Resumo extraído do Capítulo 4 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O.

Capítulo 4 - Campo Eletroestático

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Secção 4.1 – Introdução

• O estudo começa pela definição da carga elétrica, considerada a fonte fundamental de todos os fenómenos eletromagnéticos.

• A carga é uma propriedade inerente da matéria, existindo em duas formas: positiva e negativa.

• A unidade padrão de medida da carga é o coulomb (C).

• As leis fundamentais associadas à carga elétrica são:

  • Lei da conservação da carga: a carga não pode ser criada nem destruída, apenas transferida.

  • Lei da quantização da carga: a carga ocorre sempre em múltiplos inteiros da carga elementar do eletrão/protão ($e = 1.602 \times 10^{-19} C$).

• O capítulo tem como objetivo introduzir os conceitos de campo elétrico e potencial elétrico, a partir do comportamento das cargas.

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Secção 4.2 – Lei de Coulomb e Intensidade do Campo

• A Lei de Coulomb descreve a força entre duas cargas puntiformes:

  $$\vec{F} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{R^2} \cdot \hat{a}_R$$

  onde:

  • $Q_1, Q_2$ são as cargas,

  • $R$ é a distância entre elas,

  • $\epsilon$ é a permissividade do meio,

  • $\hat{a}_R$ é o vetor unitário da direção da linha que une as cargas.

• A força é repulsiva se as cargas têm o mesmo sinal e atrativa se têm sinais opostos.

• Define-se o campo elétrico $\vec{E}$ como a força por unidade de carga de teste:

  $$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q}$$

• Assim, o campo elétrico devido a uma carga puntiforme é:

  $$\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \epsilon R^2} \hat{a}_R$$

• Esta secção também aborda o conceito de intensidade do campo, mostrando que o campo elétrico é um campo vetorial que varia no espaço, com direção radial a partir da carga fonte.

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Secção 4.3 – Campos Elétricos Devidos a Distribuições Contínuas de Carga

• Muitas situações práticas envolvem distribuições de carga contínuas em vez de cargas puntiformes.

• Consideram-se três tipos de densidade de carga:

  • Linear ($\rho_l$) [C/m]: carga distribuída ao longo de um fio ou linha.

  • Superficial ($\rho_s$) [C/m²]: carga distribuída sobre uma superfície.

  • Volumétrica ($\rho_v$) [C/m³]: carga distribuída no volume.

• A intensidade de campo resultante é obtida através da integração da contribuição de cada elemento diferencial de carga:

  • Para carga linear:

    $$\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_l dl}{R^2} \hat{a}_R$$

  • Para carga superficial:

    $$\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_s dS}{R^2} \hat{a}_R$$

  • Para carga volumétrica:

    $$\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_v dV}{R^2} \hat{a}_R$$

• A secção fornece exemplos de aplicação prática destes cálculos, mostrando como obter o campo elétrico gerado por distribuições de carga em diferentes  geometrias.

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Secção 4.4 – Densidade de Fluxo Elétrico

• O fluxo elétrico associado ao campo $\vec{E}$ pode ser definido, mas para maior utilidade em eletrostática introduz-se o conceito de densidade de fluxo elétrico $\vec{D}$.

• Define-se:

  $$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E}$$

  onde $\epsilon_0$ é a permissividade do vazio.

• $\vec{D}$ é medido em coulombs por metro quadrado (C/m²) e, por razões históricas, também é chamado deslocamento elétrico.

• A quantidade de fluxo elétrico que atravessa uma superfície é dada por:

  $$\Phi = \int \vec{D} \cdot d\vec{S}$$

• A vantagem de $\vec{D}$ em relação a $\vec{E}$ é que $\vec{D}$ depende apenas da carga e da posição, sendo independente do meio.

• Todas as expressões para $\vec{E}$ derivadas da Lei de Coulomb (seções anteriores) podem ser reescritas para $\vec{D}$, bastando multiplicar por $\epsilon_0$.

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Secção 4.5 – Lei de Gauss (Equação de Maxwell)

• A Lei de Gauss estabelece que:

  “O fluxo elétrico total que atravessa uma superfície fechada é igual à carga total no interior dessa superfície.”

• Em termos matemáticos:

  $$\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = Q_{\text{encerrada}}$$

• Usando o teorema da divergência, esta lei pode ser escrita na forma diferencial:

  $$\nabla \cdot \vec{D} = \rho_v$$

  onde $\rho_v$ é a densidade de carga volumétrica.

