Resumo extraído do Capítulo 28, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 28 – Corrente contínua

Secção 28.1 – Força Electromotriz (f.e.m.)
Nesta secção introduz-se o conceito de força electromotriz (f.e.m.) como a diferença de potencial máxima que uma fonte (por exemplo, uma bateria) pode fornecer entre os seus terminais, denotada por $\mathcal{E}$. Embora o termo “força” seja histórico — pois a f.e.m. não é uma força mas sim uma tensão — pode entender-se a fonte de f.e.m. como uma “bomba de cargas” que eleva as cargas do potencial mais baixo para o mais alto dentro da bateria.

Num circuito real, a bateria apresenta uma resistência interna $r$, de modo que a tensão nos terminais, $V_{\text{term}}$, difere da f.e.m. quando há corrente. A relação fundamental é

$$V_{\text{term}} = \mathcal{E} - I\,r,$$

onde $I$ é a corrente do circuito. Assim, quando o circuito está em circuito aberto ($I=0$), $V_{\text{term}} = \mathcal{E}$ (tensão em vazio), mas quando a corrente circula, parte da energia é dissipada internamente na bateria.

Combinando-se com a lei de Ohm para a resistência externa $R$, obtém-se

$$\mathcal{E} = I R + I r \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}.$$

Multiplicando por $I$ vemos ainda que a potência total fornecida pela fonte, $I\mathcal{E}$, divide-se entre $I^2 R$ no circuito externo e $I^2 r$ na resistência interna. Para maximizar a potência útil, deve minimizar-se $r$.

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Secção 28.2 – Resistências em Série e em Paralelo
Descreve-se primeiro a montagem em série, onde $R_1, R_2, \dots$ partilham a mesma corrente $I$. A tensão total divide-se pelas resistências, resultando numa resistência equivalente

$$R_{\mathrm{eq}} = R_1 + R_2 + \cdots,$$

sempre maior do que qualquer resistência individual. Uma falha em série causa circuito aberto e interrompe toda a corrente.

Em seguida analisa-se a montagem em paralelo, em que todos as resistências estão sujeitos à mesma tensão $V$ mas a corrente divide-se em cada ramo. A resistência equivalente satisfaz

$$\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots,$$

sendo $R_{\mathrm{eq}}$ sempre inferior à mais pequena das resistências. Neste esquema, uma falha num ramo não impede a corrente nos restantes.

São também discutidas aplicações práticas: em paralelo, cada aparelho doméstico opera independentemente sob a mesma tensão; em série, como nos pequenos enfeites de Natal, usa-se um jumper interno para manter o circuito mesmo quando um filamento queima, mas isso aumenta a corrente nos restantes.

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Secção 28.3 – Leis de Kirchhoff
Para circuitos mais complexos, que não se reduzem a simples séries ou paralelos, aplicam-se as duas leis de Kirchhoff:

1. Lei dos Nós: a soma algébrica das correntes num nó (ponto de ramificação) é zero, refletindo a conservação de carga:
   $\sum I_{\text{entradas}} - \sum I_{\text{saídas}} = 0.$

2. Lei das Malhas: ao percorrer uma malha fechada, a soma das diferenças de potencial é nula, expressando a conservação de energia:
   $\sum \Delta V = 0.$

Para aplicar, escolhe-se direções arbitrárias para as correntes e percorrem-se laços assumindo sinal positivo para subidas de potencial (por exemplo, atravessar a f.e.m. de – para +) e negativo para descidas (queda $IR$ no sentido da corrente). Resolve-se então o sistema de equações lineares obtido, onde soluções negativas indicam correntes no sentido oposto ao assumido.

Este método geral permite analisar circuitos de múltiplos ramos e fontes, sendo essencial em casos de malhas e nós em número maior do que os casos tratáveis apenas com combinações série/paralelo.

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Secção 28.4 – Circuitos RC

Num circuito RC em série, uma resistência R e um condensador C estão ligados a uma fonte de emf $\mathcal{E}$ através de um interruptor. Existem dois casos distintos:

1. Carregamento do condensador

   • No instante em que o interruptor é colocado na posição de carga ($t=0$), o condensador está descarregado ($q=0$) e a corrente inicial máxima é

     $$I_i=\frac{\mathcal{E}}{R}.$$

   • À medida que o condensador acumula carga, a diferença de potencial $q/C$ cresce, reduzindo a corrente segundo a equação diferencial

     $$\mathcal{E}-\frac{q}{C}-iR=0,\quad i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$$

     Integrando, obtém-se

     $$q(t)=Q_{\max}\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr),\quad Q_{\max}=C\mathcal{E},$$ $$i(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/RC}.$$

     A constante de tempo do circuito é

     $$\tau=RC,$$

     e caracteriza o decaimento exponencial: após $t=\tau$, a carga atinge 63,2 % de $Q_{\max}$ e a corrente cai para 36,8 % de $I_i$.

