Resumo extraído do Capítulo 5 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 5 - Campo Elétrico em materiais

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Secção 5.1 – Introdução

Esta secção apresenta a ligação entre campos elétricos e magnéticos e a forma como estes interagem com diferentes materiais. Introduz-se a noção de densidade de corrente como a quantidade de carga em movimento por unidade de área e por unidade de tempo, sendo medida em A/m². Discute-se também o papel fundamental da lei de conservação da carga, expressa pela equação da continuidade, que relaciona a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga no tempo. A equação da continuidade é um resultado essencial que garante que a carga elétrica não se cria nem se destrói, apenas se transfere. Esta introdução estabelece a base para o estudo das correntes de condução e de convecção em diferentes meios.

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Secção 5.2 – Propriedades dos Materiais

Aqui são estudadas as características elétricas dos materiais e como estes respondem à aplicação de campos elétricos.

• Condutores: Materiais como os metais têm grande quantidade de eletrões livres, o que permite uma condução eficiente de corrente elétrica.

• Isoladores (dielétricos): Possuem pouquíssimos eletrões livres e, portanto, não conduzem corrente de forma significativa.

• Semicondutores: Têm propriedades intermédias e a sua condutividade pode ser controlada através de impurezas (dopagem) ou da temperatura.

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Secção 5.3 – Correntes de Convecção e Condução

Nesta parte distinguem-se dois tipos de correntes elétricas:

• Corrente de convecção: associada ao movimento de cargas livres em fluidos ou no espaço livre (por exemplo, eletrões num feixe catódico ou iões num plasma). A densidade de corrente de convecção é expressa como:

$$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}$$

onde $\rho_v$ é a densidade volumétrica de carga e $\mathbf{u}$ é a velocidade média das cargas.

• Corrente de condução: ocorre em condutores devido à aplicação de um campo elétrico, sendo descrita pela lei de Ohm:

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

Ambos os tipos de correntes obedecem à equação da continuidade, assegurando a conservação da carga. A secção mostra como estes modelos permitem descrever situações práticas em que a corrente elétrica circula através de diferentes meios, sejam gases ionizados, líquidos ou sólidos condutores.

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Secção 5.4 – Condutores

Nesta secção analisa-se o comportamento dos condutores quando submetidos a campos elétricos:

• Condutor isolado:

  • Quando um campo elétrico externo é aplicado a um condutor isolado, as cargas livres (elétrões) deslocam-se rapidamente.

  • Formam-se cargas induzidas na superfície, que criam um campo interno oposto ao externo.

  • O resultado é que o campo total no interior do condutor é nulo:

    $$\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0, \quad V_{ab} = 0$$

    Isto significa que um condutor perfeito é um equipotencial e não pode conter campo eletrostático no seu interior.

• Condutor ligado a uma fonte de tensão:

  • Se o condutor está ligado a uma fonte, o equilíbrio eletrostático não se estabelece, já que há movimento contínuo de cargas.

  • Para manter a corrente, é necessário um campo elétrico não nulo dentro do condutor.

  • A resistência de um condutor uniforme é obtida pela relação:

    $$R = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}$$

    onde $\ell$ é o comprimento, $S$ a área da secção transversal, $\sigma$ a condutividade e $\rho_c = 1/\sigma$ a resistividade.

  • Quando a secção não é uniforme, a resistência pode ser calculada com integrais envolvendo o campo elétrico e a densidade de corrente.

• Lei de Joule:

  • A potência dissipada num condutor é dada por:

    $$P = \int_V \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\, dv = \int_V \sigma E^2 \, dv$$

    ou, na forma mais usual,

    $$P = VI = I^2 R$$

    mostrando a conversão de energia elétrica em calor.

Esta análise mostra que a condução nos metais depende do movimento de eletrões sob ação de campos elétricos e das colisões com a rede cristalina.

