Resumo extraído do Capítulo 30, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 30 – Fontes de Campo Magnético

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30.1 – A Lei de Biot–Savart

Esta secção introduz a lei de Biot–Savart, que permite calcular o campo magnético produzido por um elemento de corrente. Baseia-se em observações experimentais feitas por Biot e Savart em 1820:

• O campo magnético elementar $d\vec{B}$ gerado por um segmento de fio $d\vec{s}$ com corrente $I$ é:

  • Perpendicular tanto a $d\vec{s}$ como ao vector unitário $\hat{r}$, que aponta do elemento para o ponto de observação.

  • Proporcional a $I$, ao comprimento do elemento $ds$ e ao seno do ângulo entre $d\vec{s}$ e $\hat{r}$.

  • Inversamente proporcional ao quadrado da distância $r^2$.

A expressão matemática é:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\, d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

com $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T·m/A}$ (permeabilidade do vácuo).

Para obter o campo total $\vec{B}$, integra-se sobre toda a distribuição de corrente:

$$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

Exemplos importantes:

• Fio rectilíneo infinito: resulta num campo $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$, com $a$ a distância ao fio.

• Segmento de fio curvo (arco): campo no centro $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi a}$.

• Espira circular: no eixo da espira o campo é $B_x = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$.

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30.2 – Força Magnética entre Dois Condutores Paralelos

Esta secção mostra que dois condutores paralelos com corrente exercem força um sobre o outro devido aos campos magnéticos que cada um gera:

• O campo criado por um fio rectilíneo é:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$$

• A força magnética por unidade de comprimento sobre o segundo fio (separado por uma distância $a$) é:

$$\frac{F_B}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi a}$$

Conclusões importantes:

• Correntes no mesmo sentido → força atractiva.

• Correntes em sentidos opostos → força repulsiva.

Esta interacção é a base da definição do ampere: duas correntes de 1 A em fios paralelos separados por 1 metro exercem uma força de $2 \times 10^{-7} \, \text{N/m}$.

Exemplo 30.4: determina o valor de corrente necessário nos fios do solo para levitar um terceiro fio (com corrente oposta) através do equilíbrio entre força magnética e peso.

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30.3 – Lei de Ampère

A Lei de Ampère fornece uma forma alternativa à de Biot–Savart para calcular o campo magnético em casos com elevada simetria:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$

Esta equação afirma que a integral de linha do campo magnético $\vec{B}$ ao longo de um caminho fechado é proporcional à corrente total $I_{\text{enc}}$ que atravessa a superfície delimitada por esse caminho.

Aplicações típicas:

• Fio rectilíneo longo: permite derivar novamente $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

• Fios com corrente uniforme: campo interno varia com $r$ (proporcional), campo externo varia como $1/r$.

• Toroides: $B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$ dentro do toróide, e zero fora.

• Solenoide ideal: campo uniforme no interior, dado por:

$$B = \mu_0 n I$$

onde $n = N/\ell$ é o número de espiras por unidade de comprimento.

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30.4 – O Campo Magnético de um Solenóide

Um solenóide é um fio enrolado em forma de hélice, normalmente com muitas espiras, por onde circula uma corrente. Esta configuração produz um campo magnético quase uniforme no seu interior.

Características do campo magnético:

• As linhas de campo são paralelas e densamente espaçadas no interior → campo forte e quase uniforme.

• No exterior, o campo é fraco e disperso, semelhante ao de um íman de barra.

Campo magnético de um solenóide ideal:

• Num solenóide longo, com espiras apertadas, o campo interior é:

$$B = \mu_0 n I$$

onde:

• $\mu_0$ é a permeabilidade do vazio,

• $n$ é o número de espiras por unidade de comprimento ($n = N/\ell$),

• $I$ é a corrente no solenóide.

Observações:

• Esta fórmula é válida no centro do solenóide (longe das extremidades).

• À medida que o solenóide se torna mais comprido, o campo no interior torna-se mais uniforme e o campo exterior tende para zero.

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30.5 – A Lei de Gauss para o Eletromagnetismo

Esta secção introduz a lei de Gauss para o Eletromagnetismo, análoga à lei de Gauss para o campo eléctrico, mas com uma diferença fundamental:

$$\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$

Isto significa que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é sempre zero.

Implicações:

• As linhas de campo magnético não têm princípio nem fim, formando laços fechados.

• Isto reflete o facto de não existirem monopólos magnéticos (ou seja, nunca foram observadas cargas magnéticas isoladas).

• As linhas de campo que entram numa superfície fechada são sempre equilibradas pelas que saem.

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30.6 – Magnetismo na Matéria

Nesta secção explora-se a origem do magnetismo nos materiais, com base nos momentos magnéticos atómicos, que resultam:

1. Do movimento orbital dos electrões.

2. Do spin intrínseco dos electrões (propriedade quântica).

Momento Magnético Orbital

• Um electrão em órbita comporta-se como uma espira de corrente.

• O momento magnético associado é proporcional ao momento angular orbital:

$$\vec{m} = \frac{e}{2m_e} \vec{L}$$

mas com sentido oposto ao de $\vec{L}$ devido à carga negativa do electrão.

Momento Magnético de Spin

• Mesmo sem se mover em órbita, o electrão possui um momento magnético devido ao seu spin.

• Este é dado por:

$$\mu_{\text{spin}} = \frac{e \hbar}{2m_e} = \mu_B$$

onde $\mu_B$ é o magnetão de Bohr.

Comportamento dos materiais magnéticos

Os materiais classificam-se segundo a resposta ao campo magnético:

1. Ferromagnéticos:

   • Materiais como o ferro e o níquel têm domínios magnéticos onde os momentos estão alinhados.

   • Em ausência de campo externo, os domínios estão desordenados → o material não está magnetizado.

   • Com campo externo, os domínios alinham-se → o material fica magnetizado permanentemente.

   • Acima da temperatura de Curie, perdem o ferromagnetismo e tornam-se paramagnéticos.

2. Paramagnéticos:

   • Átomos com momentos magnéticos permanentes, mas sem interação forte entre si.

   • Em campo externo, os momentos tendem a alinhar-se, mas o movimento térmico dificulta este alinhamento → magnetização fraca e temporária.

3. Diamagnéticos:

   • Ocorre em todos os materiais, mas é geralmente fraco.

   • Um campo externo induz correntes atómicas que criam um campo oposto ao campo aplicado → efeito repulsivo.

   • Em materiais supercondutores, ocorre o efeito de Meissner, onde o campo magnético é completamente expulso do interior do material.

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Resumo

O capítulo aborda as fontes dos campos magnéticos, com foco nos seguintes pontos principais:

• A lei de Biot–Savart permite calcular o campo magnético gerado por elementos de corrente.

• Dois condutores paralelos com corrente exercem forças magnéticas entre si, fundamento para a definição do ampere.

• A lei de Ampère fornece uma forma simplificada de calcular o campo magnético em geometrias simétricas.

• Em configurações especiais como solenóides e toroides, os campos magnéticos podem ser intensos e previsíveis.

• A lei de Gauss para o magnetismo mostra que não existem monopólos magnéticos: o fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é zero.

• O magnetismo na matéria tem origem em momentos magnéticos atómicos (orbitais e de spin), levando a diferentes tipos de comportamento: ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo.

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