Circuitos Elétricos, U. Coimbra, Questão 2

Exame de Recurso Sem-1 2024-2025

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Resumo extraído do capítulo 1 do livro Communication Systems – An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication de Carlson & Crilly, 5ª edição

Capítulo 1 – Introdução

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1.1 Elementos e Limitações dos Sistemas de Comunicação

Um sistema de comunicação serve para transferir informação de uma origem para um destino a alguma distância. Apesar de existirem muitos tipos diferentes de sistemas de comunicação (circuitos, electrónica, electromagnetismo, processamento de sinal, microprocessadores, redes), a abordagem do livro é geral: identifica princípios e problemas de transferir informação em forma eléctrica.

Informação, Mensagens e Sinais

• Informação é um conceito difícil de definir, por isso trabalha-se com a ideia de mensagem: a manifestação física da informação produzida pela fonte.

• O objectivo de um sistema de comunicação é reproduzir no destino uma réplica aceitável da mensagem original.

• Existem mensagens analógicas (quantidade física contínua no tempo, como pressão acústica ou luz numa imagem) e digitais (sequências de símbolos discretos, como texto ou teclas de um computador). O sucesso depende da fidelidade (analógico) ou precisão/tempo (digital).

• Como poucas fontes são eléctricas por natureza, usam-se transdutores: por exemplo, microfone e altifalante num sistema de voz.

Elementos de um Sistema de Comunicação

• Transmissor: processa o sinal de entrada para o adaptar ao canal, usando modulação e, por vezes, codificação.

• Canal de transmissão: meio eléctrico que transporta o sinal. Pode ser fio, cabo coaxial, onda de rádio ou feixe laser. Sofre perdas (atenuação).

• Receptor: compensa perdas (amplificação), faz desmodulação e descodificação. Filtra também o sinal.

Problemas no canal

• Atenuação: redução da potência do sinal com a distância.

• Distorção: alterações na forma de onda devido à resposta imperfeita do sistema. Pode corrigir-se com equalizadores.

• Interferência: sinais indesejados de outras fontes (outros transmissores, máquinas). Filtragem adequada ajuda se ocuparem bandas diferentes.

• Ruído: sinais eléctricos aleatórios, como o ruído térmico. Não é eliminável totalmente.

Limitações Fundamentais

• Largura de banda (B): limita a rapidez com que o sinal pode variar. Exemplo: voz ~3 kHz, TV vários MHz. Em digital, a largura de banda necessária é proporcional à taxa de símbolos.

• Ruído: inevitável devido a fenómenos físicos como o movimento térmico dos electrões. Caracteriza-se por S/N (relação entre as potências: sinal/ruído). Baixo S/N degrada a fidelidade (analógico) ou aumenta erros (digital).

• Lei de Hartley-Shannon: estabelece o limite teórico da taxa de transmissão:

  $$C = B \log_2(1 + S/N)$$

  Isto define a capacidade máxima de um canal com largura de banda B e relação sinal/ruído S/N.

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1.2 Modulação e Codificação

Modulação e codificação são operações feitas no transmissor para garantir transmissão eficiente e fiável.

Métodos de Modulação

• Modulação envolve dois sinais: o modulante (a mensagem) e a portadora (carrier).

• O modulador altera sistematicamente a portadora conforme o sinal da mensagem. É um processo reversível (permite desmodulação).

• Tipos:

  • AM (Amplitude Modulation): variação da amplitude de uma portadora sinusoidal.

  • FM/PM: variações de frequência ou fase.

  • Pulse Modulation: usa impulsos periódicos (exemplo: PAM). Permite amostragem e reconstrução sob certas condições.

• Modulação CW (continuous-wave) traduz o espectro em frequência mais elevada, facilitando a transmissão.

Benefícios da Modulação

• Transmissão eficiente: frequências mais altas permitem antenas mais pequenas e melhor propagação. Exemplo: áudio não modulado exigiria antenas enormes; modulação FM a 100 MHz usa antenas práticas (~1 m).

• Superar limitações de hardware: escolhendo bandas onde o hardware é mais económico e prático.

• Reduzir ruído/interferência: FM e outras modulações permitem redução de ruído de banda larga, trocando mais largura de banda por menor potência necessária.

• Atribuição de frequência: permite que múltiplos emissores coexistam sem interferência (sintonizando frequências diferentes).

• Multiplexagem: transmitir vários sinais num só canal. FDM usa diferentes frequências; TDM usa diferentes intervalos de tempo. CDMA usa códigos únicos por utilizador para partilha eficiente.

Métodos e Benefícios da Codificação

• Codificação é uma operação sobre símbolos (especialmente digitais) para melhorar a fiabilidade.

• Codificação de canal: adiciona redundância para detecção/correção de erros. Aumenta largura de banda e complexidade, mas reduz erros mesmo com baixo S/N.

• Codificação de fonte: reduz redundância estatística para usar largura de banda de forma eficiente.

• PCM (Pulse Code Modulation): converte sinais analógicos em digitais através de amostragem e quantização, aproveitando os benefícios da transmissão digital (fiabilidade, eficiência, versatilidade).

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1.3 Propagação de Ondas Electromagnéticas em Canais Sem Fios

Esta secção aborda o tema da propagação das ondas rádio para além da linha de visão (Line Of Sight).

Comunicação LOS

• Em espaço livre, ondas rádio viajam em linha recta. Devido à curvatura da Terra, a distância prática de LOS é ~48 km, dependendo da altura das antenas.

• Para maximizar a cobertura, antenas de TV e de redes móveis são colocadas em locais elevados.

Mecanismos de Deflexão

• Reflexão: as ondas reflectem-se em edifícios, montanhas, veículos. Pode causar interferência multipercurso (sinais directos e reflectidos chegam com atrasos, causando somas destrutivas/constructivas).

• Refracção: ondas mudam de direcção ao atravessar meios com índice de refracção diferente. Exemplo: propagação na ionosfera.

• Difracção: contorno de obstáculos ou arestas, permitindo sinal além de obstruções.

• Dispersão: devido a partículas no meio (nevoeiro, meteoros ionizados), causando deflexão aleatória.

Propagação Skywave

• Utiliza a ionosfera para transmitir sinais muito além da LOS.

• A ionosfera tem várias camadas (D, E, F) com comportamentos dependentes da actividade solar.

  • D absorve sinais abaixo de ~10 MHz durante o dia.

  • E e F refletem (ou refractam) sinais de ~10 a ~50 MHz ou mais, dependendo da actividade solar.

  • F permite propagação a ~4000 km por “salto”; múltiplos saltos permitem comunicações intercontinentais.

• MUF (Frequência Máxima Utilizável): frequência máxima para a qual a ionosfera pode refractar sinais de volta para a Terra.

• Variabilidade: propagação via ionosfera é pouco fiável para frequências altas (>30 MHz). Por isso, comunicações fiáveis acima desta gama usam satélites.

• Fenómenos como inversões de temperatura na troposfera podem também refractar ondas, permitindo alguma propagação além de LOS para >30 MHz, mas de forma muito variável.

