MEA - Problema II da Frequência de 13-11-2024

Transformador monofásico

Máquinas Elétricas e Acionamentos, Escola Náutica Infante Dom Henrique

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Resumo extraído do Capítulo 33, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 33 – Circuitos em corrente alternada (AC)

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33.1 Fontes de Corrente Alternada

Uma fonte de corrente alternada (AC) fornece uma tensão alternada que varia sinusoidalmente com o tempo, descrita por:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$$

onde $\Delta V_{max}$ é a amplitude da tensão e $v$ é a frequência angular (ligada à frequência $f$ por $v = 2\pi f$). Exemplos de fontes AC incluem geradores e osciladores eléctricos. Em casa, cada tomada serve de fonte de AC.

A tensão alternada muda de sinal ao longo de cada ciclo: positiva numa metade, negativa na outra. O resultado é que a corrente no circuito também alterna de sentido, variando sinusoidalmente.

A frequência comercial varia consoante o país; em Portugal é de 50 Hz (o que dá uma frequência angular de 314 rad/s).

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33.2 Resistências num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC simples com uma resistência ligada a uma fonte AC. Usando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - i_R R = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$i_R = \frac{\Delta V_{max}}{R} \sin (vt) = I_{max} \sin (vt)$$

Assim, a corrente alternada numa resistência varia em fase com a tensão: ambos atingem os seus valores máximos e mínimos em simultâneo. Em gráficos de tensão e corrente versus tempo, os dois são sinusoides coincidentes.

Conceito de fase: Para resistências, corrente e tensão estão sempre em fase.

Diagramas fasoriais: Um fasor representa uma grandeza (corrente ou tensão) como um vetor rotativo cuja projeção no eixo vertical dá o valor instantâneo. Para uma resistência, os fasores de corrente e tensão estão alinhados, indicando fase igual.

Valores eficazes (rms): Em AC usa-se o valor eficaz (root-mean-square, rms) para facilitar comparações com DC:

$$I_{rms} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{max}$$ $$\Delta V_{rms} = \frac{\Delta V_{max}}{\sqrt{2}}$$

Por exemplo, quando dizemos que uma tomada fornece 230 V AC, referimo-nos ao valor rms; o valor de pico seria cerca de 330 V.

Potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

As resistências dissipam potência independentemente da direção da corrente: aquecem igualmente com corrente positiva ou negativa.

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33.3 Bobines num Circuito AC 

Agora considera-se um circuito AC com apenas uma bobine:

$$\Delta v_L = -L \frac{di_L}{dt}$$

Usando $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$\Delta V_{max} \sin (vt) = L \frac{di_L}{dt}$$

Integrando:

$$i_L = -\frac{\Delta V_{max}}{vL} \cos (vt) = \frac{\Delta V_{max}}{vL} \sin \left(vt - \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente numa bobine atrasa-se 90° em relação à tensão. Em gráficos de tempo, a tensão atinge o máximo um quarto de ciclo antes da corrente.

Diagramas fasoriais: os fasores de corrente e tensão são ortogonais (90° de diferença).

Reactância indutiva: a oposição de uma bobine à corrente AC depende da frequência:

$$X_L = vL$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_L}$$

Assim, para frequências mais altas, a reactância indutiva aumenta, reduzindo a corrente. Isto está de acordo com a lei de Faraday: maior variação de corrente gera uma força contra-electromotriz (emf) maior.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_L}$$

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33.4 Condensadores num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC constituído apenas por um condensador de capacitância $C$. Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - \frac{q}{C} = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$:

$$q = C \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente é dada por:

$$i_C = \frac{dq}{dt} = vC \Delta V_{max} \cos(vt)$$

Usando a identidade trigonométrica $\cos(vt) = \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$:

$$i_C = vC \Delta V_{max} \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente num condensador antecipa-se 90° em relação à tensão. Ou seja, a corrente antecipa a tensão por um quarto de ciclo.

Representação gráfica: nos gráficos de tempo, o pico da corrente ocorre antes do pico da tensão. Em pontos onde a corrente é nula, o condensador está carregado ao máximo.

Diagrama fasorial: o fasor da corrente está 90° à frente do fasor da tensão.

Reactância capacitiva: o condensador oferece oposição à corrente alternada dependente da frequência:

$$X_C = \frac{1}{vC}$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_C}$$

Interpretação: para frequências mais altas, a reactância capacitiva diminui, permitindo mais corrente. Quando a frequência se aproxima de zero (DC), $X_C$ tende para infinito, bloqueando a corrente.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_C}$$

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33.5 O Circuito Série RLC 

Agora estuda-se um circuito série com resistência (R), bobine (L) e condensador (C) ligados a uma fonte de tensão AC:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente no circuito é comum a todos os elementos:

$$i = I_{max} \sin(vt - \phi)$$

onde $\phi$ é o ângulo de fase entre a tensão aplicada e a corrente.

Características de fase:

• Na resistência: tensão e corrente em fase.

