Resumo extraído do Capítulo 1 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 1 - Álgebra vectorial

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1.1 Introdução

O eletromagnetismo é definido como o estudo das interações entre cargas elétricas, quer em repouso, quer em movimento. A disciplina envolve a análise, síntese, interpretação física e aplicação dos campos elétricos e magnéticos, constituindo um ramo essencial da física e da engenharia eletrotécnica.

Os princípios do eletromagnetismo têm aplicações em múltiplas áreas, como micro-ondas, antenas, comunicações por satélite, bioeletromagnetismo, plasmas, investigação nuclear, fibras óticas, compatibilidade eletromagnética, máquinas elétricas, conversão eletromecânica de energia, meteorologia por radar e deteção remota.

Exemplos práticos incluem:

• Uso de micro-ondas ou ondas curtas na medicina para estimular tecidos e tratar certas condições;

• Aquecimento indutivo para processos de fusão, forjamento ou soldadura;

• Aquecimento dielétrico para unir plásticos;

• Aplicações agrícolas, como a alteração do sabor de vegetais.

Os dispositivos eletromagnéticos mais comuns incluem transformadores, relés, motores, linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O seu projeto requer conhecimento profundo das leis e princípios do eletromagnetismo.

O autor recorda que o comportamento eletromagnético pode ser descrito de forma compacta pelas Equações de Maxwell, que relacionam as grandezas vetoriais fundamentais: campo elétrico (E), campo magnético (H), densidade de fluxo elétrico (D), densidade de fluxo magnético (B), densidade de carga (ρv) e densidade de corrente (J).

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1.2 Uma Antevisão do Livro

O livro está organizado em quatro partes principais:

1. Parte 1 – Introduz as ferramentas matemáticas necessárias, em particular a álgebra vetorial, já que as equações do eletromagnetismo envolvem grandezas vetoriais.

2. Parte 2 – Apresenta a dedução das equações de Maxwell em condições invariantes no tempo, bem como o significado físico das grandezas E, D, H, B, J e ρv.

3. Parte 3 – Explora aplicações dessas equações em situações práticas.

4. Parte 4 – Reexamina as equações no caso dependente do tempo e aplica-as a dispositivos como linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas e radares.

O objetivo é conduzir o leitor de uma base matemática sólida até às aplicações práticas modernas da teoria eletromagnética.

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1.3 Escalares e Vetores

Esta secção introduz a análise vetorial como ferramenta matemática indispensável para descrever conceitos eletromagnéticos. Antes de a aplicar, é necessário compreender as suas regras e técnicas.

• Escalares: grandezas totalmente descritas pela sua magnitude. Exemplos: tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico, população.

• Vetores: grandezas descritas por magnitude e direção no espaço. Exemplos: velocidade, força, aceleração, deslocamento, intensidade de campo elétrico.

• Tensores: constituem uma classe mais geral de grandezas, da qual escalares e vetores são casos particulares (embora o livro se foque principalmente nestes últimos).

A notação distingue vetores de escalares:

• Vetores: representados por letras com uma seta por cima (A→) ou a negrito (A).

• Escalares: representados por letras normais (A, B, U, V).

Introduz-se ainda o conceito de campo:

• Um campo é uma função que especifica um valor (escalar ou vetorial) em cada ponto de uma região do espaço (e possivelmente do tempo).

• Campos escalares: temperatura num edifício, intensidade sonora numa sala, potencial elétrico, índice de refração.

• Campos vetoriais: campo gravitacional, velocidade de gotas de chuva, campo elétrico.

A teoria do eletromagnetismo é essencialmente o estudo de campos elétricos e magnéticos que variam no espaço e no tempo.

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1.4 Vetor Unitário

Um vetor é caracterizado pela sua magnitude e direção.

• A magnitude de um vetor A é um escalar denotado por $|A|$ ou simplesmente A.

• Um vetor unitário é definido como um vetor de magnitude igual a 1, que aponta na mesma direção de A. É escrito como:

$$a_A = \frac{A}{|A|}$$

Assim, qualquer vetor pode ser expresso como:

$$A = A \, a_A$$

ou seja, magnitude multiplicada pelo vetor unitário que indica a sua direção.

Em coordenadas cartesianas, um vetor A pode ser representado de duas formas:

$$A = (A_x, A_y, A_z) \quad \text{ou} \quad A = A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z$$

onde $a_x, a_y, a_z$ são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respetivamente.

• Estes vetores unitários são dimensionais, de magnitude 1, e indicam a direção positiva de cada eixo.

• A magnitude de A é obtida pela fórmula pitagórica:

$$|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$

• O vetor unitário na direção de A é:

$$a_A = \frac{A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}}$$

Isto permite decompor qualquer vetor em componentes ao longo de cada eixo do sistema cartesiano.

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1.5 Adição e Subtração de Vetores

Dois vetores podem ser somados ou subtraídos:

• A soma de dois vetores $A + B = C$ resulta num vetor obtido somando as componentes correspondentes:

$$C = (A_x + B_x)a_x + (A_y + B_y)a_y + (A_z + B_z)a_z$$

• A diferença entre dois vetores é definida como:

$$D = A - B = (A_x - B_x)a_x + (A_y - B_y)a_y + (A_z - B_z)a_z$$

Graficamente, estas operações podem ser representadas por dois métodos:

1. Regra do paralelogramo – constrói-se um paralelogramo com lados correspondentes a A e B; a diagonal representa a soma.