Considerações para o engenheiro de rádio

• Deve conhecer todos estes modos de propagação para projectar sistemas robustos.

• Deve usar técnicas como diversidade de frequência e ângulos de antena para maximizar a probabilidade de cobertura.

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1.4 Desenvolvimentos Emergentes 

Esta secção destaca como as tecnologias de comunicação evoluíram para se tornarem mais eficientes e versáteis, focando troca de dados, redes e métodos de acesso múltiplo.

Comutação de Circuito vs. Comutação de Pacotes

• As chamadas telefónicas tradicionais usavam comutação de circuito, reservando um canal dedicado entre origem e destino enquanto durava a comunicação (exemplo: chamadas telefónicas analógicas).

• A Internet usa comutação de pacotes: os dados são divididos em pacotes que podem seguir caminhos diferentes até ao destino, onde são reordenados. Isto é mais eficiente para dados “intermitentes” ou “em rajadas” (como texto).

• Para voz, a comutação de pacotes inicialmente não era ideal, mas avanços em VoIP (Voice over Internet Protocol) e em redes de alta velocidade tornaram-na viável. A telefonia por Internet hoje permite chamadas de qualidade a baixo custo, usando a infraestrutura de redes já existente.

3G e Sistemas Móveis Evoluídos

• Os sistemas móveis evoluíram de 1G (analógico, voz apenas) para 2G (digital) e depois 3G, que é um padrão global que:

  • Suporta voz e dados.

  • Usa comutação apenas por pacotes (ou compatível com circuito em alguns casos).

  • Usa CDMA (Code Division Multiple Access) para melhorar a partilha do canal.

  • Permite roaming global.

  • Evolui a partir das redes 2G existentes.

Métodos de Acesso Múltiplo

• FDMA (Frequency Division Multiple Access): cada utilizador tem uma frequência dedicada.

• TDMA (Time Division Multiple Access): cada utilizador tem um intervalo de tempo.

• CDMA: todos usam a mesma banda de frequências mas com códigos únicos. Isto permite mais utilizadores por célula com menos interferência percebida e um “limite suave” (adiciona ruído gradualmente em vez de saturar rigidamente o canal).

OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)

• Variante de FDM onde as portadoras são ortogonais, reduzindo interferência entre canais.

• Distribui dados por várias portadoras de baixa frequência em vez de uma única portadora de alta frequência.

• Muito usado em Wi-Fi e WiMax porque melhora a robustez face à interferência multipercurso.

UWB (Ultra-Wideband)

• Opera em larguras de banda enormes mas com potência tão baixa que fica abaixo do nível de ruído ambiente.

• Recentes normas da FCC permitem operação sem licença entre ~3.1 e 10.6 GHz com restrições de potência.

• Promete permitir mais utilizadores e serviços sem causar interferência a sistemas já existentes.

Wi-Fi e WiMax

• Wi-Fi (IEEE 802.11): redes locais sem fios (LANs) com alcance típico de ~100 metros. Muito usado em espaços públicos (hot spots) e casas particulares.

• WiMax (IEEE 802.16): redes móveis/metropolitanas (MANs) com alcance comparável ao das redes móveis, usando torres celulares. Oferece acesso de banda larga sem fios como alternativa a cabos.

Software Defined Radio (SDR)

• Permite que funções tradicionais de rádio (filtragem, modulação, desmodulação) sejam implementadas em software usando DSPs e FPGAs.

• Vantagens:

  • Mudança flexível de frequências, filtros e esquemas de modulação via software.

  • Facilita actualizações e compatibilidade com novos protocolos.

  • Na prática, muitos sistemas SDR são híbridos (misturam analógico e digital, especialmente nas secções de RF).

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1.5 Impacto Social e Perspectiva Histórica 

Impacto Social

• Os avanços em sistemas de comunicação têm provocado grandes mudanças sociais e políticas.

• Exemplos históricos:

  • Antigamente, as chamadas telefónicas eram caras e reguladas como monopólio estatal, com tarifas por minuto para chamadas de longa distância.

  • Hoje, serviços como VoIP e telemóveis eliminaram distinções entre local e longa distância, geralmente por preços fixos.

  • DSL e redes de cabo permitem às empresas telefónicas e de TV oferecer serviços combinados de voz, dados e vídeo.

  • WiMax e Wi-Fi estão a reduzir a dependência de redes com fios.

• Consequências para políticas públicas:

  • As autoridades fiscais e reguladoras precisam de se adaptar, criando ou ajustando impostos e regulamentações para estes novos serviços.

  • As tecnologias móveis tornaram as pessoas “disponíveis 24/7”, mudando hábitos pessoais e profissionais.

• As tecnologias de comunicação também afectam a diplomacia, guerras, movimentos sociais:

  • O telégrafo reduziu o tempo das negociações diplomáticas.

  • A rádio e o radar mudaram a guerra.

  • Fax e Internet ajudaram na divulgação de movimentos políticos.

  • Smartphones e redes sociais facilitam coordenação de protestos e divulgação rápida de informação.

Perspectiva Histórica

• O livro inclui uma cronologia dos principais desenvolvimentos:

  • Invenção da pilha (Volta), leis de Ohm e Kirchhoff.

  • Primeiras linhas de telégrafo (Morse, 1844).

  • Equações de Maxwell (1864) e verificação experimental por Hertz.

  • Telefonia (Bell, Edison).

  • Rádio (Marconi, Popov) e sistemas de comutação automática (Strowger).

  • Desenvolvimento do Audion (Lee De Forest), filtros e circuitos de transmissão.

  • Comunicação via satélite (Telstar I, 1962).

  • Fibra óptica, lasers, semicondutores, microprocessadores.

  • Celulares 1G–3G, Wi-Fi, WiMax, UWB.

  • Evolução constante com maior integração de serviços e maior impacto social.

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1.6 Prospecto 

Esta secção apresenta a organização geral do livro e os objectivos pedagógicos:

• O livro oferece uma introdução abrangente a comunicações analógicas e digitais.

• Cada grande tema começa com uma revisão do material relevante.

• Usa modelos matemáticos para analisar problemas complexos, mas sublinha que é necessária interpretação física e julgamento de engenharia.

• Estrutura resumida:

  • Capítulos 2–3: sinais determinísticos, análises no domínio do tempo e da frequência, distorção e filtragem.

  • Capítulos 4–5: modulação de onda contínua (CW).

  • Capítulo 6: amostragem e modulação por impulsos.

  • Capítulo 7: sistemas de modulação analógica, incluindo TV.

  • Capítulos 8–9: teoria da probabilidade e estatística para representar sinais aleatórios e ruído.

  • Capítulo 10: impacto do ruído em modulação CW.

  • Capítulo 11: transmissão digital em banda base.

  • Capítulo 12: modulação por impulsos codificados (PCM) e multiplexagem digital.

  • Capítulo 13: codificação para controlo de erros.

  • Capítulo 14: sistemas de transmissão digital com modulação CW, incluindo OFDM.