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Secção 5.5 – Polarização em Dielétricos

Aqui é explorado como os dielétricos respondem a campos elétricos:

• Mecanismo de polarização:

  • Um átomo ou molécula é considerado como tendo cargas positivas (núcleo) e negativas (nuvem eletrónica).

  • Quando sujeito a um campo elétrico, há um deslocamento relativo entre estas cargas, formando um dipolo elétrico.

  • A soma dos dipolos por unidade de volume define a polarização:

    $$\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}$$

    em C/m².

• Tipos de dielétricos:

  • Não polares: só criam dipolos quando sujeitos a campo (ex.: gases nobres, oxigénio, azoto).

  • Polares: possuem dipolos permanentes que, sem campo, estão orientados aleatoriamente (ex.: água, HCl, poliestireno). O campo tende a alinhar esses dipolos.

• Cargas ligadas:

  • A polarização dá origem a uma densidade de carga de superfície ($\rho_{ps} = \mathbf{P}\cdot \mathbf{a}_n$) e a uma densidade de carga de volume ($\rho_{pv} = -\nabla \cdot \mathbf{P}$).

  • Estas não são cargas livres, mas resultam do deslocamento das cargas atómicas.

• Deslocamento elétrico:

  • A relação entre $\mathbf{D}$, $\mathbf{E}$ e $\mathbf{P}$ é:

    $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

  • Para muitos dielétricos, a polarização é proporcional ao campo elétrico:

    $$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$$

    onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica.

Assim, os dielétricos influenciam os campos elétricos através da polarização, aumentando o fluxo elétrico ($\mathbf{D}$) em relação ao que existiria no vácuo.

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Secção 5.6 – Constante Dielétrica e Força Dielétrica

Nesta secção analisam-se duas propriedades importantes dos dielétricos:

• Constante dielétrica (ou permissividade relativa $\varepsilon_r$):

  • Substituindo $\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$ em $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$, obtém-se:

    $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 (1+\chi_e)\mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E}$$

    com

    $$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$

  • A constante dielétrica é, portanto, a razão entre a permissividade do material e a do vácuo.

  • Valores típicos estão tabelados (vidro, mica, teflon, etc.), sendo sempre $\varepsilon_r \geq 1$.

• Força dielétrica:

  • Quando o campo elétrico é suficientemente elevado, os eletrões podem ser arrancados das moléculas do dielétrico.

  • O material deixa de ser isolante e torna-se condutor: ocorre a ruptura dielétrica.

  • O valor mínimo do campo que causa a ruptura é a força dielétrica, geralmente expressa em kV/mm.

  • Este limite depende do material, da temperatura, da humidade e da duração da aplicação do campo.

Em resumo, a constante dielétrica mede a capacidade de armazenamento de energia elétrica no material, enquanto a força dielétrica define o limite máximo de campo que o material pode suportar sem falhar.

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Secção 5.7 – Dielétricos Lineares, Isotrópicos e Homogéneos

Esta secção classifica os materiais dielétricos segundo três critérios fundamentais:

• Linearidade:
  Um dielétrico é linear quando a relação entre $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ é diretamente proporcional, isto é:

  $$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$$

  Se a permissividade $\varepsilon$ variar com o campo aplicado, o material é não linear.

• Homogeneidade:
  O material é homogéneo quando $\varepsilon$ é constante em todos os pontos do espaço (não depende das coordenadas espaciais).
  Se variar no espaço, o material é não homogéneo (exemplo: a atmosfera, cuja permissividade muda com a altitude).

• Isotropia:
  O material é isotrópico quando as propriedades são iguais em todas as direções, isto é, $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ são paralelos.
  Se não forem paralelos, o material é anisotrópico, e a relação entre $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ é expressa por uma matriz (tensor de permissividade). Cristais e plasmas magnetizados são exemplos de materiais anisotrópicos.

