Resumo extraído do Capítulo 7 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 7 - Campos Magnétostáticos

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7.1 — Introdução

A secção apresenta o domínio da magnetostática: o estudo dos campos magnéticos gerados por correntes constantes (DC). Principais pontos:

• Origem dos campos: ao contrário da electrostática (campos gerados por cargas estacionárias), os campos magnéticos estáticos são produzidos por correntes estacionárias (cargas em movimento com velocidade constante) — por exemplo, correntes de condutores, correntes de magnetização em ímanes permanentes, e feixes de electrões.

• Quantidades fundamentais: introduz-se a comparação entre grandezas eléctricas e magnéticas (analogia $E \leftrightarrow H$, $D \leftrightarrow B$) e lembra-se a relação no vácuo

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H},$$

  com $\mu_0$ = permeabilidade do espaço livre.

• Motivação prática: explica-se porque é importante a magnetostática (motores, transformadores, sensores, armazenamento magnético, levitação magnética, etc.).

• Leis fundamentais que serão usadas: são enunciadas as duas leis principais da magnetostática — Lei de Biot–Savart (lei geral, análoga à lei de Coulomb) e Lei de Ampère (caso especial útil para distribuições com simetria).

• Observação conceptual: prepara o leitor para ver semelhanças e diferenças entre campos eléctricos e magnéticos (por exemplo, os fluxos magnéticos fecham-se sempre — não existem monopolos magnéticos isolados).

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7.2 — Lei de Biot–Savart

Apresenta a Lei de Biot–Savart, que dá o campo magnético diferencial devido a um elemento de corrente:

• Enunciado (forma vetorial para $\mathbf{H}$):

  $$d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{\hat{R}}}{4\pi R^{2}} \quad\text{ou}\quad d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{4\pi R^{3}},$$

  
  

• Interpretação física:

  • Direção de $d\mathbf{H}$ dada pelo produto vetorial: regra da mão direita.

  • Dependência com a distância: $1/R^2$ em termo diferencial; após integração aparece a dependência característica para cada geometria.

• Distribuições de corrente: a lei aplica-se a correntes lineares ($I\,d\mathbf l$), superfícies de corrente ($\mathbf{K}\,dS$) e volumes de corrente ($\mathbf{J}\,dV$):

  $$\mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\int_{\text{linha}}\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{R^{3}}, \quad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\iint_{\text{superf}} \frac{\mathbf{K}\times\mathbf{R}}{R^{3}}\,dS, \quad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\iiint_{\text{vol}} \frac{\mathbf{J}\times\mathbf{R}}{R^{3}}\,dV.$$

• Exemplos trabalhados (formas fechadas obtidas por integração):

  • Fio rectilíneo finito (distância radial $r$, ângulos $\alpha_1,\alpha_2$ subtendidos em relação ao ponto):

    $$\mathbf{H}=\frac{I}{4\pi r}(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2)\,\mathbf{a}_\varphi.$$

    Casos particulares:

    • fio semi-infinito: $H=\dfrac{I}{4\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi$.

    • fio infinito: $H=\dfrac{I}{2\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi$.

  • Espira circular: resultado para o eixo da espira; componente axial não nula, componente radial cancela por simetria.

  • Solenóide: integração das espiras leva à fórmula axial, e no centro de um solenóide longo obtém-se $H=nI$ (com $n$ espiras por unidade de comprimento).

• Observações práticas:

  • Biot–Savart é geral mas pode exigir integrais complicados; é útil quando não há simetria suficiente para Ampère.

  • A lei mostra explícito o papel do produto vetorial — a orientação do elemento de corrente influencia fortemente o campo resultante.

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7.3 — Lei de Ampère 

Esta secção introduz a Lei de Ampère e a sua forma diferencial, ligando-a às equações de Maxwell para campos estáticos.

• Forma integral (Lei de Ampère):

  $$\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},$$

  o integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada $C$ é igual à corrente total incluída pela superfície limite dessa curva.

• Forma diferencial (equação de Maxwell):
  Aplicando o Teorema de Stokes obtém-se

  $$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J},$$

  em magnetostática (correntes estacionárias). Esta é uma das equações de Maxwell para campos estáticos.

• Quando usar Ampère:

  • É extremamente útil quando existe simetria (cilíndrica, planar, toroidal) que permite escolher um caminho amperiano em que $|\mathbf{H}|$ é constante sobre o caminho ou perpendicular a partes do mesmo, simplificando o integral.

