Resumo extraído do Capítulo 2 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 2 - Sistemas de Coordenadas e transformações

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2.1 Introdução

Nesta secção, o autor explica que as grandezas físicas em eletromagnetismo  dependem do espaço e do tempo. Para descrever as variações espaciais dessas grandezas, é necessário identificar pontos no espaço de forma única através de um sistema de coordenadas.
Existem sistemas de coordenadas ortogonais (em que as superfícies coordenadas são perpendiculares entre si) e não ortogonais (pouco usados, devido à complexidade).

Exemplos de sistemas ortogonais: cartesiano (ou retangular), cilíndrico circular, esférico, elíptico cilíndrico, parabólico cilíndrico, cónico, prolato esferoidal, oblato esferoidal e elipsoidal.
Um problema difícil num sistema pode tornar-se simples noutro, o que justifica a escolha adequada do sistema de coordenadas.

Neste capítulo, o autor foca-se apenas nos três mais usados:

• Cartesiano (x, y, z)

• Cilíndrico circular (r, φ, z)

• Esférico (r, θ, φ)

Os conceitos apresentados no sistema cartesiano no capítulo anterior também se aplicam aos outros sistemas. Por exemplo, o cálculo de produtos vetoriais é feito de forma análoga em qualquer sistema. Finalmente, o autor refere que muitas vezes é necessário transformar pontos e vetores de um sistema para outro, e que serão mostradas as técnicas para isso.

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2.2 Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

Um ponto $P$ pode ser representado por $(x, y, z)$, onde cada variável varia no intervalo $(-\infty, +\infty)$.

Um vetor $\mathbf{A}$ é escrito como:

$$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z) = A_x \mathbf{a}_x + A_y \mathbf{a}_y + A_z \mathbf{a}_z$$

onde $\mathbf{a}_x, \mathbf{a}_y, \mathbf{a}_z$ são vetores unitários ao longo dos eixos.
O sistema pode ser destro (mais comum) ou canhoto. No sistema destro, a regra da mão direita define a orientação entre os eixos.

Este sistema é adequado para problemas em que não existe simetria circular ou esférica. Serve como base para a generalização a outros sistemas de coordenadas.

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2.3 Coordenadas Cilíndricas Circulares (r, φ, z)

Este sistema é muito útil quando há simetria cilíndrica, por exemplo em cabos coaxiais.
Um ponto $P$ é representado por $(r, φ, z)$, onde:

• $r$: distância radial ao eixo z,

• $φ$: ângulo azimutal medido a partir do eixo x no plano xy,

• $z$: mesma coordenada que no sistema cartesiano.

Intervalos típicos:

$$0 \leq r < \infty, \quad 0 \leq φ < 2\pi, \quad -\infty < z < \infty$$

Um vetor $\mathbf{A}$ escreve-se como:

$$\mathbf{A} = (A_r, A_φ, A_z) = A_r \mathbf{a}_r + A_φ \mathbf{a}_φ + A_z \mathbf{a}_z$$

onde $\mathbf{a}_r, \mathbf{a}_φ, \mathbf{a}_z$ são vetores unitários mutuamente perpendiculares.
A magnitude do vetor é:

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_r^2 + A_φ^2 + A_z^2}$$

As relações de ortogonalidade e produtos vetoriais seguem a convenção de um sistema destro:

$$\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_φ = \mathbf{a}_z, \quad \mathbf{a}_φ \times \mathbf{a}_z = \mathbf{a}_r, \quad \mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_r = \mathbf{a}_φ$$

Transformações entre cartesiano e cilíndrico

• De cartesiano para cilíndrico:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad φ = \tan^{-1}(y/x), \quad z = z$$

• De cilíndrico para cartesiano:

$$x = r\cos φ, \quad y = r\sin φ, \quad z = z$$

Transformações de vetores

As componentes em cada sistema também podem ser relacionadas através de matrizes de transformação, permitindo converter vetores entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.