• Assim, a Lei de Gauss apresenta-se em duas formas:

  • Integral: relaciona o fluxo de $\vec{D}$ numa superfície fechada com a carga total no interior.

  • Diferencial: relaciona a divergência de $\vec{D}$ num ponto com a densidade de carga nesse ponto.

• Observações importantes:

  1. A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb (uma pode ser derivada da outra).

  2. É válida sempre, mas só é útil na prática quando há simetria na distribuição de cargas (esférica, cilíndrica, ou planar).

  3. Quando a distribuição de carga não é simétrica, a lei continua válida, mas calcular $\vec{E}$ requer a aplicação direta da Lei de Coulomb.

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Secção 4.6 – Aplicações da Lei de Gauss

• A secção mostra como aplicar a Lei de Gauss para obter campos elétricos em distribuições de carga simétricas.

• O procedimento geral é:

  1. Identificar se existe simetria (esférica, cilíndrica, ou planar).

  2. Escolher uma superfície gaussiana que respeite essa simetria.

  3. Avaliar o fluxo de $\vec{D}$ nessa superfície.

  4. Igualar ao total de carga encerrada.

• Casos práticos apresentados:

  • Carga puntiforme: usa-se uma superfície esférica. O resultado confirma $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat{a}_r$.

  • Linha infinita de carga: escolhe-se uma superfície cilíndrica. Obtém-se $\vec{E} \propto \frac{1}{\rho}$, ou seja, o campo decresce inversamente com a distância radial.

  • Folha infinita de carga: usa-se uma caixa (paralelepípedo) atravessada pelo plano da carga. O campo resultante é constante e perpendicular à superfície, independentemente da distância.

  • Esfera carregada uniformemente:

    • Para $r < a$ (dentro da esfera), $\vec{D} \propto r$.

    • Para $r > a$ (fora da esfera), $\vec{D} \propto \frac{1}{r^2}$, como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

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Secção 4.7 – Potencial Elétrico

• Até aqui o campo elétrico $\vec{E}$ foi obtido pela Lei de Coulomb ou pela Lei de Gauss.

• Outra forma é através do potencial escalar elétrico (V), que simplifica os cálculos porque trabalha com grandezas escalares em vez de vetores.

• O trabalho necessário para mover uma carga $Q$ de um ponto $A$ para um ponto $B$ num campo elétrico $\vec{E}$ é:

  $$W = -Q \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}$$

• O potencial elétrico entre $A$ e $B$ é a energia potencial por unidade de carga:

  $$V_{AB} = V_B - V_A = - \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}$$

• Propriedades importantes:

  1. O potencial é independente do caminho, apenas depende dos pontos inicial e final.

  2. A unidade é o volt (V), equivalente a joule por coulomb.

  3. Costuma-se definir o potencial de referência como zero no infinito.

• Para uma carga puntiforme $Q$:

  $$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

• Para várias cargas ou distribuições contínuas (linear, superficial, volumétrica), o potencial é obtido pela soma/integral das contribuições de cada elemento de carga.

• O potencial é particularmente útil porque evita lidar diretamente com vetores ao calcular $\vec{E}$.

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Secção 4.8 – Relação entre $\vec{E}$ e $V$ — Equação de Maxwell

• O campo elétrico $\vec{E}$ é um campo conservativo, ou seja:

  $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$$

• Isto significa que o trabalho líquido feito ao mover uma carga numa trajetória fechada é zero.

• Aplicando o teorema de Stokes, obtém-se a forma diferencial:

  $$\nabla \times \vec{E} = 0$$

• Esta é a segunda equação de Maxwell para campos eletrostáticos.

• Como consequência, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente negativo do potencial:

  $$\vec{E} = - \nabla V$$

• O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta sempre no sentido em que o potencial diminui.

• Esta relação mostra que todo o campo eletrostático pode ser descrito por uma função escalar única, o que simplifica bastante os cálculos.

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Secção 4.9 – Dipolo Elétrico e Linhas de Fluxo

• Um dipolo elétrico consiste em duas cargas de mesma magnitude mas sinais opostos ($+Q$ e $-Q$) separadas por uma pequena distância $d$.

• O momento dipolar elétrico é definido como:

  $$\vec{p} = Q \cdot \vec{d}$$

  apontando da carga negativa para a carga positiva.

• O potencial devido a um dipolo (para $r \gg d$) é:

  $$V(r, \theta) = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$$

• O campo elétrico de um dipolo é obtido pelo gradiente do potencial:

  $$\vec{E}(r, \theta) = \frac{p}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \left( 2 \cos \theta \, \hat{a}_r + \sin \theta \, \hat{a}_\theta \right)$$

• Comparações importantes:

  • Campo de uma carga puntiforme (monopolo): decresce como $1/r^2$.