2. Regra cabeça-cauda – coloca-se a cabeça de um vetor na cauda do outro; o vetor resultante vai da cauda do primeiro até à cabeça do segundo.

Propriedades da adição e subtração de vetores:

• Comutativa: $A + B = B + A$

• Associativa: $A + (B + C) = (A + B) + C$

• Distributiva: $k(A + B) = kA + kB$, onde $k$ é um escalar

Estas leis mostram que os vetores obedecem a regras algébricas semelhantes às dos números escalares.

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1.6 Vetores de Posição e de Distância

Um ponto P no espaço cartesiano é representado por coordenadas $(x, y, z)$.

• O vetor de posição de P, denotado por $r_P$, é o vetor que liga a origem $O$ a $P$:

$$r_P = x a_x + y a_y + z a_z$$

Este vetor indica a posição do ponto no espaço.

• O vetor de distância (ou de deslocamento) entre dois pontos $P(x_P, y_P, z_P)$ e $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ é dado por:

$$r_{PQ} = r_Q - r_P = (x_Q - x_P)a_x + (y_Q - y_P)a_y + (z_Q - z_P)a_z$$

A magnitude deste vetor corresponde à distância entre os dois pontos:

$$d = |r_{PQ}| = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}$$

Diferença entre ponto e vetor:

• Um ponto $P(x, y, z)$ não é um vetor por si só; o que é vetor é o vetor de posição que liga a origem a esse ponto.

• No entanto, um vetor pode depender da posição de um ponto (por exemplo, campos vetoriais).

Vetores constantes vs. variáveis:

• Um vetor é constante (uniforme) se não depende de $x, y, z$.

• É variável (não uniforme) se os seus valores mudam de ponto para ponto.

Exemplo:

• $B = 3a_x - 2a_y + 10a_z$ → vetor uniforme.

• $A = 2xy a_x + y^2 a_y - xz^2 a_z$ → vetor não uniforme.

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1.7 Multiplicação de Vetores

A multiplicação de vetores pode produzir dois tipos de resultados: um escalar ou um vetor, dependendo da operação. Existem quatro formas principais:

(A) Produto Escalar (ou Produto Interno)

O produto escalar de dois vetores $A$ e $B$ é definido como:

$$A \cdot B = |A||B| \cos\theta$$

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores. O resultado é um escalar.

• Em termos de componentes:

$$A \cdot B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$

• Propriedades:

  • Comutativo: $A \cdot B = B \cdot A$

  • Distributivo: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

  • $A \cdot A = |A|^2$

• Dois vetores são ortogonais se $A \cdot B = 0$.

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(B) Produto Vetorial (ou produto externo)

O produto vetorial de $A$ e $B$ é um vetor definido por:

$$A \times B = |A||B| \sin\theta \, a_n$$

onde $a_n$ é o vetor unitário perpendicular ao plano formado por $A$ e $B$, seguindo a regra da mão direita.

• Em termos de determinante:

$$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

• Propriedades:

  • Não comutativo: $A \times B = - (B \times A)$

  • Não associativo: $A \times (B \times C) \neq (A \times B) \times C$

  • Distributivo: $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

  • $A \times A = 0$

  • Segue a regra cíclica: $a_x \times a_y = a_z$, $a_y \times a_z = a_x$, $a_z \times a_x = a_y$.

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(C) Produto Triplo Escalar

Dado três vetores $A, B, C$, define-se:

$$A \cdot (B \times C)$$

O resultado é um escalar, que corresponde ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Em forma de determinante:

$$A \cdot (B \times C) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix}$$

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(D) Produto Triplo Vetorial

Definido como:

$$A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$$

Conhecido como a regra “bac-cab”. O resultado é um vetor.

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1.8 Componentes de um Vetor

O produto escalar pode ser usado para calcular a projeção (ou componente) de um vetor numa direção:

• Componente escalar de $A$ ao longo de $B$:

$$A_B = A \cdot a_B$$

onde $a_B$ é o vetor unitário na direção de $B$.

• Componente vetorial de $A$ ao longo de $B$:

$$A_B = (A \cdot a_B) a_B$$

Assim, qualquer vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais:

• uma paralela a $B$,

• outra perpendicular a $B$.

Observação importante: a divisão de vetores não é definida em geral, exceto quando $A = kB$. Diferenciação e integração de vetores serão estudadas mais tarde.

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Resumo

A secção final do capítulo sintetiza os conceitos apresentados:

1. Um campo é uma função que especifica uma quantidade em cada ponto do espaço. Pode ser escalar (ex.: $V(x,y,z)$) ou vetorial (ex.: $A(x,y,z)$).

2. Um vetor $A$ é especificado pela sua magnitude e pelo vetor unitário na sua direção ($A = |A| a_A$).

3. A multiplicação de dois vetores pode resultar em:

   • um escalar (produto escalar: $A \cdot B = |A||B|\cos\theta$),

   • ou um vetor (produto vetorial: $A \times B = |A||B|\sin\theta a_n$).
     A multiplicação de três vetores pode originar:

   • um escalar ($A \cdot (B \times C)$),

   • ou um vetor ($A \times (B \times C)$).

4. A projeção escalar de $A$ em $B$ é $A_B = A \cdot a_B$. A projeção vetorial é $A_B = (A \cdot a_B) a_B$.

5. O capítulo inclui ainda comandos MATLAB úteis:

   • dot(A,B) para produto escalar;

   • cross(A,B) para produto vetorial;

   • norm(A) para magnitude;

   • A/norm(A) para vetor unitário.

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