• Na bobine: tensão adianta-se à corrente por 90°.

• No condensador: tensão atrasa-se da corrente por 90°.

Tensões instantâneas:

$$\Delta v_R = I_{max} R \sin(vt)$$ $$\Delta v_L = I_{max} X_L \cos(vt)$$ $$\Delta v_C = -I_{max} X_C \cos(vt)$$

Impedância (Z): combina as três componentes considerando as diferenças de fase:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL, \quad X_C = \frac{1}{vC}$$

Corrente máxima:

$$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{Z}$$

Ângulo de fase:

$$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

• Se $X_L > X_C$: circuito mais indutivo → corrente atrasa-se em relação à tensão.

• Se $X_L < X_C$: circuito mais capacitivo → corrente antecipa-se em relação à tensão.

• Se $X_L = X_C$: circuito resistivo puro, $\phi = 0$.

Diagramas fasoriais: permitem somar as tensões nos diferentes elementos considerando as suas fases relativas. A soma vetorial resulta na tensão aplicada.

Conclusão: o comportamento do circuito série RLC depende fortemente da frequência de operação devido à variação de $X_L$ e $X_C$. Este circuito pode exibir ressonância (discutida mais adiante no capítulo).

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33.6 Potência num Circuito AC 

A potência instantânea fornecida por uma fonte AC é:

$$P = i \Delta v$$

Para um circuito RLC:

$$P = I_{max} \sin(vt - \phi) \cdot \Delta V_{max} \sin(vt)$$

Usando identidades trigonométricas e calculando o valor médio ao longo de um ciclo:

$$P_{avg} = \frac{1}{2} I_{max} \Delta V_{max} \cos \phi$$

Em termos de valores eficazes (rms):

$$P_{avg} = I_{rms} \Delta V_{rms} \cos \phi$$

onde $\cos \phi$ é o factor de potência.

Interpretação:

• $\cos \phi = 1$: carga puramente resistiva, máxima potência transferida.

• $\cos \phi = 0$: carga puramente reativa (bobine ou condensador puros), potência média zero.

Explicação física:

• Numa resistência, a energia elétrica converte-se em calor → há consumo real de potência.

• Numa bobine ou condensador ideais, a energia é armazenada e devolvida ao circuito → não há dissipação líquida de potência.

Factor de potência na prática: Em instalações industriais com cargas indutivas significativas (motores, transformadores), usa-se a compensação capacitiva para melhorar $\cos \phi$, reduzindo perdas e aumentando a eficiência da rede.

Expressão alternativa para potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

Conclusão: a potência dissipada num circuito AC depende não só da corrente e tensão rms, mas também do factor de potência, que quantifica o desfasamento entre corrente e tensão.

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33.7 Ressonância num Circuito Série RLC 

Um circuito série RLC comporta-se como um oscilador eléctrico. Quando a frequência da fonte coincide com a frequência natural do sistema, ocorre ressonância.

Impedância em AC:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL \quad \text{e} \quad X_C = \frac{1}{vC}.$$

A corrente eficaz (rms) é:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{Z}.$$

Na ressonância, $X_L = X_C$, logo:

$$v_0 L = \frac{1}{v_0 C} \quad \Rightarrow \quad v_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Propriedades da ressonância:

• A impedância atinge o mínimo $Z = R$.

• A corrente rms atinge o máximo:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{R}.$$

• Corrente e tensão estão em fase (ângulo de fase $\phi = 0$).

Curva de ressonância:

• A largura da curva (em frequência) está relacionada com a resistência.

• Quanto menor a resistência, mais estreita e alta é a curva de corrente em função da frequência.

Fator de qualidade (Q):

$$Q = \frac{v_0}{\Delta v} = \frac{v_0 L}{R}$$

onde $\Delta v$ é a largura da curva a meia-potência (half-power points).

Aplicações práticas:

• Circuitos de sintonia em rádios.

• Seleção de uma frequência específica num sinal complexo.

• Em rádios, o condensador variável permite ajustar a frequência de ressonância para captar diferentes estações.

Ideia central: A ressonância permite maximizar a resposta de corrente para uma frequência específica e filtrar todas as outras.

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33.8 O Transformador e a Transmissão de Energia 

Os transformadores são dispositivos que mudam a tensão e a corrente alternada sem alterar significativamente a potência. São essenciais para a transmissão eficiente de energia elétrica a longas distâncias.

Estrutura:

• Dois enrolamentos (primário e secundário) num núcleo de ferro.

• O núcleo guia o fluxo magnético, garantindo acoplamento entre os enrolamentos.

Lei de Faraday:

$$\Delta v_1 = -N_1 \frac{d\Phi_B}{dt}, \quad \Delta v_2 = -N_2 \frac{d\Phi_B}{dt}.$$

Assumindo fluxo comum:

$$\frac{\Delta v_2}{\Delta v_1} = \frac{N_2}{N_1}.$$

Dois tipos principais:

• Elevador de tensão: $N_2 > N_1$, aumenta a tensão.

