Resumo extraído do Capítulo 34, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 34 – Ondas Eletromagnéticas

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34.1 – Corrente de Deslocamento e Forma Geral da Lei de Ampère

A forma original da lei de Ampère, válida apenas quando os campos eléctricos são constantes no tempo, leva a inconsistências em situações como o carregamento de um condensador. Numa dessas situações, o campo magnético calculado depende da superfície escolhida, o que é fisicamente inadmissível.

James Clerk Maxwell resolveu este problema ao introduzir a noção de corrente de deslocamento, que é um termo adicional na lei de Ampère para contemplar os efeitos de campos eléctricos variáveis no tempo:

$$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$$

Ao adicionar este termo, a lei de Ampère–Maxwell fica:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 \left( I + \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \right)$$

Ou seja, os campos magnéticos são gerados não só por correntes de condução, mas também por campos eléctricos que variam com o tempo. Esta contribuição teórica de Maxwell foi determinante para a compreensão das ondas electromagnéticas.

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34.2 – Equações de Maxwell e Descobertas de Hertz

Maxwell formulou quatro equações fundamentais que descrevem todos os fenómenos eléctricos e magnéticos no vácuo:

1. Lei de Gauss para o campo eléctrico

   $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0}$$

2. Lei de Gauss para o magnetismo

   $$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$

   (Não existem monopólos magnéticos.)

3. Lei de Faraday da indução

   $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$

4. Lei de Ampère–Maxwell

   $$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$$

Estas equações preveem a existência de ondas electromagnéticas. Maxwell mostrou que a luz é uma forma dessas ondas.

Heinrich Hertz confirmou experimentalmente esta previsão em 1887, gerando e detectando ondas electromagnéticas com um circuito oscilante (tipo LC). Demonstrou que essas ondas têm propriedades como reflexão, refração, difracção, interferência e polarização, confirmando que a luz visível é um caso particular de radiação electromagnética.

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34.3 – Ondas Electromagnéticas Planas

Assumindo uma onda que se propaga na direcção $x$, com o campo eléctrico $\vec{E}$ na direcção $y$ e o campo magnético $\vec{B}$ na direcção $z$, pode demonstrar-se (usando as equações de Maxwell) que ambos os campos obedecem a uma equação de onda do tipo:

$$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$

A velocidade de propagação destas ondas é:

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3{,}00 \times 10^8\ \text{m/s}$$

Ou seja, a velocidade da luz.

As soluções mais simples são ondas sinusoidais:

$$E(x,t) = E_{\text{max}} \cos(kx - \omega t), \quad B(x,t) = B_{\text{max}} \cos(kx - \omega t)$$

Com:

• $\frac{E_{\text{max}}}{B_{\text{max}}} = c$

• Os campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são perpendiculares entre si e à direcção de propagação.

• Obedecem ao princípio da sobreposição, tal como as ondas mecânicas.

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34.4 — Energia transportada pelas ondas electromagnéticas

As ondas electromagnéticas transportam energia através do espaço. A forma de medir o fluxo de energia por unidade de área perpendicular à direcção de propagação é o vector de Poynting, definido por:

$$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}$$

 A direcção de $\vec{S}$ indica a direcção de propagação da onda.
 A magnitude de $\vec{S}$ representa a potência por unidade de área (W/m²) que atravessa uma superfície.

Para uma onda electromagnética plana e sinusoidal, os campos eléctrico e magnético variam no tempo. Como tal, o vector de Poynting é também dependente do tempo. Contudo, muitas vezes interessa-nos o valor médio (intensidade da onda):

$$I = \langle S \rangle = \frac{E_{\text{max}} B_{\text{max}}}{2\mu_0} = \frac{E_{\text{max}}^2}{2\mu_0 c} = \frac{c B_{\text{max}}^2}{2\mu_0}$$

Além disso, a energia está igualmente repartida entre os campos eléctrico e magnético:

• Densidade instantânea de energia do campo eléctrico:

  $$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$$

• Densidade instantânea de energia do campo magnético:

  $$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

Usando $B = E/c$ e $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$, mostra-se que:

$$u_E = u_B$$

 A densidade total instantânea de energia de uma onda é:

$$u = u_E + u_B = \varepsilon_0 E^2$$

 Em média, durante um período, obtemos:

$$u_{\text{médio}} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{\text{max}}^2$$

Finalmente, a intensidade da onda (potência média por unidade de área) relaciona-se com a densidade média de energia:

$$I = c u_{\text{médio}}$$

 Em resumo, as ondas electromagnéticas transportam energia de forma mensurável e direccionada, com os campos eléctrico e magnético contribuindo igualmente para essa energia.