• Materiais simples:
  Na prática, a maioria dos problemas considera meios lineares, isotrópicos e homogéneos (LIH). Nesses casos, basta substituir $\varepsilon_0$ por $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ nas expressões obtidas para o vácuo.

Assim, fórmulas como a Lei de Coulomb e a energia armazenada num campo elétrico podem ser adaptadas diretamente para materiais dielétricos LIH.

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Secção 5.8 – Equação da Continuidade e Tempo de Relaxação

Esta secção trata da conservação da carga elétrica e do comportamento temporal da redistribuição de cargas em materiais:

• Equação da continuidade:
  A partir da lei de conservação da carga, deduz-se que:

  $$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$

  Esta equação indica que qualquer variação de carga num volume está associada ao fluxo de corrente que atravessa a sua superfície.
  Para correntes estacionárias ($\partial \rho_v / \partial t = 0$), resulta $\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$, o que é consistente com a Lei das Correntes de Kirchhoff.

• Tempo de relaxação ($T_r$):
  Considerando a lei de Ohm ($\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$) e a lei de Gauss ($\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho_v/\varepsilon$), obtém-se:

  $$\frac{\partial \rho_v}{\partial t} + \frac{\sigma}{\varepsilon} \rho_v = 0$$

  cuja solução é um decaimento exponencial:

  $$\rho_v(t) = \rho_{v0} e^{-t/T_r}$$

  com

  $$T_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

  chamado tempo de relaxação.

• Interpretação física:

  • Em bons condutores (ex.: cobre), $\sigma$ é muito elevado e $T_r$ é extremamente curto ($\sim 10^{-19}$ s). Isto significa que qualquer carga extra introduzida no interior migra para a superfície quase instantaneamente.

  • Em bons dielétricos (ex.: quartzo fundido), $\sigma$ é muito baixa, resultando num tempo de relaxação muito longo (dias). Assim, as cargas introduzidas permanecem no interior por longos períodos.

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Secção 5.9 – Condições de Contorno

Aqui são estabelecidas as condições que os campos elétricos devem satisfazer na fronteira entre dois meios diferentes.

• Decomposição dos campos:
  O campo elétrico é separado em duas componentes relativamente à superfície de separação:

  $$\mathbf{E} = \mathbf{E}_t + \mathbf{E}_n$$

  • $\mathbf{E}_t$: componente tangencial

  • $\mathbf{E}_n$: componente normal

• Entre dois dielétricos:
  Aplicando as equações de Maxwell:

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ é contínua:

    $$E_{1t} = E_{2t}$$

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ sofre descontinuidade proporcional à densidade de carga livre superficial $\rho_s$:

    $$D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$$

    Se não houver carga livre, $D_{1n} = D_{2n}$.

  • Estas relações levam à lei da refração elétrica, que descreve a inclinação das linhas de campo ao passar de um meio para outro:

    $$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$

• Entre condutor e dielétrico:

  • Dentro do condutor perfeito:

    $$\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0$$

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ na superfície é nula.

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ na superfície é igual à densidade de carga livre superficial:

    $$D_n = \rho_s$$

  • Aplicação prática: blindagem eletrostática (um condutor a zero potencial isola o seu interior de campos externos).

• Entre condutor e espaço livre:
  Caso particular da anterior, com $\varepsilon_r = 1$.
  Assim, o campo elétrico externo é normal à superfície e proporcional à densidade de carga superficial.

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Resumo

Neste capítulo estudaram-se as propriedades elétricas dos materiais e a forma como estes interagem com campos elétricos. Os principais pontos abordados foram:

• A densidade de corrente ($\mathbf{J}$) mede o fluxo de carga por unidade de área.

• A equação da continuidade garante a conservação da carga elétrica, relacionando a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga.

• Existem dois tipos principais de corrente:

  • Corrente de convecção, resultante do movimento de partículas carregadas em fluidos ou no espaço.

  • Corrente de condução, causada pelo movimento de eletrões livres em condutores sob ação de um campo elétrico, obedecendo à lei de Ohm ($\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$).