• Redutor de tensão: $N_2 < N_1$, reduz a tensão.

Conservação de potência (ideal):

$$I_1 \Delta v_1 = I_2 \Delta v_2.$$

Equivalência de resistências vistas do primário:

$$R_{eq} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 R_L.$$

Permite ajustar resistências para maximizar transferência de potência.

Transmissão de energia elétrica:

• Alta tensão → Baixa corrente → Menores perdas $I^2 R$.

• Linhas de transmissão podem operar a centenas de quilovolts.

• Subestações reduzem gradualmente a tensão para níveis seguros e úteis (ex.: 230 kV → 20 kV → 400 V → 230 V).

Eficiência: Transformadores reais têm eficácias elevadas (90%–99%).

Exemplos quotidianos:

• Adaptadores de parede para aparelhos electrónicos.

• Transformadores em redes de distribuição eléctrica.

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33.9 Rectificadores e Filtros 

Muitos dispositivos electrónicos precisam de corrente contínua (DC) apesar de a rede fornecer corrente alternada (AC). Para isso usam-se rectificadores e filtros.

Rectificação:

• Processo de conversão de AC em DC.

• Principal elemento: díodo, que só conduz corrente num sentido.

• Circuito típico: rectificador de meia-onda com díodo em série com a carga.

• Resultado: corrente pulsante apenas numa direcção.

Filtro com condensador:

• Adiciona-se um condensador em paralelo com a carga.

• Suaviza a variação da tensão e corrente.

• O condensador carrega-se quando a tensão sobe e descarrega-se lentamente, mantendo corrente na carga mesmo quando a entrada AC desce.

Problema do ripple:

• Mesmo após filtragem, há uma pequena componente AC (ripple).

• É importante reduzir o ripple para níveis insignificantes, especialmente em áudio para evitar hums (ex.: 50/60 Hz).

Filtros RC:

• Circuitos específicos que deixam passar ou bloqueiam certas frequências.

• Exemplo: filtro passa-alto RC.

  • Baixas frequências → tensão de saída muito menor que a entrada.

  • Altas frequências → saída ≈ entrada.

Aplicação: eliminar componentes de baixa frequência indesejadas e permitir sinais úteis de alta frequência.

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33.10 Resumo

• A corrente alternada (AC) varia sinusoidalmente, permitindo transporte eficiente de energia.

• Em resistências, corrente e tensão estão em fase.

• Em bobines, a corrente atrasa-se 90° em relação à tensão.

• Em condensadores, a corrente antecipa-se 90° em relação à tensão.

• A impedância combina resistência e reactâncias indutiva e capacitiva, dependendo da frequência.

• Ressonância em circuitos série RLC ocorre quando $X_L = X_C$, minimizando a impedância e maximizando a corrente.

• Transformadores permitem alterar níveis de tensão e corrente para transmissão eficiente de energia.

• Rectificadores convertem AC em DC, com filtros (normalmente com condensadores) para suavizar a saída.

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Exame de Recurso Sem-1 2024-2025

Circuitos Elétricos, U. Coimbra, Questão 1

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Resumo extraído do Capítulo 3 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

Capítulo 3: Representação de sinais periódicos em séries de Fourier

3.1 Perspectiva Histórica

Esta secção traça a evolução histórica da análise de Fourier, mostrando como a ideia de decompor fenómenos periódicos em somas de funções trigonométricas remonta à antiguidade (por exemplo, os babilónios na astronomia). No século XVIII, Euler estudou cordas vibrantes, introduzindo a ideia de modos normais como combinações de senos e cossenos. Bernoulli defendeu que todos os movimentos de uma corda poderiam ser representados assim, mas Lagrange criticou a validade para sinais com descontinuidades.
Joseph Fourier retomou o conceito no início do século XIX para estudar a propagação de calor, afirmando que qualquer fenómeno periódico poderia ser descrito por séries de senos e cossenos, mesmo com descontinuidades — uma ideia inovadora mas inicialmente controversa. Fourier enfrentou resistência (inclusive de Lagrange) e dificuldades para publicar o seu trabalho, mas a sua Théorie analytique de la chaleur (1822) tornou-se fundamental. Fourier foi além das séries, propondo a transformação integral (base do que hoje chamamos Transformada de Fourier) para sinais aperiódicos. O impacto do seu trabalho estende-se por múltiplas áreas da ciência, engenharia e matemática, incluindo tópicos como integração, séries temporais, difusão de calor, sinais sinusoidais em circuitos de corrente alternada, ondas marítimas e transmissão de rádio. Finalmente, o texto destaca que, para sinais em tempo discreto, a análise harmónica ganhou relevância com o desenvolvimento da Transformada Rápida de Fourier (FFT) nos anos 60, revolucionando a computação digital de séries de Fourier.