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2.4 Coordenadas Esféricas (r, θ, φ)

O sistema de coordenadas esféricas é indicado para problemas com simetria esférica, como campos radiados por antenas ou cargas puntuais.
Um ponto $P$ é representado por $(r, θ, φ)$, onde:

• $r$: distância radial do ponto à origem,

• $θ$ (colatitude): ângulo entre o eixo $z$ e o vetor posição,

• $φ$: ângulo azimutal, medido a partir do eixo $x$ no plano $xy$ (o mesmo que em coordenadas cilíndricas).

Intervalos típicos:

$$0 \leq r < \infty, \quad 0 \leq θ \leq \pi, \quad 0 \leq φ < 2\pi$$

Um vetor $\mathbf{A}$ é expresso como:

$$\mathbf{A} = (A_r, A_θ, A_φ) = A_r \mathbf{a}_r + A_θ \mathbf{a}_θ + A_φ \mathbf{a}_φ$$

• $\mathbf{a}_r$: aponta na direção radial (aumentando $r$),

• $\mathbf{a}_θ$: aponta na direção do aumento de $θ$,

• $\mathbf{a}_φ$: aponta na direção do aumento de $φ$.

Estes vetores são ortogonais e obedecem às regras de um sistema destro:

$$\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_θ = \mathbf{a}_φ, \quad \mathbf{a}_θ \times \mathbf{a}_φ = \mathbf{a}_r, \quad \mathbf{a}_φ \times \mathbf{a}_r = \mathbf{a}_θ$$

A magnitude de $\mathbf{A}$ é:

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_r^2 + A_θ^2 + A_φ^2}$$

Transformações entre cartesiano e esférico

• De cartesiano para esférico:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad θ = \tan^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}\right), \quad φ = \tan^{-1}(y/x)$$

• De esférico para cartesiano:

$$x = r \sin θ \cos φ, \quad y = r \sin θ \sin φ, \quad z = r \cos θ$$

Transformação de vetores

As componentes cartesianas $(A_x, A_y, A_z)$ podem ser relacionadas com $(A_r, A_θ, A_φ)$ através de matrizes de transformação. O processo pode ser feito de forma direta ou usando o produto escalar entre vetores unitários.

O autor destaca que a transformação de pontos e vetores não altera o objeto físico em si, apenas a forma como é representado. Por exemplo, o módulo de um vetor permanece constante em qualquer sistema de coordenadas.

Finalmente, a distância entre dois pontos é apresentada em forma geral para cada sistema (cartesiano, cilíndrico e esférico), mostrando como calcular $d = | \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 |$.

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2.5 Superfícies de Coordenada Constante

As superfícies de coordenada constante ajudam a visualizar a geometria de cada sistema:

• No sistema cartesiano:

  • $x = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $yz$,

  • $y = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xz$,

  • $z = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xy$.
    A interseção de duas superfícies é uma linha, e de três superfícies é um ponto.

• No sistema cilíndrico:

  • $r = \text{constante}$ → cilindro circular,

  • $φ = \text{constante}$ → semiplano que contém o eixo $z$,

  • $z = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xy$.
    A interseção de duas destas superfícies pode ser uma linha reta ou um círculo, e a de três define um ponto.

• No sistema esférico:

  • $r = \text{constante}$ → esfera,

  • $θ = \text{constante}$ → cone com vértice na origem e eixo coincidente com $z$,

  • $φ = \text{constante}$ → semiplano a partir do eixo $z$.
    A interseção de duas superfícies dá curvas (ex.: círculos ou semicírculos), e a de três dá um ponto.

É também referido que o vetor normal a uma superfície de coordenada constante é dado por $\pm \mathbf{a}_n$, onde $n$ é a variável mantida constante.

O capítulo inclui exemplos resolvidos e exercícios práticos que mostram como calcular componentes tangenciais, normais ou ângulos de vetores relativamente a superfícies e linhas definidas nestes sistemas.