• Em condutores perfeitos, o campo elétrico interno é nulo e as cargas livres distribuem-se na superfície. A potência dissipada em condutores reais segue a lei de Joule ($P = I^2R$).

• Em dielétricos, o campo elétrico provoca polarização, que é o alinhamento de dipolos elétricos. A polarização pode ser expressa em função da susceptibilidade elétrica $\chi_e$.

• O vetor deslocamento elétrico ($\mathbf{D}$) relaciona-se com o campo elétrico e a polarização através de:

  $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

• A constante dielétrica relativa ($\varepsilon_r$) quantifica a capacidade de um material armazenar energia elétrica.

• A força dielétrica indica o valor máximo de campo que um dielétrico pode suportar sem sofrer ruptura.

• Os materiais podem ser classificados como lineares ou não lineares, homogéneos ou não homogéneos, e isotrópicos ou anisotrópicos.

• A redistribuição temporal de cargas obedece ao tempo de relaxação ($T_r = \varepsilon / \sigma$), que é muito curto em bons condutores e muito longo em dielétricos.

• Foram estabelecidas as condições de contorno para os campos elétricos em interfaces:

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ é contínua.

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ sofre descontinuidade proporcional à carga superficial livre.

  • No caso de condutores, o campo elétrico é sempre normal à superfície e proporcional à densidade de carga.

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Equações Importantes

1. Densidade de corrente:

$$\mathbf{J} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{I}{\Delta S}$$

onde $I$ é a corrente que atravessa a área $\Delta S$.

2. Equação da continuidade:

$$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$

garante a conservação da carga elétrica.

3. Corrente de convecção:

$$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}$$

onde $\rho_v$ é a densidade volumétrica de carga e $\mathbf{u}$ a velocidade das partículas carregadas.

4. Corrente de condução (Lei de Ohm local):

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

onde $\sigma$ é a condutividade do material.

5. Resistência de um condutor uniforme:

$$R = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}$$

onde $\ell$ é o comprimento, $S$ a área da secção transversal, $\sigma$ a condutividade e $\rho_c$ a resistividade.

6. Potência dissipada num condutor (Lei de Joule):

$$P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}$$

7. Polarização:

$$\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}$$

e, para materiais lineares,

$$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$$

onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica.

8. Deslocamento elétrico:

$$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

9. Relação em dielétricos lineares, isotrópicos e homogéneos:

$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, \quad \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$

10. Tempo de relaxação:

$$T_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

11. Condições de contorno nos campos elétricos:

• Componente tangencial de $\mathbf{E}$:

$$E_{1t} = E_{2t}$$

• Componente normal de $\mathbf{D}$:

$$D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$$

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Resumo extraído do Capítulo 4 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O.

Capítulo 4 - Campo Eletroestático

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Secção 4.1 – Introdução

• O estudo começa pela definição da carga elétrica, considerada a fonte fundamental de todos os fenómenos eletromagnéticos.

• A carga é uma propriedade inerente da matéria, existindo em duas formas: positiva e negativa.

• A unidade padrão de medida da carga é o coulomb (C).

• As leis fundamentais associadas à carga elétrica são:

  • Lei da conservação da carga: a carga não pode ser criada nem destruída, apenas transferida.

  • Lei da quantização da carga: a carga ocorre sempre em múltiplos inteiros da carga elementar do eletrão/protão ($e = 1.602 \times 10^{-19} C$).

• O capítulo tem como objetivo introduzir os conceitos de campo elétrico e potencial elétrico, a partir do comportamento das cargas.

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Secção 4.2 – Lei de Coulomb e Intensidade do Campo

• A Lei de Coulomb descreve a força entre duas cargas puntiformes:

  $$\vec{F} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{R^2} \cdot \hat{a}_R$$

  onde:

  • $Q_1, Q_2$ são as cargas,

  • $R$ é a distância entre elas,

  • $\epsilon$ é a permissividade do meio,

  • $\hat{a}_R$ é o vetor unitário da direção da linha que une as cargas.