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3.2 Resposta de Sistemas LTI a Exponenciais Complexas

Esta secção demonstra porque é que as exponenciais complexas são tão importantes na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). O ponto central é que uma exponencial complexa é uma função própria de um sistema LTI: a resposta do sistema a uma entrada exponencial é a mesma exponencial multiplicada por um factor constante (o valor próprio ou ganho de frequência do sistema).
Em termos contínuos, uma entrada $e^{st}$ gera uma saída $H(s)e^{st}$, onde $H(s)$ é a transformada de Laplace da resposta impulsional. No caso discreto, uma entrada $z^n$ gera uma saída $H(z)z^n$.
Como consequência, qualquer sinal que possa ser escrito como combinação linear de exponenciais complexas pode ser analisado decompondo cada componente, aplicando a propriedade da sobreposição. Assim, se a entrada for uma soma de exponenciais, a saída será uma soma das mesmas exponenciais, escaladas pelos ganhos de frequência correspondentes. Esta ideia justifica a relevância das séries e transformadas de Fourier para representar sinais e estudar sistemas.
Inclui-se um exemplo de um sistema que apenas aplica um atraso de tempo, mostrando que a exponencial é efectivamente função própria — a saída é a entrada atrasada multiplicada por uma fase.

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3.3 Representação de Sinais Periódicos em Tempo Contínuo (Série de Fourier)

Aqui é introduzida formalmente a Série de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Define-se que um sinal é periódico se $x(t) = x(t + T)$ para um período $T$. O sinal pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas com frequências harmónicas múltiplas da fundamental:

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$$

com $\omega_0 = 2\pi/T$.
É demonstrado que combinações lineares de exponenciais harmonicamente relacionadas continuam a ser periódicas. Apresenta-se a relação entre exponenciais e senos/cossenos, mostrando como sinais reais podem ser escritos em forma trigonométrica.
Segue-se o processo de determinação dos coeficientes $a_k$ (análise) através de integração ao longo de um período, baseando-se na ortogonalidade das exponenciais. Também se ilustra a interpretação física de cada termo: o coeficiente $a_0$ representa a componente DC (média), enquanto os outros descrevem a energia distribuída pelas harmónicas.
Exemplos práticos incluem uma onda sinusoidal, uma combinação de senos e cossenos, e uma onda quadrada — mostrando como sinais com descontinuidades podem ser aproximados por somas finitas de harmónicas.

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3.4 Convergência da Série de Fourier

Esta secção discute as condições sob as quais a Série de Fourier efectivamente converge para o sinal original. Euler e Lagrange duvidavam da validade de representar funções descontínuas com somas de funções contínuas. Fourier, no entanto, mostrou que mesmo sinais como a onda quadrada podem ser representados correctamente no sentido de energia (ou seja, o erro quadrático médio tende para zero).
São introduzidas condições práticas de convergência:

• Se um sinal for contínuo e de energia finita num período, a sua Série de Fourier converge.

• Para sinais descontínuos, são apresentadas as condições de Dirichlet: o sinal deve ter energia finita, variação limitada (número finito de máximos e mínimos por período) e um número finito de descontinuidades.
  Se estas condições forem satisfeitas, a Série de Fourier converge para o sinal original em todos os pontos de continuidade e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (ex. Gibbs phenomenon).
  O famoso fenómeno de Gibbs mostra que, perto das descontinuidades, a soma parcial da Série de Fourier apresenta oscilações que não desaparecem, mas concentram-se cada vez mais junto à descontinuidade à medida que se somam mais harmónicas. Mesmo assim, a energia do erro global tende para zero.

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3.5 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Contínuo

Esta secção organiza e descreve as propriedades fundamentais das Séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Estas propriedades são essenciais para simplificar cálculos e interpretar resultados.

As principais propriedades abordadas são:

• Linearidade: A Série de Fourier é linear. Se dois sinais periódicos têm séries de Fourier conhecidas, qualquer combinação linear destes sinais resulta numa combinação linear dos coeficientes das séries.

• Deslocamento Temporal: Um deslocamento no tempo de um sinal resulta numa rotação de fase nos coeficientes. Assim, se deslocarmos o sinal em $t_0$, os coeficientes multiplicam-se por $e^{-jkw_0 t_0}$.

• Inversão Temporal: Inverter um sinal no tempo equivale a inverter a sequência de coeficientes: $a_k \rightarrow a_{-k}$.

• Escalonamento Temporal: Alterar a escala de tempo muda o período do sinal e a frequência fundamental, mas os coeficientes mantêm-se inalterados.

• Multiplicação de Sinais: Multiplicar dois sinais periódicos no domínio temporal corresponde a uma convolução discreta dos seus coeficientes no domínio da frequência.

• Conjugação: O conjugado de um sinal resulta nos coeficientes conjugados e invertidos: $a_k^* = a_{-k}$.

• Sinais Reais: Se o sinal é real, os coeficientes são conjugados simétricos: $a_{-k} = a_k^*$.

• Sinais Pares ou Ímpares: Para sinais reais, se forem pares, os coeficientes são reais e pares; se forem ímpares, os coeficientes são imaginários puros e ímpares.