• Exemplos clássicos resolvidos com Ampère:

  1. Fio infinito: ao tomar um caminho circular concêntrico obtemos

     $$H=\frac{I}{2\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi,$$

     compatível com Biot–Savart.

  2. Plano infinito de corrente com densidade superficial $\mathbf{K}$: campo uniforme dos dois lados com salto $\tfrac{1}{2}\mathbf{K}\times\mathbf{n}$.

     • Resultado geral para plano infinito: $\mathbf{H}=\tfrac{1}{2}\,\mathbf{K}\times\mathbf{a}_n$ 

  3. Linha coaxial (condutor concêntrico) e regiões internas/externas: Ampère permite obter $H$ por regiões dependendo da corrente incluída.

  4. Toroide: Amperiana circular dá $H=\dfrac{NI}{2\pi r}$ no interior (fora do toroide $H\approx 0$).

• Propriedade física importante:

  • Ao contrário do campo eléctrico electrostático (onde $\nabla\times\mathbf{E}=0$), o campo magnético não é conservativo em geral: $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}\neq 0$ nas regiões com corrente.

• Ligação a $\mathbf{B}$:
  $\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$ no espaço livre; portanto as expressões para $\mathbf{H}$ traduzem-se directamente em $\mathbf{B}$ multiplicando por $\mu_0$.

• Limitações e observações:

  • Ampère é uma ferramenta poderosa mas só quando a simetria permite simplificar o integral; caso contrário recorre-se a Biot–Savart ou ao potencial vectorial.

  • Ampère mostra o papel topológico das correntes (a circulação do campo depende apenas da corrente incluída na superfície limitada).

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7.4 — Aplicações da Lei de Ampère

Esta secção aplica a Lei de Ampère a distribuições de corrente com simetria, mostrando como escolher caminhos amperianos (curvas fechadas) que simplificam o cálculo da circulação de H. Principais resultados e exemplos:

• Forma integral (recordar):

  $$\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}}.$$

  Aplicando o Teorema de Stokes obtém-se a forma diferencial $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$.

• Fio infinito — simetria cilíndrica: escolhendo um caminho circular concêntrico obtemos

  $$H_\varphi=\frac{I}{2\pi r}\quad(\mathbf{H}=H_\varphi\,\mathbf{a}_\varphi),$$

  onde $r$ é a distância radial ao eixo do fio. Resultado consistente com Biot–Savart.

• Plano infinito de corrente com densidade superficial $\mathbf{K}$ ao longo de $\mathbf{a}_y$ é

  $$\mathbf{H}=\pm\frac{1}{2}\,\mathbf{K}\times\mathbf{a}_n,$$

  onde $\mathbf{a}_n$ é o vector normal apontando do plano para o ponto considerado — o sinal depende do lado.

• Linha coaxial infinita: considerando correntes distribuídas uniformemente nas regiões do condutor interno e externo, aplica-se Ampère por regiões radiais e obtêm-se expressões por partes para $H$:

  • $0\le r\le a$: $H=\dfrac{I r}{2\pi a^2}$ (corrente distribuída no interior do condutor interno);

  • $a\le r\le b$: $H=\dfrac{I}{2\pi r}$ (região entre os condutores — campo como fio externo);

  • $b\le r\le b+t$: expressão que inclui a fração da corrente contida na parte do condutor externo atravessada pela amperiana;

  • $r\ge b+t$: $H=0$ (fora do conjunto quando correntes interna e externa se anulam). Detalhes e a fórmula completa por regiões estão desenvolvidos na secção.

• Toroide: para um toroide com $N$ espiras e corrente $I$, a amperiana circular de raio $r$ dá

  $$H_\varphi=\frac{NI}{2\pi r}$$

  no interior do toroide; exteriormente $H\approx 0$. Este resultado mostra por que o toroide confina o campo magnético.

• Solenóide longo: somando as contribuições das espiras por unidade de comprimento obtém-se, no interior aproximado de um solenóide longo,

  $$H=nI\quad\text{(com \(n\) espiras por unidade de comprimento).}$$

  Fora do solenóide o campo é (em muitas aproximações) desprezável.

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7.5 — Densidade de fluxo magnético
$\mathbf{B}$ — equação de Maxwell

Esta secção introduz a densidade de fluxo magnético $\mathbf{B}$, explica a sua relação com $\mathbf{H}$ em espaço livre e discute propriedades geométricas do fluxo magnético.