• A força é repulsiva se as cargas têm o mesmo sinal e atrativa se têm sinais opostos.

• Define-se o campo elétrico $\vec{E}$ como a força por unidade de carga de teste:

  $$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q}$$

• Assim, o campo elétrico devido a uma carga puntiforme é:

  $$\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \epsilon R^2} \hat{a}_R$$

• Esta secção também aborda o conceito de intensidade do campo, mostrando que o campo elétrico é um campo vetorial que varia no espaço, com direção radial a partir da carga fonte.

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Secção 4.3 – Campos Elétricos Devidos a Distribuições Contínuas de Carga

• Muitas situações práticas envolvem distribuições de carga contínuas em vez de cargas puntiformes.

• Consideram-se três tipos de densidade de carga:

  • Linear ($\rho_l$) [C/m]: carga distribuída ao longo de um fio ou linha.

  • Superficial ($\rho_s$) [C/m²]: carga distribuída sobre uma superfície.

  • Volumétrica ($\rho_v$) [C/m³]: carga distribuída no volume.

• A intensidade de campo resultante é obtida através da integração da contribuição de cada elemento diferencial de carga:

  • Para carga linear:

    $$\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_l dl}{R^2} \hat{a}_R$$

  • Para carga superficial:

    $$\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_s dS}{R^2} \hat{a}_R$$

  • Para carga volumétrica:

    $$\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{\rho_v dV}{R^2} \hat{a}_R$$

• A secção fornece exemplos de aplicação prática destes cálculos, mostrando como obter o campo elétrico gerado por distribuições de carga em diferentes  geometrias.

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Secção 4.4 – Densidade de Fluxo Elétrico

• O fluxo elétrico associado ao campo $\vec{E}$ pode ser definido, mas para maior utilidade em eletrostática introduz-se o conceito de densidade de fluxo elétrico $\vec{D}$.

• Define-se:

  $$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E}$$

  onde $\epsilon_0$ é a permissividade do vazio.

• $\vec{D}$ é medido em coulombs por metro quadrado (C/m²) e, por razões históricas, também é chamado deslocamento elétrico.

• A quantidade de fluxo elétrico que atravessa uma superfície é dada por:

  $$\Phi = \int \vec{D} \cdot d\vec{S}$$

• A vantagem de $\vec{D}$ em relação a $\vec{E}$ é que $\vec{D}$ depende apenas da carga e da posição, sendo independente do meio.

• Todas as expressões para $\vec{E}$ derivadas da Lei de Coulomb (seções anteriores) podem ser reescritas para $\vec{D}$, bastando multiplicar por $\epsilon_0$.

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Secção 4.5 – Lei de Gauss (Equação de Maxwell)

• A Lei de Gauss estabelece que:

  “O fluxo elétrico total que atravessa uma superfície fechada é igual à carga total no interior dessa superfície.”

• Em termos matemáticos:

  $$\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = Q_{\text{encerrada}}$$

• Usando o teorema da divergência, esta lei pode ser escrita na forma diferencial:

  $$\nabla \cdot \vec{D} = \rho_v$$

  onde $\rho_v$ é a densidade de carga volumétrica.

• Assim, a Lei de Gauss apresenta-se em duas formas:

  • Integral: relaciona o fluxo de $\vec{D}$ numa superfície fechada com a carga total no interior.

  • Diferencial: relaciona a divergência de $\vec{D}$ num ponto com a densidade de carga nesse ponto.

• Observações importantes:

  1. A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb (uma pode ser derivada da outra).

  2. É válida sempre, mas só é útil na prática quando há simetria na distribuição de cargas (esférica, cilíndrica, ou planar).

  3. Quando a distribuição de carga não é simétrica, a lei continua válida, mas calcular $\vec{E}$ requer a aplicação direta da Lei de Coulomb.

