Resumo extraído do Capítulo 7 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 7 - Campos Magnétostáticos

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7.1 — Introdução

A secção apresenta o domínio da magnetostática: o estudo dos campos magnéticos gerados por correntes constantes (DC). Principais pontos:

• Origem dos campos: ao contrário da electrostática (campos gerados por cargas estacionárias), os campos magnéticos estáticos são produzidos por correntes estacionárias (cargas em movimento com velocidade constante) — por exemplo, correntes de condutores, correntes de magnetização em ímanes permanentes, e feixes de electrões.

• Quantidades fundamentais: introduz-se a comparação entre grandezas eléctricas e magnéticas (analogia $E \leftrightarrow H$, $D \leftrightarrow B$) e lembra-se a relação no vácuo

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H},$$

  com $\mu_0$ = permeabilidade do espaço livre.

• Motivação prática: explica-se porque é importante a magnetostática (motores, transformadores, sensores, armazenamento magnético, levitação magnética, etc.).

• Leis fundamentais que serão usadas: são enunciadas as duas leis principais da magnetostática — Lei de Biot–Savart (lei geral, análoga à lei de Coulomb) e Lei de Ampère (caso especial útil para distribuições com simetria).

• Observação conceptual: prepara o leitor para ver semelhanças e diferenças entre campos eléctricos e magnéticos (por exemplo, os fluxos magnéticos fecham-se sempre — não existem monopolos magnéticos isolados).

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7.2 — Lei de Biot–Savart

Apresenta a Lei de Biot–Savart, que dá o campo magnético diferencial devido a um elemento de corrente:

• Enunciado (forma vetorial para $\mathbf{H}$):

  $$d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{\hat{R}}}{4\pi R^{2}} \quad\text{ou}\quad d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{4\pi R^{3}},$$

  
  

• Interpretação física:

  • Direção de $d\mathbf{H}$ dada pelo produto vetorial: regra da mão direita.

  • Dependência com a distância: $1/R^2$ em termo diferencial; após integração aparece a dependência característica para cada geometria.

• Distribuições de corrente: a lei aplica-se a correntes lineares ($I\,d\mathbf l$), superfícies de corrente ($\mathbf{K}\,dS$) e volumes de corrente ($\mathbf{J}\,dV$):

  $$\mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\int_{\text{linha}}\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{R^{3}}, \quad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\iint_{\text{superf}} \frac{\mathbf{K}\times\mathbf{R}}{R^{3}}\,dS, \quad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\iiint_{\text{vol}} \frac{\mathbf{J}\times\mathbf{R}}{R^{3}}\,dV.$$

• Exemplos trabalhados (formas fechadas obtidas por integração):

  • Fio rectilíneo finito (distância radial $r$, ângulos $\alpha_1,\alpha_2$ subtendidos em relação ao ponto):

    $$\mathbf{H}=\frac{I}{4\pi r}(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2)\,\mathbf{a}_\varphi.$$

    Casos particulares:

    • fio semi-infinito: $H=\dfrac{I}{4\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi$.

    • fio infinito: $H=\dfrac{I}{2\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi$.

  • Espira circular: resultado para o eixo da espira; componente axial não nula, componente radial cancela por simetria.

  • Solenóide: integração das espiras leva à fórmula axial, e no centro de um solenóide longo obtém-se $H=nI$ (com $n$ espiras por unidade de comprimento).

• Observações práticas:

  • Biot–Savart é geral mas pode exigir integrais complicados; é útil quando não há simetria suficiente para Ampère.

  • A lei mostra explícito o papel do produto vetorial — a orientação do elemento de corrente influencia fortemente o campo resultante.

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7.3 — Lei de Ampère 

Esta secção introduz a Lei de Ampère e a sua forma diferencial, ligando-a às equações de Maxwell para campos estáticos.

• Forma integral (Lei de Ampère):

  $$\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},$$

  o integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada $C$ é igual à corrente total incluída pela superfície limite dessa curva.

• Forma diferencial (equação de Maxwell):
  Aplicando o Teorema de Stokes obtém-se

  $$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J},$$

  em magnetostática (correntes estacionárias). Esta é uma das equações de Maxwell para campos estáticos.

