Resumo extraído do Capítulo 2 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 2 - Sistemas de Coordenadas e transformações

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2.1 Introdução

Nesta secção, o autor explica que as grandezas físicas em eletromagnetismo  dependem do espaço e do tempo. Para descrever as variações espaciais dessas grandezas, é necessário identificar pontos no espaço de forma única através de um sistema de coordenadas.
Existem sistemas de coordenadas ortogonais (em que as superfícies coordenadas são perpendiculares entre si) e não ortogonais (pouco usados, devido à complexidade).

Exemplos de sistemas ortogonais: cartesiano (ou retangular), cilíndrico circular, esférico, elíptico cilíndrico, parabólico cilíndrico, cónico, prolato esferoidal, oblato esferoidal e elipsoidal.
Um problema difícil num sistema pode tornar-se simples noutro, o que justifica a escolha adequada do sistema de coordenadas.

Neste capítulo, o autor foca-se apenas nos três mais usados:

• Cartesiano (x, y, z)

• Cilíndrico circular (r, φ, z)

• Esférico (r, θ, φ)

Os conceitos apresentados no sistema cartesiano no capítulo anterior também se aplicam aos outros sistemas. Por exemplo, o cálculo de produtos vetoriais é feito de forma análoga em qualquer sistema. Finalmente, o autor refere que muitas vezes é necessário transformar pontos e vetores de um sistema para outro, e que serão mostradas as técnicas para isso.

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2.2 Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

Um ponto $P$ pode ser representado por $(x, y, z)$, onde cada variável varia no intervalo $(-\infty, +\infty)$.

Um vetor $\mathbf{A}$ é escrito como:

$$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z) = A_x \mathbf{a}_x + A_y \mathbf{a}_y + A_z \mathbf{a}_z$$

onde $\mathbf{a}_x, \mathbf{a}_y, \mathbf{a}_z$ são vetores unitários ao longo dos eixos.
O sistema pode ser destro (mais comum) ou canhoto. No sistema destro, a regra da mão direita define a orientação entre os eixos.

Este sistema é adequado para problemas em que não existe simetria circular ou esférica. Serve como base para a generalização a outros sistemas de coordenadas.

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2.3 Coordenadas Cilíndricas Circulares (r, φ, z)

Este sistema é muito útil quando há simetria cilíndrica, por exemplo em cabos coaxiais.
Um ponto $P$ é representado por $(r, φ, z)$, onde:

• $r$: distância radial ao eixo z,

• $φ$: ângulo azimutal medido a partir do eixo x no plano xy,

• $z$: mesma coordenada que no sistema cartesiano.

Intervalos típicos:

$$0 \leq r < \infty, \quad 0 \leq φ < 2\pi, \quad -\infty < z < \infty$$

Um vetor $\mathbf{A}$ escreve-se como:

$$\mathbf{A} = (A_r, A_φ, A_z) = A_r \mathbf{a}_r + A_φ \mathbf{a}_φ + A_z \mathbf{a}_z$$

onde $\mathbf{a}_r, \mathbf{a}_φ, \mathbf{a}_z$ são vetores unitários mutuamente perpendiculares.
A magnitude do vetor é:

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_r^2 + A_φ^2 + A_z^2}$$

As relações de ortogonalidade e produtos vetoriais seguem a convenção de um sistema destro:

$$\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_φ = \mathbf{a}_z, \quad \mathbf{a}_φ \times \mathbf{a}_z = \mathbf{a}_r, \quad \mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_r = \mathbf{a}_φ$$

Transformações entre cartesiano e cilíndrico

• De cartesiano para cilíndrico:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad φ = \tan^{-1}(y/x), \quad z = z$$

• De cilíndrico para cartesiano:

$$x = r\cos φ, \quad y = r\sin φ, \quad z = z$$

Transformações de vetores

As componentes em cada sistema também podem ser relacionadas através de matrizes de transformação, permitindo converter vetores entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.

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2.4 Coordenadas Esféricas (r, θ, φ)

O sistema de coordenadas esféricas é indicado para problemas com simetria esférica, como campos radiados por antenas ou cargas puntuais.
Um ponto $P$ é representado por $(r, θ, φ)$, onde:

• $r$: distância radial do ponto à origem,

• $θ$ (colatitude): ângulo entre o eixo $z$ e o vetor posição,

• $φ$: ângulo azimutal, medido a partir do eixo $x$ no plano $xy$ (o mesmo que em coordenadas cilíndricas).

