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sexta-feira, 29 de agosto de 2025

Resumo extraído do Capítulo 5 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 5 - Campo Elétrico em materiais


Secção 5.1 – Introdução

Esta secção apresenta a ligação entre campos elétricos e magnéticos e a forma como estes interagem com diferentes materiais. Introduz-se a noção de densidade de corrente como a quantidade de carga em movimento por unidade de área e por unidade de tempo, sendo medida em A/m². Discute-se também o papel fundamental da lei de conservação da carga, expressa pela equação da continuidade, que relaciona a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga no tempo. A equação da continuidade é um resultado essencial que garante que a carga elétrica não se cria nem se destrói, apenas se transfere. Esta introdução estabelece a base para o estudo das correntes de condução e de convecção em diferentes meios.


Secção 5.2 – Propriedades dos Materiais

Aqui são estudadas as características elétricas dos materiais e como estes respondem à aplicação de campos elétricos.

  • Condutores: Materiais como os metais têm grande quantidade de eletrões livres, o que permite uma condução eficiente de corrente elétrica.

  • Isoladores (dielétricos): Possuem pouquíssimos eletrões livres e, portanto, não conduzem corrente de forma significativa.

  • Semicondutores: Têm propriedades intermédias e a sua condutividade pode ser controlada através de impurezas (dopagem) ou da temperatura.



Secção 5.3 – Correntes de Convecção e Condução

Nesta parte distinguem-se dois tipos de correntes elétricas:

  • Corrente de convecção: associada ao movimento de cargas livres em fluidos ou no espaço livre (por exemplo, eletrões num feixe catódico ou iões num plasma). A densidade de corrente de convecção é expressa como:

J=ρvu\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}

onde ρv\rho_v é a densidade volumétrica de carga e u\mathbf{u} é a velocidade média das cargas.

  • Corrente de condução: ocorre em condutores devido à aplicação de um campo elétrico, sendo descrita pela lei de Ohm:

J=σE\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}

Ambos os tipos de correntes obedecem à equação da continuidade, assegurando a conservação da carga. A secção mostra como estes modelos permitem descrever situações práticas em que a corrente elétrica circula através de diferentes meios, sejam gases ionizados, líquidos ou sólidos condutores.


Secção 5.4 – Condutores

Nesta secção analisa-se o comportamento dos condutores quando submetidos a campos elétricos:

  • Condutor isolado:

    • Quando um campo elétrico externo é aplicado a um condutor isolado, as cargas livres (elétrões) deslocam-se rapidamente.

    • Formam-se cargas induzidas na superfície, que criam um campo interno oposto ao externo.

    • O resultado é que o campo total no interior do condutor é nulo:

      E=0,ρv=0,Vab=0\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0, \quad V_{ab} = 0

      Isto significa que um condutor perfeito é um equipotencial e não pode conter campo eletrostático no seu interior.

  • Condutor ligado a uma fonte de tensão:

    • Se o condutor está ligado a uma fonte, o equilíbrio eletrostático não se estabelece, já que há movimento contínuo de cargas.

    • Para manter a corrente, é necessário um campo elétrico não nulo dentro do condutor.

    • A resistência de um condutor uniforme é obtida pela relação:

      R=σS=ρcSR = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}

      onde \ell é o comprimento, SS a área da secção transversal, σ\sigma a condutividade e ρc=1/σ\rho_c = 1/\sigma a resistividade.

    • Quando a secção não é uniforme, a resistência pode ser calculada com integrais envolvendo o campo elétrico e a densidade de corrente.

  • Lei de Joule:

    • A potência dissipada num condutor é dada por:

      P=VEJdv=VσE2dvP = \int_V \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\, dv = \int_V \sigma E^2 \, dv

      ou, na forma mais usual,

      P=VI=I2RP = VI = I^2 R

      mostrando a conversão de energia elétrica em calor.

Esta análise mostra que a condução nos metais depende do movimento de eletrões sob ação de campos elétricos e das colisões com a rede cristalina.


Secção 5.5 – Polarização em Dielétricos

Aqui é explorado como os dielétricos respondem a campos elétricos:

  • Mecanismo de polarização:

    • Um átomo ou molécula é considerado como tendo cargas positivas (núcleo) e negativas (nuvem eletrónica).

    • Quando sujeito a um campo elétrico, há um deslocamento relativo entre estas cargas, formando um dipolo elétrico.