• Quando usar Ampère:

  • É extremamente útil quando existe simetria (cilíndrica, planar, toroidal) que permite escolher um caminho amperiano em que $|\mathbf{H}|$ é constante sobre o caminho ou perpendicular a partes do mesmo, simplificando o integral.

• Exemplos clássicos resolvidos com Ampère:

  1. Fio infinito: ao tomar um caminho circular concêntrico obtemos

     $$H=\frac{I}{2\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi,$$

     compatível com Biot–Savart.

  2. Plano infinito de corrente com densidade superficial $\mathbf{K}$: campo uniforme dos dois lados com salto $\tfrac{1}{2}\mathbf{K}\times\mathbf{n}$.

     • Resultado geral para plano infinito: $\mathbf{H}=\tfrac{1}{2}\,\mathbf{K}\times\mathbf{a}_n$ 

  3. Linha coaxial (condutor concêntrico) e regiões internas/externas: Ampère permite obter $H$ por regiões dependendo da corrente incluída.

  4. Toroide: Amperiana circular dá $H=\dfrac{NI}{2\pi r}$ no interior (fora do toroide $H\approx 0$).

• Propriedade física importante:

  • Ao contrário do campo eléctrico electrostático (onde $\nabla\times\mathbf{E}=0$), o campo magnético não é conservativo em geral: $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}\neq 0$ nas regiões com corrente.

• Ligação a $\mathbf{B}$:
  $\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$ no espaço livre; portanto as expressões para $\mathbf{H}$ traduzem-se directamente em $\mathbf{B}$ multiplicando por $\mu_0$.

• Limitações e observações:

  • Ampère é uma ferramenta poderosa mas só quando a simetria permite simplificar o integral; caso contrário recorre-se a Biot–Savart ou ao potencial vectorial.

  • Ampère mostra o papel topológico das correntes (a circulação do campo depende apenas da corrente incluída na superfície limitada).

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7.4 — Aplicações da Lei de Ampère

Esta secção aplica a Lei de Ampère a distribuições de corrente com simetria, mostrando como escolher caminhos amperianos (curvas fechadas) que simplificam o cálculo da circulação de H. Principais resultados e exemplos:

• Forma integral (recordar):

  $$\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}}.$$

  Aplicando o Teorema de Stokes obtém-se a forma diferencial $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$.

• Fio infinito — simetria cilíndrica: escolhendo um caminho circular concêntrico obtemos

  $$H_\varphi=\frac{I}{2\pi r}\quad(\mathbf{H}=H_\varphi\,\mathbf{a}_\varphi),$$

  onde $r$ é a distância radial ao eixo do fio. Resultado consistente com Biot–Savart.

• Plano infinito de corrente com densidade superficial $\mathbf{K}$ ao longo de $\mathbf{a}_y$ é

  $$\mathbf{H}=\pm\frac{1}{2}\,\mathbf{K}\times\mathbf{a}_n,$$

  onde $\mathbf{a}_n$ é o vector normal apontando do plano para o ponto considerado — o sinal depende do lado.

• Linha coaxial infinita: considerando correntes distribuídas uniformemente nas regiões do condutor interno e externo, aplica-se Ampère por regiões radiais e obtêm-se expressões por partes para $H$:

  • $0\le r\le a$: $H=\dfrac{I r}{2\pi a^2}$ (corrente distribuída no interior do condutor interno);

  • $a\le r\le b$: $H=\dfrac{I}{2\pi r}$ (região entre os condutores — campo como fio externo);

  • $b\le r\le b+t$: expressão que inclui a fração da corrente contida na parte do condutor externo atravessada pela amperiana;

  • $r\ge b+t$: $H=0$ (fora do conjunto quando correntes interna e externa se anulam). Detalhes e a fórmula completa por regiões estão desenvolvidos na secção.

• Toroide: para um toroide com $N$ espiras e corrente $I$, a amperiana circular de raio $r$ dá

  $$H_\varphi=\frac{NI}{2\pi r}$$

  no interior do toroide; exteriormente $H\approx 0$. Este resultado mostra por que o toroide confina o campo magnético.