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34.5 — Momento e Pressão de Radiação

As ondas electromagnéticas não transportam apenas energia, mas também momento linear. Quando uma onda incide numa superfície e a energia é absorvida ou reflectida, transfere-se momento, exercendo pressão de radiação.

 Casos principais:

• Absorção completa (exemplo: um corpo negro):

  $$p = \frac{T_{ER}}{c}$$

  onde $T_{ER}$ é a energia transferida.

  A pressão exercida é:

  $$P = \frac{S}{c}$$

  (com $S$ o módulo do vector de Poynting médio.)

• Reflexão completa (espelho perfeito):

  $$p = \frac{2 T_{ER}}{c}$$

  A pressão torna-se:

  $$P = \frac{2S}{c}$$

Para superfícies com reflectividade parcial, a pressão situa-se entre estes dois extremos.

 Apesar de geralmente pequenas (p. ex., ≈5×10⁻⁶ N/m² para luz solar directa), estas pressões são mensuráveis e podem ter aplicações práticas, como a propulsão de naves espaciais com velas solares. Um exemplo real é a missão japonesa IKAROS, o primeiro veículo a usar vela solar como propulsão principal.

Conceito importante: A pressão de radiação depende da forma como a energia é transferida para a superfície: absorção, reflexão ou combinação de ambas.

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34.6 — Produção de Ondas Electromagnéticas por uma Antena

Uma corrente constante não gera radiação electromagnética. Para emitir ondas electromagnéticas, é necessário que a corrente varie no tempo, o que implica aceleração de cargas.

 Antena de meia onda (exemplo estudado):

• Dois varões condutores ligados a uma fonte de tensão alternada (oscilador LC).

• Cada varão tem um quarto do comprimento de onda da radiação emitida.

• A corrente alternada força as cargas a acelerar para trás e para a frente, funcionando como um dipolo oscilante.

 A separação de cargas faz com que as linhas de campo eléctrico se assemelhem às de um dipolo eléctrico.
 As correntes variáveis nos varões criam campos magnéticos variáveis perpendiculares ao campo eléctrico.

Observações importantes:

• Nos pontos próximos do dipolo, $\vec{E}$ e $\vec{B}$ estão desfasados de 90º, o que faz com que o fluxo líquido de energia seja nulo ali.

• Porém, a radiação propagada para longe do dipolo forma campos eléctricos e magnéticos em fase que variam como $1/r$, originando transporte líquido de energia para o exterior.

 A intensidade radiada não é igual em todas as direcções:

• É máxima num plano perpendicular ao eixo da antena.

• Nula ao longo do eixo da antena.

• Segue aproximadamente uma lei angular $(\sin^2 \theta)/r^2$.

Antenas receptoras também funcionam por indução de correntes oscilantes, sendo mais eficazes quando alinhadas com o campo eléctrico incidente.

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34.7 – O Espectro das Ondas Electromagnéticas

As ondas electromagnéticas diferem entre si apenas na frequência e no comprimento de onda, mas todas são manifestações do mesmo fenómeno físico: a aceleração de cargas eléctricas.

O espectro electromagnético abrange uma gama vastíssima de frequências e comprimentos de onda, sem limites ou fronteiras nítidas entre as diferentes regiões. As categorias que usamos (como "luz visível", "raios X", etc.) são convenções práticas para descrever diferentes partes do espectro.

Principais regiões do espectro electromagnético:

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1. Ondas de rádio

• Comprimentos de onda: >10⁴ m até ~0.1 m.

• Origem: correntes oscilantes em condutores.

• Usos: comunicações de rádio, TV, telemóveis.

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2. Micro-ondas

• ~0.3 m até ~10⁻⁴ m.

• Geradas por dispositivos electrónicos (ex.: magnetrões).

• Usos: radar, telecomunicações, aquecimento em fornos micro-ondas.

• Aplicações avançadas: transmitir energia solar recolhida no espaço.

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3. Infravermelhos (IV)

• ~10⁻³ m até ~7×10⁻⁷ m.

• Emitidos por moléculas e objectos à temperatura ambiente.