2. Descarregamento do condensador

   • Se, após carregado, o interruptor passa para a posição de descarga num circuito sem fonte de emf, a equação da malha torna-se

     $$\frac{q}{C}+iR=0,\quad i=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$$

     A solução é

     $$q(t)=Q_i\,e^{-t/RC},\quad i(t)=-\frac{Q_i}{RC}\,e^{-t/RC},$$

     onde $Q_i$ é a carga inicial do condensador e o sinal negativo em $i(t)$ indica que a corrente flui no sentido oposto ao do carregamento.

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Secção 28.5 – Instalações Elétricas Domésticas e Segurança

1. Ligação da rede

   • A empresa de energia fornece duas fases em paralelo: o fio “vivo” (aprox. 230 V) e o fio neutro (0 V). Um contador mede a energia no fio vivo antes de o circuito interior se subdividir em vários ramos, cada um protegido por fusíveis ou disjuntores dimensionados para a corrente máxima do ramo.

   • Num circuito típico, aparelhos como uma torradeira (1 000 W), micro-ondas (1 300 W) e cafeteira (800 W) são ligados em paralelo consomem correntes individuais.

2. Proteções e riscos

   • Curto-circuito: contacto acidental do fio vivo com terra ou neutro produz corrente muito elevada e dispara o disjuntor, evitando sobreaquecimento.

   • Fio de terra: em tomadas de três pinos, o terceiro fio liga a carcaça dos aparelhos à terra; em caso de fuga do fio vivo ao chassis, a corrente prefere esse caminho de baixa resistência, poupando o utilizador a choque elétrico.

   • GFCI (Ground-Fault Circuit Interrupter): usado em zonas húmidas (cozinhas, casas de banho), desliga o circuito em <1 ms ao detetar fugas de corrente, protegendo contra choques elétricos.

   • Efeitos no corpo humano: correntes ≤5 mA provocam apenas formigueiro; entre 10 mA e 100 mA podem causar contrações musculares e paragem respiratória; correntes de ≈1 A produzem queimaduras graves e podem ser fatais. Contacto com água ou superfícies metálicas aumenta o risco.

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Resumo do Capítulo 28

• Força electromotriz (f.e.m.) $\mathcal{E}$: tensão máxima que uma fonte fornece em vazio; tensão aos terminais em carga:

  $$V_{\rm term}=\mathcal{E}-I\,r.$$

• Resistências em série e paralelo:

  $$R_{\rm eq}^{(\text{série})}=\sum_i R_i, \quad \frac{1}{R_{\rm eq}^{(\text{par})}}=\sum_i\frac{1}{R_i}.$$

• Leis de Kirchhoff:

  1. Lei dos Nós: $\sum I_{\rm entr}=\sum I_{\rm sai}$.

  2. Lei das Malhas: $\sum\Delta V=0$ em cada malha, com sinais conforme o sentido da corrente e polaridade das fontes.

• Circuitos RC:

  • Carregamento:
    $\displaystyle q(t)=C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC}),\quad i(t)=\tfrac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/RC}.$

  • Descarregamento:
    $\displaystyle q(t)=Q_i\,e^{-t/RC},\quad i(t)=-\tfrac{Q_i}{RC}e^{-t/RC}.$

 

Resumo extraído do Capítulo 27, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 27 – Corrente e Resistência

27.1 Corrente Eléctrica

Esta secção introduz o conceito de corrente eléctrica como o fluxo ordenado de carga eléctrica através de um material, geralmente causado por uma diferença de potencial. A corrente média $I_{\text{avg}}$ é definida como a quantidade de carga $\Delta Q$ que passa por uma área $A$ por unidade de tempo $\Delta t$:

$$I_{\text{avg}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$$

A corrente instantânea é:

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

• A unidade SI é o ampere (A), equivalente a 1 coulomb por segundo.

• A direção convencional da corrente corresponde ao movimento de carga positiva.

• Nos metais, os portadores de carga são electrões (carga negativa), mas a direção da corrente é convencionalmente oposta ao seu movimento.

• Um modelo microscópico é apresentado: os portadores de carga movem-se com uma velocidade de deriva média $v_d$, apesar do seu movimento aleatório (semelhante ao de moléculas num gás).

