2.1 Introdução
Esta secção inicia a discussão sobre a modelação de sistemas físicos. São apresentados dois métodos principais de modelação: (1) funções de transferência no domínio da frequência e (2) equações de estado no domínio do tempo. O foco deste capítulo é a primeira abordagem, que permite separar de forma clara a entrada, o sistema (modelo) e a saída. A importância de aplicar as leis físicas fundamentais (como a lei de Ohm, as leis de Kirchhoff e as leis de Newton) para obter as equações diferenciais que regem o comportamento dos sistemas.
2.2 Revisão da Transformada de Laplace
Nesta secção revê-se a transformada de Laplace, ferramenta essencial para converter equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a análise e a resolução dos sistemas.
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Definição e Propriedades: É apresentada a definição da transformada de Laplace e a importância do parâmetro complexo "S". Discutem-se as condições de existência (convergência) e a utilidade das condições iniciais, mesmo quando estas são descontínuas.
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Transformada Inversa: Explica-se como recuperar a função original através da transformada inversa e como a utilização de tabelas simplifica o processo, evitando integrações complexas.
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Teoremas e Expansões: São listados vários teoremas fundamentais (linearidade, deslocamento no tempo e na frequência, diferenciação, integração) que facilitam a manipulação das transformadas. A técnica de expansão em frações parciais é introduzida para decompor funções complexas em termos mais simples, facilitando assim a aplicação da transformada inversa.
2.3 A Função de Transferência
Esta secção mostra como se pode obter uma representação do sistema que separa claramente a entrada, o sistema e a saída.
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Derivação a partir de Equações Diferenciais: Começa com uma equação diferencial linear e invariante no tempo, transformando-a utilizando a transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) para obter uma relação algébrica entre saída, C(s) e entrada, R(s).
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Definição e Representação: A função de transferência G(s) é definida como a razão entre a saída e a entrada (C(s)/R(s)). É enfatizado que o denominador desta função corresponde ao polinómio característico do sistema, e a representação em diagramas de blocos facilita a compreensão das interconexões dos subsistemas.
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Exemplos Práticos: São apresentados exemplos que ilustram a extração da função de transferência a partir de equações diferenciais simples, demonstrando como se pode obter a resposta do sistema a um determinado estímulo.
2.4 Funções de Transferência em Circuitos Eléctricos
Nesta secção, o foco desloca-se para a modelação de circuitos elétricos, abrangendo tanto circuitos passivos (compostos por resistências, condensadores e bobines) como circuitos ativos com amplificadores operacionais.
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Modelação de Circuitos Passivos:
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Relações Fundamentais: São resumidas as relações entre tensão, corrente e carga (ex.: a lei de Ohm e as relações de impedância e admitância para condensadores e bobines).
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Análise por Malhas e Nós: São descritos métodos para obter a função de transferência, utilizando a análise por malhas (aplicação da lei das tensões de Kirchhoff) e a análise nodal (aplicação da lei das correntes de Kirchhoff).
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Exemplos de Circuitos: São mostrados exemplos em que se determina a função de transferência de circuitos RLC simples, utilizando técnicas como a divisão de tensão e o redesenho dos circuitos no domínio de Laplace, onde os componentes são substituídos pelas suas impedâncias.
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Circuitos com Amplificadores Operacionais:
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Configurações Inversora e Não Inversora: Explica-se o funcionamento básico dos amplificadores operacionais, destacando as suas características ideais (alta impedância de entrada, baixa impedância de saída e ganho elevado).
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Implementação de Funções de Transferência: São apresentadas as configurações de circuitos inversores e não inversores, onde a função de transferência é determinada através de relações entre as impedâncias conectadas ao amplificador.
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Aplicações Práticas: Um dos exemplos discutidos é o circuito PID (Proporcional-Integral-Derivativo), que utiliza um amplificador operacional para melhorar o desempenho do sistema de controlo.
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