• Efeito: agitam os átomos e moléculas do material absorvente, aumentando a sua energia interna → aquecimento.

• Usos: terapia, fotografia IV, espectroscopia vibracional.

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4. Luz visível

• ~400 nm (violeta) a ~700 nm (vermelho).

• A única parte detectável pelo olho humano.

• Origem: transições electrónicas em átomos/moléculas.

• Nota: a sensibilidade máxima do olho é cerca de 550 nm (verde-amarelado) — razão pela qual, por exemplo, bolas de ténis costumam ser amarelo-esverdeadas para melhor visibilidade.

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5. Ultravioleta (UV)

• ~400 nm até ~4 nm.

• Fonte natural principal: o Sol.

• Efeitos: provoca queimaduras solares, cataratas, danos no ADN.

• Protecção: o ozono estratosférico absorve a maior parte da radiação UV perigosa.

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6. Raios X

• ~10⁻⁸ m até ~10⁻¹² m.

• Origem: travagem rápida de electrões de alta energia em alvos metálicos.

• Usos: diagnóstico médico, tratamento de cancro, análise cristalográfica.

• Atenção: elevada capacidade de penetração → cuidados para evitar exposição excessiva.

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7. Raios Gama

• ~10⁻¹⁰ m até menos de ~10⁻¹⁴ m.

• Origem: transições nucleares, processos radioactivos.

• Também chegam do espaço como parte dos raios cósmicos.

• Altamente penetrantes e perigosos → requerem blindagem pesada (chumbo).

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Ideias-chave:

• Todas estas radiações são ondas electromagnéticas geradas por aceleração de cargas eléctricas.

• As diferenças entre elas são de frequência e comprimento de onda, não de natureza.

• A divisão do espectro é arbitrária e prática, não física.

• Todas transportam energia e podem interagir com a matéria, tendo aplicações úteis ou efeitos nocivos, conforme a situação.

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Resumo 

As ondas electromagnéticas, previstas pelas equações de Maxwell, apresentam um conjunto de propriedades fundamentais que se podem descrever por modelos de ondas progressivas.

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Equações de onda para os campos eléctrico e magnético

Os campos eléctrico $\vec{E}$ e magnético $\vec{B}$ obedecem ambos a equações diferenciais de onda no vácuo:

$$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial^2 B}{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 B}{\partial t^2}$$

 Estas equações mostram que os campos se propagam como ondas.

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Velocidade das ondas electromagnéticas

A velocidade de propagação no vácuo é:

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3,00 \times 10^8\, \text{m/s}$$

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Relação entre frequência e comprimento de onda

A frequência $f$ e o comprimento de onda $\lambda$ estão relacionados por:

$$\lambda = \frac{c}{f}$$

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Orientação dos campos

• Os campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são perpendiculares entre si.

• Ambos são perpendiculares à direcção de propagação.

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Relação entre as amplitudes dos campos

As amplitudes instantâneas estão relacionadas por:

$$\frac{E}{B} = c$$

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Transporte de energia

As ondas electromagnéticas transportam energia. A intensidade $I$ de uma onda plana e sinusoidal é dada pelo valor médio do vector de Poynting ao longo de um ciclo:

$$I = \langle S \rangle = \frac{E_{\text{max}} B_{\text{max}}}{2\mu_0} = \frac{E_{\text{max}}^2}{2\mu_0 c}$$

Energia média por unidade de volume:

$$u_{\text{médio}} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{\text{max}}^2$$

 Relação com a intensidade:

$$I = c \, u_{\text{médio}}$$

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Transporte de momento e pressão de radiação

• As ondas electromagnéticas transportam momento linear.

• Exercem pressão de radiação sobre as superfícies:

  • Absorção completa: $P = \frac{I}{c}$

  • Reflexão completa: $P = \frac{2I}{c}$

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Equações de Maxwell no vácuo

Conjunto fundamental que governa todo o electromagnetismo clássico:

 Lei de Gauss para o campo eléctrico:

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0}$$

 Lei de Gauss para o magnetismo:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$

 Lei de Faraday:

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$

 Lei de Ampère–Maxwell:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$$

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Força de Lorentz

A força exercida sobre uma carga $q$ em presença de campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$:

$$\vec{F} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B}$$

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O Espectro Electromagnético

• Abrange uma vasta gama de frequências e comprimentos de onda.

• Inclui: ondas de rádio, micro-ondas, infravermelhos, luz visível, ultravioleta, raios X, raios gama.

