Controlo, 2024-2025, da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Resolução da pergunta 3.d) da Série de problemas 5, de Controlo, FEUP

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Resolução da pergunta 3.d) da Série de problemas 5, de Controlo, FEUP

Controlo, 2024-2025, da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Control System Engineering, 6th Edition by Norman S. Nise

2.1 Introdução
Esta secção inicia a discussão sobre a modelação de sistemas físicos. São apresentados dois métodos principais de modelação: (1) funções de transferência no domínio da frequência e (2) equações de estado no domínio do tempo. O foco deste capítulo é a primeira abordagem, que permite separar de forma clara a entrada, o sistema (modelo) e a saída. A importância de aplicar as leis físicas fundamentais (como a lei de Ohm, as leis de Kirchhoff e as leis de Newton) para obter as equações diferenciais que regem o comportamento dos sistemas.

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2.2 Revisão da Transformada de Laplace
Nesta secção revê-se a transformada de Laplace, ferramenta essencial para converter equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a análise e a resolução dos sistemas.

• Definição e Propriedades: É apresentada a definição da transformada de Laplace e a importância do parâmetro complexo "S". Discutem-se as condições de existência (convergência) e a utilidade das condições iniciais, mesmo quando estas são descontínuas.

• Transformada Inversa: Explica-se como recuperar a função original através da transformada inversa e como a utilização de tabelas simplifica o processo, evitando integrações complexas.

• Teoremas e Expansões: São listados vários teoremas fundamentais (linearidade, deslocamento no tempo e na frequência, diferenciação, integração) que facilitam a manipulação das transformadas. A técnica de expansão em frações parciais é introduzida para decompor funções complexas em termos mais simples, facilitando assim a aplicação da transformada inversa.

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2.3 A Função de Transferência
Esta secção mostra como se pode obter uma representação do sistema que separa claramente a entrada, o sistema e a saída.

• Derivação a partir de Equações Diferenciais: Começa com uma equação diferencial linear e invariante no tempo, transformando-a utilizando a transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) para obter uma relação algébrica entre saída, C(s) e entrada, R(s).

• Definição e Representação: A função de transferência G(s) é definida como a razão entre a saída e a entrada (C(s)/R(s)). É enfatizado que o denominador desta função corresponde ao polinómio característico do sistema, e a representação em diagramas de blocos facilita a compreensão das interconexões dos subsistemas.

• Exemplos Práticos: São apresentados exemplos que ilustram a extração da função de transferência a partir de equações diferenciais simples, demonstrando como se pode obter a resposta do sistema a um determinado estímulo.

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2.4 Funções de Transferência em Circuitos Eléctricos
Nesta secção, o foco desloca-se para a modelação de circuitos elétricos, abrangendo tanto circuitos passivos (compostos por resistências, condensadores e bobines) como circuitos ativos com amplificadores operacionais.

• Modelação de Circuitos Passivos:

  • Relações Fundamentais: São resumidas as relações entre tensão, corrente e carga (ex.: a lei de Ohm e as relações de impedância e admitância para condensadores e bobines).

  • Análise por Malhas e Nós: São descritos métodos para obter a função de transferência, utilizando a análise por malhas (aplicação da lei das tensões de Kirchhoff) e a análise nodal (aplicação da lei das correntes de Kirchhoff).

  • Exemplos de Circuitos: São mostrados exemplos em que se determina a função de transferência de circuitos RLC simples, utilizando técnicas como a divisão de tensão e o redesenho dos circuitos no domínio de Laplace, onde os componentes são substituídos pelas suas impedâncias.

• Circuitos com Amplificadores Operacionais:

  • Configurações Inversora e Não Inversora: Explica-se o funcionamento básico dos amplificadores operacionais, destacando as suas características ideais (alta impedância de entrada, baixa impedância de saída e ganho elevado).

  • Implementação de Funções de Transferência: São apresentadas as configurações de circuitos inversores e não inversores, onde a função de transferência é determinada através de relações entre as impedâncias conectadas ao amplificador.

  • Aplicações Práticas: Um dos exemplos discutidos é o circuito PID (Proporcional-Integral-Derivativo), que utiliza um amplificador operacional para melhorar o desempenho do sistema de controlo.

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro Control System Engineering, 6th Edition by Norman S. Nise

Introdução aos Sistemas de Controlo

1.1 Introdução

Sistemas de controlo fazem parte do dia a dia, sendo aplicados em diversas áreas, como indústria, espaço e biologia. Eles são compostos por subsistemas que interagem para obter uma saída desejada a partir de uma entrada especificada. Um exemplo comum é o elevador, que responde a um comando para subir ou descer até um determinado andar.

Os sistemas de controlo oferecem quatro principais vantagens:

1. Amplificação de Potência

2. Controlo Remoto

3. Conveniência na Forma da Entrada

4. Compensação de Perturbações

1.2 História dos Sistemas de Controlo

Os sistemas de controlo têm uma longa história, desde mecanismos da Grécia Antiga até os modernos sistemas automáticos:

• Controlo de nível de líquidos: Relógios de água gregos utilizavam válvulas de flutuação.

• Regulação de pressão do vapor: Introduzida no século XVII.

• Controlo de velocidade: Governadores centrífugos foram utilizados em moinhos de vento e máquinas a vapor no século XVIII.

• Estabilidade e Controlo Automático: No século XIX, Maxwell e Lyapunov formularam teorias matemáticas para garantir estabilidade.

• Sistemas modernos: Durante o século XX, os avanços na eletrónica permitiram o desenvolvimento de sistemas de controlo complexos em aeronáutica, indústria e automação.

1.3 Configuração dos Sistemas de Controlo

Os sistemas de controlo podem ser classificados em dois tipos:

• Sistemas de Controlo em Malha Aberta: Não corrigem erros automaticamente. Exemplo: uma torradeira que opera por tempo predefinido.

• Sistemas de Controlo em Malha Fechada (Feedback): Monitorizam a saída e ajustam automaticamente. Exemplo: um termostato que regula a temperatura.

Os sistemas de malha fechada têm vantagens como maior precisão e menor sensibilidade a perturbações, mas podem ser mais complexos e caros.

1.4 Objetivos de Análise e Projeto

Os principais objetivos são:

1. Resposta Transitória: Determina quão rapidamente um sistema responde a uma entrada.

2. Erro em Regime Permanente: Mede a precisão da resposta final do sistema.

3. Estabilidade: Garante que o sistema não apresente respostas divergentes.

1.5 Processo de Projeto

O projeto de um sistema de controlo segue seis etapas:

1. Determinação dos requisitos físicos e especificações.

2. Elaboração de um diagrama funcional.

3. Representação do sistema em esquema elétrico e mecânico.

4. Formulação do modelo matemático.

5. Redução do diagrama de blocos para simplificação.

6. Análise e ajustes no projeto para atender às especificações desejadas.

1.6 Projeto Assistido por Computador

Ferramentas como MATLAB e LabVIEW auxiliam na modelação, simulação e projeto de sistemas de controlo. Elas permitem ajustes rápidos e avaliações precisas.

1.7 O Engenheiro de Sistemas de Controlo

O engenheiro de controlo trabalha em diferentes disciplinas, incluindo engenharia mecânica, elétrica e computacional. O estudo de sistemas de controlo capacita os engenheiros a desenvolverem soluções que melhoram processos industriais, automação e robótica.

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Sistemas - resposta ao degrau

Comparação de respostas no tempo, à entrada degrau unitário, de quatro sistemas lineares definidos pelas suas funções de transferência.

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