  • Capítulo 15: espectro espalhado, sistemas sem fios e UWB.

  • Capítulo 16: introdução à teoria da informação e à lei de Hartley-Shannon.

• Cada capítulo inclui exercícios práticos e perguntas qualitativas para estimular a compreensão.

• Referências e material adicional estão disponíveis no site do livro.

• Os autores realçam que a análise matemática é combinada com exemplos de electrónica e aplicações reais para dar uma visão completa.

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Resumo extraído do capítulo 3 do livro Modern Control Engineering de Katsuhiko Ogata, 5ª edição

Capítulo 3 – Modelos Matemáticos para Sistemas Mecânicos e para Sistemas Elétricos

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3–1 INTRODUÇÃO

Esta secção introduz o objectivo e o conteúdo geral do Capítulo 3, que trata da modelação matemática de sistemas mecânicos e eléctricos no contexto de engenharia de controlo.

No capítulo anterior (Capítulo 2), foram apresentados exemplos muito simples: um circuito eléctrico básico e um sistema mecânico elementar. Esses exemplos serviram para introduzir as ideias fundamentais de modelação. Agora, o propósito é generalizar e sistematizar o processo de modelação, aplicando-o a sistemas mais realistas e variados que se encontram com frequência em problemas de controlo.

O objectivo principal é mostrar como se podem obter modelos matemáticos de sistemas físicos que descrevam a sua dinâmica, ou seja, como a saída ou estado do sistema evolui em resposta a entradas ou forças actuantes. Esses modelos matemáticos podem depois ser usados para:

• Análise do comportamento dinâmico (por exemplo, estabilidade, resposta transitória).

• Projecto e síntese de controladores (compensadores, realimentação de estados).

• Simulação computacional.

Os dois domínios principais que serão estudados:

• Sistemas mecânicos, cuja dinâmica é governada pela segunda lei de Newton. Na Secção 3–2, será feita a aplicação directa dessa lei para derivar modelos de sistemas mecânicos mais complexos, incluindo a dedução de funções de transferência (que relacionam entrada e saída no domínio de Laplace) e modelos em espaço de estados (representação em termos de variáveis de estado e equações diferenciais de primeira ordem).

• Sistemas eléctricos, cujo comportamento segue as leis de Kirchhoff (lei das correntes e lei das tensões). A Secção 3–3 apresentará como aplicar estas leis a diferentes circuitos eléctricos, incluindo circuitos com resistências, bobines, condensadores e amplificadores operacionais (AmpOps), componentes muito usados em circuitos de controlo, filtros e compensadores.

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3–2 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS

A Secção 3–2 apresenta métodos sistemáticos para obter modelos matemáticos de sistemas mecânicos, fundamentais para o projecto e análise de sistemas de controlo. A abordagem baseia-se directamente na segunda lei de Newton, que relaciona forças com acelerações.

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Molas em paralelo e em série

• Apresenta como determinar a constante de mola equivalente (keq) para arranjos de molas:

  • Em paralelo: as constantes somam-se directamente (keq = k₁ + k₂).

  • Em série: a constante equivalente obtém-se pela fórmula do tipo resistência em paralelo (1/keq = 1/k₁ + 1/k₂).

• O Exemplo 3–1 mostra como deduzir estas fórmulas analisando as forças e deslocamentos nos sistemas representados em figuras.

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Amortecedores em paralelo e em série

• Um amortecedor é descrito como um amortecedor viscoso (óleo), gerando força proporcional à velocidade relativa.

• Para amortecedores:

  • Em paralelo: o coeficiente de atrito viscoso equivalente soma-se (beq = b₁ + b₂).

  • Em série: aplica-se a fórmula de resistências em paralelo (1/beq = 1/b₁ + 1/b₂).

• Exemplo 3–2 detalha estas deduções, mostrando como obter beq a partir de balanços de forças.

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Sistema massa–mola–amortecedor montado num carro sem massa

• Analisa um sistema com uma massa m, mola de constante k e amortecedor de coeficiente b, montado num carro considerado sem massa.

• Define-se a entrada como o deslocamento do carro (u(t)) e a saída como o deslocamento da massa (y(t)).

• Aplica-se a segunda lei de Newton para escrever a equação diferencial:

  $$m \frac{d^2 y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + ky = b \frac{du}{dt} + ku$$

• A transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) permite obter a função de transferência:

  $$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{bs + k}{ms^2 + bs + k}$$

• O texto explica que estas representações em função de transferência são amplamente usadas em engenharia de controlo.

• Em seguida, apresenta um modelo em espaço de estados para o mesmo sistema:

  • Define variáveis de estado.

  • Deduz as equações de estado e a equação de saída.

  • Mostra como expressar o sistema na forma matricial padrão.

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Sistema mecânico com duas massas ligadas

• Exemplo 3–4 analisa um sistema com duas massas (m₁ e m₂) ligadas por molas e amortecedores.

• Deriva as equações diferenciais que descrevem os movimentos relativos.

• Aplica a transformada de Laplace para obter funções de transferência que relacionam entradas e saídas (forças aplicadas e deslocamentos das massas).

• Mostra como resolver sistemas de equações no domínio de Laplace para obter essas funções.

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Pêndulo invertido montado num carro

• Exemplo 3–5 estuda um pêndulo invertido (modelo clássico em controlo), montado num carro com motor.

• O objectivo do sistema é manter o pêndulo na vertical, o que é naturalmente instável.

• Considera deslocamentos angulares pequenos para linearizar as equações:

  • Usa aproximações como sen(u) ≈ u e cos(u) ≈ 1.

• Deriva as equações de movimento usando a segunda lei de Newton para a translação e rotação.

• Obtém um modelo matemático que descreve o acoplamento entre o movimento do carro e o ângulo do pêndulo:

  $$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = u$$ $$(I + ml^2)\ddot{\theta} + ml\ddot{x} = mgl\theta$$

• Estas equações descrevem a dinâmica acoplada do carro e do pêndulo.

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Pêndulo invertido com massa concentrada no topo

• Exemplo 3–6 simplifica o modelo anterior assumindo que a massa do pêndulo está toda no topo (momento de inércia I ≈ 0).

• As equações tornam-se mais simples:

  $$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = u$$ $$ml\ddot{x} + ml^2\ddot{\theta} = mgl\theta$$

• Deriva uma função de transferência do ângulo do pêndulo em relação à força de controlo aplicada ao carro.

• Mostra que o sistema tem pólos reais, um no semi-eixo positivo (indicando instabilidade em malha aberta).

• Define variáveis de estado (x, ẋ, θ, θ̇) para obter uma representação em espaço de estados completa com matriz A (dinâmica), matriz B (entrada) e matriz C (saída)

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3–3 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉCTRICOS

Esta secção apresenta métodos para obter modelos matemáticos de sistemas eléctricos, baseando-se nas leis fundamentais que regem os circuitos eléctricos: as leis de Kirchhoff.

Leis de Kirchhoff

• Lei das correntes (lei dos nós): a soma algébrica das correntes que entram e saem de um nó é zero.