• Todas são geradas por aceleração de cargas eléctricas.

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Resumo extraído do Capítulo 33, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 33 – Circuitos em corrente alternada (AC)

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33.1 Fontes de Corrente Alternada

Uma fonte de corrente alternada (AC) fornece uma tensão alternada que varia sinusoidalmente com o tempo, descrita por:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$$

onde $\Delta V_{max}$ é a amplitude da tensão e $v$ é a frequência angular (ligada à frequência $f$ por $v = 2\pi f$). Exemplos de fontes AC incluem geradores e osciladores eléctricos. Em casa, cada tomada serve de fonte de AC.

A tensão alternada muda de sinal ao longo de cada ciclo: positiva numa metade, negativa na outra. O resultado é que a corrente no circuito também alterna de sentido, variando sinusoidalmente.

A frequência comercial varia consoante o país; em Portugal é de 50 Hz (o que dá uma frequência angular de 314 rad/s).

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33.2 Resistências num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC simples com uma resistência ligada a uma fonte AC. Usando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - i_R R = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$i_R = \frac{\Delta V_{max}}{R} \sin (vt) = I_{max} \sin (vt)$$

Assim, a corrente alternada numa resistência varia em fase com a tensão: ambos atingem os seus valores máximos e mínimos em simultâneo. Em gráficos de tensão e corrente versus tempo, os dois são sinusoides coincidentes.

Conceito de fase: Para resistências, corrente e tensão estão sempre em fase.

Diagramas fasoriais: Um fasor representa uma grandeza (corrente ou tensão) como um vetor rotativo cuja projeção no eixo vertical dá o valor instantâneo. Para uma resistência, os fasores de corrente e tensão estão alinhados, indicando fase igual.

Valores eficazes (rms): Em AC usa-se o valor eficaz (root-mean-square, rms) para facilitar comparações com DC:

$$I_{rms} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{max}$$ $$\Delta V_{rms} = \frac{\Delta V_{max}}{\sqrt{2}}$$

Por exemplo, quando dizemos que uma tomada fornece 230 V AC, referimo-nos ao valor rms; o valor de pico seria cerca de 330 V.

Potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

As resistências dissipam potência independentemente da direção da corrente: aquecem igualmente com corrente positiva ou negativa.

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33.3 Bobines num Circuito AC 

Agora considera-se um circuito AC com apenas uma bobine:

$$\Delta v_L = -L \frac{di_L}{dt}$$

Usando $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$\Delta V_{max} \sin (vt) = L \frac{di_L}{dt}$$

Integrando:

$$i_L = -\frac{\Delta V_{max}}{vL} \cos (vt) = \frac{\Delta V_{max}}{vL} \sin \left(vt - \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente numa bobine atrasa-se 90° em relação à tensão. Em gráficos de tempo, a tensão atinge o máximo um quarto de ciclo antes da corrente.

Diagramas fasoriais: os fasores de corrente e tensão são ortogonais (90° de diferença).

Reactância indutiva: a oposição de uma bobine à corrente AC depende da frequência:

$$X_L = vL$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_L}$$

Assim, para frequências mais altas, a reactância indutiva aumenta, reduzindo a corrente. Isto está de acordo com a lei de Faraday: maior variação de corrente gera uma força contra-electromotriz (emf) maior.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_L}$$

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33.4 Condensadores num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC constituído apenas por um condensador de capacitância $C$. Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - \frac{q}{C} = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$:

$$q = C \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente é dada por:

$$i_C = \frac{dq}{dt} = vC \Delta V_{max} \cos(vt)$$

Usando a identidade trigonométrica $\cos(vt) = \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$:

$$i_C = vC \Delta V_{max} \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente num condensador antecipa-se 90° em relação à tensão. Ou seja, a corrente antecipa a tensão por um quarto de ciclo.

Representação gráfica: nos gráficos de tempo, o pico da corrente ocorre antes do pico da tensão. Em pontos onde a corrente é nula, o condensador está carregado ao máximo.

Diagrama fasorial: o fasor da corrente está 90° à frente do fasor da tensão.

