Resumo extraído do capítulo 2 do livro Modern Control Engineering de Katsuhiko Ogata, 5ª edição

Capítulo 2 – Modelos Matemáticos para Sistemas de Controlo

Este capítulo foca-se em representar sistemas físicos através de funções de transferência — uma abordagem baseada na frequência e fundamental na teoria clássica de controlo. Enquanto o Capítulo 1 se centrava na modelação no domínio do tempo (com equações diferenciais), aqui passa-se para a representação no domínio da frequência, mais especificamente usando transformadas de Laplace e funções de transferência. Esta metodologia simplifica a análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI), transformando equações diferenciais em equações algébricas.

O capítulo introduz a ideia de que qualquer sistema linear descrito por equações diferenciais com coeficientes constantes pode ser analisado no domínio da frequência, o que facilita o estudo da resposta do sistema a entradas variadas, a análise de estabilidade e a síntese de controladores.

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Secção 2.1: A transformada de Laplace

Esta secção introduz e define a transformada de Laplace, que converte funções no domínio do tempo $f(t)$ em funções de variável complexa $F(s)$ no domínio da frequência. A definição da transformada de Laplace unilateral é apresentada como:

$$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$$

São discutidas as propriedades fundamentais da transformada, incluindo:

• Linearidade

• Deslocamento no tempo

• Derivadas e integrais

• Teorema do valor inicial e final

A transformada é particularmente útil para resolver equações diferenciais, pois transforma a operação de diferenciação numa multiplicação algébrica por $s$, simplificando a análise de sistemas.

Além disso, a secção fornece várias transformadas comuns e usa exemplos para mostrar como aplicar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais ordinárias que descrevem sistemas dinâmicos.

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Secção 2.2: Função de transferência de Sistemas Lineares

Esta secção define a função de transferência como a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada de um sistema, assumindo condições iniciais nulas:

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$

São analisados diferentes tipos de sistemas físicos (mecânicos e elétricos), ilustrando como derivar as suas funções de transferência a partir das equações diferenciais que os governam. Exemplos incluem:

• Sistemas massa-mola-amortecedor

• Circuitos RLC

Para cada tipo de sistema, a equação diferencial é transformada numa equação algébrica via transformada de Laplace e reorganizada para obter $G(s)$.

A função de transferência fornece uma descrição completa do comportamento dinâmico do sistema (para sistemas LTI), permitindo prever a resposta a entradas arbitrárias no domínio da frequência.

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Secção 2.3: Diagrama de Blocos

Esta secção introduz os diagramas de blocos, uma ferramenta gráfica para representar a interligação de sistemas dinâmicos e os fluxos de sinal. Cada bloco representa um subsistema com a sua função de transferência associada, e as conexões entre blocos representam as relações de sinal (soma, subtração, ramificações).

São introduzidas várias regras fundamentais de simplificação de diagramas de blocos, tais como:

• Combinação de blocos em série e paralelo

• Realimentações (feedback)

• Movimentação de somadores e ramos

São fornecidos exemplos para mostrar como converter uma equação diferencial num diagrama de blocos equivalente, e como simplificar esse diagrama para obter a função de transferência global de sistemas compostos. Esta técnica é essencial para a modelação modular e análise de sistemas complexos de controlo.

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Secção 2.4 – Modelação no Espaço de Estados 

Esta secção introduz a abordagem moderna à modelação de sistemas dinâmicos — a representação no espaço de estados — que se tornou essencial com o aumento da complexidade dos sistemas e o uso intensivo de computadores no projeto de controlo.

Conceitos fundamentais:

• Estado: É definido como o conjunto mínimo de variáveis necessário para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico a partir de um determinado instante e entrada.

• Variáveis de estado: São os elementos do vetor de estado, escolhidos geralmente como saídas de integradores no sistema.

• Vector de estado: Um vetor que agrupa todas as variáveis de estado.

• Espaço de estados: Um espaço n-dimensional em que cada eixo representa uma variável de estado.

Equações no espaço de estados:

O comportamento de sistemas dinâmicos é descrito por:

• Equação de estado:

  $$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t)$$

• Equação de saída:

  $$y(t) = g(x(t), u(t), t)$$

Nos sistemas lineares e invariantes no tempo, estas equações assumem a forma matricial:

$$\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$$

• $$y(t) = C x(t) + D u(t)$$

Exemplo:

A secção inclui um exemplo prático com um sistema massa-mola-amortecedor, onde se mostra como escolher as variáveis de estado (deslocamento e velocidade) e formular as equações no espaço de estados.

Esta representação é vantajosa para sistemas com múltiplas entradas e saídas (MIMO), sistemas não lineares e para o projeto de controladores em tempo real.

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Secção 2.5 – Representação em Espaço de Estados de Sistemas com Equações Diferenciais Escalares 

Esta secção mostra como converter uma equação diferencial escalar de ordem n numa forma de primeira ordem no espaço de estados. Isto é essencial porque os métodos modernos de análise e controlo operam sobre sistemas de primeira ordem em forma matricial.

Casos abordados:

1. Sem derivadas da entrada (u):
   Uma equação diferencial como

   $$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = u(t)$$

   pode ser convertida definindo variáveis de estado sucessivas como

   $$x_1 = y, \quad x_2 = \dot{y}, \quad \dots, \quad x_n = y^{(n-1)}$$

   resultando numa forma padrão:

   $$\dot{x} = A x + B u, \quad y = C x$$

2. Com derivadas da entrada (u):
   Quando a entrada também aparece com derivadas, como:

   $$y^{(n)} + \cdots = b_0 u^{(n)} + b_1 u^{(n-1)} + \cdots$$

   O truque está em escolher variáveis de estado que absorvam as derivadas da entrada, garantindo que a equação de estado não as contenha explicitamente. A matriz B será ajustada com base nos coeficientes $b_i$, calculados a partir de uma fórmula que os reexprime em função das constantes $a_i$ e $b_i$.