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Resumo

1. Os três sistemas de coordenadas mais usados em eletromagnetismo são o cartesiano, o cilíndrico e o esférico.

2. Um ponto $P$ é representado como:

   • $(x, y, z)$ em cartesiano,

   • $(r, φ, z)$ em cilíndrico,

   • $(r, θ, φ)$ em esférico.
     Um vetor $\mathbf{A}$ é expresso com as componentes correspondentes e respetivos vetores unitários de cada sistema.
     Para operações matemáticas (adição, produto escalar, produto vetorial, etc.), deve-se usar o mesmo sistema de coordenadas, recorrendo a transformações de pontos e vetores sempre que necessário.

3. Fixar uma coordenada define uma superfície; fixar duas define uma linha; fixar três define um ponto.

4. O vetor normal a uma superfície $n = \text{constante}$ é $\pm \mathbf{a}_n$.

O capítulo termina com uma tabela (2.1) que resume as transformações de variáveis e de componentes de vetores entre os três sistemas (cartesiano, cilíndrico e esférico).

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Finalmente na Universidade!

Os melhores alunos e o Ensino Superior

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🎓 Os melhores alunos são, muitas vezes, os que mais sofrem no início do ensino superior.

Pode parecer estranho, até contraditório. Mas é verdade.
Aqueles que sempre tiveram as melhores notas, que nunca precisaram de ajuda no ensino básico e secundário, são frequentemente os que sentem maior dificuldade na universidade.

E porquê?
Porque o ensino superior é um mundo diferente:

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O resultado?
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Leibniz e a matemática

Leibniz e as derivadas

Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig em 1646 e estudou direito, teologia, filosofia e matemática na universidade local, tendo-se licenciado aos 17 anos. Depois de obter o doutoramento em direito, aos 20 anos, Leibniz ingressou no serviço diplomático e passou grande parte da sua vida a viajar pelas capitais da Europa em missões políticas. Em particular, trabalhou para evitar uma ameaça militar francesa contra a Alemanha e tentou reconciliar as igrejas Católica e Protestante.

O seu estudo sério da matemática só começou em 1672, enquanto estava em Paris numa missão diplomática. Aí construiu uma máquina de calcular e conheceu cientistas, como Huygens, que orientou a sua atenção para os desenvolvimentos mais recentes em matemática e ciência. Leibniz procurou desenvolver uma lógica simbólica e um sistema de notação que simplificasse o raciocínio lógico. Em particular, a versão do cálculo que publicou em 1684 estabeleceu a notação e as regras para encontrar derivadas que ainda hoje utilizamos.

Infelizmente, surgiu na década de 1690 uma terrível disputa de prioridade entre os seguidores de Newton e os de Leibniz sobre quem tinha inventado o cálculo primeiro. Leibniz foi até acusado de plágio por membros da Royal Society em Inglaterra. A verdade é que ambos inventaram o cálculo de forma independente. Newton chegou à sua versão do cálculo primeiro, mas, por receio de controvérsias, não a publicou imediatamente. Assim, a versão de Leibniz de 1684 foi a primeira a ser publicada.

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 1 - Álgebra vectorial

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1.1 Introdução

O eletromagnetismo é definido como o estudo das interações entre cargas elétricas, quer em repouso, quer em movimento. A disciplina envolve a análise, síntese, interpretação física e aplicação dos campos elétricos e magnéticos, constituindo um ramo essencial da física e da engenharia eletrotécnica.

Os princípios do eletromagnetismo têm aplicações em múltiplas áreas, como micro-ondas, antenas, comunicações por satélite, bioeletromagnetismo, plasmas, investigação nuclear, fibras óticas, compatibilidade eletromagnética, máquinas elétricas, conversão eletromecânica de energia, meteorologia por radar e deteção remota.

Exemplos práticos incluem:

• Uso de micro-ondas ou ondas curtas na medicina para estimular tecidos e tratar certas condições;

• Aquecimento indutivo para processos de fusão, forjamento ou soldadura;

• Aquecimento dielétrico para unir plásticos;

• Aplicações agrícolas, como a alteração do sabor de vegetais.

