Resumo extraído do Capítulo 3 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 3 - Cálculo Vectorial

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3.1 Introdução

Esta secção introduz o conceito de cálculo vetorial, isto é, a diferenciação e a integração de vetores.
Nos capítulos anteriores, o autor abordou operações básicas com vetores (adição, subtração, multiplicação) e a sua aplicação em diferentes sistemas de coordenadas. Agora, o objetivo é desenvolver as ferramentas matemáticas que servirão de base para expressar conceitos fundamentais em eletromagnetismo e noutras áreas da matemática.
O autor alerta que, à primeira vista, alguns estudantes podem não perceber a utilidade prática destes conceitos, mas recomenda que se concentrem primeiro na aprendizagem das técnicas, pois as aplicações surgirão em capítulos seguintes.

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3.2 Comprimento, Área e Volume Diferenciais

Esta secção apresenta os elementos diferenciais (de comprimento, área e volume) em três sistemas de coordenadas fundamentais: cartesiano, cilíndrico e esférico.

• No sistema cartesiano:

  • O deslocamento diferencial é $dl = dx\,a_x + dy\,a_y + dz\,a_z$.

  • As áreas diferenciais (normais às superfícies) são combinações de dois diferenciais, como $dS = dy\,dz\,a_x$, etc.

  • O volume diferencial é $dv = dx\,dy\,dz$.

• No sistema cilíndrico:

  • O deslocamento diferencial é $dl = dr\,a_r + r\,d\phi\,a_\phi + dz\,a_z$.

  • As áreas diferenciais incluem termos como $dS = r\,d\phi\,dz\,a_r$.

  • O volume diferencial é $dv = r\,dr\,d\phi\,dz$.

• No sistema esférico:

  • O deslocamento diferencial é $dl = dr\,a_r + r\,d\theta\,a_\theta + r\sin\theta\,d\phi\,a_\phi$.

  • As áreas diferenciais incluem expressões como $dS = r^2 \sin\theta\,d\theta\,d\phi\,a_r$.

  • O volume diferencial é $dv = r^2 \sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$.

O autor enfatiza que basta memorizar o deslocamento diferencial $dl$, porque a partir dele se obtêm facilmente os elementos de área e de volume. A secção inclui exemplos práticos de cálculo de comprimentos, áreas e volumes utilizando estes diferenciais.

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3.3 Integrais de Linha, de Superfície e de Volume

Aqui o autor estende o conceito de integral para situações em que o integrando é um vetor.

• Integral de linha:
  Define-se como $\int_L \mathbf{A}\cdot dl$, ou seja, a soma do componente tangencial de um campo vetorial ao longo de um percurso. Um exemplo físico é o trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula ao longo de uma trajetória. Se o caminho for fechado, fala-se em circulação do campo.

• Integral de superfície (fluxo):
  Representa a quantidade de campo que atravessa uma superfície. É dado por $\int_S \mathbf{A}\cdot dS$, sendo $dS$ um vetor normal à superfície. Para superfícies fechadas, calcula-se o fluxo líquido que sai de um volume.

• Integral de volume:
  Para uma grandeza escalar distribuída num volume, o integral é $\int_V \rho_v dv$, representando, por exemplo, a massa total se $\rho_v$ fosse densidade de massa.

Cada integral tem interpretação física diferente consoante o tipo de grandeza considerada (força, fluxo, densidade, etc.).

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3.4 Operador Delta

• O operador delta (∇), também chamado operador diferencial vetorial ou operador gradiente, é uma ferramenta central do cálculo vetorial.

• Em coordenadas cartesianas, é definido como:

$$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \,a_x + \frac{\partial}{\partial y} \,a_y + \frac{\partial}{\partial z} \,a_z$$

• Apesar de ter a forma de um vetor, ∇ não é um vetor em si, mas um operador que, aplicado a diferentes funções, gera novos campos:

  1. Gradiente de um escalar $V$: $\nabla V$ → resulta num vetor.

  2. Divergência de um vetor $A$: $\nabla \cdot A$ → resulta num escalar.

  3. Rotacional de um vetor $A$: $\nabla \times A$ → resulta num vetor.

  4. Laplaciano de um escalar $V$: $\nabla^2 V$ → resulta num escalar.

• O operador ∇ também pode ser expresso em coordenadas cilíndricas e esféricas, com expressões específicas que dependem das transformações entre sistemas de coordenadas.