• Solenóide longo: somando as contribuições das espiras por unidade de comprimento obtém-se, no interior aproximado de um solenóide longo,

  $$H=nI\quad\text{(com \(n\) espiras por unidade de comprimento).}$$

  Fora do solenóide o campo é (em muitas aproximações) desprezável.

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7.5 — Densidade de fluxo magnético
$\mathbf{B}$ — equação de Maxwell

Esta secção introduz a densidade de fluxo magnético $\mathbf{B}$, explica a sua relação com $\mathbf{H}$ em espaço livre e discute propriedades geométricas do fluxo magnético.

• Relação entre $\mathbf{B}$ e $\mathbf{H}$ (no espaço livre):

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H},$$

  onde $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ é a permeabilidade do espaço livre.

• Fluxo magnético através de uma superfície $S$:

  $$\Psi=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\quad(\text{unidade: weber, Wb}).$$

  Linhas de fluxo magnético são trajectórias tangenciais a $\mathbf{B}$ em cada ponto (a bússola orienta-se ao longo destas linhas).

• Propriedade topológica importante — não existem monopólos magnéticos isolados:

  $$\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0.$$

  Isto significa que as linhas de $\mathbf{B}$ são sempre fechadas (não têm início nem fim) — contraste com linhas de $\mathbf{D}$ que podem emergir de cargas.

• Conceitos de potencial magnético: a secção prepara a motivação para usar potenciais (escalar $V_m$ quando $\mathbf{J}=0$, e vectorial $\mathbf{A}$ em geral), relacionando $\mathbf{B}$ com o rotacional do potencial vetorial:

  $$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},$$

  
  

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7.6 — Equações de Maxwell para campos estáticos

A secção reúne as quatro equações de Maxwell na forma apropriada para campos eléctricos e magnéticos estáticos (magnetostática + electrostática), tanto na forma diferencial como integral, e introduz os potenciais magnéticos.

• As quatro equações (formas diferencial e integral, para o caso estático): 

  • Gauss (electricidade):

    $$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{enc}}.$$

  • Não-existência de monopólos magnéticos:

    $$\nabla\cdot\mathbf{B}=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0.$$

  • Electrostática (conservatividade de $\mathbf{E}$):

    $$\nabla\times\mathbf{E}=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0.$$

  • Ampère (magnetostática, forma diferencial):

    $$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}.$$

  Estas expressões aparecem compiladas na Tabela 7.2 do capítulo.

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Resumo 

O capítulo apresenta a magnetostática: leis que descrevem como correntes eléctricas constantes geram campos magnéticos estáticos e as ferramentas para os calcular. 

• Biot–Savart (forma diferencial e integral) — campo devido a um elemento de corrente:

  $$d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{4\pi R^{3}},\qquad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\int\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{R^{3}}.$$

  Aplicável a correntes lineares, superficiais e volumétricas.

• Lei de Ampère (integral) — circulação do campo magnético:

  $$\oint_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},$$

  com a forma diferencial $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$. Útil quando existe simetria (fios infinitos, folhas infinitas, solenóides, toroides, condutores concêntricos).

• Relação $\mathbf{B}$–$\mathbf{H}$:

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\quad(\text{no espaço livre}),\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

  
  

• Potenciais magnéticos:

  • Potencial escalar $V_m$ — válido apenas em regiões sem corrente ($\mathbf{J}=0$) com $\mathbf{H}=-\nabla V_m$ e $\nabla^2 V_m=0$.

  • Potencial vectorial $\mathbf{A}$ — geral, $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$; (p.ex. Coulomb: $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$) conduz a $\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$.

Resultados práticos destacados (fórmulas de referência)

• Fio retilíneo infinito:

  $$H_\varphi=\frac{I}{2\pi r}.$$

• Espira circular (eixo): expressão para a componente axial (obtida por integração de Biot–Savart).