    • A soma dos dipolos por unidade de volume define a polarização:

      P=QkdkΔv\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}

      em C/m².

  • Tipos de dielétricos:

    • Não polares: só criam dipolos quando sujeitos a campo (ex.: gases nobres, oxigénio, azoto).

    • Polares: possuem dipolos permanentes que, sem campo, estão orientados aleatoriamente (ex.: água, HCl, poliestireno). O campo tende a alinhar esses dipolos.

  • Cargas ligadas:

    • A polarização dá origem a uma densidade de carga de superfície (ρps=Pan\rho_{ps} = \mathbf{P}\cdot \mathbf{a}_n) e a uma densidade de carga de volume (ρpv=P\rho_{pv} = -\nabla \cdot \mathbf{P}).

    • Estas não são cargas livres, mas resultam do deslocamento das cargas atómicas.

  • Deslocamento elétrico:

    • A relação entre D\mathbf{D}, E\mathbf{E} e P\mathbf{P} é:

      D=ε0E+P\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}
    • Para muitos dielétricos, a polarização é proporcional ao campo elétrico:

      P=χeε0E\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}

      onde χe\chi_e é a susceptibilidade elétrica.

Assim, os dielétricos influenciam os campos elétricos através da polarização, aumentando o fluxo elétrico (D\mathbf{D}) em relação ao que existiria no vácuo.


Secção 5.6 – Constante Dielétrica e Força Dielétrica

Nesta secção analisam-se duas propriedades importantes dos dielétricos:

  • Constante dielétrica (ou permissividade relativa εr\varepsilon_r):

    • Substituindo P=χeε0E\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E} em D=ε0E+P\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}, obtém-se:

      D=ε0(1+χe)E=εE\mathbf{D} = \varepsilon_0 (1+\chi_e)\mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E}

      com

      ε=ε0εr\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r
    • A constante dielétrica é, portanto, a razão entre a permissividade do material e a do vácuo.

    • Valores típicos estão tabelados (vidro, mica, teflon, etc.), sendo sempre εr1\varepsilon_r \geq 1.

  • Força dielétrica:

    • Quando o campo elétrico é suficientemente elevado, os eletrões podem ser arrancados das moléculas do dielétrico.

    • O material deixa de ser isolante e torna-se condutor: ocorre a ruptura dielétrica.

    • O valor mínimo do campo que causa a ruptura é a força dielétrica, geralmente expressa em kV/mm.

    • Este limite depende do material, da temperatura, da humidade e da duração da aplicação do campo.

Em resumo, a constante dielétrica mede a capacidade de armazenamento de energia elétrica no material, enquanto a força dielétrica define o limite máximo de campo que o material pode suportar sem falhar.


Secção 5.7 – Dielétricos Lineares, Isotrópicos e Homogéneos

Esta secção classifica os materiais dielétricos segundo três critérios fundamentais:

  • Linearidade:
    Um dielétrico é linear quando a relação entre D\mathbf{D} e E\mathbf{E} é diretamente proporcional, isto é:

    D=εE\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}

    Se a permissividade ε\varepsilon variar com o campo aplicado, o material é não linear.

  • Homogeneidade:
    O material é homogéneo quando ε\varepsilon é constante em todos os pontos do espaço (não depende das coordenadas espaciais).
    Se variar no espaço, o material é não homogéneo (exemplo: a atmosfera, cuja permissividade muda com a altitude).

  • Isotropia:
    O material é isotrópico quando as propriedades são iguais em todas as direções, isto é, D\mathbf{D} e E\mathbf{E} são paralelos.
    Se não forem paralelos, o material é anisotrópico, e a relação entre D\mathbf{D} e E\mathbf{E} é expressa por uma matriz (tensor de permissividade). Cristais e plasmas magnetizados são exemplos de materiais anisotrópicos.

  • Materiais simples:
    Na prática, a maioria dos problemas considera meios lineares, isotrópicos e homogéneos (LIH). Nesses casos, basta substituir ε0\varepsilon_0 por ε=ε0εr\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r nas expressões obtidas para o vácuo.

Assim, fórmulas como a Lei de Coulomb e a energia armazenada num campo elétrico podem ser adaptadas diretamente para materiais dielétricos LIH.


