Resumo extraído do Capítulo 1 do livro Introduction to Signal Processing de Sophocles J. Orfanidis

Capítulo 1 – Amostragem e Reconstrução 

1.1 Introdução

O processamento digital de sinais analógicos ocorre em três etapas:

1. Digitalização: o sinal analógico é amostrado e quantizado, processo conhecido como conversão A/D.

2. Processamento: os sinais digitalizados são manipulados por um processador digital de sinais (DSP).

3. Reconstrução: os sinais processados são convertidos novamente para formato analógico através de uma conversão D/A.

O DSP pode ser implementado com computadores de uso geral, microprocessadores, chips DSP dedicados ou hardware especializado. Os conceitos fundamentais de amostragem e quantização são os pilares do processamento digital e serão aprofundados nos dois primeiros capítulos.

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1.2 Revisão de Sinais Analógicos

Esta secção revê conceitos fundamentais:

• Um sinal analógico é uma função contínua no tempo, $x(t)$.

• O espectro de frequência é obtido através da Transformada de Fourier $X(\Omega)$, onde $\Omega = 2\pi f$.

• A Transformada de Fourier permite representar o sinal como uma soma de sinusoides.

• A Transformada de Laplace generaliza a de Fourier, introduzindo $s = \sigma + j\Omega$, útil na análise de sistemas com exponenciais.

• O sistema linear é caracterizado por uma resposta ao impulso $h(t)$, e a saída $y(t)$ é dada pela convolução entre $x(t)$ e $h(t)$.

• No domínio da frequência, a saída é $Y(\Omega) = H(\Omega)X(\Omega)$, onde $H(\Omega)$ é a resposta em frequência do sistema.

A filtragem permite atenuar ou realçar componentes de frequência específicas.

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1.3 Teorema da Amostragem

Esta secção explora os fundamentos da amostragem:

• A amostragem de um sinal consiste em medir o seu valor a intervalos regulares $T$, com taxa de amostragem $f_s = 1/T$.

• A amostragem replica o espectro do sinal em múltiplos inteiros de $f_s$, o que pode levar a aliasing (sobreposição de espectros).

• Para evitar aliasing, o Teorema da Amostragem estabelece que:

  1. O sinal deve ser limitado em banda (não conter frequências acima de $f_{max}$).

  2. A taxa de amostragem deve ser pelo menos o dobro da frequência máxima: $f_s \geq 2f_{max}$ (chamada taxa de Nyquist).

1.3.2 Filtros Anti-Aliasing

Antes da amostragem, é necessário aplicar um filtro passa-baixo analógico que limita o sinal à banda permitida (até $f_s/2$) para evitar aliasing.

1.3.3 Limitações de Hardware

O hardware impõe uma limitação superior à taxa de amostragem, pois cada amostra requer um tempo de processamento $T_{proc}$. Assim, a taxa deve satisfazer:

$$2f_{max} \leq f_s \leq f_{proc}$$

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1.4 Amostragem de Sinusoides

A análise da amostragem de sinais sinusoidais leva às mesmas conclusões do teorema da amostragem:

• Um mínimo de duas amostras por ciclo é necessário para representar uma sinusoide.

• Quando o sinal não está limitado em banda, conterá componentes de frequência infinitamente altas, impossibilitando uma amostragem correta.

• Se violado o teorema, o processo de reconstrução poderá reconstruir uma frequência errada — fenómeno conhecido como aliasing.

O sinal reconstruído será uma versão do sinal original onde todas as frequências foram mapeadas para o intervalo de Nyquist.

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1.5 Amostragem Prática e Reconstrução

1.5.1 Sampler Ideal e Reconstructor Ideal

• Um amostrador ideal extrai o valor exato do sinal contínuo em instantes $t = nT$.

• Um reconstructor ideal é um filtro passa-baixo com frequência de corte igual à frequência de Nyquist $f_s/2$.

• Este reconstrutor remove as réplicas espectrais introduzidas pela amostragem e reconstrói o sinal original, se não houver aliasing.

1.5.2 Reconstrução Prática

• Na prática, a reconstrução envolve:

  1. Um retentor de ordem zero, que mantém o valor da última amostra até à seguinte.

  2. Um filtro de suavização (low-pass) analógico que suaviza o sinal em degraus.

• Este método introduz distorções, mas é amplamente utilizado por ser simples e eficaz em muitos casos.

1.5.3 Escolha do Filtro

• Os filtros de reconstrução e antialiasing não podem ser ideais, mas devem atenuar suficientemente as componentes fora da banda desejada.

• A ordem do filtro está relacionada com a rapidez de atenuação em dB por oitava:

  • Por exemplo: um filtro com atenuação de 60 dB/oct corresponde a um filtro de ordem 10 (regra: 6 dB/oct por ordem).

• Filtros mais complexos têm melhor desempenho, mas maior custo e dificuldade de implementação analógica.