• Lei das tensões (lei das malhas): a soma algébrica das tensões em qualquer malha fechada é zero.

Estas leis são aplicadas para escrever equações diferenciais que descrevem o comportamento de circuitos eléctricos. A partir dessas equações diferenciais, obtêm-se funções de transferência e modelos em espaço de estados.

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Modelação de um circuito LRC

• Considere um circuito em série com indutância L, resistência R e capacitância C.

• Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff, obtém-se uma equação diferencial que relaciona a corrente i(t) com as tensões de entrada ei(t) e saída eo(t).

• Equações diferenciais:

  $$\frac{1}{C}\int i \,dt = e_o$$ $$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i\,dt = e_i$$

• A transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) permite obter a função de transferência:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}$$

• Também se apresenta um modelo em espaço de estados, definindo variáveis de estado adequadas para expressar o sistema como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem.

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Funções de Transferência em circuitos RC em cascata com efeito de carga

• Analisa-se um sistema formado por duas malhas RC ligadas em cascata.

• Mostra-se que a ligação em cascata causa efeito de carga: o segundo circuito "carrega" o primeiro, afectando o seu comportamento.

• São deduzidas as equações diferenciais e as transformadas no domínio de Laplace, mostrando que a função de transferência global não é simplesmente o produto das funções de transferência individuais dos estágios.

• Explica-se matematicamente como surge o termo extra no denominador (representando a interacção entre os estágios).

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Impedâncias complexas

• Introduz-se o conceito de impedância complexa no domínio de Laplace:

  • Resistor: R.

  • Indutor: LS.

  • Condensador: 1/(CS).

• As impedâncias em série somam-se, e em paralelo combinam-se como resistências equivalentes.

• Usando impedâncias complexas, pode-se obter directamente a função de transferência sem resolver as equações diferenciais originais.

• Exemplo:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = \frac{Z_2(s)}{Z_1(s) + Z_2(s)}$$

• Esta abordagem simplifica muito a análise de circuitos lineares.

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Elementos em cascata sem carga

• Aborda a situação em que dois blocos são ligados em cascata sem efeito de carga (o segundo não carrega o primeiro).

• Mostra que, quando a impedância de entrada do segundo bloco é infinita (por exemplo, com um amplificador de isolamento), o modelo global é o produto directo dos modelos individuais:

  $$G(s) = G_1(s) \times G_2(s)$$

• Exemplifica a prática comum de usar amplificadores com alta impedância de entrada para evitar o efeito de carga.

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Amplificadores operacionais (AmpOps)

• Introduz os AmpOps como componentes fundamentais em sistemas de controlo, sensores e electrónica em geral.

• Explica o funcionamento básico: amplificam a diferença de potencial entre os terminais de entrada, com ganho diferencial muito elevado.

• Características ideais:

  • Impedância de entrada infinita (não consome corrente).

  • Impedância de saída nula (pode fornecer corrente sem variação de tensão).

  • Necessidade de realimentação negativa para funcionamento estável.

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Circuitos com AmpOps

• Amplificador inversor: ganho negativo proporcional a -R₂/R₁.

• Amplificador não inversor: ganho positivo proporcional a 1 + R₂/R₁.

• Malhas de atraso de 1ª ordem: redes RC com AmpOp geram um polo de 1ª ordem no domínio de Laplace.

• Malhas de avanço ou atraso: redes RC específicas configuradas com AmpOps permitem criar compensadores do tipo avanço ou atraso, úteis para ajustar margens de fase e estabilidade.

• Efeito de inversão de sinal: alguns circuitos têm ganho negativo. Mostra-se como se pode adicionar um inversor de sinal para corrigir isso se necessário.

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PID com AmpOps

• Apresenta o controlador PID electrónico construído com AmpOps.

• Deduz a função de transferência geral:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$$

• Mostra como definir os parâmetros proporcional (Kp), integral (Ki) e derivativo (Kd) em função das resistências e condensadores no circuito.

• Fornece fórmulas explícitas para determinar tempo integral (Ti) e tempo derivativo (Td) a partir dos componentes.

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Tabela de circuitos típicos

• Inclui uma tabela (Table 3–1) com esquemas de circuitos com AmpOps usados como controladores:

  • Proporcionais (P)

  • Integrais (I)

  • Proporcionais–derivativos (PD)

  • Proporcionais–integrais (PI)

  • Proporcionais–integrais–derivativos (PID)

  • Compensadores de avanço, atraso e avanço-atraso

• Para cada configuração, mostra a função de transferência correspondente em termos dos componentes eléctricos (resistências e condensadores).

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Resumo extraído do Capítulo 33, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 33 – Circuitos em corrente alternada (AC)

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33.1 Fontes de Corrente Alternada

Uma fonte de corrente alternada (AC) fornece uma tensão alternada que varia sinusoidalmente com o tempo, descrita por:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$$

onde $\Delta V_{max}$ é a amplitude da tensão e $v$ é a frequência angular (ligada à frequência $f$ por $v = 2\pi f$). Exemplos de fontes AC incluem geradores e osciladores eléctricos. Em casa, cada tomada serve de fonte de AC.

A tensão alternada muda de sinal ao longo de cada ciclo: positiva numa metade, negativa na outra. O resultado é que a corrente no circuito também alterna de sentido, variando sinusoidalmente.

A frequência comercial varia consoante o país; em Portugal é de 50 Hz (o que dá uma frequência angular de 314 rad/s).

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33.2 Resistências num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC simples com uma resistência ligada a uma fonte AC. Usando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - i_R R = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$i_R = \frac{\Delta V_{max}}{R} \sin (vt) = I_{max} \sin (vt)$$

Assim, a corrente alternada numa resistência varia em fase com a tensão: ambos atingem os seus valores máximos e mínimos em simultâneo. Em gráficos de tensão e corrente versus tempo, os dois são sinusoides coincidentes.

Conceito de fase: Para resistências, corrente e tensão estão sempre em fase.

Diagramas fasoriais: Um fasor representa uma grandeza (corrente ou tensão) como um vetor rotativo cuja projeção no eixo vertical dá o valor instantâneo. Para uma resistência, os fasores de corrente e tensão estão alinhados, indicando fase igual.

Valores eficazes (rms): Em AC usa-se o valor eficaz (root-mean-square, rms) para facilitar comparações com DC:

$$I_{rms} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{max}$$ $$\Delta V_{rms} = \frac{\Delta V_{max}}{\sqrt{2}}$$

Por exemplo, quando dizemos que uma tomada fornece 230 V AC, referimo-nos ao valor rms; o valor de pico seria cerca de 330 V.

Potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

As resistências dissipam potência independentemente da direção da corrente: aquecem igualmente com corrente positiva ou negativa.