• Solenóide longo (interior):

  $$H=nI \quad\Rightarrow\quad B=\mu_0 n I.$$

• Toroide:

  $$H=\frac{NI}{2\pi r}\quad\text{(no interior do toroide)}.$$

• Plano de corrente infinita:

  $$\mathbf{H}=\pm\frac{1}{2}\mathbf{K}\times\mathbf{n}\quad(\text{saltos de campo dos dois lados}).$$

Estas fórmulas são as ferramentas de referência para problemas práticos em magnetostática.

Observações finais e ligação a regimes não-estáticos

• Para problemas sem simetria usa-se Biot–Savart ou a formulação por potenciais (especialmente $\mathbf{A}$).

• As equações de divergência ($\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$, $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$) mantêm-se para campos dependentes do tempo; as equações de rotacional são modificadas quando aparecem termos temporais (p.ex. deslocamento eléctrico) — isso é tratado mais adiante em capítulos sobre campos dependentes do tempo.

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Resumo extraído do Capítulo 30, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 30 – Fontes de Campo Magnético

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30.1 – A Lei de Biot–Savart

Esta secção introduz a lei de Biot–Savart, que permite calcular o campo magnético produzido por um elemento de corrente. Baseia-se em observações experimentais feitas por Biot e Savart em 1820:

• O campo magnético elementar $d\vec{B}$ gerado por um segmento de fio $d\vec{s}$ com corrente $I$ é:

  • Perpendicular tanto a $d\vec{s}$ como ao vector unitário $\hat{r}$, que aponta do elemento para o ponto de observação.

  • Proporcional a $I$, ao comprimento do elemento $ds$ e ao seno do ângulo entre $d\vec{s}$ e $\hat{r}$.

  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância $r^2$.

A expressão matemática é:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\, d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

com $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T·m/A}$ (permeabilidade do vácuo).

Para obter o campo total $\vec{B}$, integra-se sobre toda a distribuição de corrente:

$$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

Exemplos importantes:

• Fio rectilíneo infinito: resulta num campo $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$, com $a$ a distância ao fio.

• Segmento de fio curvo (arco): campo no centro $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi a}$.

• Espira circular: no eixo da espira o campo é $B_x = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$.

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30.2 – Força Magnética entre Dois Condutores Paralelos

Esta secção mostra que dois condutores paralelos com corrente exercem força um sobre o outro devido aos campos magnéticos que cada um gera:

• O campo criado por um fio rectilíneo é:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$$

• A força magnética por unidade de comprimento sobre o segundo fio (separado por uma distância $a$) é:

$$\frac{F_B}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi a}$$

Conclusões importantes:

• Correntes no mesmo sentido → força atractiva.

• Correntes em sentidos opostos → força repulsiva.

Esta interacção é a base da definição do ampere: duas correntes de 1 A em fios paralelos separados por 1 metro exercem uma força de $2 \times 10^{-7} \, \text{N/m}$.

Exemplo 30.4: determina o valor de corrente necessário nos fios do solo para levitar um terceiro fio (com corrente oposta) através do equilíbrio entre força magnética e peso.

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30.3 – Lei de Ampère

A Lei de Ampère fornece uma forma alternativa à de Biot–Savart para calcular o campo magnético em casos com elevada simetria:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$

Esta equação afirma que a integral de linha do campo magnético $\vec{B}$ ao longo de um caminho fechado é proporcional à corrente total $I_{\text{enc}}$ que atravessa a superfície delimitada por esse caminho.

Aplicações típicas:

• Fio rectilíneo longo: permite derivar novamente $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

• Fios com corrente uniforme: campo interno varia com $r$ (proporcional), campo externo varia como $1/r$.

• Toroides: $B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$ dentro do toróide, e zero fora.

• Solenoide ideal: campo uniforme no interior, dado por:

$$B = \mu_0 n I$$

onde $n = N/\ell$ é o número de espiras por unidade de comprimento.

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30.4 – O Campo Magnético de um Solenóide

Um solenóide é um fio enrolado em forma de hélice, normalmente com muitas espiras, por onde circula uma corrente. Esta configuração produz um campo magnético quase uniforme no seu interior.

Características do campo magnético:

• As linhas de campo são paralelas e densamente espaçadas no interior → campo forte e quase uniforme.