Este processo é fundamental para gerar modelos equivalentes que podem ser manipulados com ferramentas modernas (como MATLAB).

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Secção 2.6 – Transformação de Modelos Matemáticos com MATLAB 

Esta secção apresenta as funções básicas do MATLAB usadas para converter entre funções de transferência e representações no espaço de estados, e vice-versa.

Transformar de função de transferência para espaço de estados:

• Comando:

  [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)
  

  Onde num e den são os coeficientes do numerador e denominador da função de transferência.

• Esta transformação retorna uma forma canónica controlável por padrão, mas outras formas são possíveis com manipulações adicionais.

Transformar de espaço de estados para função de transferência:

• Comando:

  [num, den] = ss2tf(A, B, C, D)
  

  Para sistemas com múltiplas entradas, é possível indicar qual entrada usar com um argumento adicional:

  [num, den] = ss2tf(A, B, C, D, iu)
  

Exemplos:

São apresentados exemplos em MATLAB mostrando a aplicação dos comandos a sistemas simples, verificando que a conversão é consistente e mantendo a equivalência matemática entre as representações.

Esta secção destaca o poder e a utilidade das ferramentas computacionais para a análise e síntese de sistemas de controlo complexos.

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Secção 2.7 – Linearização de Modelos Matemáticos Não Lineares 

Esta secção trata do processo de linearização, uma técnica essencial para lidar com sistemas não lineares, ao aproximar o comportamento do sistema em torno de um ponto de operação em equilíbrio.

Sistemas não lineares:

• Um sistema é considerado não linear quando não obedece ao princípio da sobreposição.

• Muitos sistemas físicos apresentam não linearidades (como saturação, zona morta, ou comportamentos quadráticos), mesmo que sejam tratados como lineares em regime limitado.

Linearização em torno de um ponto de equilíbrio:

• Na prática, os sistemas operam muitas vezes próximos de um ponto de equilíbrio (estado estacionário), o que permite aproximar o sistema por um modelo linear válido nesse intervalo.

• A técnica baseia-se no desenvolvimento em série de Taylor da função não linear em torno de um ponto de equilíbrio $(x_0, y_0)$, desprezando os termos de ordem superior:

  $$y = f(x) \approx f(x_0) + \left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0} (x - x_0)$$

• Para sistemas com múltiplas variáveis de entrada (e.g. $x_1, x_2$), a aproximação linear torna-se:

  $$y - y_0 \approx \frac{\partial f}{\partial x_1} (x_1 - x_{10}) + \frac{\partial f}{\partial x_2} (x_2 - x_{20})$$

Aplicações:

• Esta abordagem permite aplicar as ferramentas de controlo linear a sistemas originalmente não lineares, desde que as variações em torno do ponto de equilíbrio sejam pequenas.

• Inclui-se um exemplo de linearização da equação $z = x y$, mostrando o cálculo do erro ao substituir o modelo exato pelo linearizado.

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Secção 2.8 – Modelos de Sistemas Dinâmicos com MATLAB 

Esta secção mostra como usar o MATLAB para criar e manipular modelos de sistemas dinâmicos representados por funções de transferência e representações em espaço de estados.

Funções principais apresentadas:

1. Criação de uma função de transferência:

   sys = tf(num, den)
   

2. Criação de um sistema em espaço de estados:

   sys = ss(A, B, C, D)
   

3. Conversão de uma função de transferência para espaço de estados:

   [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)
   

4. Conversão inversa – espaço de estados para função de transferência:

   [num, den] = ss2tf(A, B, C, D)
   

5. Impressão da função de transferência:

   printsys(num, den)
   

Exemplos práticos:

Incluem-se exemplos detalhados onde são aplicadas estas funções:

• Representações de sistemas com múltiplos blocos (em cascata, paralelo ou com realimentação).

• Verificação de equivalência entre modelos diferentes (transferência vs. espaço de estados).

• Uso de comandos series, parallel e feedback para combinar blocos.

Esta secção prepara o leitor para análises mais avançadas com auxílio computacional.

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Secção 2.9 – Observações Finais sobre a Modelação de Sistemas 

Esta secção encerra o capítulo com reflexões importantes sobre a prática de modelação.

Pontos principais:

• Modelos matemáticos são aproximações: Um modelo é sempre uma representação simplificada da realidade. O nível de detalhe a incluir depende do objetivo da análise.

• Validade limitada: Um modelo que é válido para uma condição de operação pode não ser adequado noutras. Isso reforça a importância de:

  • Validar o modelo com dados experimentais.

  • Reconhecer a existência de propriedades negligenciadas (não linearidades, parâmetros distribuídos, atrito, etc.).

• Escolha da representação: Dependendo do tipo de análise (resposta no tempo, frequência, controlo ótimo), pode ser mais conveniente usar:

  • Funções de transferência para sistemas SISO lineares.

  • Espaço de estados para sistemas MIMO ou para controlo moderno.

• Linearização como ferramenta: Permite usar métodos lineares em sistemas originalmente não lineares, desde que haja limitação no intervalo de operação.

O autor reforça que a compreensão dos princípios de modelação e das suas limitações é essencial para a análise e o projeto eficaz de sistemas de controlo.

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