• A corrente é expressa como:

$$I = nqv_d A$$

em que $n$ é a densidade de portadores de carga, $q$ a carga de cada um e $A$ a área da secção transversal do condutor.

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27.2 Resistência

Aqui é abordada a oposição ao fluxo de corrente num condutor. A densidade de corrente é definida como:

$$J = \frac{I}{A} = nqv_d$$

• Quando há um campo eléctrico $\vec{E}$, a densidade de corrente está relacionada com ele por:

$$J = \sigma E$$

onde $\sigma$ é a condutividade. Se esta relação se verificar, diz-se que o material é óhmico (obedece à Lei de Ohm).

• A resistência $R$ de um condutor de comprimento $\ell$ e área $A$ é:

$$R = \frac{\ell}{\sigma A} = \frac{\rho \ell}{A}$$

com $\rho = 1/\sigma$, a resistividade do material.

• A Lei de Ohm em termos de grandezas macroscópicas:

$$V = IR$$

• É importante distinguir entre:

  • Resistividade (ρ): propriedade do material.

  • Resistência (R): propriedade do objeto (geometria + material).

• São discutidos resistências comerciais, com valores indicados por código de cores.

• A secção conclui com exemplos que mostram como calcular a resistência de um fio e de um cabo coaxial.

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27.3 Modelo de Condução Eléctrica

Esta secção introduz o modelo de Drude para descrever a condução eléctrica em metais:

1. Os metais são vistos como um arranjo regular de átomos com electrões livres (electrões de condução).

2. Na ausência de campo eléctrico, os electrões movem-se de forma aleatória (sem corrente resultante).

3. Com um campo eléctrico aplicado, os electrões adquirem uma velocidade de deriva oposta ao campo.

• A força sobre um electrão é:

$$\vec{F} = q \vec{E}$$

e a aceleração média:

$$a = \frac{qE}{m_e}$$

• Após considerar o intervalo médio entre colisões $\tau$, obtém-se a velocidade de deriva:

$$v_d = \frac{qE \tau}{m_e}$$

• A densidade de corrente pode ser reescrita como:

$$J = \frac{nq^2 \tau}{m_e} E \Rightarrow \sigma = \frac{nq^2 \tau}{m_e} \quad \text{e} \quad \rho = \frac{m_e}{nq^2 \tau}$$

• A equação acima mostra que a resistividade está relacionada com:

  • massa do electrão,

  • densidade de portadores de carga,

  • tempo médio entre colisões.

• A teoria clássica prevê incorretamente a dependência da resistividade com a temperatura. Para corrigir isso, é introduzido um modelo quântico que considera o comportamento ondulatório dos electrões.

• No modelo quântico:

  • Se a estrutura atómica for perfeitamente periódica, não há colisões (resistência nula).

  • A resistividade real deve-se a impurezas e vibrações térmicas dos átomos (mais notórias a altas temperaturas).

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27.4 Resistência e Temperatura

Esta secção descreve como a resistividade de um condutor varia com a temperatura. Para muitos materiais condutores (sobretudo metais), essa variação é aproximadamente linear numa gama limitada de temperaturas:

$$\rho = \rho_0 [1 + \alpha (T - T_0)]$$

onde:

• $\rho$ é a resistividade à temperatura $T$,

• $\rho_0$ é a resistividade à temperatura de referência $T_0$ (geralmente 20 °C),

• $\alpha$ é o coeficiente de temperatura da resistividade, dado por:

$$\alpha = \frac{1}{\rho_0} \cdot \frac{\Delta \rho}{\Delta T}$$

• Como a resistência R depende de $\rho$, a sua variação com a temperatura é análoga:

$$R = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]$$

• Para metais como o cobre, o gráfico de resistividade vs. temperatura é linear numa grande gama, mas tende para um valor finito à medida que a temperatura se aproxima do zero absoluto. Essa resistividade residual deve-se a impurezas e imperfeições.

• Alguns materiais, como semicondutores (ex. carbono, germânio, silício), têm coeficiente $\alpha$ negativo, ou seja, a resistividade diminui com o aumento da temperatura. Isso deve-se ao aumento do número de portadores de carga.

---

27.5 Supercondutores

Nesta secção é descrita a supercondutividade, um fenómeno onde a resistência eléctrica de certos materiais cai abruptamente para zero abaixo de uma temperatura crítica $T_c$.

• Exemplo clássico: o mercúrio torna-se supercondutor abaixo de 4,15 K.

• A resistividade em estado supercondutor pode ser menor que $4 \times 10^{-25} \, \Omega \cdot m$, cerca de $10^{17}$ vezes menor do que a do cobre.