• No exterior, o campo é fraco e disperso, semelhante ao de um íman de barra.

Campo magnético de um solenóide ideal:

• Num solenóide longo, com espiras apertadas, o campo interior é:

$$B = \mu_0 n I$$

onde:

• $\mu_0$ é a permeabilidade do vazio,

• $n$ é o número de espiras por unidade de comprimento ($n = N/\ell$),

• $I$ é a corrente no solenóide.

Observações:

• Esta fórmula é válida no centro do solenóide (longe das extremidades).

• À medida que o solenóide se torna mais comprido, o campo no interior torna-se mais uniforme e o campo exterior tende para zero.

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30.5 – A Lei de Gauss para o Eletromagnetismo

Esta secção introduz a lei de Gauss para o Eletromagnetismo, análoga à lei de Gauss para o campo eléctrico, mas com uma diferença fundamental:

$$\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$

Isto significa que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é sempre zero.

Implicações:

• As linhas de campo magnético não têm princípio nem fim, formando laços fechados.

• Isto reflete o facto de não existirem monopólos magnéticos (ou seja, nunca foram observadas cargas magnéticas isoladas).

• As linhas de campo que entram numa superfície fechada são sempre equilibradas pelas que saem.

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30.6 – Magnetismo na Matéria

Nesta secção explora-se a origem do magnetismo nos materiais, com base nos momentos magnéticos atómicos, que resultam:

1. Do movimento orbital dos electrões.

2. Do spin intrínseco dos electrões (propriedade quântica).

Momento Magnético Orbital

• Um electrão em órbita comporta-se como uma espira de corrente.

• O momento magnético associado é proporcional ao momento angular orbital:

$$\vec{m} = \frac{e}{2m_e} \vec{L}$$

mas com sentido oposto ao de $\vec{L}$ devido à carga negativa do electrão.

Momento Magnético de Spin

• Mesmo sem se mover em órbita, o electrão possui um momento magnético devido ao seu spin.

• Este é dado por:

$$\mu_{\text{spin}} = \frac{e \hbar}{2m_e} = \mu_B$$

onde $\mu_B$ é o magnetão de Bohr.

Comportamento dos materiais magnéticos

Os materiais classificam-se segundo a resposta ao campo magnético:

1. Ferromagnéticos:

   • Materiais como o ferro e o níquel têm domínios magnéticos onde os momentos estão alinhados.

   • Em ausência de campo externo, os domínios estão desordenados → o material não está magnetizado.

   • Com campo externo, os domínios alinham-se → o material fica magnetizado permanentemente.

   • Acima da temperatura de Curie, perdem o ferromagnetismo e tornam-se paramagnéticos.

2. Paramagnéticos:

   • Átomos com momentos magnéticos permanentes, mas sem interação forte entre si.

   • Em campo externo, os momentos tendem a alinhar-se, mas o movimento térmico dificulta este alinhamento → magnetização fraca e temporária.

3. Diamagnéticos:

   • Ocorre em todos os materiais, mas é geralmente fraco.

   • Um campo externo induz correntes atómicas que criam um campo oposto ao campo aplicado → efeito repulsivo.

   • Em materiais supercondutores, ocorre o efeito de Meissner, onde o campo magnético é completamente expulso do interior do material.

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Resumo

O capítulo aborda as fontes dos campos magnéticos, com foco nos seguintes pontos principais:

• A lei de Biot–Savart permite calcular o campo magnético gerado por elementos de corrente.

• Dois condutores paralelos com corrente exercem forças magnéticas entre si, fundamento para a definição do ampere.

• A lei de Ampère fornece uma forma simplificada de calcular o campo magnético em geometrias simétricas.

• Em configurações especiais como solenóides e toroides, os campos magnéticos podem ser intensos e previsíveis.

• A lei de Gauss para o magnetismo mostra que não existem monopólos magnéticos: o fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é zero.

• O magnetismo na matéria tem origem em momentos magnéticos atómicos (orbitais e de spin), levando a diferentes tipos de comportamento: ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo.