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33.3 Bobines num Circuito AC 

Agora considera-se um circuito AC com apenas uma bobine:

$$\Delta v_L = -L \frac{di_L}{dt}$$

Usando $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$\Delta V_{max} \sin (vt) = L \frac{di_L}{dt}$$

Integrando:

$$i_L = -\frac{\Delta V_{max}}{vL} \cos (vt) = \frac{\Delta V_{max}}{vL} \sin \left(vt - \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente numa bobine atrasa-se 90° em relação à tensão. Em gráficos de tempo, a tensão atinge o máximo um quarto de ciclo antes da corrente.

Diagramas fasoriais: os fasores de corrente e tensão são ortogonais (90° de diferença).

Reactância indutiva: a oposição de uma bobine à corrente AC depende da frequência:

$$X_L = vL$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_L}$$

Assim, para frequências mais altas, a reactância indutiva aumenta, reduzindo a corrente. Isto está de acordo com a lei de Faraday: maior variação de corrente gera uma força contra-electromotriz (emf) maior.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_L}$$

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33.4 Condensadores num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC constituído apenas por um condensador de capacitância $C$. Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - \frac{q}{C} = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$:

$$q = C \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente é dada por:

$$i_C = \frac{dq}{dt} = vC \Delta V_{max} \cos(vt)$$

Usando a identidade trigonométrica $\cos(vt) = \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$:

$$i_C = vC \Delta V_{max} \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente num condensador antecipa-se 90° em relação à tensão. Ou seja, a corrente antecipa a tensão por um quarto de ciclo.

Representação gráfica: nos gráficos de tempo, o pico da corrente ocorre antes do pico da tensão. Em pontos onde a corrente é nula, o condensador está carregado ao máximo.

Diagrama fasorial: o fasor da corrente está 90° à frente do fasor da tensão.

Reactância capacitiva: o condensador oferece oposição à corrente alternada dependente da frequência:

$$X_C = \frac{1}{vC}$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_C}$$

Interpretação: para frequências mais altas, a reactância capacitiva diminui, permitindo mais corrente. Quando a frequência se aproxima de zero (DC), $X_C$ tende para infinito, bloqueando a corrente.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_C}$$

---

33.5 O Circuito Série RLC 

Agora estuda-se um circuito série com resistência (R), bobine (L) e condensador (C) ligados a uma fonte de tensão AC:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente no circuito é comum a todos os elementos:

$$i = I_{max} \sin(vt - \phi)$$

onde $\phi$ é o ângulo de fase entre a tensão aplicada e a corrente.

Características de fase:

• Na resistência: tensão e corrente em fase.

• Na bobine: tensão adianta-se à corrente por 90°.

• No condensador: tensão atrasa-se da corrente por 90°.

Tensões instantâneas:

$$\Delta v_R = I_{max} R \sin(vt)$$ $$\Delta v_L = I_{max} X_L \cos(vt)$$ $$\Delta v_C = -I_{max} X_C \cos(vt)$$

Impedância (Z): combina as três componentes considerando as diferenças de fase:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL, \quad X_C = \frac{1}{vC}$$

Corrente máxima:

$$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{Z}$$

Ângulo de fase:

$$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

• Se $X_L > X_C$: circuito mais indutivo → corrente atrasa-se em relação à tensão.

• Se $X_L < X_C$: circuito mais capacitivo → corrente antecipa-se em relação à tensão.

• Se $X_L = X_C$: circuito resistivo puro, $\phi = 0$.

Diagramas fasoriais: permitem somar as tensões nos diferentes elementos considerando as suas fases relativas. A soma vetorial resulta na tensão aplicada.

Conclusão: o comportamento do circuito série RLC depende fortemente da frequência de operação devido à variação de $X_L$ e $X_C$. Este circuito pode exibir ressonância (discutida mais adiante no capítulo).

---

33.6 Potência num Circuito AC 

A potência instantânea fornecida por uma fonte AC é:

$$P = i \Delta v$$

Para um circuito RLC:

$$P = I_{max} \sin(vt - \phi) \cdot \Delta V_{max} \sin(vt)$$

Usando identidades trigonométricas e calculando o valor médio ao longo de um ciclo:

$$P_{avg} = \frac{1}{2} I_{max} \Delta V_{max} \cos \phi$$

Em termos de valores eficazes (rms):

$$P_{avg} = I_{rms} \Delta V_{rms} \cos \phi$$

onde $\cos \phi$ é o factor de potência.

Interpretação:

• $\cos \phi = 1$: carga puramente resistiva, máxima potência transferida.

• $\cos \phi = 0$: carga puramente reativa (bobine ou condensador puros), potência média zero.

Explicação física:

• Numa resistência, a energia elétrica converte-se em calor → há consumo real de potência.

• Numa bobine ou condensador ideais, a energia é armazenada e devolvida ao circuito → não há dissipação líquida de potência.

Factor de potência na prática: Em instalações industriais com cargas indutivas significativas (motores, transformadores), usa-se a compensação capacitiva para melhorar $\cos \phi$, reduzindo perdas e aumentando a eficiência da rede.

Expressão alternativa para potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

Conclusão: a potência dissipada num circuito AC depende não só da corrente e tensão rms, mas também do factor de potência, que quantifica o desfasamento entre corrente e tensão.

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33.7 Ressonância num Circuito Série RLC 

Um circuito série RLC comporta-se como um oscilador eléctrico. Quando a frequência da fonte coincide com a frequência natural do sistema, ocorre ressonância.

Impedância em AC:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL \quad \text{e} \quad X_C = \frac{1}{vC}.$$

A corrente eficaz (rms) é:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{Z}.$$

Na ressonância, $X_L = X_C$, logo:

$$v_0 L = \frac{1}{v_0 C} \quad \Rightarrow \quad v_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Propriedades da ressonância:

• A impedância atinge o mínimo $Z = R$.

• A corrente rms atinge o máximo:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{R}.$$

• Corrente e tensão estão em fase (ângulo de fase $\phi = 0$).

Curva de ressonância:

• A largura da curva (em frequência) está relacionada com a resistência.

• Quanto menor a resistência, mais estreita e alta é a curva de corrente em função da frequência.

Fator de qualidade (Q):

$$Q = \frac{v_0}{\Delta v} = \frac{v_0 L}{R}$$

onde $\Delta v$ é a largura da curva a meia-potência (half-power points).

Aplicações práticas:

• Circuitos de sintonia em rádios.

• Seleção de uma frequência específica num sinal complexo.

• Em rádios, o condensador variável permite ajustar a frequência de ressonância para captar diferentes estações.

Ideia central: A ressonância permite maximizar a resposta de corrente para uma frequência específica e filtrar todas as outras.

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33.8 O Transformador e a Transmissão de Energia 

Os transformadores são dispositivos que mudam a tensão e a corrente alternada sem alterar significativamente a potência. São essenciais para a transmissão eficiente de energia elétrica a longas distâncias.

Estrutura:

• Dois enrolamentos (primário e secundário) num núcleo de ferro.

• O núcleo guia o fluxo magnético, garantindo acoplamento entre os enrolamentos.