Reactância capacitiva: o condensador oferece oposição à corrente alternada dependente da frequência:

$$X_C = \frac{1}{vC}$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_C}$$

Interpretação: para frequências mais altas, a reactância capacitiva diminui, permitindo mais corrente. Quando a frequência se aproxima de zero (DC), $X_C$ tende para infinito, bloqueando a corrente.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_C}$$

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33.5 O Circuito Série RLC 

Agora estuda-se um circuito série com resistência (R), bobine (L) e condensador (C) ligados a uma fonte de tensão AC:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente no circuito é comum a todos os elementos:

$$i = I_{max} \sin(vt - \phi)$$

onde $\phi$ é o ângulo de fase entre a tensão aplicada e a corrente.

Características de fase:

• Na resistência: tensão e corrente em fase.

• Na bobine: tensão adianta-se à corrente por 90°.

• No condensador: tensão atrasa-se da corrente por 90°.

Tensões instantâneas:

$$\Delta v_R = I_{max} R \sin(vt)$$ $$\Delta v_L = I_{max} X_L \cos(vt)$$ $$\Delta v_C = -I_{max} X_C \cos(vt)$$

Impedância (Z): combina as três componentes considerando as diferenças de fase:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL, \quad X_C = \frac{1}{vC}$$

Corrente máxima:

$$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{Z}$$

Ângulo de fase:

$$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

• Se $X_L > X_C$: circuito mais indutivo → corrente atrasa-se em relação à tensão.

• Se $X_L < X_C$: circuito mais capacitivo → corrente antecipa-se em relação à tensão.

• Se $X_L = X_C$: circuito resistivo puro, $\phi = 0$.

Diagramas fasoriais: permitem somar as tensões nos diferentes elementos considerando as suas fases relativas. A soma vetorial resulta na tensão aplicada.

Conclusão: o comportamento do circuito série RLC depende fortemente da frequência de operação devido à variação de $X_L$ e $X_C$. Este circuito pode exibir ressonância (discutida mais adiante no capítulo).

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33.6 Potência num Circuito AC 

A potência instantânea fornecida por uma fonte AC é:

$$P = i \Delta v$$

Para um circuito RLC:

$$P = I_{max} \sin(vt - \phi) \cdot \Delta V_{max} \sin(vt)$$

Usando identidades trigonométricas e calculando o valor médio ao longo de um ciclo:

$$P_{avg} = \frac{1}{2} I_{max} \Delta V_{max} \cos \phi$$

Em termos de valores eficazes (rms):

$$P_{avg} = I_{rms} \Delta V_{rms} \cos \phi$$

onde $\cos \phi$ é o factor de potência.

Interpretação:

• $\cos \phi = 1$: carga puramente resistiva, máxima potência transferida.

• $\cos \phi = 0$: carga puramente reativa (bobine ou condensador puros), potência média zero.

Explicação física:

• Numa resistência, a energia elétrica converte-se em calor → há consumo real de potência.

• Numa bobine ou condensador ideais, a energia é armazenada e devolvida ao circuito → não há dissipação líquida de potência.

Factor de potência na prática: Em instalações industriais com cargas indutivas significativas (motores, transformadores), usa-se a compensação capacitiva para melhorar $\cos \phi$, reduzindo perdas e aumentando a eficiência da rede.

Expressão alternativa para potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

Conclusão: a potência dissipada num circuito AC depende não só da corrente e tensão rms, mas também do factor de potência, que quantifica o desfasamento entre corrente e tensão.

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33.7 Ressonância num Circuito Série RLC 

Um circuito série RLC comporta-se como um oscilador eléctrico. Quando a frequência da fonte coincide com a frequência natural do sistema, ocorre ressonância.

Impedância em AC:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL \quad \text{e} \quad X_C = \frac{1}{vC}.$$

A corrente eficaz (rms) é:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{Z}.$$

Na ressonância, $X_L = X_C$, logo:

$$v_0 L = \frac{1}{v_0 C} \quad \Rightarrow \quad v_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Propriedades da ressonância:

• A impedância atinge o mínimo $Z = R$.

• A corrente rms atinge o máximo:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{R}.$$

• Corrente e tensão estão em fase (ângulo de fase $\phi = 0$).

Curva de ressonância:

• A largura da curva (em frequência) está relacionada com a resistência.

• Quanto menor a resistência, mais estreita e alta é a curva de corrente em função da frequência.

Fator de qualidade (Q):

$$Q = \frac{v_0}{\Delta v} = \frac{v_0 L}{R}$$

onde $\Delta v$ é a largura da curva a meia-potência (half-power points).