• É uma ferramenta unificada que simplifica o tratamento matemático de campos em eletromagnetismo.

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3.5 Gradiente de um Escalar

• O gradiente de um campo escalar $V(x,y,z)$ é um vetor que aponta na direção de maior variação de $V$ e cujo módulo indica a taxa máxima de variação por unidade de comprimento.

• A definição matemática é:

$$\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x}\,a_x + \frac{\partial V}{\partial y}\,a_y + \frac{\partial V}{\partial z}\,a_z$$

• Propriedades importantes:

  1. O módulo de $\nabla V$ indica a taxa máxima de variação de $V$.

  2. A direção de $\nabla V$ é a da variação mais rápida.

  3. $\nabla V$ é sempre perpendicular às superfícies de nível constante de $V$.

  4. A derivada de $V$ ao longo de uma direção $\mathbf{a}$ é dada por $\nabla V \cdot \mathbf{a}$.

  5. Se um campo vetorial $A$ for derivado de um escalar por $A = \nabla V$, então $V$ é chamado de potencial escalar de $A$.

• O gradiente pode ser expresso também em coordenadas cilíndricas e esféricas, com fórmulas adaptadas.

• Exemplos práticos mostram como calcular o gradiente em diferentes sistemas e como aplicá-lo para obter direções de variação máxima de grandezas físicas (como temperatura, potencial elétrico, etc.).

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3.6 Divergência de um Vetor e Teorema da Divergência

• A divergência mede o grau em que um campo vetorial “sai” de um ponto (como uma fonte) ou “entra” num ponto (como um sumidouro).

• Definição matemática:

$$\nabla \cdot A = \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\oint_S A \cdot dS}{\Delta v}$$

• Em coordenadas cartesianas:

$$\nabla \cdot A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$

• Interpretação física:

  • Divergência positiva → o campo espalha-se (fonte).

  • Divergência negativa → o campo converge (sumidouro).

  • Divergência nula → fluxo equilibrado (sem fonte nem sumidouro).

• Em coordenadas cilíndricas e esféricas, a divergência assume formas adaptadas ao sistema.

• Teorema da Divergência (ou de Gauss-Ostrogradsky):

$$\oint_S A \cdot dS = \int_V (\nabla \cdot A)\,dv$$

• Ou seja, o fluxo total que atravessa a superfície fechada $S$ é igual ao integral da divergência de $A$ no volume $V$ por ela delimitado.

• Este teorema é de enorme importância prática, porque muitas vezes é mais simples calcular o integral de volume do que o integral de superfície.

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3.7 Rotacional de um Vetor e Teorema de Stokes

• O rotacional de um campo vetorial $\mathbf{A}$ mede a tendência de rotação ou de circulação desse campo em torno de um ponto.

• Definição matemática:

$$\text{rot}\,\mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A}$$

• Interpretação física:

  • O módulo do rotacional dá a circulação máxima por unidade de área de $\mathbf{A}$.

  • A direção do rotacional é normal à área considerada e é determinada pela regra da mão direita.

  • Assim, o rotacional indica como e em que direção um campo “gira” em torno de um ponto.

• Em coordenadas cartesianas:

$$\nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$

• Em coordenadas cilíndricas e esféricas, as expressões são mais complexas, mas obtidas a partir de transformações vetoriais.

• Propriedades principais do rotacional:

  1. O rotacional de um vetor é sempre um vetor.

  2. $\nabla \times (A + B) = \nabla \times A + \nabla \times B$.

  3. $\nabla \times (VA) = V (\nabla \times A) + (\nabla V) \times A$.

  4. O divergente do rotacional é sempre nulo: $\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0$.

  5. O rotacional do gradiente de um escalar também é sempre nulo: $\nabla \times (\nabla V) = 0$.

• Teorema de Stokes:

$$\oint_L \mathbf{A} \cdot dl = \iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot dS$$

• Relaciona a circulação de um campo ao longo de uma curva fechada $L$ com o integral de superfície do rotacional sobre a superfície $S$ delimitada por $L$.

• Tal como o teorema da divergência, este é um resultado fundamental, pois muitas vezes é mais fácil calcular o integral de superfície do que o de linha (ou vice-versa).