Secção 5.8 – Equação da Continuidade e Tempo de Relaxação

Esta secção trata da conservação da carga elétrica e do comportamento temporal da redistribuição de cargas em materiais:

  • Equação da continuidade:
    A partir da lei de conservação da carga, deduz-se que:

    J=ρvt\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}

    Esta equação indica que qualquer variação de carga num volume está associada ao fluxo de corrente que atravessa a sua superfície.
    Para correntes estacionárias (ρv/t=0\partial \rho_v / \partial t = 0), resulta J=0\nabla \cdot \mathbf{J} = 0, o que é consistente com a Lei das Correntes de Kirchhoff.

  • Tempo de relaxação (TrT_r):
    Considerando a lei de Ohm (J=σE\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}) e a lei de Gauss (E=ρv/ε\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho_v/\varepsilon), obtém-se:

    ρvt+σερv=0\frac{\partial \rho_v}{\partial t} + \frac{\sigma}{\varepsilon} \rho_v = 0

    cuja solução é um decaimento exponencial:

    ρv(t)=ρv0et/Tr\rho_v(t) = \rho_{v0} e^{-t/T_r}

    com

    Tr=εσT_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}

    chamado tempo de relaxação.

  • Interpretação física:

    • Em bons condutores (ex.: cobre), σ\sigma é muito elevado e TrT_r é extremamente curto (1019\sim 10^{-19} s). Isto significa que qualquer carga extra introduzida no interior migra para a superfície quase instantaneamente.

    • Em bons dielétricos (ex.: quartzo fundido), σ\sigma é muito baixa, resultando num tempo de relaxação muito longo (dias). Assim, as cargas introduzidas permanecem no interior por longos períodos.


Secção 5.9 – Condições de Contorno

Aqui são estabelecidas as condições que os campos elétricos devem satisfazer na fronteira entre dois meios diferentes.

  • Decomposição dos campos:
    O campo elétrico é separado em duas componentes relativamente à superfície de separação:

    E=Et+En\mathbf{E} = \mathbf{E}_t + \mathbf{E}_n
    • Et\mathbf{E}_t: componente tangencial

    • En\mathbf{E}_n: componente normal

  • Entre dois dielétricos:
    Aplicando as equações de Maxwell:

    • A componente tangencial de E\mathbf{E} é contínua:

      E1t=E2tE_{1t} = E_{2t}
    • A componente normal de D\mathbf{D} sofre descontinuidade proporcional à densidade de carga livre superficial ρs\rho_s:

      D1nD2n=ρsD_{1n} - D_{2n} = \rho_s

      Se não houver carga livre, D1n=D2nD_{1n} = D_{2n}.

    • Estas relações levam à lei da refração elétrica, que descreve a inclinação das linhas de campo ao passar de um meio para outro:

      tanθ1tanθ2=εr1εr2\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}
  • Entre condutor e dielétrico:

    • Dentro do condutor perfeito:

      E=0,ρv=0\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0
    • A componente tangencial de E\mathbf{E} na superfície é nula.

    • A componente normal de D\mathbf{D} na superfície é igual à densidade de carga livre superficial:

      Dn=ρsD_n = \rho_s
    • Aplicação prática: blindagem eletrostática (um condutor a zero potencial isola o seu interior de campos externos).

  • Entre condutor e espaço livre:
    Caso particular da anterior, com εr=1\varepsilon_r = 1.
    Assim, o campo elétrico externo é normal à superfície e proporcional à densidade de carga superficial.


Resumo

Neste capítulo estudaram-se as propriedades elétricas dos materiais e a forma como estes interagem com campos elétricos. Os principais pontos abordados foram:

  • A densidade de corrente (J\mathbf{J}) mede o fluxo de carga por unidade de área.

  • A equação da continuidade garante a conservação da carga elétrica, relacionando a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga.

  • Existem dois tipos principais de corrente:

    • Corrente de convecção, resultante do movimento de partículas carregadas em fluidos ou no espaço.

    • Corrente de condução, causada pelo movimento de eletrões livres em condutores sob ação de um campo elétrico, obedecendo à lei de Ohm (J=σE\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}).

  • Em condutores perfeitos, o campo elétrico interno é nulo e as cargas livres distribuem-se na superfície. A potência dissipada em condutores reais segue a lei de Joule (P=I2RP = I^2R).

  • Em dielétricos, o campo elétrico provoca polarização, que é o alinhamento de dipolos elétricos. A polarização pode ser expressa em função da susceptibilidade elétrica χe\chi_e.