Lei de Faraday:

$$\Delta v_1 = -N_1 \frac{d\Phi_B}{dt}, \quad \Delta v_2 = -N_2 \frac{d\Phi_B}{dt}.$$

Assumindo fluxo comum:

$$\frac{\Delta v_2}{\Delta v_1} = \frac{N_2}{N_1}.$$

Dois tipos principais:

• Elevador de tensão: $N_2 > N_1$, aumenta a tensão.

• Redutor de tensão: $N_2 < N_1$, reduz a tensão.

Conservação de potência (ideal):

$$I_1 \Delta v_1 = I_2 \Delta v_2.$$

Equivalência de resistências vistas do primário:

$$R_{eq} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 R_L.$$

Permite ajustar resistências para maximizar transferência de potência.

Transmissão de energia elétrica:

• Alta tensão → Baixa corrente → Menores perdas $I^2 R$.

• Linhas de transmissão podem operar a centenas de quilovolts.

• Subestações reduzem gradualmente a tensão para níveis seguros e úteis (ex.: 230 kV → 20 kV → 400 V → 230 V).

Eficiência: Transformadores reais têm eficácias elevadas (90%–99%).

Exemplos quotidianos:

• Adaptadores de parede para aparelhos electrónicos.

• Transformadores em redes de distribuição eléctrica.

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33.9 Rectificadores e Filtros 

Muitos dispositivos electrónicos precisam de corrente contínua (DC) apesar de a rede fornecer corrente alternada (AC). Para isso usam-se rectificadores e filtros.

Rectificação:

• Processo de conversão de AC em DC.

• Principal elemento: díodo, que só conduz corrente num sentido.

• Circuito típico: rectificador de meia-onda com díodo em série com a carga.

• Resultado: corrente pulsante apenas numa direcção.

Filtro com condensador:

• Adiciona-se um condensador em paralelo com a carga.

• Suaviza a variação da tensão e corrente.

• O condensador carrega-se quando a tensão sobe e descarrega-se lentamente, mantendo corrente na carga mesmo quando a entrada AC desce.

Problema do ripple:

• Mesmo após filtragem, há uma pequena componente AC (ripple).

• É importante reduzir o ripple para níveis insignificantes, especialmente em áudio para evitar hums (ex.: 50/60 Hz).

Filtros RC:

• Circuitos específicos que deixam passar ou bloqueiam certas frequências.

• Exemplo: filtro passa-alto RC.

  • Baixas frequências → tensão de saída muito menor que a entrada.

  • Altas frequências → saída ≈ entrada.

Aplicação: eliminar componentes de baixa frequência indesejadas e permitir sinais úteis de alta frequência.

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33.10 Resumo

• A corrente alternada (AC) varia sinusoidalmente, permitindo transporte eficiente de energia.

• Em resistências, corrente e tensão estão em fase.

• Em bobines, a corrente atrasa-se 90° em relação à tensão.

• Em condensadores, a corrente antecipa-se 90° em relação à tensão.

• A impedância combina resistência e reactâncias indutiva e capacitiva, dependendo da frequência.

• Ressonância em circuitos série RLC ocorre quando $X_L = X_C$, minimizando a impedância e maximizando a corrente.

• Transformadores permitem alterar níveis de tensão e corrente para transmissão eficiente de energia.

• Rectificadores convertem AC em DC, com filtros (normalmente com condensadores) para suavizar a saída.

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Exame de Recurso Sem-1 2024-2025

Circuitos Elétricos, U. Coimbra, Questão 1

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Resumo extraído do Capítulo 3 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

Capítulo 3: Representação de sinais periódicos em séries de Fourier

3.1 Perspectiva Histórica

Esta secção traça a evolução histórica da análise de Fourier, mostrando como a ideia de decompor fenómenos periódicos em somas de funções trigonométricas remonta à antiguidade (por exemplo, os babilónios na astronomia). No século XVIII, Euler estudou cordas vibrantes, introduzindo a ideia de modos normais como combinações de senos e cossenos. Bernoulli defendeu que todos os movimentos de uma corda poderiam ser representados assim, mas Lagrange criticou a validade para sinais com descontinuidades.
Joseph Fourier retomou o conceito no início do século XIX para estudar a propagação de calor, afirmando que qualquer fenómeno periódico poderia ser descrito por séries de senos e cossenos, mesmo com descontinuidades — uma ideia inovadora mas inicialmente controversa. Fourier enfrentou resistência (inclusive de Lagrange) e dificuldades para publicar o seu trabalho, mas a sua Théorie analytique de la chaleur (1822) tornou-se fundamental. Fourier foi além das séries, propondo a transformação integral (base do que hoje chamamos Transformada de Fourier) para sinais aperiódicos. O impacto do seu trabalho estende-se por múltiplas áreas da ciência, engenharia e matemática, incluindo tópicos como integração, séries temporais, difusão de calor, sinais sinusoidais em circuitos de corrente alternada, ondas marítimas e transmissão de rádio. Finalmente, o texto destaca que, para sinais em tempo discreto, a análise harmónica ganhou relevância com o desenvolvimento da Transformada Rápida de Fourier (FFT) nos anos 60, revolucionando a computação digital de séries de Fourier.

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3.2 Resposta de Sistemas LTI a Exponenciais Complexas

Esta secção demonstra porque é que as exponenciais complexas são tão importantes na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). O ponto central é que uma exponencial complexa é uma função própria de um sistema LTI: a resposta do sistema a uma entrada exponencial é a mesma exponencial multiplicada por um factor constante (o valor próprio ou ganho de frequência do sistema).
Em termos contínuos, uma entrada $e^{st}$ gera uma saída $H(s)e^{st}$, onde $H(s)$ é a transformada de Laplace da resposta impulsional. No caso discreto, uma entrada $z^n$ gera uma saída $H(z)z^n$.
Como consequência, qualquer sinal que possa ser escrito como combinação linear de exponenciais complexas pode ser analisado decompondo cada componente, aplicando a propriedade da sobreposição. Assim, se a entrada for uma soma de exponenciais, a saída será uma soma das mesmas exponenciais, escaladas pelos ganhos de frequência correspondentes. Esta ideia justifica a relevância das séries e transformadas de Fourier para representar sinais e estudar sistemas.
Inclui-se um exemplo de um sistema que apenas aplica um atraso de tempo, mostrando que a exponencial é efectivamente função própria — a saída é a entrada atrasada multiplicada por uma fase.

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3.3 Representação de Sinais Periódicos em Tempo Contínuo (Série de Fourier)

Aqui é introduzida formalmente a Série de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Define-se que um sinal é periódico se $x(t) = x(t + T)$ para um período $T$. O sinal pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas com frequências harmónicas múltiplas da fundamental:

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$$

com $\omega_0 = 2\pi/T$.
É demonstrado que combinações lineares de exponenciais harmonicamente relacionadas continuam a ser periódicas. Apresenta-se a relação entre exponenciais e senos/cossenos, mostrando como sinais reais podem ser escritos em forma trigonométrica.
Segue-se o processo de determinação dos coeficientes $a_k$ (análise) através de integração ao longo de um período, baseando-se na ortogonalidade das exponenciais. Também se ilustra a interpretação física de cada termo: o coeficiente $a_0$ representa a componente DC (média), enquanto os outros descrevem a energia distribuída pelas harmónicas.
Exemplos práticos incluem uma onda sinusoidal, uma combinação de senos e cossenos, e uma onda quadrada — mostrando como sinais com descontinuidades podem ser aproximados por somas finitas de harmónicas.