  • Campo de um dipolo: decresce mais rapidamente, como $1/r^3$.

  • Potencial de uma carga: varia como $1/r$.

  • Potencial de um dipolo: varia como $1/r^2$.

• Linhas de fluxo: as linhas do campo de um dipolo mostram a atração entre cargas opostas, concentrando-se da carga positiva para a negativa.

• Os dipolos são muito importantes porque muitas moléculas (como a água) podem ser modeladas como dipolos, e os campos dipolares têm grande relevância em física e engenharia.

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Secção 4.10 – Densidade de Energia em Campos Eletrostáticos

Nesta secção estuda-se a energia armazenada num sistema de cargas elétricas.

• Para determinar a energia de um conjunto de cargas, calcula-se o trabalho necessário para as juntar (trazer cada carga do infinito até à sua posição final).

• No caso de n cargas pontuais, a energia total é dada por:

$$W_E = \tfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} Q_k V_k$$

onde $Q_k$ é a carga e $V_k$ o potencial no ponto onde está localizada.

• Se, em vez de cargas discretas, houver uma distribuição contínua de carga, a soma transforma-se em integral:

  • Linha: $W_E = \tfrac{1}{2}\int p_L V \, dl$

  • Superfície: $W_E = \tfrac{1}{2}\int p_s V \, dS$

  • Volume: $W_E = \tfrac{1}{2}\int p_v V \, dv$

Como $p_v = \nabla \cdot D$, a expressão pode ser manipulada até chegar a uma forma mais prática em termos do campo elétrico:

$$W_E = \tfrac{1}{2} \int D \cdot E \, dv$$

Daqui surge a definição de densidade de energia eletrostática (energia por unidade de volume):

$$w_E = \tfrac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 = \tfrac{D^2}{2\varepsilon_0}$$

Ou seja, a energia está armazenada no campo elétrico criado pela distribuição de cargas.
A secção termina com exemplos:

• Cálculo da energia de um sistema de três cargas pontuais.

• Determinação do potencial e energia armazenada numa distribuição esférica de carga com simetria radial.

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Resumo do Capítulo

O capítulo reúne os principais conceitos dos campos eletrostáticos:

1. Leis fundamentais – Lei de Coulomb e Lei de Gauss.

   • Coulomb descreve a força entre cargas pontuais.

   • A intensidade do campo elétrico $E$ é definida como a força por unidade de carga.

2. Distribuições contínuas de carga – O cálculo da carga total e do campo resultante pode ser feito integrando a densidade linear, superficial ou volumétrica.

3. Casos especiais – Campos gerados por:

   • Linha infinita de carga.

   • Folha infinita de carga.

4. Fluxo elétrico e densidade de fluxo $D$ – Relação entre $D$ e $E$ no vazio: $D = \varepsilon_0 E$.

   • A lei de Gauss afirma que o fluxo de $D$ através de uma superfície fechada é igual à carga dentro da superfície.

   • Esta é a primeira equação de Maxwell (no eletroestático).

5. Potencial elétrico – O trabalho para mover uma carga no campo:

   $$W = -Q \int E \cdot dl$$

   • O potencial devido a uma carga pontual é $V(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 |r-r'|}$.

   • O potencial para distribuições contínuas obtém-se por integração.

   • Se o campo $E$ for conhecido, o potencial pode ser obtido via $V = -\int E \cdot dl$.

6. Campo conservativo – O campo eletrostático é conservativo:

   $$\nabla \times E = 0$$

   Esta é a segunda equação de Maxwell (no eletroestático).

7. Relação entre $E$ e $V$ – $E = -\nabla V$.

8. Dipolo elétrico – O potencial de um dipolo é:

   $$V(r) = \frac{\mathbf{p} \cdot (r-r')}{4\pi \varepsilon_0 |r-r'|^3}$$

9. Superfícies equipotenciais e linhas de fluxo – As linhas de campo $D$ são sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais.

10. Energia armazenada –

    • Para cargas discretas: $W_E = \tfrac{1}{2}\sum Q_k V_k$.

    • Para distribuições contínuas:

      $$W_E = \tfrac{1}{2}\int D \cdot E \, dv = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 \int |E|^2 dv$$

Assim, conclui-se que a energia eletrostática não está “nas cargas”, mas sim armazenada no campo elétrico.

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