• Relação entre $\mathbf{B}$ e $\mathbf{H}$ (no espaço livre):

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H},$$

  onde $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ é a permeabilidade do espaço livre.

• Fluxo magnético através de uma superfície $S$:

  $$\Psi=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\quad(\text{unidade: weber, Wb}).$$

  Linhas de fluxo magnético são trajectórias tangenciais a $\mathbf{B}$ em cada ponto (a bússola orienta-se ao longo destas linhas).

• Propriedade topológica importante — não existem monopólos magnéticos isolados:

  $$\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0.$$

  Isto significa que as linhas de $\mathbf{B}$ são sempre fechadas (não têm início nem fim) — contraste com linhas de $\mathbf{D}$ que podem emergir de cargas.

• Conceitos de potencial magnético: a secção prepara a motivação para usar potenciais (escalar $V_m$ quando $\mathbf{J}=0$, e vectorial $\mathbf{A}$ em geral), relacionando $\mathbf{B}$ com o rotacional do potencial vetorial:

  $$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},$$

  
  

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7.6 — Equações de Maxwell para campos estáticos

A secção reúne as quatro equações de Maxwell na forma apropriada para campos eléctricos e magnéticos estáticos (magnetostática + electrostática), tanto na forma diferencial como integral, e introduz os potenciais magnéticos.

• As quatro equações (formas diferencial e integral, para o caso estático): 

  • Gauss (electricidade):

    $$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{enc}}.$$

  • Não-existência de monopólos magnéticos:

    $$\nabla\cdot\mathbf{B}=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0.$$

  • Electrostática (conservatividade de $\mathbf{E}$):

    $$\nabla\times\mathbf{E}=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0.$$

  • Ampère (magnetostática, forma diferencial):

    $$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}.$$

  Estas expressões aparecem compiladas na Tabela 7.2 do capítulo.

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Resumo 

O capítulo apresenta a magnetostática: leis que descrevem como correntes eléctricas constantes geram campos magnéticos estáticos e as ferramentas para os calcular. 

• Biot–Savart (forma diferencial e integral) — campo devido a um elemento de corrente:

  $$d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{4\pi R^{3}},\qquad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\int\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{R^{3}}.$$

  Aplicável a correntes lineares, superficiais e volumétricas.

• Lei de Ampère (integral) — circulação do campo magnético:

  $$\oint_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},$$

  com a forma diferencial $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$. Útil quando existe simetria (fios infinitos, folhas infinitas, solenóides, toroides, condutores concêntricos).

• Relação $\mathbf{B}$–$\mathbf{H}$:

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\quad(\text{no espaço livre}),\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

  
  

• Potenciais magnéticos:

  • Potencial escalar $V_m$ — válido apenas em regiões sem corrente ($\mathbf{J}=0$) com $\mathbf{H}=-\nabla V_m$ e $\nabla^2 V_m=0$.

  • Potencial vectorial $\mathbf{A}$ — geral, $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$; (p.ex. Coulomb: $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$) conduz a $\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$.

Resultados práticos destacados (fórmulas de referência)

• Fio retilíneo infinito:

  $$H_\varphi=\frac{I}{2\pi r}.$$

• Espira circular (eixo): expressão para a componente axial (obtida por integração de Biot–Savart).

• Solenóide longo (interior):

  $$H=nI \quad\Rightarrow\quad B=\mu_0 n I.$$

• Toroide:

  $$H=\frac{NI}{2\pi r}\quad\text{(no interior do toroide)}.$$

• Plano de corrente infinita:

  $$\mathbf{H}=\pm\frac{1}{2}\mathbf{K}\times\mathbf{n}\quad(\text{saltos de campo dos dois lados}).$$

Estas fórmulas são as ferramentas de referência para problemas práticos em magnetostática.

Observações finais e ligação a regimes não-estáticos

• Para problemas sem simetria usa-se Biot–Savart ou a formulação por potenciais (especialmente $\mathbf{A}$).

• As equações de divergência ($\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$, $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$) mantêm-se para campos dependentes do tempo; as equações de rotacional são modificadas quando aparecem termos temporais (p.ex. deslocamento eléctrico) — isso é tratado mais adiante em capítulos sobre campos dependentes do tempo.

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