Resumo extraído do Capítulo 33, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 33 – Circuitos em corrente alternada (AC)

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33.1 Fontes de Corrente Alternada

Uma fonte de corrente alternada (AC) fornece uma tensão alternada que varia sinusoidalmente com o tempo, descrita por:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$$

onde $\Delta V_{max}$ é a amplitude da tensão e $v$ é a frequência angular (ligada à frequência $f$ por $v = 2\pi f$). Exemplos de fontes AC incluem geradores e osciladores eléctricos. Em casa, cada tomada serve de fonte de AC.

A tensão alternada muda de sinal ao longo de cada ciclo: positiva numa metade, negativa na outra. O resultado é que a corrente no circuito também alterna de sentido, variando sinusoidalmente.

A frequência comercial varia consoante o país; em Portugal é de 50 Hz (o que dá uma frequência angular de 314 rad/s).

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33.2 Resistências num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC simples com uma resistência ligada a uma fonte AC. Usando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - i_R R = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$i_R = \frac{\Delta V_{max}}{R} \sin (vt) = I_{max} \sin (vt)$$

Assim, a corrente alternada numa resistência varia em fase com a tensão: ambos atingem os seus valores máximos e mínimos em simultâneo. Em gráficos de tensão e corrente versus tempo, os dois são sinusoides coincidentes.

Conceito de fase: Para resistências, corrente e tensão estão sempre em fase.

Diagramas fasoriais: Um fasor representa uma grandeza (corrente ou tensão) como um vetor rotativo cuja projeção no eixo vertical dá o valor instantâneo. Para uma resistência, os fasores de corrente e tensão estão alinhados, indicando fase igual.

Valores eficazes (rms): Em AC usa-se o valor eficaz (root-mean-square, rms) para facilitar comparações com DC:

$$I_{rms} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{max}$$ $$\Delta V_{rms} = \frac{\Delta V_{max}}{\sqrt{2}}$$

Por exemplo, quando dizemos que uma tomada fornece 230 V AC, referimo-nos ao valor rms; o valor de pico seria cerca de 330 V.

Potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

As resistências dissipam potência independentemente da direção da corrente: aquecem igualmente com corrente positiva ou negativa.

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33.3 Bobines num Circuito AC 

Agora considera-se um circuito AC com apenas uma bobine:

$$\Delta v_L = -L \frac{di_L}{dt}$$

Usando $\Delta v = \Delta V_{max} \sin (vt)$:

$$\Delta V_{max} \sin (vt) = L \frac{di_L}{dt}$$

Integrando:

$$i_L = -\frac{\Delta V_{max}}{vL} \cos (vt) = \frac{\Delta V_{max}}{vL} \sin \left(vt - \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente numa bobine atrasa-se 90° em relação à tensão. Em gráficos de tempo, a tensão atinge o máximo um quarto de ciclo antes da corrente.

Diagramas fasoriais: os fasores de corrente e tensão são ortogonais (90° de diferença).

Reactância indutiva: a oposição de uma bobine à corrente AC depende da frequência:

$$X_L = vL$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_L}$$

Assim, para frequências mais altas, a reactância indutiva aumenta, reduzindo a corrente. Isto está de acordo com a lei de Faraday: maior variação de corrente gera uma força contra-electromotriz (emf) maior.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_L}$$

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33.4 Condensadores num Circuito AC 

Considera-se um circuito AC constituído apenas por um condensador de capacitância $C$. Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\Delta v - \frac{q}{C} = 0$$

Substituindo $\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$:

$$q = C \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente é dada por:

$$i_C = \frac{dq}{dt} = vC \Delta V_{max} \cos(vt)$$

Usando a identidade trigonométrica $\cos(vt) = \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$:

$$i_C = vC \Delta V_{max} \sin\left(vt + \frac{\pi}{2}\right)$$

Resultado importante: a corrente num condensador antecipa-se 90° em relação à tensão. Ou seja, a corrente antecipa a tensão por um quarto de ciclo.

Representação gráfica: nos gráficos de tempo, o pico da corrente ocorre antes do pico da tensão. Em pontos onde a corrente é nula, o condensador está carregado ao máximo.

Diagrama fasorial: o fasor da corrente está 90° à frente do fasor da tensão.