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Secção 4.6 – Aplicações da Lei de Gauss

• A secção mostra como aplicar a Lei de Gauss para obter campos elétricos em distribuições de carga simétricas.

• O procedimento geral é:

  1. Identificar se existe simetria (esférica, cilíndrica, ou planar).

  2. Escolher uma superfície gaussiana que respeite essa simetria.

  3. Avaliar o fluxo de $\vec{D}$ nessa superfície.

  4. Igualar ao total de carga encerrada.

• Casos práticos apresentados:

  • Carga puntiforme: usa-se uma superfície esférica. O resultado confirma $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat{a}_r$.

  • Linha infinita de carga: escolhe-se uma superfície cilíndrica. Obtém-se $\vec{E} \propto \frac{1}{\rho}$, ou seja, o campo decresce inversamente com a distância radial.

  • Folha infinita de carga: usa-se uma caixa (paralelepípedo) atravessada pelo plano da carga. O campo resultante é constante e perpendicular à superfície, independentemente da distância.

  • Esfera carregada uniformemente:

    • Para $r < a$ (dentro da esfera), $\vec{D} \propto r$.

    • Para $r > a$ (fora da esfera), $\vec{D} \propto \frac{1}{r^2}$, como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

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Secção 4.7 – Potencial Elétrico

• Até aqui o campo elétrico $\vec{E}$ foi obtido pela Lei de Coulomb ou pela Lei de Gauss.

• Outra forma é através do potencial escalar elétrico (V), que simplifica os cálculos porque trabalha com grandezas escalares em vez de vetores.

• O trabalho necessário para mover uma carga $Q$ de um ponto $A$ para um ponto $B$ num campo elétrico $\vec{E}$ é:

  $$W = -Q \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}$$

• O potencial elétrico entre $A$ e $B$ é a energia potencial por unidade de carga:

  $$V_{AB} = V_B - V_A = - \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}$$

• Propriedades importantes:

  1. O potencial é independente do caminho, apenas depende dos pontos inicial e final.

  2. A unidade é o volt (V), equivalente a joule por coulomb.

  3. Costuma-se definir o potencial de referência como zero no infinito.

• Para uma carga puntiforme $Q$:

  $$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

• Para várias cargas ou distribuições contínuas (linear, superficial, volumétrica), o potencial é obtido pela soma/integral das contribuições de cada elemento de carga.

• O potencial é particularmente útil porque evita lidar diretamente com vetores ao calcular $\vec{E}$.

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Secção 4.8 – Relação entre $\vec{E}$ e $V$ — Equação de Maxwell

• O campo elétrico $\vec{E}$ é um campo conservativo, ou seja:

  $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$$

• Isto significa que o trabalho líquido feito ao mover uma carga numa trajetória fechada é zero.

• Aplicando o teorema de Stokes, obtém-se a forma diferencial:

  $$\nabla \times \vec{E} = 0$$

• Esta é a segunda equação de Maxwell para campos eletrostáticos.

• Como consequência, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente negativo do potencial:

  $$\vec{E} = - \nabla V$$

• O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta sempre no sentido em que o potencial diminui.

• Esta relação mostra que todo o campo eletrostático pode ser descrito por uma função escalar única, o que simplifica bastante os cálculos.

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Secção 4.9 – Dipolo Elétrico e Linhas de Fluxo

• Um dipolo elétrico consiste em duas cargas de mesma magnitude mas sinais opostos ($+Q$ e $-Q$) separadas por uma pequena distância $d$.

• O momento dipolar elétrico é definido como:

  $$\vec{p} = Q \cdot \vec{d}$$

  apontando da carga negativa para a carga positiva.