  • O vetor deslocamento elétrico (D\mathbf{D}) relaciona-se com o campo elétrico e a polarização através de:

    D=ε0E+P\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}
  • A constante dielétrica relativa (εr\varepsilon_r) quantifica a capacidade de um material armazenar energia elétrica.

  • A força dielétrica indica o valor máximo de campo que um dielétrico pode suportar sem sofrer ruptura.

  • Os materiais podem ser classificados como lineares ou não lineares, homogéneos ou não homogéneos, e isotrópicos ou anisotrópicos.

  • A redistribuição temporal de cargas obedece ao tempo de relaxação (Tr=ε/σT_r = \varepsilon / \sigma), que é muito curto em bons condutores e muito longo em dielétricos.

  • Foram estabelecidas as condições de contorno para os campos elétricos em interfaces:

    • A componente tangencial de E\mathbf{E} é contínua.

    • A componente normal de D\mathbf{D} sofre descontinuidade proporcional à carga superficial livre.

    • No caso de condutores, o campo elétrico é sempre normal à superfície e proporcional à densidade de carga.


Equações Importantes

  1. Densidade de corrente:

J=limΔS0IΔS\mathbf{J} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{I}{\Delta S}

onde II é a corrente que atravessa a área ΔS\Delta S.

  1. Equação da continuidade:

J=ρvt\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}

garante a conservação da carga elétrica.

  1. Corrente de convecção:

J=ρvu\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}

onde ρv\rho_v é a densidade volumétrica de carga e u\mathbf{u} a velocidade das partículas carregadas.

  1. Corrente de condução (Lei de Ohm local):

J=σE\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}

onde σ\sigma é a condutividade do material.

  1. Resistência de um condutor uniforme:

R=σS=ρcSR = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}

onde \ell é o comprimento, SS a área da secção transversal, σ\sigma a condutividade e ρc\rho_c a resistividade.

  1. Potência dissipada num condutor (Lei de Joule):

P=VI=I2R=V2RP = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}

  1. Polarização:

P=QkdkΔv\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}

e, para materiais lineares,

P=χeε0E\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}

onde χe\chi_e é a susceptibilidade elétrica.

  1. Deslocamento elétrico:

D=ε0E+P\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}

  1. Relação em dielétricos lineares, isotrópicos e homogéneos:

D=εE,ε=ε0εr\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, \quad \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r

  1. Tempo de relaxação:

Tr=εσT_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}

  1. Condições de contorno nos campos elétricos:

  • Componente tangencial de E\mathbf{E}:

E1t=E2tE_{1t} = E_{2t}

  • Componente normal de D\mathbf{D}:

D1nD2n=ρsD_{1n} - D_{2n} = \rho_s


Capítulo 5 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed


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quinta-feira, 28 de agosto de 2025

Resumo extraído do Capítulo 4 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O.

Capítulo 4 - Campo Eletroestático



Secção 4.1 – Introdução

  • O estudo começa pela definição da carga elétrica, considerada a fonte fundamental de todos os fenómenos eletromagnéticos.

  • A carga é uma propriedade inerente da matéria, existindo em duas formas: positiva e negativa.

  • A unidade padrão de medida da carga é o coulomb (C).

  • As leis fundamentais associadas à carga elétrica são:

    • Lei da conservação da carga: a carga não pode ser criada nem destruída, apenas transferida.

    • Lei da quantização da carga: a carga ocorre sempre em múltiplos inteiros da carga elementar do eletrão/protão (e=1.602×1019Ce = 1.602 \times 10^{-19} C).

  • O capítulo tem como objetivo introduzir os conceitos de campo elétrico e potencial elétrico, a partir do comportamento das cargas.


Secção 4.2 – Lei de Coulomb e Intensidade do Campo

  • A Lei de Coulomb descreve a força entre duas cargas puntiformes:

    F=14πϵQ1Q2R2a^R\vec{F} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{R^2} \cdot \hat{a}_R

    onde:

    • Q1,Q2Q_1, Q_2 são as cargas,

    • RR é a distância entre elas,

    • ϵ\epsilon é a permissividade do meio,

    • a^R\hat{a}_R é o vetor unitário da direção da linha que une as cargas.

  • A força é repulsiva se as cargas têm o mesmo sinal e atrativa se têm sinais opostos.

