Resumo extraído do Capítulo 2 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

Este capítulo apresenta a base matemática dos sistemas LTI, destacando a convolução como ferramenta central. As propriedades estabelecidas são fundamentais para análise e projeto de sistemas, em Sinais e Sistemas.

Resumo do Capítulo 2: Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)

2.0 Introdução

Os sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI), desempenham um papel essencial na análise de sinais e sistemas. A linearidade e a invariância no tempo são propriedades fundamentais que facilitam a modelação de processos físicos e permitem uma análise detalhada com ferramentas matemáticas como a convolução.

2.1 Sistemas LTI em Tempo Discreto: Soma de Convolução

Representação de Sinais em Tempo Discreto

A ideia principal é representar um sinal discreto como uma combinação linear de impulsos unitários deslocados. Isso permite decompor qualquer sinal x[n] na forma:

$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k]$

Resposta ao Impulso e Soma de Convolução

Para sistemas lineares, a resposta a um impulso deslocado pode ser expressa em termos da resposta ao impulso unitário, h[n]. Assim, a saída y[n] de um sistema LTI pode ser obtida pela soma de convolução:

$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$

Esta expressão implica que um sistema LTI é completamente caracterizado pela sua resposta ao impulso.

Exemplos

Vários exemplos ilustram o cálculo da convolução em tempo discreto, incluindo sinais exponenciais e funções degrau.

2.2 Sistemas LTI em Tempo Contínuo: Integral de Convolução

Representação de Sinais Contínuos

Sinais contínuos podem ser representados como uma soma de impulsos infinitesimais, levando à expressão integral:

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau$

Resposta ao Impulso e Integral de Convolução

Analogamente ao caso discreto, a saída de um sistema LTI contínuo pode ser obtida através do integral de convolução:

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$

Exemplos

São discutidos exemplos práticos de cálculo de convolução em sinais exponenciais e retangulares, demonstrando a aplicação prática do integral de convolução.

2.3 Propriedades dos Sistemas LTI

Comutatividade

A convolução é uma operação comutativa:

$x[n] * h[n] = h[n] * x[n]$

Distributividade

A convolução distribui-se sobre a adição:

$x[n] * (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] * h_1[n] + x[n] * h_2[n]$

Associatividade

A associação de três sinais na convolução é independente da ordem:

$x[n] * (h_1[n] * h_2[n]) = (x[n] * h_1[n]) * h_2[n]$

Estas propriedades facilitam a análise e simplificação de circuitos e sistemas.

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

O primeiro capítulo do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab introduz os conceitos fundamentais de sinais e sistemas, abordando a sua classificação, propriedades e representações matemáticas.

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1.1 Introdução aos Sinais

Os sinais são funções matemáticas que representam quantidades variáveis no tempo ou noutro domínio. Estes podem ser classificados como:

• Sinais de tempo contínuo $x$: definidos para todo $t\in \mathbb{R}$.
• Sinais de tempo discreto $x[n]$: definidos apenas para valores inteiros $n$.

Os sinais podem ainda ser categorizados de acordo com:

• Periocidade: periódicos ou aperiódicos.
• Determinismo: determinísticos ou aleatórios.
• Energia e potência: sinais de energia finita ou potência finita.

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1.2 Transformações no Domínio do Tempo

Os sinais podem sofrer diversas transformações no tempo, tais como:

• Deslocamento temporal: $x(t-t_0)$ representa um atraso e $x(t+t_0)$ representa um avanço, quando t0 > 0.
• Escalonamento temporal: $x(at)$ comprime ou expande o sinal.
• Inversão temporal: $x(-t)$reflete o sinal em torno da origem.

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1.3 Sinais Exponenciais e Sinusoidais

Os sinais exponenciais e sinusoidais são fundamentais em muitas aplicações, sendo expressos como:

$$x(t)=C{e}^{\mathrm{(a}\mathrm{t)}}$$

onde $C$ e $a$ podem ser números complexos. Se $a$ for puramente imaginário ($j$), o sinal será um sinusoide:

$$x(t)$$

Os sinais sinusoidais são essenciais porque qualquer sinal periódico pode ser expresso como uma soma de sinusoidais (série de Fourier).

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1.4 Sinais de Tempo Discreto

No domínio discreto, os sinais exponenciais e sinusoidais são representados como:

$$x[n]=A{e}^{\mathrm{(j}\omega \mathrm{n)}}$$

onde $\omega$ está confinado a um intervalo $[-\mathrm{pi},pi]$ devido à periodicidade do domínio discreto.

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1.5 Sistemas de Tempo Contínuo e Discreto

Os sistemas processam sinais e podem ser classificados como:

• Tempo contínuo ou discreto: dependendo se as entradas e saídas são contínuas ou discretas.
• Determinísticos ou estocásticos: dependendo da previsibilidade da resposta do sistema.
• Causais ou não causais: um sistema é causal se a saída em um instante $t$ depender apenas de entradas presentes ou passadas.

Exemplo de sistema em tempo contínuo:

$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$

Exemplo de sistema em tempo discreto:

$$y[n]=0.9y[n-1]+x[n]$$

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1.6 Propriedades dos Sistemas

Os sistemas possuem diversas propriedades:

• Linearidade: segue o princípio da sobreposição $S(a{x}_1+b{x}_2)=aS(x_1)+bS(x_2)$
• Invariância no tempo: o comportamento não depende do instante em que é analisado.
• Estabilidade: entradas limitadas resultam em saídas limitadas.
• Causalidade: a saída depende apenas de valores presentes e passados da entrada.

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