• Aplicações práticas: muito usado em eletromagnetismo (ex.: equações de Maxwell), dinâmica de fluidos e teoria de campos em geral.

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3.8 Laplaciano de um Escalar

• O Laplaciano é um operador escalar definido como a divergência do gradiente de um escalar:

$$\nabla^2 V = \nabla \cdot (\nabla V)$$

• Em coordenadas cartesianas:

$$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$

• Em coordenadas cilíndricas:

$$\nabla^2 V = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$

• Em coordenadas esféricas:

$$\nabla^2 V = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2}$$

• Propriedades e aplicações:

  • O Laplaciano de um escalar é sempre outro escalar.

  • Um campo escalar $V$ é dito harmónico se satisfaz $\nabla^2 V = 0$. Esta equação é conhecida como Equação de Laplace e aparece frequentemente em eletrostática, condução de calor e dinâmica de fluidos.

  • Soluções da equação de Laplace são geralmente combinações de funções seno e cosseno (ou harmónicas).

• Laplaciano de um vetor:

  • Também se pode definir $\nabla^2 A$, mas neste caso:

$$\nabla^2 A = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla \times (\nabla \times A)$$

• Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de um vetor é simplesmente o Laplaciano de cada componente aplicado separadamente:

$$\nabla^2 A = (\nabla^2 A_x)\,a_x + (\nabla^2 A_y)\,a_y + (\nabla^2 A_z)\,a_z$$

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Resumo

1. O cálculo vetorial lida com diferenciação e integração de vetores.

2. O comprimento diferencial em coordenadas cartesianas é $dl = dx\,a_x + dy\,a_y + dz\,a_z$. Em coordenadas cilíndricas é $dl = dr\,a_r + r\,d\phi\,a_\phi + dz\,a_z$. Em coordenadas esféricas é $dl = dr\,a_r + r\,d\theta\,a_\theta + r\sin\theta\,d\phi\,a_\phi$.

3. A área diferencial em coordenadas cartesianas pode ser expressa como: $dS = dy\,dz\,a_x$, $dS = dx\,dz\,a_y$, ou $dS = dx\,dy\,a_z$. Em coordenadas cilíndricas: $dS = r\,d\phi\,dz\,a_r$, $dS = dr\,dz\,a_\phi$, ou $dS = r\,dr\,d\phi\,a_z$. Em coordenadas esféricas: $dS = r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,a_r$, $dS = r\sin\theta\,dr\,d\phi\,a_\theta$, ou $dS = r\,dr\,d\theta\,a_\phi$.

4. O volume diferencial em coordenadas cartesianas é $dv = dx\,dy\,dz$. Em coordenadas cilíndricas é $dv = r\,dr\,d\phi\,dz$. Em coordenadas esféricas é $dv = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$.

5. O integral de linha de um vetor ao longo de um caminho $L$ é definido como:

   $$\int_L \mathbf{A}\cdot dl$$

6. O integral de superfície (ou fluxo) de um vetor através de uma superfície $S$ é definido como:

   $$\int_S \mathbf{A}\cdot dS$$

7. O integral de volume de um escalar é definido como:

   $$\int_V \rho_v\,dv$$

8. O operador diferencial vetorial (delta) é definido como:

   $$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\,a_x + \frac{\partial}{\partial y}\,a_y + \frac{\partial}{\partial z}\,a_z$$

9. O gradiente de um escalar $V$ é dado por:

   $$\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x}\,a_x + \frac{\partial V}{\partial y}\,a_y + \frac{\partial V}{\partial z}\,a_z$$

   O gradiente é perpendicular à superfície de nível de $V$.

10. A divergência de um vetor $A$ é dada por:

$$\nabla \cdot A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$

O Teorema da Divergência afirma que:

$$\oint_S A \cdot dS = \int_V (\nabla \cdot A)\,dv$$

11. O rotacional de um vetor $A$ é dado por:

$$\nabla \times A = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$

O Teorema de Stokes afirma que:

$$\oint_L A \cdot dl = \int_S (\nabla \times A)\cdot dS$$

12. O Laplaciano de um escalar $V$ é dado por:

$$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$

13. O Laplaciano de um vetor $A$ é definido como:

$$\nabla^2 A = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla \times (\nabla \times A)$$

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