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3.4 Convergência da Série de Fourier

Esta secção discute as condições sob as quais a Série de Fourier efectivamente converge para o sinal original. Euler e Lagrange duvidavam da validade de representar funções descontínuas com somas de funções contínuas. Fourier, no entanto, mostrou que mesmo sinais como a onda quadrada podem ser representados correctamente no sentido de energia (ou seja, o erro quadrático médio tende para zero).
São introduzidas condições práticas de convergência:

• Se um sinal for contínuo e de energia finita num período, a sua Série de Fourier converge.

• Para sinais descontínuos, são apresentadas as condições de Dirichlet: o sinal deve ter energia finita, variação limitada (número finito de máximos e mínimos por período) e um número finito de descontinuidades.
  Se estas condições forem satisfeitas, a Série de Fourier converge para o sinal original em todos os pontos de continuidade e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (ex. Gibbs phenomenon).
  O famoso fenómeno de Gibbs mostra que, perto das descontinuidades, a soma parcial da Série de Fourier apresenta oscilações que não desaparecem, mas concentram-se cada vez mais junto à descontinuidade à medida que se somam mais harmónicas. Mesmo assim, a energia do erro global tende para zero.

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3.5 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Contínuo

Esta secção organiza e descreve as propriedades fundamentais das Séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Estas propriedades são essenciais para simplificar cálculos e interpretar resultados.

As principais propriedades abordadas são:

• Linearidade: A Série de Fourier é linear. Se dois sinais periódicos têm séries de Fourier conhecidas, qualquer combinação linear destes sinais resulta numa combinação linear dos coeficientes das séries.

• Deslocamento Temporal: Um deslocamento no tempo de um sinal resulta numa rotação de fase nos coeficientes. Assim, se deslocarmos o sinal em $t_0$, os coeficientes multiplicam-se por $e^{-jkw_0 t_0}$.

• Inversão Temporal: Inverter um sinal no tempo equivale a inverter a sequência de coeficientes: $a_k \rightarrow a_{-k}$.

• Escalonamento Temporal: Alterar a escala de tempo muda o período do sinal e a frequência fundamental, mas os coeficientes mantêm-se inalterados.

• Multiplicação de Sinais: Multiplicar dois sinais periódicos no domínio temporal corresponde a uma convolução discreta dos seus coeficientes no domínio da frequência.

• Conjugação: O conjugado de um sinal resulta nos coeficientes conjugados e invertidos: $a_k^* = a_{-k}$.

• Sinais Reais: Se o sinal é real, os coeficientes são conjugados simétricos: $a_{-k} = a_k^*$.

• Sinais Pares ou Ímpares: Para sinais reais, se forem pares, os coeficientes são reais e pares; se forem ímpares, os coeficientes são imaginários puros e ímpares.

• Diferenciação e Integração: Derivar um sinal corresponde a multiplicar os coeficientes por $jkw_0$; integrar corresponde a multiplicar os coeficientes pelo inverso (salvo o termo DC).

• Relação de Parseval: A potência média de um sinal periódico é igual à soma das potências médias de cada harmónica: 

• $\frac{1}{T} \int_{T} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2.$

Estas propriedades são resumidas numa tabela para consulta rápida e exemplificadas com pequenos exercícios que mostram como podem poupar cálculos. A intuição é que manipulando sinais no tempo podemos prever e controlar o efeito sobre o espectro de Fourier.

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3.6 Séries de Fourier em Tempo Discreto

Nesta secção, o conceito de Séries de Fourier é estendido a sinais periódicos em tempo discreto. A ideia principal é análoga ao caso contínuo, mas adaptada à natureza discreta dos sinais.

• Um sinal discreto $x[n]$ é periódico com período $N$ se $x[n] = x[n + N]$.

• A representação em série de Fourier é dada por:

  $$x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{j(2\pi/N)kn}.$$

• Os coeficientes são obtidos por:

  $$a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j(2\pi/N)kn}.$$

Comparando com o caso contínuo, destaca-se que:

• O número de harmónicas distintas é finito (N coeficientes para período N).

• Os expoentes são amostrados uniformemente no círculo unitário.

• A periodicidade de $e^{j(2\pi/N)kn}$ implica que o espectro é também periódico (aliasing inerente).

São discutidos exemplos simples de sinais discretos, como sequências binárias ou impulsos periódicos, e mostra-se como se obtêm os espectros. Este formalismo é a base para o desenvolvimento posterior da Transformada Discreta de Fourier (DFT) e da FFT.

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3.7 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Discreto

Tal como na secção 3.5, mas agora no contexto discreto, são apresentadas as propriedades que permitem manipular séries de Fourier de sinais discretos:

• Linearidade: Mantém-se.

• Deslocamento Temporal: Deslocar uma sequência no tempo adiciona uma fase exponencial ao espectro.

• Inversão Temporal: Inverter o sinal inverte os índices dos coeficientes.

• Multiplicação: A multiplicação de duas sequências periódicas corresponde a uma convolução discreta circular dos seus coeficientes.

• Parseval: A soma da energia de um período é igual à soma dos quadrados das magnitudes dos coeficientes:

  $$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |a_k|^2.$$

Estas propriedades são organizadas numa tabela análoga à do caso contínuo, facilitando o uso prático em problemas de análise de sinais e sistemas discretos.

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3.8 Resposta de Sistemas LTI a Sinais Periódicos

Esta secção liga tudo: mostra como as séries de Fourier permitem analisar a resposta de sistemas LTI a sinais periódicos, tanto contínuos como discretos.

A ideia é:

• Se a entrada $x(t)$ ou $x[n]$ é uma combinação de exponenciais complexas, e sabendo que cada exponencial é função própria do sistema LTI, então a saída é simplesmente a soma das mesmas exponenciais multiplicadas pelos ganhos do sistema em cada frequência.

• Assim, o sistema filtra cada harmónica de forma independente, modificando a amplitude e fase segundo a resposta em frequência $H(j\omega)$ ou $H(e^{j\Omega})$.

• Na prática, isto significa que podemos prever o comportamento de circuitos, filtros digitais e outros sistemas LTI analisando a resposta em frequência e o espectro de entrada.

A secção termina com exemplos ilustrativos: por exemplo, um circuito RC filtrando uma onda quadrada, mostrando como o espectro de saída atenua harmónicas de alta frequência — demonstrando o papel da resposta em frequência como “peneira” de harmónicas.

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Secção 3.9 — Filtragem

A filtragem consiste em alterar as amplitudes relativas dos componentes de frequência de um sinal ou até eliminar alguns completamente. Os sistemas LTI (Lineares e Invariantes no Tempo) que modificam o espectro de forma controlada são chamados de filtros modeladores de frequência. Os filtros selectivos de frequência deixam passar algumas frequências quase sem distorção e atenuam ou rejeitam outras.