• O potencial devido a um dipolo (para $r \gg d$) é:

  $$V(r, \theta) = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$$

• O campo elétrico de um dipolo é obtido pelo gradiente do potencial:

  $$\vec{E}(r, \theta) = \frac{p}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \left( 2 \cos \theta \, \hat{a}_r + \sin \theta \, \hat{a}_\theta \right)$$

• Comparações importantes:

  • Campo de uma carga puntiforme (monopolo): decresce como $1/r^2$.

  • Campo de um dipolo: decresce mais rapidamente, como $1/r^3$.

  • Potencial de uma carga: varia como $1/r$.

  • Potencial de um dipolo: varia como $1/r^2$.

• Linhas de fluxo: as linhas do campo de um dipolo mostram a atração entre cargas opostas, concentrando-se da carga positiva para a negativa.

• Os dipolos são muito importantes porque muitas moléculas (como a água) podem ser modeladas como dipolos, e os campos dipolares têm grande relevância em física e engenharia.

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Secção 4.10 – Densidade de Energia em Campos Eletrostáticos

Nesta secção estuda-se a energia armazenada num sistema de cargas elétricas.

• Para determinar a energia de um conjunto de cargas, calcula-se o trabalho necessário para as juntar (trazer cada carga do infinito até à sua posição final).

• No caso de n cargas pontuais, a energia total é dada por:

$$W_E = \tfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} Q_k V_k$$

onde $Q_k$ é a carga e $V_k$ o potencial no ponto onde está localizada.

• Se, em vez de cargas discretas, houver uma distribuição contínua de carga, a soma transforma-se em integral:

  • Linha: $W_E = \tfrac{1}{2}\int p_L V \, dl$

  • Superfície: $W_E = \tfrac{1}{2}\int p_s V \, dS$

  • Volume: $W_E = \tfrac{1}{2}\int p_v V \, dv$

Como $p_v = \nabla \cdot D$, a expressão pode ser manipulada até chegar a uma forma mais prática em termos do campo elétrico:

$$W_E = \tfrac{1}{2} \int D \cdot E \, dv$$

Daqui surge a definição de densidade de energia eletrostática (energia por unidade de volume):

$$w_E = \tfrac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 = \tfrac{D^2}{2\varepsilon_0}$$

Ou seja, a energia está armazenada no campo elétrico criado pela distribuição de cargas.
A secção termina com exemplos:

• Cálculo da energia de um sistema de três cargas pontuais.

• Determinação do potencial e energia armazenada numa distribuição esférica de carga com simetria radial.

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Resumo do Capítulo

O capítulo reúne os principais conceitos dos campos eletrostáticos:

1. Leis fundamentais – Lei de Coulomb e Lei de Gauss.

   • Coulomb descreve a força entre cargas pontuais.

   • A intensidade do campo elétrico $E$ é definida como a força por unidade de carga.

2. Distribuições contínuas de carga – O cálculo da carga total e do campo resultante pode ser feito integrando a densidade linear, superficial ou volumétrica.

3. Casos especiais – Campos gerados por:

   • Linha infinita de carga.

   • Folha infinita de carga.

4. Fluxo elétrico e densidade de fluxo $D$ – Relação entre $D$ e $E$ no vazio: $D = \varepsilon_0 E$.

   • A lei de Gauss afirma que o fluxo de $D$ através de uma superfície fechada é igual à carga dentro da superfície.

   • Esta é a primeira equação de Maxwell (no eletroestático).

5. Potencial elétrico – O trabalho para mover uma carga no campo:

   $$W = -Q \int E \cdot dl$$

   • O potencial devido a uma carga pontual é $V(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 |r-r'|}$.

   • O potencial para distribuições contínuas obtém-se por integração.

   • Se o campo $E$ for conhecido, o potencial pode ser obtido via $V = -\int E \cdot dl$.

6. Campo conservativo – O campo eletrostático é conservativo:

   $$\nabla \times E = 0$$

   Esta é a segunda equação de Maxwell (no eletroestático).

