivadas que ainda hoje utilizamos.

Infelizmente, surgiu na década de 1690 uma terrível disputa de prioridade entre os seguidores de Newton e os de Leibniz sobre quem tinha inventado o cálculo primeiro. Leibniz foi até acusado de plágio por membros da Royal Society em Inglaterra. A verdade é que ambos inventaram o cálculo de forma independente. Newton chegou à sua versão do cálculo primeiro, mas, por receio de controvérsias, não a publicou imediatamente. Assim, a versão de Leibniz de 1684 foi a primeira a ser publicada.

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Cauchy e Limites

Após a invenção do cálculo no século XVII, seguiu-se um período de livre desenvolvimento da disciplina no século XVIII. Matemáticos como os irmãos Bernoulli e Euler estavam ansiosos por explorar o poder do cálculo e ousadamente exploraram as consequências desta nova e maravilhosa teoria matemática sem se preocuparem muito com a correção completa das suas demonstrações.

O século XIX, pelo contrário, foi a Era do Rigor na matemática. Houve um movimento para voltar às bases da disciplina — para fornecer definições cuidadosas e provas rigorosas. Na linha da frente deste movimento estava o matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), que começou a sua carreira como engenheiro militar antes de se tornar professor de matemática em Paris. Cauchy pegou na ideia de limite de Newton, que tinha sido mantida viva no século XVIII pelo matemático francês Jean d’Alembert, e tornou-a mais precisa. A sua definição de limite lê-se da seguinte forma:

“Quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a diferir dele o mínimo que se desejar, este é chamado o limite de todos os outros.”

Mas quando Cauchy usava esta definição em exemplos e provas, recorria frequentemente a desigualdades delta-épsilon. Uma prova típica de Cauchy começa com: “Designem-se por δ e ε dois números muito pequenos; …” Ele usava ε devido à correspondência entre epsilon e a palavra francesa erreur (erro), e δ porque delta corresponde a diferença. 

Mais tarde, o matemático alemão Karl Weierstrass (1815–1897) estabeleceu a definição de limite exatamente como é apresentada atualmente nos livros de matemática.

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Teorema Binomial e Triângulo de Pascal

O Teorema Binomial e o Triângulo de Pascal

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📘 Teorema Binomial

O Teorema Binomial permite expandir potências de binómios, ou seja, expressões do tipo:

$$(a + b)^n$$

Segundo o teorema:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Onde:

• $\binom{n}{k}$ é o coeficiente binomial 

• Os coeficientes indicam quantas combinações de k elementos se podem fazer a partir de um conjunto de n elementos.

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🔺 Triângulo de Newton (ou de Pascal)

O Triângulo de Newton organiza esses coeficientes binomiais de forma triangular. Cada linha corresponde ao valor de $n$ e contém os coeficientes de $(a + b)^n$.

Por exemplo, as primeiras linhas do triângulo são:

	1
	1  1
	1  2  1
	1  3  3  1
	1  4  6  4  1

Cada número é obtido somando os dois números acima dele no triângulo.

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📌 Relação entre ambos

• Os coeficientes do desenvolvimento do Teorema Binomial são precisamente os números que aparecem em cada linha do Triângulo de Newton.

• Assim, o Triângulo de Newton é uma forma prática de encontrar os coeficientes de qualquer potência de um binómio sem fazer cálculos combinatórios.

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✅ Exemplo

$$(a + b)^3 = \binom{3}{0}a^3b^0 + \binom{3}{1}a^2b^1 + \binom{3}{2}a^1b^2 + \binom{3}{3}a^0b^3$$ $$= 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$$

Os coeficientes $1, 3, 3, 1$ correspondem à linha 3 do Triângulo de Newton.

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Newton e os Limites

Isaac Newton nasceu no dia de Natal de 1642, o ano da morte de Galileu. 

Quando entrou na Universidade de Cambridge, em 1661, Newton não sabia muita matemática, mas aprendeu rapidamente lendo Euclides e Descartes e assistindo às aulas de Isaac Barrow. 

Cambridge foi encerrada devido à peste em 1665 e 1666, e Newton regressou a casa para reflectir sobre o que tinha aprendido. Esses dois anos foram incrivelmente produtivos, pois foi nesse período que fez quatro das suas maiores descobertas: 

(1) a sua representação de funções como somas de séries infinitas, incluindo o teorema binomial; 

(2) o seu trabalho sobre cálculo diferencial e integral; 

(3) as suas leis do movimento e a lei da gravitação universal; e 

(4) as suas experiências com prismas sobre a natureza da luz e da cor. 