• Diferenciação e Integração: Derivar um sinal corresponde a multiplicar os coeficientes por $jkw_0$; integrar corresponde a multiplicar os coeficientes pelo inverso (salvo o termo DC).

• Relação de Parseval: A potência média de um sinal periódico é igual à soma das potências médias de cada harmónica: 

• $\frac{1}{T} \int_{T} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2.$

Estas propriedades são resumidas numa tabela para consulta rápida e exemplificadas com pequenos exercícios que mostram como podem poupar cálculos. A intuição é que manipulando sinais no tempo podemos prever e controlar o efeito sobre o espectro de Fourier.

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3.6 Séries de Fourier em Tempo Discreto

Nesta secção, o conceito de Séries de Fourier é estendido a sinais periódicos em tempo discreto. A ideia principal é análoga ao caso contínuo, mas adaptada à natureza discreta dos sinais.

• Um sinal discreto $x[n]$ é periódico com período $N$ se $x[n] = x[n + N]$.

• A representação em série de Fourier é dada por:

  $$x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{j(2\pi/N)kn}.$$

• Os coeficientes são obtidos por:

  $$a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j(2\pi/N)kn}.$$

Comparando com o caso contínuo, destaca-se que:

• O número de harmónicas distintas é finito (N coeficientes para período N).

• Os expoentes são amostrados uniformemente no círculo unitário.

• A periodicidade de $e^{j(2\pi/N)kn}$ implica que o espectro é também periódico (aliasing inerente).

São discutidos exemplos simples de sinais discretos, como sequências binárias ou impulsos periódicos, e mostra-se como se obtêm os espectros. Este formalismo é a base para o desenvolvimento posterior da Transformada Discreta de Fourier (DFT) e da FFT.

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3.7 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Discreto

Tal como na secção 3.5, mas agora no contexto discreto, são apresentadas as propriedades que permitem manipular séries de Fourier de sinais discretos:

• Linearidade: Mantém-se.

• Deslocamento Temporal: Deslocar uma sequência no tempo adiciona uma fase exponencial ao espectro.

• Inversão Temporal: Inverter o sinal inverte os índices dos coeficientes.

• Multiplicação: A multiplicação de duas sequências periódicas corresponde a uma convolução discreta circular dos seus coeficientes.

• Parseval: A soma da energia de um período é igual à soma dos quadrados das magnitudes dos coeficientes:

  $$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |a_k|^2.$$

Estas propriedades são organizadas numa tabela análoga à do caso contínuo, facilitando o uso prático em problemas de análise de sinais e sistemas discretos.

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3.8 Resposta de Sistemas LTI a Sinais Periódicos

Esta secção liga tudo: mostra como as séries de Fourier permitem analisar a resposta de sistemas LTI a sinais periódicos, tanto contínuos como discretos.

A ideia é:

• Se a entrada $x(t)$ ou $x[n]$ é uma combinação de exponenciais complexas, e sabendo que cada exponencial é função própria do sistema LTI, então a saída é simplesmente a soma das mesmas exponenciais multiplicadas pelos ganhos do sistema em cada frequência.

• Assim, o sistema filtra cada harmónica de forma independente, modificando a amplitude e fase segundo a resposta em frequência $H(j\omega)$ ou $H(e^{j\Omega})$.

• Na prática, isto significa que podemos prever o comportamento de circuitos, filtros digitais e outros sistemas LTI analisando a resposta em frequência e o espectro de entrada.

A secção termina com exemplos ilustrativos: por exemplo, um circuito RC filtrando uma onda quadrada, mostrando como o espectro de saída atenua harmónicas de alta frequência — demonstrando o papel da resposta em frequência como “peneira” de harmónicas.

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Secção 3.9 — Filtragem

A filtragem consiste em alterar as amplitudes relativas dos componentes de frequência de um sinal ou até eliminar alguns completamente. Os sistemas LTI (Lineares e Invariantes no Tempo) que modificam o espectro de forma controlada são chamados de filtros modeladores de frequência. Os filtros selectivos de frequência deixam passar algumas frequências quase sem distorção e atenuam ou rejeitam outras.

Como vimos, no domínio da frequência, a saída de um sistema LTI resulta da multiplicação das componentes do sinal de entrada pela resposta em frequência do sistema. Por isso, projectar filtros passa por escolher adequadamente essa resposta em frequência.

3.9.1 Filtros modeladores de frequência

Um exemplo comum está nos sistemas de áudio. Os filtros LTI nesses sistemas permitem ao utilizador ajustar o balanço entre graves e agudos. Estes filtros formam etapas de um equalizador, muitas vezes dividido em vários estágios em cascata, cujo efeito global resulta do produto das respostas em frequência de cada estágio.

• Mostram-se exemplos de curvas de magnitude em dB (20 log10 |H(jω)|), num gráfico log-log.

• Outro exemplo importante é o filtro diferenciador, com resposta em frequência H(jω) = jω. Amplifica mais as componentes de alta frequência, o que o torna útil, por exemplo, para realçar contornos em imagens (realce de transições bruscas em brilho). A aplicação a imagens bidimensionais é ilustrada, mostrando como realça bordas verticais ou horizontais consoante o conteúdo espectral em cada direcção.