Características:

• Uma corrente eléctrica pode persistir indefinidamente num circuito supercondutor, sem necessidade de fonte de tensão (pois $R = 0$, e $V = IR = 0$).

• Existem dois grandes grupos:

  • Metálicos, como os inicialmente descobertos (ex.: Hg, Pb).

  • Cerâmicos, com temperaturas críticas muito mais altas (ex.: YBa₂Cu₃O₇ com $T_c = 92\,K$).

Aplicações:

• Imagem por ressonância magnética (MRI),

• Armazenamento de energia em campos magnéticos intensos,

• Levitação magnética (maglev),

• Linhas de transmissão eléctrica sem perdas (ainda em investigação).

---

27.6 Potência Eléctrica

Esta secção liga os conceitos de corrente, tensão e resistência ao ritmo de transferência de energia nos circuitos eléctricos. Quando uma carga $Q$ atravessa uma diferença de potencial $\Delta V$, a energia transferida é $Q \Delta V$. A potência (energia por unidade de tempo) é:

$$P = I \Delta V$$

Se a carga atravessar uma resistência, a energia é transformada em energia interna (aquecimento do material), fenómeno chamado de aquecimento por efeito Joule. Combinando com a Lei de Ohm $V = IR$, temos outras formas da potência:

$$P = I^2 R \quad \text{ou} \quad P = \frac{(\Delta V)^2}{R}$$

• A unidade SI da potência é o watt (W).

• As perdas em cabos eléctricos são inevitáveis devido à resistência dos materiais. A potência dissipada (perdida) é dada por $P = I^2 R$.

• Para minimizar perdas:

  • A energia eléctrica é transmitida a altas tensões e correntes reduzidas, reduzindo o termo $I^2 R$.

  • Transformadores são usados para aumentar e depois reduzir a tensão.

• A secção termina com exemplos sobre:

  • Aquecedores eléctricos,

  • Estimativa de custo de energia,

  • Relação entre eletricidade e termodinâmica.

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🧲 Quadro-Resumo – Corrente e Resistência 

⚡ Corrente Eléctrica

Quantidade	Símbolo	Fórmula / Definição	Unidade SI
Corrente média	$I_{\text{avg}}$	$I_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$	ampere (A)
Corrente instantânea	$I$	$I = \dfrac{dQ}{dt}$	ampere (A)
Corrente microscópica	$I$	$I = nq v_d A$	ampere (A)
Densidade de corrente	$J$	$J = \dfrac{I}{A} = nqv_d$	A/m²
Velocidade de deriva	$v_d$	$v_d = \dfrac{qE\tau}{m_e}$	m/s

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🧮 Resistência e Resistividade

Conceito	Símbolo	Fórmula / Relação	Unidade SI
Lei de Ohm	—	$V = IR$	V, A, Ω
Resistência (definição)	$R$	$R = \dfrac{V}{I}$	ohm (Ω)
Resistência (forma geométrica)	$R$	$R = \dfrac{\rho \ell}{A}$	ohm (Ω)
Resistividade	$\rho$	$\rho = \dfrac{1}{\sigma}$	Ω·m
Condutividade	$\sigma$	$\sigma = \dfrac{1}{\rho} = \dfrac{nq^2\tau}{m_e}$	S/m

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🌡️ Variação com a Temperatura

Quantidade	Fórmula	Notas
Resistividade com a temperatura	$\rho = \rho_0 [1 + \alpha (T - T_0)]$	$\alpha$ é o coeficiente de temperatura
Resistência com a temperatura	$R = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]$	Válido para intervalos moderados de $T$

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❄️ Supercondutores

• Resistência cai abruptamente para zero abaixo da temperatura crítica $T_c$.

• Correntes persistentes sem fonte de energia.

• Aplicações: MRI, maglev, armazenamento de energia.

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🔥 Potência Eléctrica

Expressão	Fórmula	Situação
Potência geral	$P = IV$	Energia por segundo
Potência em resistências	$P = I^2 R$ ou $P = \dfrac{V^2}{R}$	Efeito Joule
Unidade de potência	watt (W)	$1 \, \text{W} = 1\,\text{V} \cdot 1\,\text{A}$
Custo de energia	$\text{Energia} = P \cdot t$	Energia em kWh = kW × h

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🧠 Conceitos Importantes

• Corrente não é "consumida": é constante num circuito em série.

• Resistência depende do material (ρ) e da geometria do fio (comprimento e área).

• A resistividade de metais aumenta com a temperatura; em semicondutores, diminui.

• Altas tensões e baixas correntes são usadas na distribuição de energia para minimizar perdas $I^2 R$.

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