  • Define-se o campo elétrico E\vec{E} como a força por unidade de carga de teste:

    E=FQ\vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q}
  • Assim, o campo elétrico devido a uma carga puntiforme é:

    E=Q4πϵR2a^R\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \epsilon R^2} \hat{a}_R
  • Esta secção também aborda o conceito de intensidade do campo, mostrando que o campo elétrico é um campo vetorial que varia no espaço, com direção radial a partir da carga fonte.


Secção 4.3 – Campos Elétricos Devidos a Distribuições Contínuas de Carga

  • Muitas situações práticas envolvem distribuições de carga contínuas em vez de cargas puntiformes.

  • Consideram-se três tipos de densidade de carga:

    • Linear (ρl\rho_l) [C/m]: carga distribuída ao longo de um fio ou linha.

    • Superficial (ρs\rho_s) [C/m²]: carga distribuída sobre uma superfície.

    • Volumétrica (ρv\rho_v) [C/m³]: carga distribuída no volume.

  • A intensidade de campo resultante é obtida através da integração da contribuição de cada elemento diferencial de carga:

    • Para carga linear:

      E=14πϵρldlR2a^R\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_l dl}{R^2} \hat{a}_R
    • Para carga superficial:

      E=14πϵρsdSR2a^R\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_s dS}{R^2} \hat{a}_R
    • Para carga volumétrica:

      E=14πϵρvdVR2a^R\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_v dV}{R^2} \hat{a}_R
  • A secção fornece exemplos de aplicação prática destes cálculos, mostrando como obter o campo elétrico gerado por distribuições de carga em diferentes  geometrias.


Secção 4.4 – Densidade de Fluxo Elétrico

  • O fluxo elétrico associado ao campo E\vec{E} pode ser definido, mas para maior utilidade em eletrostática introduz-se o conceito de densidade de fluxo elétrico D\vec{D}.

  • Define-se:

    D=ϵ0E\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E}

    onde ϵ0\epsilon_0 é a permissividade do vazio.

  • D\vec{D} é medido em coulombs por metro quadrado (C/m²) e, por razões históricas, também é chamado deslocamento elétrico.

  • A quantidade de fluxo elétrico que atravessa uma superfície é dada por:

    Φ=DdS\Phi = \int \vec{D} \cdot d\vec{S}
  • A vantagem de D\vec{D} em relação a E\vec{E} é que D\vec{D} depende apenas da carga e da posição, sendo independente do meio.

  • Todas as expressões para E\vec{E} derivadas da Lei de Coulomb (seções anteriores) podem ser reescritas para D\vec{D}, bastando multiplicar por ϵ0\epsilon_0.


Secção 4.5 – Lei de Gauss (Equação de Maxwell)

  • A Lei de Gauss estabelece que:

    “O fluxo elétrico total que atravessa uma superfície fechada é igual à carga total no interior dessa superfície.”

  • Em termos matemáticos:

    DdS=Qinterior\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = Q_{\text{encerrada}}
  • Usando o teorema da divergência, esta lei pode ser escrita na forma diferencial:

    D=ρv\nabla \cdot \vec{D} = \rho_v

    onde ρv\rho_v é a densidade de carga volumétrica.

  • Assim, a Lei de Gauss apresenta-se em duas formas:

    • Integral: relaciona o fluxo de D\vec{D} numa superfície fechada com a carga total no interior.

    • Diferencial: relaciona a divergência de D\vec{D} num ponto com a densidade de carga nesse ponto.

  • Observações importantes:

    1. A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb (uma pode ser derivada da outra).

    2. É válida sempre, mas só é útil na prática quando há simetria na distribuição de cargas (esférica, cilíndrica, ou planar).

    3. Quando a distribuição de carga não é simétrica, a lei continua válida, mas calcular E\vec{E} requer a aplicação direta da Lei de Coulomb.


Secção 4.6 – Aplicações da Lei de Gauss

  • A secção mostra como aplicar a Lei de Gauss para obter campos elétricos em distribuições de carga simétricas.

  • O procedimento geral é:

    1. Identificar se existe simetria (esférica, cilíndrica, ou planar).

    2. Escolher uma superfície gaussiana que respeite essa simetria.

    3. Avaliar o fluxo de D\vec{D} nessa superfície.

    4. Igualar ao total de carga encerrada.

  • Casos práticos apresentados:

    • Carga puntiforme: usa-se uma superfície esférica. O resultado confirma E=Q4πϵ0r2a^r\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat{a}_r.