No domínio discreto, os filtros LTI também são fundamentais. Usam-se em processamento digital (capítulo 7), por exemplo para separar variações de curto e longo prazo em séries temporais (dados económicos, demográficos). Um exemplo simples é o filtro média de dois pontos:

$$y[n] = \frac{1}{2} (x[n] + x[n-1])$$

que actua como um filtro passa-baixo, atenuando altas frequências e preservando variações lentas.

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3.9.2 Filtros selectivos de frequência

Estes filtros são desenhados para deixar passar algumas bandas de frequência e rejeitar outras com a maior precisão possível. Por exemplo:

• Em áudio, podem remover ruído de alta frequência.

• Em comunicações (como AM), permitem separar canais codificados em diferentes bandas.

Existem tipos básicos bem definidos:

• Passa-baixo: passa baixas frequências, rejeita altas.

• Passa-alto: o inverso.

• Passa-banda: passa uma banda específica.

As frequências de corte marcam as fronteiras entre bandas passantes e de rejeição.

A figura 3.26 ilustra a resposta em frequência de um filtro passa-baixo ideal. A figura 3.27 mostra filtros passa-alto e passa-banda ideais (observa-se simetria em torno de ω=0 porque usamos exponenciais complexas). Para tempo discreto, a resposta em frequência deve ser periódica (figura 3.28), com período 2π.

Embora úteis para especificação teórica, os filtros ideais não são realizáveis fisicamente. Na prática, usam-se aproximações com transições menos abruptas e características ajustadas a cada aplicação.

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Secção 3.10 — Exemplos de filtros contínuos descritos por equações diferenciais

Os filtros contínuos reais são muitas vezes implementados por circuitos cujas relações entrada-saída obedecem a equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

3.10.1 Um filtro RC passa-baixo simples

Um exemplo clássico é o circuito RC de primeira ordem, com o condensador como saída. A equação diferencial:

$$RC \frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = v_s(t)$$

leva a uma resposta em frequência:

$$H(jω) = \frac{1}{1 + jωRC}$$

• Para ω≈0, |H(jω)|≈1 → passa baixas frequências.

• Para ω elevado, |H(jω)|→0 → atenua altas frequências.

O compromisso entre domínio do tempo e da frequência: aumentar RC melhora a atenuação de altas frequências mas torna a resposta ao degrau mais lenta.

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3.10.2 Um filtro RC passa-alto simples

Escolhendo agora como saída a tensão na resistência, a equação diferencial muda para:

$$RC \frac{dv_s(t)}{dt} + v_s(t) = v_r(t)$$

dando uma resposta em frequência:

$$G(jω) = \frac{jωRC}{1 + jωRC}$$

• Atenua baixas frequências.

• Passa altas frequências (para ω ≫ 1/RC).

Tal como no caso passa-baixo, o valor de RC controla a forma da resposta em frequência e a velocidade da resposta no tempo. Ambos os circuitos são exemplos de filtros de primeira ordem, com transições suaves entre banda passante e de rejeição.

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Secção 3.11 — Exemplos de filtros discretos descritos por equações às diferenças

Os filtros em tempo discreto são implementados por equações às diferenças lineares de coeficientes constantes. Podem ser:

• Recursivos (IIR): têm resposta ao impulso infinita.

• Não-recursivos (FIR): resposta ao impulso finita.

Ambos são muito usados em sistemas digitais.

3.11.1 Filtros recursivos de primeira ordem

Um exemplo simples:

$$y[n] - a y[n-1] = x[n]$$

Para entrada exponencial complexa, a resposta em frequência é:

$$H(e^{jω}) = \frac{1}{1 - a e^{-jω}}$$

• Para a>0 (e |a|<1), actua como passa-baixo.

• Para a<0 (e |a|<1), actua como passa-alto.

O parâmetro a controla tanto a largura da banda passante como a velocidade da resposta ao impulso ou degrau.

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3.11.2 Filtros não-recursivos

Forma geral:

$$y[n] = \sum_{k=-N}^{M} b_k x[n-k]$$

Exemplo clássico: filtro de média móvel.
Para três pontos:

$$y[n] = \frac{1}{3}(x[n-1] + x[n] + x[n+1])$$

• Atenua variações rápidas (altas frequências), passa variações lentas (baixas frequências).

• O tamanho da janela controla a frequência de corte.

Outros filtros não-recursivos podem fazer passa-alto. Exemplo:

$$y[n] = \frac{1}{2}(x[n] - x[n-1])$$

atua como um diferenciador discreto, atenuando baixas frequências.

As principais características dos FIR:

• Impulso finito → sempre estáveis.

• Possibilidade de serem causais ou não, dependendo se dependem de amostras futuras.

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Secção 3.12 — Resumo

O capítulo introduz a representação em séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo e discreto, explorando a motivação principal: as exponenciais complexas são autofunções de sistemas LTI.