Aplicações práticas:

• Circuitos de sintonia em rádios.

• Seleção de uma frequência específica num sinal complexo.

• Em rádios, o condensador variável permite ajustar a frequência de ressonância para captar diferentes estações.

Ideia central: A ressonância permite maximizar a resposta de corrente para uma frequência específica e filtrar todas as outras.

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33.8 O Transformador e a Transmissão de Energia 

Os transformadores são dispositivos que mudam a tensão e a corrente alternada sem alterar significativamente a potência. São essenciais para a transmissão eficiente de energia elétrica a longas distâncias.

Estrutura:

• Dois enrolamentos (primário e secundário) num núcleo de ferro.

• O núcleo guia o fluxo magnético, garantindo acoplamento entre os enrolamentos.

Lei de Faraday:

$$\Delta v_1 = -N_1 \frac{d\Phi_B}{dt}, \quad \Delta v_2 = -N_2 \frac{d\Phi_B}{dt}.$$

Assumindo fluxo comum:

$$\frac{\Delta v_2}{\Delta v_1} = \frac{N_2}{N_1}.$$

Dois tipos principais:

• Elevador de tensão: $N_2 > N_1$, aumenta a tensão.

• Redutor de tensão: $N_2 < N_1$, reduz a tensão.

Conservação de potência (ideal):

$$I_1 \Delta v_1 = I_2 \Delta v_2.$$

Equivalência de resistências vistas do primário:

$$R_{eq} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 R_L.$$

Permite ajustar resistências para maximizar transferência de potência.

Transmissão de energia elétrica:

• Alta tensão → Baixa corrente → Menores perdas $I^2 R$.

• Linhas de transmissão podem operar a centenas de quilovolts.

• Subestações reduzem gradualmente a tensão para níveis seguros e úteis (ex.: 230 kV → 20 kV → 400 V → 230 V).

Eficiência: Transformadores reais têm eficácias elevadas (90%–99%).

Exemplos quotidianos:

• Adaptadores de parede para aparelhos electrónicos.

• Transformadores em redes de distribuição eléctrica.

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33.9 Rectificadores e Filtros 

Muitos dispositivos electrónicos precisam de corrente contínua (DC) apesar de a rede fornecer corrente alternada (AC). Para isso usam-se rectificadores e filtros.

Rectificação:

• Processo de conversão de AC em DC.

• Principal elemento: díodo, que só conduz corrente num sentido.

• Circuito típico: rectificador de meia-onda com díodo em série com a carga.

• Resultado: corrente pulsante apenas numa direcção.

Filtro com condensador:

• Adiciona-se um condensador em paralelo com a carga.

• Suaviza a variação da tensão e corrente.

• O condensador carrega-se quando a tensão sobe e descarrega-se lentamente, mantendo corrente na carga mesmo quando a entrada AC desce.

Problema do ripple:

• Mesmo após filtragem, há uma pequena componente AC (ripple).

• É importante reduzir o ripple para níveis insignificantes, especialmente em áudio para evitar hums (ex.: 50/60 Hz).

Filtros RC:

• Circuitos específicos que deixam passar ou bloqueiam certas frequências.

• Exemplo: filtro passa-alto RC.

  • Baixas frequências → tensão de saída muito menor que a entrada.

  • Altas frequências → saída ≈ entrada.

Aplicação: eliminar componentes de baixa frequência indesejadas e permitir sinais úteis de alta frequência.

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33.10 Resumo

• A corrente alternada (AC) varia sinusoidalmente, permitindo transporte eficiente de energia.

• Em resistências, corrente e tensão estão em fase.

• Em bobines, a corrente atrasa-se 90° em relação à tensão.

• Em condensadores, a corrente antecipa-se 90° em relação à tensão.

• A impedância combina resistência e reactâncias indutiva e capacitiva, dependendo da frequência.

• Ressonância em circuitos série RLC ocorre quando $X_L = X_C$, minimizando a impedância e maximizando a corrente.

• Transformadores permitem alterar níveis de tensão e corrente para transmissão eficiente de energia.

• Rectificadores convertem AC em DC, com filtros (normalmente com condensadores) para suavizar a saída.

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Resumo extraído do Capítulo 32, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 32 – Indutância

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32.1 Auto-indução e Indutância

Quando fechamos um circuito com uma fonte de força electromotriz (f.e.m.), um interruptor e uma resistência, a corrente não atinge imediatamente o valor final dado por ε/R. À medida que a corrente aumenta, o campo magnético gerado pela corrente cria um fluxo magnético através da área do circuito. Segundo a Lei de Faraday, esta variação de fluxo induz uma f.e.m. no próprio circuito.