Reactância capacitiva: o condensador oferece oposição à corrente alternada dependente da frequência:

$$X_C = \frac{1}{vC}$$ $$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{X_C}$$

Interpretação: para frequências mais altas, a reactância capacitiva diminui, permitindo mais corrente. Quando a frequência se aproxima de zero (DC), $X_C$ tende para infinito, bloqueando a corrente.

Valores rms:

$$I_{rms}=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_{rms}}{X_C}$$

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33.5 O Circuito Série RLC 

Agora estuda-se um circuito série com resistência (R), bobine (L) e condensador (C) ligados a uma fonte de tensão AC:

$$\Delta v = \Delta V_{max} \sin(vt)$$

A corrente no circuito é comum a todos os elementos:

$$i = I_{max} \sin(vt - \phi)$$

onde $\phi$ é o ângulo de fase entre a tensão aplicada e a corrente.

Características de fase:

• Na resistência: tensão e corrente em fase.

• Na bobine: tensão adianta-se à corrente por 90°.

• No condensador: tensão atrasa-se da corrente por 90°.

Tensões instantâneas:

$$\Delta v_R = I_{max} R \sin(vt)$$ $$\Delta v_L = I_{max} X_L \cos(vt)$$ $$\Delta v_C = -I_{max} X_C \cos(vt)$$

Impedância (Z): combina as três componentes considerando as diferenças de fase:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL, \quad X_C = \frac{1}{vC}$$

Corrente máxima:

$$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{Z}$$

Ângulo de fase:

$$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

• Se $X_L > X_C$: circuito mais indutivo → corrente atrasa-se em relação à tensão.

• Se $X_L < X_C$: circuito mais capacitivo → corrente antecipa-se em relação à tensão.

• Se $X_L = X_C$: circuito resistivo puro, $\phi = 0$.

Diagramas fasoriais: permitem somar as tensões nos diferentes elementos considerando as suas fases relativas. A soma vetorial resulta na tensão aplicada.

Conclusão: o comportamento do circuito série RLC depende fortemente da frequência de operação devido à variação de $X_L$ e $X_C$. Este circuito pode exibir ressonância (discutida mais adiante no capítulo).

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33.6 Potência num Circuito AC 

A potência instantânea fornecida por uma fonte AC é:

$$P = i \Delta v$$

Para um circuito RLC:

$$P = I_{max} \sin(vt - \phi) \cdot \Delta V_{max} \sin(vt)$$

Usando identidades trigonométricas e calculando o valor médio ao longo de um ciclo:

$$P_{avg} = \frac{1}{2} I_{max} \Delta V_{max} \cos \phi$$

Em termos de valores eficazes (rms):

$$P_{avg} = I_{rms} \Delta V_{rms} \cos \phi$$

onde $\cos \phi$ é o factor de potência.

Interpretação:

• $\cos \phi = 1$: carga puramente resistiva, máxima potência transferida.

• $\cos \phi = 0$: carga puramente reativa (bobine ou condensador puros), potência média zero.

Explicação física:

• Numa resistência, a energia elétrica converte-se em calor → há consumo real de potência.

• Numa bobine ou condensador ideais, a energia é armazenada e devolvida ao circuito → não há dissipação líquida de potência.

Factor de potência na prática: Em instalações industriais com cargas indutivas significativas (motores, transformadores), usa-se a compensação capacitiva para melhorar $\cos \phi$, reduzindo perdas e aumentando a eficiência da rede.

Expressão alternativa para potência média:

$$P_{avg} = I_{rms}^2 R$$

Conclusão: a potência dissipada num circuito AC depende não só da corrente e tensão rms, mas também do factor de potência, que quantifica o desfasamento entre corrente e tensão.

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33.7 Ressonância num Circuito Série RLC 

Um circuito série RLC comporta-se como um oscilador eléctrico. Quando a frequência da fonte coincide com a frequência natural do sistema, ocorre ressonância.

Impedância em AC:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

onde:

$$X_L = vL \quad \text{e} \quad X_C = \frac{1}{vC}.$$

A corrente eficaz (rms) é:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{Z}.$$

Na ressonância, $X_L = X_C$, logo:

$$v_0 L = \frac{1}{v_0 C} \quad \Rightarrow \quad v_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Propriedades da ressonância:

• A impedância atinge o mínimo $Z = R$.

• A corrente rms atinge o máximo:

$$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{R}.$$

• Corrente e tensão estão em fase (ângulo de fase $\phi = 0$).

Curva de ressonância:

• A largura da curva (em frequência) está relacionada com a resistência.