Os dispositivos eletromagnéticos mais comuns incluem transformadores, relés, motores, linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O seu projeto requer conhecimento profundo das leis e princípios do eletromagnetismo.

O autor recorda que o comportamento eletromagnético pode ser descrito de forma compacta pelas Equações de Maxwell, que relacionam as grandezas vetoriais fundamentais: campo elétrico (E), campo magnético (H), densidade de fluxo elétrico (D), densidade de fluxo magnético (B), densidade de carga (ρv) e densidade de corrente (J).

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1.2 Uma Antevisão do Livro

O livro está organizado em quatro partes principais:

1. Parte 1 – Introduz as ferramentas matemáticas necessárias, em particular a álgebra vetorial, já que as equações do eletromagnetismo envolvem grandezas vetoriais.

2. Parte 2 – Apresenta a dedução das equações de Maxwell em condições invariantes no tempo, bem como o significado físico das grandezas E, D, H, B, J e ρv.

3. Parte 3 – Explora aplicações dessas equações em situações práticas.

4. Parte 4 – Reexamina as equações no caso dependente do tempo e aplica-as a dispositivos como linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas e radares.

O objetivo é conduzir o leitor de uma base matemática sólida até às aplicações práticas modernas da teoria eletromagnética.

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1.3 Escalares e Vetores

Esta secção introduz a análise vetorial como ferramenta matemática indispensável para descrever conceitos eletromagnéticos. Antes de a aplicar, é necessário compreender as suas regras e técnicas.

• Escalares: grandezas totalmente descritas pela sua magnitude. Exemplos: tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico, população.

• Vetores: grandezas descritas por magnitude e direção no espaço. Exemplos: velocidade, força, aceleração, deslocamento, intensidade de campo elétrico.

• Tensores: constituem uma classe mais geral de grandezas, da qual escalares e vetores são casos particulares (embora o livro se foque principalmente nestes últimos).

A notação distingue vetores de escalares:

• Vetores: representados por letras com uma seta por cima (A→) ou a negrito (A).

• Escalares: representados por letras normais (A, B, U, V).

Introduz-se ainda o conceito de campo:

• Um campo é uma função que especifica um valor (escalar ou vetorial) em cada ponto de uma região do espaço (e possivelmente do tempo).

• Campos escalares: temperatura num edifício, intensidade sonora numa sala, potencial elétrico, índice de refração.

• Campos vetoriais: campo gravitacional, velocidade de gotas de chuva, campo elétrico.

A teoria do eletromagnetismo é essencialmente o estudo de campos elétricos e magnéticos que variam no espaço e no tempo.

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1.4 Vetor Unitário

Um vetor é caracterizado pela sua magnitude e direção.

• A magnitude de um vetor A é um escalar denotado por $|A|$ ou simplesmente A.

• Um vetor unitário é definido como um vetor de magnitude igual a 1, que aponta na mesma direção de A. É escrito como:

$$a_A = \frac{A}{|A|}$$

Assim, qualquer vetor pode ser expresso como:

$$A = A \, a_A$$

ou seja, magnitude multiplicada pelo vetor unitário que indica a sua direção.

Em coordenadas cartesianas, um vetor A pode ser representado de duas formas:

$$A = (A_x, A_y, A_z) \quad \text{ou} \quad A = A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z$$

onde $a_x, a_y, a_z$ são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respetivamente.

• Estes vetores unitários são dimensionais, de magnitude 1, e indicam a direção positiva de cada eixo.

• A magnitude de A é obtida pela fórmula pitagórica:

$$|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$

• O vetor unitário na direção de A é:

$$a_A = \frac{A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}}$$

Isto permite decompor qualquer vetor em componentes ao longo de cada eixo do sistema cartesiano.