    • Linha infinita de carga: escolhe-se uma superfície cilíndrica. Obtém-se E1ρ\vec{E} \propto \frac{1}{\rho}, ou seja, o campo decresce inversamente com a distância radial.

    • Folha infinita de carga: usa-se uma caixa (paralelepípedo) atravessada pelo plano da carga. O campo resultante é constante e perpendicular à superfície, independentemente da distância.

    • Esfera carregada uniformemente:

      • Para r<ar < a (dentro da esfera), Dr\vec{D} \propto r.

      • Para r>ar > a (fora da esfera), D1r2\vec{D} \propto \frac{1}{r^2}, como se toda a carga estivesse concentrada no centro.


Secção 4.7 – Potencial Elétrico

  • Até aqui o campo elétrico E\vec{E} foi obtido pela Lei de Coulomb ou pela Lei de Gauss.

  • Outra forma é através do potencial escalar elétrico (V), que simplifica os cálculos porque trabalha com grandezas escalares em vez de vetores.

  • O trabalho necessário para mover uma carga QQ de um ponto AA para um ponto BB num campo elétrico E\vec{E} é:

    W=QABEdlW = -Q \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}
  • O potencial elétrico entre AA e BB é a energia potencial por unidade de carga:

    VAB=VBVA=ABEdlV_{AB} = V_B - V_A = - \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}
  • Propriedades importantes:

    1. O potencial é independente do caminho, apenas depende dos pontos inicial e final.

    2. A unidade é o volt (V), equivalente a joule por coulomb.

    3. Costuma-se definir o potencial de referência como zero no infinito.

  • Para uma carga puntiforme QQ:

    V(r)=Q4πϵ0rV(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r}
  • Para várias cargas ou distribuições contínuas (linear, superficial, volumétrica), o potencial é obtido pela soma/integral das contribuições de cada elemento de carga.

  • O potencial é particularmente útil porque evita lidar diretamente com vetores ao calcular E\vec{E}.


Secção 4.8 – Relação entre E\vec{E} e VV — Equação de Maxwell

  • O campo elétrico E\vec{E} é um campo conservativo, ou seja:

    Edl=0\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0
  • Isto significa que o trabalho líquido feito ao mover uma carga numa trajetória fechada é zero.

  • Aplicando o teorema de Stokes, obtém-se a forma diferencial:

    ×E=0\nabla \times \vec{E} = 0
  • Esta é a segunda equação de Maxwell para campos eletrostáticos.

  • Como consequência, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente negativo do potencial:

    E=V\vec{E} = - \nabla V
  • O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta sempre no sentido em que o potencial diminui.

  • Esta relação mostra que todo o campo eletrostático pode ser descrito por uma função escalar única, o que simplifica bastante os cálculos.


Secção 4.9 – Dipolo Elétrico e Linhas de Fluxo

  • Um dipolo elétrico consiste em duas cargas de mesma magnitude mas sinais opostos (+Q+Q e Q-Q) separadas por uma pequena distância dd.

  • O momento dipolar elétrico é definido como:

    p=Qd\vec{p} = Q \cdot \vec{d}

    apontando da carga negativa para a carga positiva.

  • O potencial devido a um dipolo (para rdr \gg d) é:

    V(r,θ)=pcosθ4πϵ0r2V(r, \theta) = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
  • O campo elétrico de um dipolo é obtido pelo gradiente do potencial:

    E(r,θ)=p4πϵ0r3(2cosθa^r+sinθa^θ)\vec{E}(r, \theta) = \frac{p}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \left( 2 \cos \theta \, \hat{a}_r + \sin \theta \, \hat{a}_\theta \right)
  • Comparações importantes:

    • Campo de uma carga puntiforme (monopolo): decresce como 1/r21/r^2.

    • Campo de um dipolo: decresce mais rapidamente, como 1/r31/r^3.

    • Potencial de uma carga: varia como 1/r1/r.

    • Potencial de um dipolo: varia como 1/r21/r^2.

  • Linhas de fluxo: as linhas do campo de um dipolo mostram a atração entre cargas opostas, concentrando-se da carga positiva para a negativa.