Por causa de alguma controvérsia e críticas, foi relutante em publicar as suas descobertas e só o fez em 1687, com o apoio do astrónomo Halley, quando publicou os Principia Mathematica. Nesta obra, o mais importante tratado científico alguma vez escrito, Newton apresentou a sua versão do cálculo e usou-a para investigar mecânica, dinâmica dos fluidos, propagação de ondas e para explicar o movimento dos planetas e cometas.

As origens do cálculo encontram-se nos cálculos de áreas e volumes feitos por estudiosos gregos antigos como Eudoxo e Arquimedes. Embora aspectos da ideia de limite estejam implícitos no seu “método da exaustão”, Eudoxo e Arquimedes nunca formularam explicitamente o conceito de limite. Do mesmo modo, matemáticos como Cavalieri, Fermat e Barrow, os precursores imediatos de Newton no desenvolvimento do cálculo, também não usaram realmente limites. Foi Isaac Newton o primeiro a falar explicitamente sobre limites. Explicou que a principal ideia por detrás dos limites era que as quantidades “se aproximam cada vez mais, mesmo que por uma diferença mínima.” 

Newton afirmou que o limite era o conceito básico no cálculo, mas coube a matemáticos posteriores, como Cauchy, clarificar as suas ideias sobre limites.

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CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS, 7th ed, JAMES STEWART

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Resolução de um problema de teste de Sinais e Sistemas da UL

Resolução de um problema de um teste de Sinais e Sistemas da Universidade Lusófona.

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Sinais e Sistemas

Resolução de um problema de um teste de Sinais e Sistemas da Universidade Lusófona.

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Matlab - Soma, diferença, produto e divisão da função seno pela função coseno

Gráficos da soma, diferença, produto e divisão da função seno pela função coseno, em tempo discreto. Funções e gráficos implementados com o Matlab.

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Como determinar senos, cosenos, tangentes e cotagentes sem calculadora

Se não tiver ou não puder usar uma calculadora, como determina o seno, o coseno, a tangente e a cotagente, de um determinado ângulo, especificado em graus e minutos?

Use régua e transferidor e, faça o seguinte:

1 – Desenhe um sistema de eixos, orto-normados, XoY;

2 – Desenhe uma circunferência, de raio 1cm, com centro na origem do sistema de eixos;

3 – Coloque o centro do transferidor na origem do sistema de eixos;

4 – Marque sobre a circunferência de raio 1cm, o ponto correspondente ao ângulo, especificado em graus e minutos;

4 – O seno é a ordenada desse ponto;

5 – O coseno é a abcissa desse ponto;

6 – A tangente é o seno a dividir pelo coseno;

7 – A cotangente é o coseno a dividir pelo seno

Já está!

:-)

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Matlab - Gráficos com legenda

Código em Matlab para:

- Traçar os gráficos das funções Seno e Coseno
- Incluir uma legenda no canto superior direito

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Matemática

Soma de infinitos termos de uma progressão geométrica de razão r

Ver também: Soma de n termos de uma progressão geométrica

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Sinais Discretos

Cálculo da Transformada Z de u(-n)

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Tabela Trigonométrica

Tabela Trigonométrica completa, grau a grau e com os respectivos valores em radianos.

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Soma dos ângulos internos de um polígono regular

Como se determina o valor dos ângulos internos de um polígono com os lados todos iguais

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Soma de n termos de uma progressão geométrica

Como calcular a soma de n termos de uma progressão geométrica, sendo n um valor finito

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Poema das Equações

Uma equação é fogo para se resolver
é igualdade difícil e de grande porte
é necessário saber todas as regras
e ter até uma boa dose de sorte.

A primeira coisa a ter em conta
quando se olha uma equação
é ver se tem parênteses,
é que umas têm outras não.

Se tiver, é por ai que tudo deve começar.
Sinal "+" antes: fica tudo igual.
Mas tudo o que vem a seguir se deve trocar
se antes do parênteses o "-" for o sinal.

A seguir...alerta com os denominadores!
Todos têm que ter o mesmo para se poder avançar.
Os sinais negativos antes de fracções
são degraus onde podem tropeçar.

É preciso não esquecer nenhum sinal
e estar atento ao coeficiente maroto
e se um termo não interessa de um lado
muda-se o sinal e passa-se para o outro.

Quando a incógnita estiver sozinha
podemos então dar a tarefa por finda. E então,
sem nunca esquecer o que foi feito
escreve-se o conjunto solução.

Autor: Professora Alice Silva

Imagem gerada pela ferramenta de IA: tome.app

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