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1.5 Adição e Subtração de Vetores

Dois vetores podem ser somados ou subtraídos:

• A soma de dois vetores $A + B = C$ resulta num vetor obtido somando as componentes correspondentes:

$$C = (A_x + B_x)a_x + (A_y + B_y)a_y + (A_z + B_z)a_z$$

• A diferença entre dois vetores é definida como:

$$D = A - B = (A_x - B_x)a_x + (A_y - B_y)a_y + (A_z - B_z)a_z$$

Graficamente, estas operações podem ser representadas por dois métodos:

1. Regra do paralelogramo – constrói-se um paralelogramo com lados correspondentes a A e B; a diagonal representa a soma.

2. Regra cabeça-cauda – coloca-se a cabeça de um vetor na cauda do outro; o vetor resultante vai da cauda do primeiro até à cabeça do segundo.

Propriedades da adição e subtração de vetores:

• Comutativa: $A + B = B + A$

• Associativa: $A + (B + C) = (A + B) + C$

• Distributiva: $k(A + B) = kA + kB$, onde $k$ é um escalar

Estas leis mostram que os vetores obedecem a regras algébricas semelhantes às dos números escalares.

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1.6 Vetores de Posição e de Distância

Um ponto P no espaço cartesiano é representado por coordenadas $(x, y, z)$.

• O vetor de posição de P, denotado por $r_P$, é o vetor que liga a origem $O$ a $P$:

$$r_P = x a_x + y a_y + z a_z$$

Este vetor indica a posição do ponto no espaço.

• O vetor de distância (ou de deslocamento) entre dois pontos $P(x_P, y_P, z_P)$ e $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ é dado por:

$$r_{PQ} = r_Q - r_P = (x_Q - x_P)a_x + (y_Q - y_P)a_y + (z_Q - z_P)a_z$$

A magnitude deste vetor corresponde à distância entre os dois pontos:

$$d = |r_{PQ}| = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}$$

Diferença entre ponto e vetor:

• Um ponto $P(x, y, z)$ não é um vetor por si só; o que é vetor é o vetor de posição que liga a origem a esse ponto.

• No entanto, um vetor pode depender da posição de um ponto (por exemplo, campos vetoriais).

Vetores constantes vs. variáveis:

• Um vetor é constante (uniforme) se não depende de $x, y, z$.

• É variável (não uniforme) se os seus valores mudam de ponto para ponto.

Exemplo:

• $B = 3a_x - 2a_y + 10a_z$ → vetor uniforme.

• $A = 2xy a_x + y^2 a_y - xz^2 a_z$ → vetor não uniforme.

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1.7 Multiplicação de Vetores

A multiplicação de vetores pode produzir dois tipos de resultados: um escalar ou um vetor, dependendo da operação. Existem quatro formas principais:

(A) Produto Escalar (ou Produto Interno)

O produto escalar de dois vetores $A$ e $B$ é definido como:

$$A \cdot B = |A||B| \cos\theta$$

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores. O resultado é um escalar.

• Em termos de componentes:

$$A \cdot B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$

• Propriedades:

  • Comutativo: $A \cdot B = B \cdot A$

  • Distributivo: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

  • $A \cdot A = |A|^2$

• Dois vetores são ortogonais se $A \cdot B = 0$.

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(B) Produto Vetorial (ou produto externo)

O produto vetorial de $A$ e $B$ é um vetor definido por:

$$A \times B = |A||B| \sin\theta \, a_n$$

onde $a_n$ é o vetor unitário perpendicular ao plano formado por $A$ e $B$, seguindo a regra da mão direita.

• Em termos de determinante:

$$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

• Propriedades:

  • Não comutativo: $A \times B = - (B \times A)$

  • Não associativo: $A \times (B \times C) \neq (A \times B) \times C$

  • Distributivo: $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

  • $A \times A = 0$

  • Segue a regra cíclica: $a_x \times a_y = a_z$, $a_y \times a_z = a_x$, $a_z \times a_x = a_y$.