Mostrou-se que:

• Qualquer sinal periódico pode decompor-se numa soma ponderada de exponenciais harmónicas.

• Aplicando um sinal periódico a um sistema LTI, cada coeficiente de Fourier na saída é o produto do coeficiente de entrada pelo valor da resposta em frequência nessa harmónica.

Isto conduz ao conceito de filtragem com sistemas LTI, incluindo a filtragem selectiva de frequência.

O capítulo discutiu:

• Filtros ideais (não realizáveis) como referência teórica.

• Exemplos práticos baseados em equações diferenciais (contínuo) e às diferenças (discreto).

• A importância de compreender as respostas em frequência para conceber sistemas que realizem filtragem conforme os requisitos da aplicação.

Adiantou ainda que nos capítulos seguintes se desenvolverão ferramentas para sinais aperiódicos e uma análise mais detalhada da filtragem.

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Resumo extraído do Capítulo 32, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 32 – Indutância

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32.1 Auto-indução e Indutância

Quando fechamos um circuito com uma fonte de força electromotriz (f.e.m.), um interruptor e uma resistência, a corrente não atinge imediatamente o valor final dado por ε/R. À medida que a corrente aumenta, o campo magnético gerado pela corrente cria um fluxo magnético através da área do circuito. Segundo a Lei de Faraday, esta variação de fluxo induz uma f.e.m. no próprio circuito.

A f.e.m. induzida tem sinal oposto à f.e.m. da bateria — por isso chama-se força contra-electromotriz — e resiste ao aumento da corrente, fazendo com que esta cresça de forma gradual. Este fenómeno chama-se auto-indução, porque a variação de fluxo que causa a f.e.m. surge do próprio circuito.

A f.e.m. auto-induzida (eL) é proporcional à taxa de variação temporal da corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

onde L é a indutância, uma constante que depende da geometria do circuito (número de espiras, área, comprimento, etc.). Para um enrolamento de N espiras, com fluxo magnético Φ_B através de cada uma:

$$L = \frac{N \Phi_B}{i}$$

A indutância mede a oposição a variações de corrente, de forma semelhante ao modo como a resistência mede a oposição ao fluxo de corrente. A unidade SI de indutância é o henry (H), definido como 1 V·s/A.

O exemplo clássico é o solenoide de N espiras, comprimento ℓ (muito maior que o raio) e área A:

$$L = \mu_0 \frac{N^2 A}{\ell}$$

Este exemplo mostra que L depende fortemente do número de espiras ao quadrado e da geometria do enrolamento. A analogia com a capacitância (dependência da geometria das placas) e com a resistência (dependência do comprimento e área do condutor) é salientada.

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32.2 Circuitos RL

Um circuito RL contém uma resistência e uma bobine (indutor) ligadas em série a uma fonte de f.e.m. A presença de uma bobine impede mudanças instantâneas na corrente. Quando se fecha o interruptor, a corrente começa em zero e cresce de forma exponencial, pois a força contra-electromotriz da bobine opõe-se ao aumento.

Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\varepsilon - iR - L \frac{di}{dt} = 0$$

Resolvendo a equação diferencial obtém-se:

$$i(t) = \frac{\varepsilon}{R} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

com a constante de tempo:

$$\tau = \frac{L}{R}$$

Esta constante representa o tempo necessário para a corrente atingir 63,2% do valor final (ε/R). Quanto maior a indutância L ou menor a resistência R, mais lenta será a resposta do circuito.

Quando a fonte é desligada (substituída por um curto-circuito), o circuito passa a ter apenas a resistência e a bobine. A corrente decresce exponencialmente:

$$i(t) = I_i e^{-t/\tau}$$

A bobine impede que a corrente caia instantaneamente a zero. A força contra-electromotriz gerada tenta manter a corrente, libertando a energia armazenada no campo magnético.

Em resumo, a bobine «suaviza» as variações de corrente, criando uma resposta "preguiçosa" ou atrasada às mudanças de tensão.

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32.3 Energia num Campo Magnético

Quando uma bobine conduz corrente, armazena energia no seu campo magnético. Parte da energia fornecida pela fonte é dissipada em calor na resistência, mas parte é armazenada como energia magnética na bobine.

A taxa de fornecimento de energia pela fonte é:

$$\varepsilon i = iR + L i \frac{di}{dt}$$

O termo $iR$ é a potência dissipada como calor. Já $L i \frac{di}{dt}$ corresponde à taxa de armazenamento de energia na bobine. Integrando, obtém-se a energia total armazenada:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

Esta forma é análoga à energia armazenada num condensador:

$$U_E = \frac{1}{2} C V^2$$

Para um solenoide (ou outra distribuição de campo magnético conhecido), podemos calcular a densidade de energia magnética (energia por unidade de volume):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

Este resultado mostra que a energia armazenada no campo magnético depende do quadrado da intensidade do campo, de forma semelhante à densidade de energia num campo eléctrico.