  • Os dipolos são muito importantes porque muitas moléculas (como a água) podem ser modeladas como dipolos, e os campos dipolares têm grande relevância em física e engenharia.


Secção 4.10 – Densidade de Energia em Campos Eletrostáticos

Nesta secção estuda-se a energia armazenada num sistema de cargas elétricas.

  • Para determinar a energia de um conjunto de cargas, calcula-se o trabalho necessário para as juntar (trazer cada carga do infinito até à sua posição final).

  • No caso de n cargas pontuais, a energia total é dada por:

WE=12k=1nQkVkW_E = \tfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} Q_k V_k

onde QkQ_k é a carga e VkV_k o potencial no ponto onde está localizada.

  • Se, em vez de cargas discretas, houver uma distribuição contínua de carga, a soma transforma-se em integral:

    • Linha: WE=12pLVdlW_E = \tfrac{1}{2}\int p_L V \, dl

    • Superfície: WE=12psVdSW_E = \tfrac{1}{2}\int p_s V \, dS

    • Volume: WE=12pvVdvW_E = \tfrac{1}{2}\int p_v V \, dv

Como pv=Dp_v = \nabla \cdot D, a expressão pode ser manipulada até chegar a uma forma mais prática em termos do campo elétrico:

WE=12DEdvW_E = \tfrac{1}{2} \int D \cdot E \, dv

Daqui surge a definição de densidade de energia eletrostática (energia por unidade de volume):

wE=12ε0E2=D22ε0w_E = \tfrac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 = \tfrac{D^2}{2\varepsilon_0}

Ou seja, a energia está armazenada no campo elétrico criado pela distribuição de cargas.
A secção termina com exemplos:

  • Cálculo da energia de um sistema de três cargas pontuais.

  • Determinação do potencial e energia armazenada numa distribuição esférica de carga com simetria radial.


Resumo do Capítulo

O capítulo reúne os principais conceitos dos campos eletrostáticos:

  1. Leis fundamentais – Lei de Coulomb e Lei de Gauss.

    • Coulomb descreve a força entre cargas pontuais.

    • A intensidade do campo elétrico EE é definida como a força por unidade de carga.

  2. Distribuições contínuas de carga – O cálculo da carga total e do campo resultante pode ser feito integrando a densidade linear, superficial ou volumétrica.

  3. Casos especiais – Campos gerados por:

    • Linha infinita de carga.

    • Folha infinita de carga.

  4. Fluxo elétrico e densidade de fluxo DD – Relação entre DD e EE no vazio: D=ε0ED = \varepsilon_0 E.

    • A lei de Gauss afirma que o fluxo de DD através de uma superfície fechada é igual à carga dentro da superfície.

    • Esta é a primeira equação de Maxwell (no eletroestático).

  5. Potencial elétrico – O trabalho para mover uma carga no campo:

    W=QEdlW = -Q \int E \cdot dl
    • O potencial devido a uma carga pontual é V(r)=Q4πε0rrV(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 |r-r'|}.

    • O potencial para distribuições contínuas obtém-se por integração.

    • Se o campo EE for conhecido, o potencial pode ser obtido via V=EdlV = -\int E \cdot dl.

  6. Campo conservativo – O campo eletrostático é conservativo:

    ×E=0\nabla \times E = 0

    Esta é a segunda equação de Maxwell (no eletroestático).

  7. Relação entre EE e VVE=VE = -\nabla V.

  8. Dipolo elétrico – O potencial de um dipolo é:

    V(r)=p(rr)4πε0rr3V(r) = \frac{\mathbf{p} \cdot (r-r')}{4\pi \varepsilon_0 |r-r'|^3}
  9. Superfícies equipotenciais e linhas de fluxo – As linhas de campo DD são sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais.

  10. Energia armazenada

    • Para cargas discretas: WE=12QkVkW_E = \tfrac{1}{2}\sum Q_k V_k.

    • Para distribuições contínuas:

      WE=12DEdv=12ε0E2dvW_E = \tfrac{1}{2}\int D \cdot E \, dv = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 \int |E|^2 dv

Assim, conclui-se que a energia eletrostática não está “nas cargas”, mas sim armazenada no campo elétrico.



Capítulo 4 - Campo Eletroestático


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quarta-feira, 27 de março de 2024

Resolução de problema para determinar energia potencial elétrica


Problema de Física A, FCUL, série 4, problema 5.







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