Como vimos, no domínio da frequência, a saída de um sistema LTI resulta da multiplicação das componentes do sinal de entrada pela resposta em frequência do sistema. Por isso, projectar filtros passa por escolher adequadamente essa resposta em frequência.

3.9.1 Filtros modeladores de frequência

Um exemplo comum está nos sistemas de áudio. Os filtros LTI nesses sistemas permitem ao utilizador ajustar o balanço entre graves e agudos. Estes filtros formam etapas de um equalizador, muitas vezes dividido em vários estágios em cascata, cujo efeito global resulta do produto das respostas em frequência de cada estágio.

• Mostram-se exemplos de curvas de magnitude em dB (20 log10 |H(jω)|), num gráfico log-log.

• Outro exemplo importante é o filtro diferenciador, com resposta em frequência H(jω) = jω. Amplifica mais as componentes de alta frequência, o que o torna útil, por exemplo, para realçar contornos em imagens (realce de transições bruscas em brilho). A aplicação a imagens bidimensionais é ilustrada, mostrando como realça bordas verticais ou horizontais consoante o conteúdo espectral em cada direcção.

No domínio discreto, os filtros LTI também são fundamentais. Usam-se em processamento digital (capítulo 7), por exemplo para separar variações de curto e longo prazo em séries temporais (dados económicos, demográficos). Um exemplo simples é o filtro média de dois pontos:

$$y[n] = \frac{1}{2} (x[n] + x[n-1])$$

que actua como um filtro passa-baixo, atenuando altas frequências e preservando variações lentas.

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3.9.2 Filtros selectivos de frequência

Estes filtros são desenhados para deixar passar algumas bandas de frequência e rejeitar outras com a maior precisão possível. Por exemplo:

• Em áudio, podem remover ruído de alta frequência.

• Em comunicações (como AM), permitem separar canais codificados em diferentes bandas.

Existem tipos básicos bem definidos:

• Passa-baixo: passa baixas frequências, rejeita altas.

• Passa-alto: o inverso.

• Passa-banda: passa uma banda específica.

As frequências de corte marcam as fronteiras entre bandas passantes e de rejeição.

A figura 3.26 ilustra a resposta em frequência de um filtro passa-baixo ideal. A figura 3.27 mostra filtros passa-alto e passa-banda ideais (observa-se simetria em torno de ω=0 porque usamos exponenciais complexas). Para tempo discreto, a resposta em frequência deve ser periódica (figura 3.28), com período 2π.

Embora úteis para especificação teórica, os filtros ideais não são realizáveis fisicamente. Na prática, usam-se aproximações com transições menos abruptas e características ajustadas a cada aplicação.

---

Secção 3.10 — Exemplos de filtros contínuos descritos por equações diferenciais

Os filtros contínuos reais são muitas vezes implementados por circuitos cujas relações entrada-saída obedecem a equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

3.10.1 Um filtro RC passa-baixo simples

Um exemplo clássico é o circuito RC de primeira ordem, com o condensador como saída. A equação diferencial:

$$RC \frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = v_s(t)$$

leva a uma resposta em frequência:

$$H(jω) = \frac{1}{1 + jωRC}$$

• Para ω≈0, |H(jω)|≈1 → passa baixas frequências.

• Para ω elevado, |H(jω)|→0 → atenua altas frequências.

O compromisso entre domínio do tempo e da frequência: aumentar RC melhora a atenuação de altas frequências mas torna a resposta ao degrau mais lenta.

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3.10.2 Um filtro RC passa-alto simples

Escolhendo agora como saída a tensão na resistência, a equação diferencial muda para:

$$RC \frac{dv_s(t)}{dt} + v_s(t) = v_r(t)$$

dando uma resposta em frequência:

$$G(jω) = \frac{jωRC}{1 + jωRC}$$

• Atenua baixas frequências.

• Passa altas frequências (para ω ≫ 1/RC).

Tal como no caso passa-baixo, o valor de RC controla a forma da resposta em frequência e a velocidade da resposta no tempo. Ambos os circuitos são exemplos de filtros de primeira ordem, com transições suaves entre banda passante e de rejeição.

---

Secção 3.11 — Exemplos de filtros discretos descritos por equações às diferenças

Os filtros em tempo discreto são implementados por equações às diferenças lineares de coeficientes constantes. Podem ser:

• Recursivos (IIR): têm resposta ao impulso infinita.

• Não-recursivos (FIR): resposta ao impulso finita.

Ambos são muito usados em sistemas digitais.

3.11.1 Filtros recursivos de primeira ordem

Um exemplo simples:

$$y[n] - a y[n-1] = x[n]$$

Para entrada exponencial complexa, a resposta em frequência é:

$$H(e^{jω}) = \frac{1}{1 - a e^{-jω}}$$

• Para a>0 (e |a|<1), actua como passa-baixo.

• Para a<0 (e |a|<1), actua como passa-alto.

O parâmetro a controla tanto a largura da banda passante como a velocidade da resposta ao impulso ou degrau.

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3.11.2 Filtros não-recursivos

Forma geral:

$$y[n] = \sum_{k=-N}^{M} b_k x[n-k]$$

Exemplo clássico: filtro de média móvel.
Para três pontos:

$$y[n] = \frac{1}{3}(x[n-1] + x[n] + x[n+1])$$

• Atenua variações rápidas (altas frequências), passa variações lentas (baixas frequências).

• O tamanho da janela controla a frequência de corte.

Outros filtros não-recursivos podem fazer passa-alto. Exemplo:

$$y[n] = \frac{1}{2}(x[n] - x[n-1])$$

atua como um diferenciador discreto, atenuando baixas frequências.

As principais características dos FIR:

• Impulso finito → sempre estáveis.

• Possibilidade de serem causais ou não, dependendo se dependem de amostras futuras.

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Secção 3.12 — Resumo

O capítulo introduz a representação em séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo e discreto, explorando a motivação principal: as exponenciais complexas são autofunções de sistemas LTI.

Mostrou-se que:

• Qualquer sinal periódico pode decompor-se numa soma ponderada de exponenciais harmónicas.

• Aplicando um sinal periódico a um sistema LTI, cada coeficiente de Fourier na saída é o produto do coeficiente de entrada pelo valor da resposta em frequência nessa harmónica.

Isto conduz ao conceito de filtragem com sistemas LTI, incluindo a filtragem selectiva de frequência.

O capítulo discutiu:

• Filtros ideais (não realizáveis) como referência teórica.

• Exemplos práticos baseados em equações diferenciais (contínuo) e às diferenças (discreto).

• A importância de compreender as respostas em frequência para conceber sistemas que realizem filtragem conforme os requisitos da aplicação.

Adiantou ainda que nos capítulos seguintes se desenvolverão ferramentas para sinais aperiódicos e uma análise mais detalhada da filtragem.

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