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Resumo extraído do Capítulo 29, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 29 – Campo Magnético

29.1 Modelo de Partícula num Campo Magnético

Nesta secção é introduzido o conceito de campo magnético B, análogo ao campo eléctrico, mas caracterizado pelas forças que exerce sobre cargas em movimento. O campo é definido através da força magnética que actua num carga-teste q com velocidade v, dada pela relação vectorial

$$\mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}\times \mathbf{B},$$

onde o produto vetorial implica que Fₗ é perpendicular tanto a v como a B, e  o seu módulo satisfaz

$$F_B = |q|\,v\,B\,\sin\theta,$$

sendo θ o ângulo entre v e B .

São apresentadas duas regras da mão direita para determinar a direcção de Fₗ:

1. Estenda os dedos na direcção de v, curve-os para B; o polegar indica v×B.

2. Coloque o polegar em v, os dedos em B; a força sai perpendicular à palma da mão .

Com base nas experiências clássicas (Oersted, Faraday, Gilbert), destaca-se que:

• F_B é proporcional à carga q, velocidade v e intensidade do campo B.

• F_B é nula se v for paralelo a B (θ=0° ou 180°) e máxima se θ=90°.

• Ao contrário da força eléctrica, F_B não pode realizar trabalho sobre a carga (é sempre perpendicular ao deslocamento), pelo que não altera a energia cinética, apenas a direcção do movimento .

Por fim, introduz-se a unidade SI do campo magnético—o tesla (1 T = 1 N/(A⋅m))—e menciona-se a unidade não SI gauss (1 T = 10⁴ G).

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29.2 Movimento de uma Partícula Carregada num Campo Magnético Uniforme

Quando uma carga positiva entra num campo magnético uniforme com v perpendicular a B, a força resultante é centrípeta, levando a movimento circular uniforme num plano ortogonal a B. Aplicando

$$qvB = \frac{mv^2}{r},$$

obtém-se o raio do trajecto

$$r = \frac{m\,v}{q\,B}, \tag{29.3}$$

e a frequência angular (ou “frequência de ciclotrão”)

$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{q\,B}{m}, \tag{29.4}$$

bem como o período

$$T = \frac{2\pi m}{q\,B}, \tag{29.5}$$

independentes da velocidade inicial .

Se v fizer um ângulo arbitrário com B, decompõe-se o movimento em duas componentes:

• Paralela a B → deslocamento rectilíneo uniforme.

• Perpendicular a B → movimento circular uniforme.

O resultado global é um movimento helicoidal, cujo raio é dado por Eq. (29.3) usando a componente perpendicular de v .

Exemplos práticos incluem a órbita de protões em aceleradores e a curvatura de feixes de electrões em tubos de raios catódicos, ilustrados em vários exemplos numéricos nesta secção.

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29.3 Aplicações com Partículas em Movimento num Campo Magnético

1. Força de Lorentz
   Uma carga num campo eléctrico E e magnético B experimenta a combinação das duas forças:

   $$\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}, \tag{29.6}$$

   permitindo classificar comportamentos e dispositivos baseados na selecção e análise de partículas .

2. Garrafa Magnética (Magnetic Bottle)
   Num campo não uniforme, mais forte nas extremidades e mais fraco no centro, as partículas são retidas numa região de oscilação entre os pontos de maior campo, formando um “bottle” que já foi proposto para confinamento de plasmas em fusão nuclear .

3. Cinturas de Van Allen e Auroras
   As cinturas de radiação da Terra compostas por protões e electrões aprisionados pelo campo magnético terrestre formam trajectórias helicoidais entre os polos. Colisões com a atmosfera produzem auroras boreais e austrais.

4. Selector de Velocidade
   Campos E e B perpendiculares permitem filtrar partículas com velocidade

   $$v = \frac{E}{B}, \tag{29.7}$$

   desviando as mais rápidas e as mais lentas para garantir feixes mono-velocidade em experiências.