• Quanto menor a resistência, mais estreita e alta é a curva de corrente em função da frequência.

Fator de qualidade (Q):

$$Q = \frac{v_0}{\Delta v} = \frac{v_0 L}{R}$$

onde $\Delta v$ é a largura da curva a meia-potência (half-power points).

Aplicações práticas:

• Circuitos de sintonia em rádios.

• Seleção de uma frequência específica num sinal complexo.

• Em rádios, o condensador variável permite ajustar a frequência de ressonância para captar diferentes estações.

Ideia central: A ressonância permite maximizar a resposta de corrente para uma frequência específica e filtrar todas as outras.

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33.8 O Transformador e a Transmissão de Energia 

Os transformadores são dispositivos que mudam a tensão e a corrente alternada sem alterar significativamente a potência. São essenciais para a transmissão eficiente de energia elétrica a longas distâncias.

Estrutura:

• Dois enrolamentos (primário e secundário) num núcleo de ferro.

• O núcleo guia o fluxo magnético, garantindo acoplamento entre os enrolamentos.

Lei de Faraday:

$$\Delta v_1 = -N_1 \frac{d\Phi_B}{dt}, \quad \Delta v_2 = -N_2 \frac{d\Phi_B}{dt}.$$

Assumindo fluxo comum:

$$\frac{\Delta v_2}{\Delta v_1} = \frac{N_2}{N_1}.$$

Dois tipos principais:

• Elevador de tensão: $N_2 > N_1$, aumenta a tensão.

• Redutor de tensão: $N_2 < N_1$, reduz a tensão.

Conservação de potência (ideal):

$$I_1 \Delta v_1 = I_2 \Delta v_2.$$

Equivalência de resistências vistas do primário:

$$R_{eq} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 R_L.$$

Permite ajustar resistências para maximizar transferência de potência.

Transmissão de energia elétrica:

• Alta tensão → Baixa corrente → Menores perdas $I^2 R$.

• Linhas de transmissão podem operar a centenas de quilovolts.

• Subestações reduzem gradualmente a tensão para níveis seguros e úteis (ex.: 230 kV → 20 kV → 400 V → 230 V).

Eficiência: Transformadores reais têm eficácias elevadas (90%–99%).

Exemplos quotidianos:

• Adaptadores de parede para aparelhos electrónicos.

• Transformadores em redes de distribuição eléctrica.

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33.9 Rectificadores e Filtros 

Muitos dispositivos electrónicos precisam de corrente contínua (DC) apesar de a rede fornecer corrente alternada (AC). Para isso usam-se rectificadores e filtros.

Rectificação:

• Processo de conversão de AC em DC.

• Principal elemento: díodo, que só conduz corrente num sentido.

• Circuito típico: rectificador de meia-onda com díodo em série com a carga.

• Resultado: corrente pulsante apenas numa direcção.

Filtro com condensador:

• Adiciona-se um condensador em paralelo com a carga.

• Suaviza a variação da tensão e corrente.

• O condensador carrega-se quando a tensão sobe e descarrega-se lentamente, mantendo corrente na carga mesmo quando a entrada AC desce.

Problema do ripple:

• Mesmo após filtragem, há uma pequena componente AC (ripple).

• É importante reduzir o ripple para níveis insignificantes, especialmente em áudio para evitar hums (ex.: 50/60 Hz).

Filtros RC:

• Circuitos específicos que deixam passar ou bloqueiam certas frequências.

• Exemplo: filtro passa-alto RC.

  • Baixas frequências → tensão de saída muito menor que a entrada.

  • Altas frequências → saída ≈ entrada.

Aplicação: eliminar componentes de baixa frequência indesejadas e permitir sinais úteis de alta frequência.

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33.10 Resumo

• A corrente alternada (AC) varia sinusoidalmente, permitindo transporte eficiente de energia.

• Em resistências, corrente e tensão estão em fase.

• Em bobines, a corrente atrasa-se 90° em relação à tensão.

• Em condensadores, a corrente antecipa-se 90° em relação à tensão.

• A impedância combina resistência e reactâncias indutiva e capacitiva, dependendo da frequência.

• Ressonância em circuitos série RLC ocorre quando $X_L = X_C$, minimizando a impedância e maximizando a corrente.

• Transformadores permitem alterar níveis de tensão e corrente para transmissão eficiente de energia.

• Rectificadores convertem AC em DC, com filtros (normalmente com condensadores) para suavizar a saída.

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