7. Relação entre $E$ e $V$ – $E = -\nabla V$.

8. Dipolo elétrico – O potencial de um dipolo é:

   $$V(r) = \frac{\mathbf{p} \cdot (r-r')}{4\pi \varepsilon_0 |r-r'|^3}$$

9. Superfícies equipotenciais e linhas de fluxo – As linhas de campo $D$ são sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais.

10. Energia armazenada –

    • Para cargas discretas: $W_E = \tfrac{1}{2}\sum Q_k V_k$.

    • Para distribuições contínuas:

      $$W_E = \tfrac{1}{2}\int D \cdot E \, dv = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 \int |E|^2 dv$$

Assim, conclui-se que a energia eletrostática não está “nas cargas”, mas sim armazenada no campo elétrico.

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Resumo extraído do Capítulo 24, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 24 - Lei de Gauss

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24.1 Fluxo Elétrico

O conceito de fluxo elétrico é introduzido como a medida da quantidade de linhas de campo elétrico que atravessam uma determinada superfície. Se o campo elétrico $\mathbf{E}$ for uniforme e a superfície tiver uma área $A$, o fluxo elétrico $\Phi_E$ é dado por:

$$\Phi_E = E A \cos \theta$$

onde $\theta$ é o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor normal à superfície. Para superfícies não planas ou campos elétricos variáveis, o fluxo elétrico é expresso como um integral de superfície:

$$\Phi_E = \int_{\text{superfície}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$$

O fluxo elétrico através de uma superfície fechada pode ser positivo (mais linhas de campo saindo do que entrando), negativo (mais linhas entrando do que saindo) ou nulo (quantidade igual de linhas entrando e saindo).

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24.2 Lei de Gauss

A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada ($\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$) é proporcional à carga líquida $q_{\text{in}}$ dentro da superfície:

$$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$$

onde $\varepsilon_0$ é a permissividade elétrica do vácuo.

• Se uma superfície fechada contém um ponto de carga $q$, o fluxo elétrico é $q/\varepsilon_0$.
• Se a carga está fora da superfície fechada, o fluxo líquido é zero, pois as linhas de campo que entram também saem.

A Lei de Gauss é particularmente útil para distribuições de carga simétricas, onde permite calcular o campo elétrico sem recorrer a integrais complicados.

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24.3 Aplicação da Lei de Gauss a Diferentes Distribuições de Carga

A Lei de Gauss é utilizada para determinar o campo elétrico em distribuições simétricas:

1. Distribuição esférica (esfera carregada uniformemente):

   • Fora da esfera ($r > a$): o campo comporta-se como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
   • Dentro da esfera ($r < a$): o campo cresce linearmente com $r$.
   $$E_{\text{fora}} = \frac{k_e Q}{r^2}, \quad E_{\text{dentro}} = \frac{k_e Q}{a^3} r$$
   

2. Distribuição cilíndrica (fio infinito com carga linear $\lambda$):

   • O campo elétrico decresce com a distância $r$ do eixo do cilindro:
   $$E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$$

3. Plano infinito de carga (densidade superficial $\sigma$):

   • O campo elétrico é constante e independente da distância:
   $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

4. Duas placas carregadas (condensador de placas paralelas):

   • O campo entre as placas é uniforme e dado por:
   $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

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24.4 Condutores em Equilíbrio Eletrostático

Quando um condutor está em equilíbrio eletrostático, apresenta as seguintes propriedades:

1. O campo elétrico dentro do condutor é zero, pois as cargas livres redistribuem-se até que a força elétrica interna desapareça.

2. Toda a carga líquida reside na superfície externa do condutor.

3. O campo elétrico logo fora do condutor é perpendicular à sua superfície e tem magnitude:

   $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

4. Em condutores de formato irregular, a densidade de carga é maior em regiões de menor raio de curvatura (pontos pontiagudos acumulam mais carga).

Estas propriedades explicam fenómenos como o efeito de blindagem eletrostática e a gaiola de Faraday.

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