Intervalos típicos:

$$0 \leq r < \infty, \quad 0 \leq θ \leq \pi, \quad 0 \leq φ < 2\pi$$

Um vetor $\mathbf{A}$ é expresso como:

$$\mathbf{A} = (A_r, A_θ, A_φ) = A_r \mathbf{a}_r + A_θ \mathbf{a}_θ + A_φ \mathbf{a}_φ$$

• $\mathbf{a}_r$: aponta na direção radial (aumentando $r$),

• $\mathbf{a}_θ$: aponta na direção do aumento de $θ$,

• $\mathbf{a}_φ$: aponta na direção do aumento de $φ$.

Estes vetores são ortogonais e obedecem às regras de um sistema destro:

$$\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_θ = \mathbf{a}_φ, \quad \mathbf{a}_θ \times \mathbf{a}_φ = \mathbf{a}_r, \quad \mathbf{a}_φ \times \mathbf{a}_r = \mathbf{a}_θ$$

A magnitude de $\mathbf{A}$ é:

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_r^2 + A_θ^2 + A_φ^2}$$

Transformações entre cartesiano e esférico

• De cartesiano para esférico:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad θ = \tan^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}\right), \quad φ = \tan^{-1}(y/x)$$

• De esférico para cartesiano:

$$x = r \sin θ \cos φ, \quad y = r \sin θ \sin φ, \quad z = r \cos θ$$

Transformação de vetores

As componentes cartesianas $(A_x, A_y, A_z)$ podem ser relacionadas com $(A_r, A_θ, A_φ)$ através de matrizes de transformação. O processo pode ser feito de forma direta ou usando o produto escalar entre vetores unitários.

O autor destaca que a transformação de pontos e vetores não altera o objeto físico em si, apenas a forma como é representado. Por exemplo, o módulo de um vetor permanece constante em qualquer sistema de coordenadas.

Finalmente, a distância entre dois pontos é apresentada em forma geral para cada sistema (cartesiano, cilíndrico e esférico), mostrando como calcular $d = | \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 |$.

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2.5 Superfícies de Coordenada Constante

As superfícies de coordenada constante ajudam a visualizar a geometria de cada sistema:

• No sistema cartesiano:

  • $x = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $yz$,

  • $y = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xz$,

  • $z = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xy$.
    A interseção de duas superfícies é uma linha, e de três superfícies é um ponto.

• No sistema cilíndrico:

  • $r = \text{constante}$ → cilindro circular,

  • $φ = \text{constante}$ → semiplano que contém o eixo $z$,

  • $z = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xy$.
    A interseção de duas destas superfícies pode ser uma linha reta ou um círculo, e a de três define um ponto.

• No sistema esférico:

  • $r = \text{constante}$ → esfera,

  • $θ = \text{constante}$ → cone com vértice na origem e eixo coincidente com $z$,

  • $φ = \text{constante}$ → semiplano a partir do eixo $z$.
    A interseção de duas superfícies dá curvas (ex.: círculos ou semicírculos), e a de três dá um ponto.

É também referido que o vetor normal a uma superfície de coordenada constante é dado por $\pm \mathbf{a}_n$, onde $n$ é a variável mantida constante.

O capítulo inclui exemplos resolvidos e exercícios práticos que mostram como calcular componentes tangenciais, normais ou ângulos de vetores relativamente a superfícies e linhas definidas nestes sistemas.

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Resumo

1. Os três sistemas de coordenadas mais usados em eletromagnetismo são o cartesiano, o cilíndrico e o esférico.

2. Um ponto $P$ é representado como:

   • $(x, y, z)$ em cartesiano,

   • $(r, φ, z)$ em cilíndrico,

   • $(r, θ, φ)$ em esférico.
     Um vetor $\mathbf{A}$ é expresso com as componentes correspondentes e respetivos vetores unitários de cada sistema.
     Para operações matemáticas (adição, produto escalar, produto vetorial, etc.), deve-se usar o mesmo sistema de coordenadas, recorrendo a transformações de pontos e vetores sempre que necessário.

3. Fixar uma coordenada define uma superfície; fixar duas define uma linha; fixar três define um ponto.

4. O vetor normal a uma superfície $n = \text{constante}$ é $\pm \mathbf{a}_n$.

O capítulo termina com uma tabela (2.1) que resume as transformações de variáveis e de componentes de vetores entre os três sistemas (cartesiano, cilíndrico e esférico).

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