Um exemplo trabalhado no texto demonstra que quando a bobine descarrega (por exemplo, num circuito RL isolado), toda a energia inicialmente armazenada no campo magnético se converte em energia interna (calor) na resistência.

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32.4 Indutância Mútua

Nesta secção, introduz-se o conceito de indutância mútua. Quando há dois circuitos próximos, a corrente variável num deles pode induzir uma f.e.m. no outro, porque o campo magnético de um atravessa a área do outro.

Imagina duas bobinas próximas (bobina 1 e bobina 2):

• A corrente i₁ em 1 cria um campo magnético. Parte desse campo atravessa a área de 2, gerando fluxo magnético Φ₁₂ em 2.

• Se i₁ varia no tempo, Φ₁₂ varia, induzindo uma f.e.m. em 2.

Define-se indutância mútua M₁₂ como:

$$M_{12} = \frac{N_2 \Phi_{12}}{i_1}$$

onde N₂ é o número de espiras da bobina 2.

A f.e.m. induzida em 2 devido a i₁ é:

$$\varepsilon_2 = -M_{12} \frac{di_1}{dt}$$

Analogamente, se i₂ em 2 variar, induz uma f.e.m. em 1:

$$\varepsilon_1 = -M_{21} \frac{di_2}{dt}$$

Pode-se demonstrar que M₁₂ = M₂₁ = M, porque depende apenas da geometria mútua dos circuitos e das suas orientações.

A unidade de indutância mútua é o henry (H), como na auto-indução.

Exemplo prático: carregadores sem fios. Uma bobina na base (primária) cria um campo magnético variável, induzindo corrente na bobina do aparelho (secundária).

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32.5 Oscilações num Circuito LC

Nesta secção estuda-se o circuito LC ideal: um condensador ligado a uma bobine, sem resistência e sem radiação electromagnética.

• Supondo o condensador inicialmente carregado (carga Q_max), quando o circuito se fecha, a energia armazenada no campo eléctrico do condensador começa a transferir-se para a bobine.

• À medida que o condensador se descarrega, a corrente aumenta, armazenando energia no campo magnético da bobine.

• Quando o condensador está totalmente descarregado, a energia está toda na bobine.

• A corrente continua, recarregando o condensador com polaridade oposta.

Este processo repete-se, criando oscilações electromagnéticas entre energia eléctrica (condensador) e magnética (bobine).

Matematicamente:

• A equação diferencial do circuito é:

$$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$$

• Solução:

$$q(t) = Q_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)$$

onde

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

é a frequência angular natural das oscilações.

• A corrente é:

$$i(t) = \frac{dq}{dt} = -\omega Q_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)$$

Observa-se que carga e corrente estão desfasadas de 90°: quando a carga é máxima, a corrente é zero e vice-versa.

A energia total do circuito (conservada no ideal):

$$U = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L i^2$$

oscila entre o campo eléctrico do condensador e o campo magnético da bobine, mas permanece constante no tempo se não houver perdas.

Analogia mecânica: é como um sistema massa–mola sem atrito, em oscilação harmónica simples.

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32.6 O Circuito RLC

Aqui estuda-se o circuito RLC em série (resistência R, bobine L e condensador C).

Ao contrário do LC ideal:

• A resistência provoca dissipação de energia.

• A energia armazenada no campo eléctrico do condensador e no campo magnético da bobine diminui com o tempo, transformando-se em energia interna (calor) na resistência.

A equação diferencial que descreve o circuito é:

$$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$$

Esta é matematicamente equivalente à equação de movimento de um oscilador harmónico amortecido:

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

onde:

• q ↔ posição x

• i ↔ velocidade dx/dt

• L ↔ massa m

• R ↔ coeficiente de atrito b

• 1/C ↔ constante elástica k

Solução para amortecimento fraco (R pequeno):

$$q(t) = Q_{\text{max}} e^{-Rt/2L} \cos(v_d t)$$

com

$$v_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}$$

 As oscilações são amortecidas: a amplitude decai exponencialmente com o tempo.

 Para valores altos de R, as oscilações podem desaparecer totalmente (sobreamortecimento ou amortecimento crítico).

O comportamento geral do circuito RLC inclui:

• Oscilações amortecidas (R pequeno).

• Resposta crítica ou sobreamortecida (R grande).

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32.7 Resumo

• A auto-indução L mede a oposição de um circuito a variações de corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

• A energia armazenada num campo magnético é:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

• A densidade de energia magnética (no campo B):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

• Indutância mútua M relaciona as f.e.m. induzidas entre dois circuitos:

$$\varepsilon_2 = -M \frac{di_1}{dt}, \quad \varepsilon_1 = -M \frac{di_2}{dt}$$

• Circuito RL: apresenta resposta retardada à variação de corrente, com constante de tempo τ = L/R.

• Circuito LC: oscilações sinusoidais ideais, sem perdas:

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

• Circuito RLC: oscilações amortecidas, com energia dissipada na resistência.

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