5. Espectrómetro de Massas
   No espectrómetro de Bainbridge, o feixe selecionado entra num segundo campo magnético uniforme B₀, descrito pelo movimento circular. A razão massa/carga obtém-se por

   $$\frac{m}{q} = \frac{r\,B_0}{v},$$

   ou, usando o selector de velocidade,

   $$\frac{m}{q} = \frac{r\,B_0\,B}{E}. \tag{29.8}$$

   A técnica foi seminal na determinação de e/m do electrão por J. J. Thomson em 1897.

6. Ciclotrão
   Um ciclotrão acelera partículas num campo magnético uniforme explorando o facto de o período de órbita (Eq. 29.5) ser independente da velocidade, até aos primeiros efeitos relativísticos. A energia final em função do raio R é

   $$K = \tfrac12 m v^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2\,m}. \tag{29.9}$$

   Este dispositivo produz isótopos para aplicações médicas e investigações em física nuclear.

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Nota: Os números entre parêntesis, como (29.3), correspondem às equações tal como numeradas no texto original.

29.4 Força Magnética em Condutores com Corrente
Nesta secção é alargado o conceito de força magnética para condutores percorridos por corrente. Para um segmento retilíneo de comprimento L e corrente I imerso num campo uniforme B, a força total é

$$\mathbf{F}_B = I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B},$$

onde o vector $\mathbf{L}$ tem magnitude igual ao comprimento do condutor e direção da corrente. Para um fio de forma arbitrária, a força diferencial num elemento $d\mathbf{s}$ é

$$d\mathbf{F}_B = I\,d\mathbf{s}\times\mathbf{B}.$$

Quando se integra sobre um fio fechado num campo uniforme, obtém-se $\mathbf{F}_\text{total}=0$: não há força líquida sobre um laço fechado .
Num exemplo de um condutor semicircular, a força sobre a parte retilínea é $F_1=IRB$ e sobre a parte curva é $F_2=2IRB$, mas como agem em direcções opostas a resultante é $F_\text{net}=0$ e as forças exercem um binário no laço.

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29.5 Binário num Circuito de Corrente
Quando um laço de área A percorre uma corrente I num campo B, define-se o momento dipolar magnético

$$\mathbf{m} = I\,\mathbf{A},$$

onde $\mathbf{A}$ é o vector área perpendicular ao plano do laço (magnitude igual à área, direção dada pela regra da mão direita). O binário é máximo sobre o laço, quando $\mathbf{m}\perp\mathbf{B}$, é

$$\tau_\text{max} = IAB,$$

e, para qualquer orientação, o binário geral é

$$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}.$$

A energia potencial de um dipolo magnético no campo é

$$U_B = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B},$$

com mínimo $U_\text{min}=-mB$ quando $\mathbf{m}\parallel\mathbf{B}$ e máximo $U_\text{max}=+mB$ para a orientação oposta.

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29.6 Efeito Hall
Ao colocar um condutor percorrido por corrente I num campo magnético perpendicular, desenvolve-se uma diferença de potencial transversal ($V_H$) – o Efeito Hall. Equilíbrio das forças elétrica e magnética dá

$$V_H = E_H\,d = v_d B\,d,$$

onde $v_d$ é a velocidade de deriva dos portadores e $d$ a largura do condutor . Em termos de densidade de carga $n$ e espessura $t$, obtém-se 

$$V_H = \frac{I\,B}{n\,q\,t},$$

sendo este instrumento útil para medir intensidade de campos magnéticos e determinar o sinal e densidade dos portadores de carga num material.

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Resumo do Capítulo 29

• Modelo Partícula em Campo Magnético: $\mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$; se $\mathbf{v}\perp\mathbf{B}$, trajectória circular de raio $r=mv/(qB)$ e frequência $\omega=qB/m$.

• Força em Fio Condutor: $\mathbf{F}_B = I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}$; laço fechado em campo uniforme sofre binário mas não força líquida.

• Binário e Momento Magnético: $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}$, com $\mathbf{m}=I\mathbf{A}$ e energia $U_B=-\mathbf{m}\cdot \mathbf{B<span\; style="font-family:\; verdana;"><br></span>}$

• Efeito Hall: gera tensão $V_H$ proporcional a $I B/(nq t)$, usada para medir campos e caracterizar materiais.

 

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