A f.e.m. induzida tem sinal oposto à f.e.m. da bateria — por isso chama-se força contra-electromotriz — e resiste ao aumento da corrente, fazendo com que esta cresça de forma gradual. Este fenómeno chama-se auto-indução, porque a variação de fluxo que causa a f.e.m. surge do próprio circuito.

A f.e.m. auto-induzida (eL) é proporcional à taxa de variação temporal da corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

onde L é a indutância, uma constante que depende da geometria do circuito (número de espiras, área, comprimento, etc.). Para um enrolamento de N espiras, com fluxo magnético Φ_B através de cada uma:

$$L = \frac{N \Phi_B}{i}$$

A indutância mede a oposição a variações de corrente, de forma semelhante ao modo como a resistência mede a oposição ao fluxo de corrente. A unidade SI de indutância é o henry (H), definido como 1 V·s/A.

O exemplo clássico é o solenoide de N espiras, comprimento ℓ (muito maior que o raio) e área A:

$$L = \mu_0 \frac{N^2 A}{\ell}$$

Este exemplo mostra que L depende fortemente do número de espiras ao quadrado e da geometria do enrolamento. A analogia com a capacitância (dependência da geometria das placas) e com a resistência (dependência do comprimento e área do condutor) é salientada.

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32.2 Circuitos RL

Um circuito RL contém uma resistência e uma bobine (indutor) ligadas em série a uma fonte de f.e.m. A presença de uma bobine impede mudanças instantâneas na corrente. Quando se fecha o interruptor, a corrente começa em zero e cresce de forma exponencial, pois a força contra-electromotriz da bobine opõe-se ao aumento.

Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\varepsilon - iR - L \frac{di}{dt} = 0$$

Resolvendo a equação diferencial obtém-se:

$$i(t) = \frac{\varepsilon}{R} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

com a constante de tempo:

$$\tau = \frac{L}{R}$$

Esta constante representa o tempo necessário para a corrente atingir 63,2% do valor final (ε/R). Quanto maior a indutância L ou menor a resistência R, mais lenta será a resposta do circuito.

Quando a fonte é desligada (substituída por um curto-circuito), o circuito passa a ter apenas a resistência e a bobine. A corrente decresce exponencialmente:

$$i(t) = I_i e^{-t/\tau}$$

A bobine impede que a corrente caia instantaneamente a zero. A força contra-electromotriz gerada tenta manter a corrente, libertando a energia armazenada no campo magnético.

Em resumo, a bobine «suaviza» as variações de corrente, criando uma resposta "preguiçosa" ou atrasada às mudanças de tensão.

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32.3 Energia num Campo Magnético

Quando uma bobine conduz corrente, armazena energia no seu campo magnético. Parte da energia fornecida pela fonte é dissipada em calor na resistência, mas parte é armazenada como energia magnética na bobine.

A taxa de fornecimento de energia pela fonte é:

$$\varepsilon i = iR + L i \frac{di}{dt}$$

O termo $iR$ é a potência dissipada como calor. Já $L i \frac{di}{dt}$ corresponde à taxa de armazenamento de energia na bobine. Integrando, obtém-se a energia total armazenada:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

Esta forma é análoga à energia armazenada num condensador:

$$U_E = \frac{1}{2} C V^2$$

Para um solenoide (ou outra distribuição de campo magnético conhecido), podemos calcular a densidade de energia magnética (energia por unidade de volume):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

Este resultado mostra que a energia armazenada no campo magnético depende do quadrado da intensidade do campo, de forma semelhante à densidade de energia num campo eléctrico.

Um exemplo trabalhado no texto demonstra que quando a bobine descarrega (por exemplo, num circuito RL isolado), toda a energia inicialmente armazenada no campo magnético se converte em energia interna (calor) na resistência.

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32.4 Indutância Mútua

Nesta secção, introduz-se o conceito de indutância mútua. Quando há dois circuitos próximos, a corrente variável num deles pode induzir uma f.e.m. no outro, porque o campo magnético de um atravessa a área do outro.

Imagina duas bobinas próximas (bobina 1 e bobina 2):

• A corrente i₁ em 1 cria um campo magnético. Parte desse campo atravessa a área de 2, gerando fluxo magnético Φ₁₂ em 2.