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1.6 Oversampling e Decimação

Oversampling (sobreamostragem)

• Aumentar a taxa de amostragem para além da taxa de Nyquist:

  • Vantagens:

    • Maior separação entre réplicas espectrais.

    • Permite usar filtros antialiasing com menor ordem.

    • Reduz o ruído de quantização (ver Capítulo 2).

    • Diminui a distorção por aliasing.

  • Exemplo: amostragem a 80 kHz para sinais com banda até 20 kHz.

Decimação

• Redução controlada da taxa de amostragem:

  • Antes da redução, o sinal deve ser filtrado com um filtro digital de decimação para evitar aliasing.

  • O filtro atua sobre o sinal digital (pós-amostragem) e remove frequências acima da nova Nyquist.

• Permite que a parte inicial do sistema opere com alta taxa de amostragem e, posteriormente, reduza a taxa para valores padrão (por exemplo, 44.1 kHz para CDs).

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1.7 Interpolação Digital

Definição

• Processo inverso da decimação: aumenta a taxa de amostragem.

• Implica:

  1. Inserção de zeros entre as amostras (up-sampling).

  2. Aplicação de um filtro interpolador digital que suaviza o sinal e remove as imagens espectrais introduzidas pela inserção dos zeros.

Objectivos

• Produzir um sinal com uma forma mais suave ou compatível com uma nova taxa de processamento.

• Utilizado em:

  • Conversores digitais para analógico com oversampling.

  • Ajustes de taxas de amostragem entre sistemas com frequências diferentes.

Filtro de Interpolação

• Deve ter corte em $\pi/L$ (onde $L$ é o fator de interpolação).

• Tal como na decimação, a qualidade do filtro determina o nível de distorção.

 

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

O primeiro capítulo do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab introduz os conceitos fundamentais de sinais e sistemas, abordando a sua classificação, propriedades e representações matemáticas.

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1.1 Introdução aos Sinais

Os sinais são funções matemáticas que representam quantidades variáveis no tempo ou noutro domínio. Estes podem ser classificados como:

• Sinais de tempo contínuo $x$: definidos para todo $t\in \mathbb{R}$.
• Sinais de tempo discreto $x[n]$: definidos apenas para valores inteiros $n$.

Os sinais podem ainda ser categorizados de acordo com:

• Periocidade: periódicos ou aperiódicos.
• Determinismo: determinísticos ou aleatórios.
• Energia e potência: sinais de energia finita ou potência finita.

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1.2 Transformações no Domínio do Tempo

Os sinais podem sofrer diversas transformações no tempo, tais como:

• Deslocamento temporal: $x(t-t_0)$ representa um atraso e $x(t+t_0)$ representa um avanço, quando t0 > 0.
• Escalonamento temporal: $x(at)$ comprime ou expande o sinal.
• Inversão temporal: $x(-t)$reflete o sinal em torno da origem.

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1.3 Sinais Exponenciais e Sinusoidais

Os sinais exponenciais e sinusoidais são fundamentais em muitas aplicações, sendo expressos como:

$$x(t)=C{e}^{\mathrm{(a}\mathrm{t)}}$$

onde $C$ e $a$ podem ser números complexos. Se $a$ for puramente imaginário ($j$), o sinal será um sinusoide:

$$x(t)$$

Os sinais sinusoidais são essenciais porque qualquer sinal periódico pode ser expresso como uma soma de sinusoidais (série de Fourier).

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1.4 Sinais de Tempo Discreto

No domínio discreto, os sinais exponenciais e sinusoidais são representados como:

$$x[n]=A{e}^{\mathrm{(j}\omega \mathrm{n)}}$$

onde $\omega$ está confinado a um intervalo $[-\mathrm{pi},pi]$ devido à periodicidade do domínio discreto.

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1.5 Sistemas de Tempo Contínuo e Discreto

Os sistemas processam sinais e podem ser classificados como:

• Tempo contínuo ou discreto: dependendo se as entradas e saídas são contínuas ou discretas.
• Determinísticos ou estocásticos: dependendo da previsibilidade da resposta do sistema.
• Causais ou não causais: um sistema é causal se a saída em um instante $t$ depender apenas de entradas presentes ou passadas.

Exemplo de sistema em tempo contínuo:

$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$

Exemplo de sistema em tempo discreto:

$$y[n]=0.9y[n-1]+x[n]$$

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1.6 Propriedades dos Sistemas

Os sistemas possuem diversas propriedades:

• Linearidade: segue o princípio da sobreposição $S(a{x}_1+b{x}_2)=aS(x_1)+bS(x_2)$
• Invariância no tempo: o comportamento não depende do instante em que é analisado.
• Estabilidade: entradas limitadas resultam em saídas limitadas.
• Causalidade: a saída depende apenas de valores presentes e passados da entrada.

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