• Se i₁ varia no tempo, Φ₁₂ varia, induzindo uma f.e.m. em 2.

Define-se indutância mútua M₁₂ como:

$$M_{12} = \frac{N_2 \Phi_{12}}{i_1}$$

onde N₂ é o número de espiras da bobina 2.

A f.e.m. induzida em 2 devido a i₁ é:

$$\varepsilon_2 = -M_{12} \frac{di_1}{dt}$$

Analogamente, se i₂ em 2 variar, induz uma f.e.m. em 1:

$$\varepsilon_1 = -M_{21} \frac{di_2}{dt}$$

Pode-se demonstrar que M₁₂ = M₂₁ = M, porque depende apenas da geometria mútua dos circuitos e das suas orientações.

A unidade de indutância mútua é o henry (H), como na auto-indução.

Exemplo prático: carregadores sem fios. Uma bobina na base (primária) cria um campo magnético variável, induzindo corrente na bobina do aparelho (secundária).

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32.5 Oscilações num Circuito LC

Nesta secção estuda-se o circuito LC ideal: um condensador ligado a uma bobine, sem resistência e sem radiação electromagnética.

• Supondo o condensador inicialmente carregado (carga Q_max), quando o circuito se fecha, a energia armazenada no campo eléctrico do condensador começa a transferir-se para a bobine.

• À medida que o condensador se descarrega, a corrente aumenta, armazenando energia no campo magnético da bobine.

• Quando o condensador está totalmente descarregado, a energia está toda na bobine.

• A corrente continua, recarregando o condensador com polaridade oposta.

Este processo repete-se, criando oscilações electromagnéticas entre energia eléctrica (condensador) e magnética (bobine).

Matematicamente:

• A equação diferencial do circuito é:

$$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$$

• Solução:

$$q(t) = Q_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)$$

onde

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

é a frequência angular natural das oscilações.

• A corrente é:

$$i(t) = \frac{dq}{dt} = -\omega Q_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)$$

Observa-se que carga e corrente estão desfasadas de 90°: quando a carga é máxima, a corrente é zero e vice-versa.

A energia total do circuito (conservada no ideal):

$$U = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L i^2$$

oscila entre o campo eléctrico do condensador e o campo magnético da bobine, mas permanece constante no tempo se não houver perdas.

Analogia mecânica: é como um sistema massa–mola sem atrito, em oscilação harmónica simples.

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32.6 O Circuito RLC

Aqui estuda-se o circuito RLC em série (resistência R, bobine L e condensador C).

Ao contrário do LC ideal:

• A resistência provoca dissipação de energia.

• A energia armazenada no campo eléctrico do condensador e no campo magnético da bobine diminui com o tempo, transformando-se em energia interna (calor) na resistência.

A equação diferencial que descreve o circuito é:

$$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$$

Esta é matematicamente equivalente à equação de movimento de um oscilador harmónico amortecido:

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

onde:

• q ↔ posição x

• i ↔ velocidade dx/dt

• L ↔ massa m

• R ↔ coeficiente de atrito b

• 1/C ↔ constante elástica k

Solução para amortecimento fraco (R pequeno):

$$q(t) = Q_{\text{max}} e^{-Rt/2L} \cos(v_d t)$$

com

$$v_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}$$

 As oscilações são amortecidas: a amplitude decai exponencialmente com o tempo.

 Para valores altos de R, as oscilações podem desaparecer totalmente (sobreamortecimento ou amortecimento crítico).

O comportamento geral do circuito RLC inclui:

• Oscilações amortecidas (R pequeno).

• Resposta crítica ou sobreamortecida (R grande).

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32.7 Resumo

• A auto-indução L mede a oposição de um circuito a variações de corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

• A energia armazenada num campo magnético é:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

• A densidade de energia magnética (no campo B):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

• Indutância mútua M relaciona as f.e.m. induzidas entre dois circuitos:

$$\varepsilon_2 = -M \frac{di_1}{dt}, \quad \varepsilon_1 = -M \frac{di_2}{dt}$$

• Circuito RL: apresenta resposta retardada à variação de corrente, com constante de tempo τ = L/R.

• Circuito LC: oscilações sinusoidais ideais, sem perdas:

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

• Circuito RLC: oscilações amortecidas, com energia dissipada na resistência.

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