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(C) Produto Triplo Escalar

Dado três vetores $A, B, C$, define-se:

$$A \cdot (B \times C)$$

O resultado é um escalar, que corresponde ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Em forma de determinante:

$$A \cdot (B \times C) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix}$$

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(D) Produto Triplo Vetorial

Definido como:

$$A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$$

Conhecido como a regra “bac-cab”. O resultado é um vetor.

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1.8 Componentes de um Vetor

O produto escalar pode ser usado para calcular a projeção (ou componente) de um vetor numa direção:

• Componente escalar de $A$ ao longo de $B$:

$$A_B = A \cdot a_B$$

onde $a_B$ é o vetor unitário na direção de $B$.

• Componente vetorial de $A$ ao longo de $B$:

$$A_B = (A \cdot a_B) a_B$$

Assim, qualquer vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais:

• uma paralela a $B$,

• outra perpendicular a $B$.

Observação importante: a divisão de vetores não é definida em geral, exceto quando $A = kB$. Diferenciação e integração de vetores serão estudadas mais tarde.

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Resumo

A secção final do capítulo sintetiza os conceitos apresentados:

1. Um campo é uma função que especifica uma quantidade em cada ponto do espaço. Pode ser escalar (ex.: $V(x,y,z)$) ou vetorial (ex.: $A(x,y,z)$).

2. Um vetor $A$ é especificado pela sua magnitude e pelo vetor unitário na sua direção ($A = |A| a_A$).

3. A multiplicação de dois vetores pode resultar em:

   • um escalar (produto escalar: $A \cdot B = |A||B|\cos\theta$),

   • ou um vetor (produto vetorial: $A \times B = |A||B|\sin\theta a_n$).
     A multiplicação de três vetores pode originar:

   • um escalar ($A \cdot (B \times C)$),

   • ou um vetor ($A \times (B \times C)$).

4. A projeção escalar de $A$ em $B$ é $A_B = A \cdot a_B$. A projeção vetorial é $A_B = (A \cdot a_B) a_B$.

5. O capítulo inclui ainda comandos MATLAB úteis:

   • dot(A,B) para produto escalar;

   • cross(A,B) para produto vetorial;

   • norm(A) para magnitude;

   • A/norm(A) para vetor unitário.

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Cauchy e Limites

Após a invenção do cálculo no século XVII, seguiu-se um período de livre desenvolvimento da disciplina no século XVIII. Matemáticos como os irmãos Bernoulli e Euler estavam ansiosos por explorar o poder do cálculo e ousadamente exploraram as consequências desta nova e maravilhosa teoria matemática sem se preocuparem muito com a correção completa das suas demonstrações.

O século XIX, pelo contrário, foi a Era do Rigor na matemática. Houve um movimento para voltar às bases da disciplina — para fornecer definições cuidadosas e provas rigorosas. Na linha da frente deste movimento estava o matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), que começou a sua carreira como engenheiro militar antes de se tornar professor de matemática em Paris. Cauchy pegou na ideia de limite de Newton, que tinha sido mantida viva no século XVIII pelo matemático francês Jean d’Alembert, e tornou-a mais precisa. A sua definição de limite lê-se da seguinte forma:

“Quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a diferir dele o mínimo que se desejar, este é chamado o limite de todos os outros.”

Mas quando Cauchy usava esta definição em exemplos e provas, recorria frequentemente a desigualdades delta-épsilon. Uma prova típica de Cauchy começa com: “Designem-se por δ e ε dois números muito pequenos; …” Ele usava ε devido à correspondência entre epsilon e a palavra francesa erreur (erro), e δ porque delta corresponde a diferença. 

Mais tarde, o matemático alemão Karl Weierstrass (1815–1897) estabeleceu a definição de limite exatamente como é apresentada atualmente nos livros de matemática.

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Resumo extraído do Capítulo 5 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 5 - Campo Elétrico em materiais

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Secção 5.1 – Introdução

Esta secção apresenta a ligação entre campos elétricos e magnéticos e a forma como estes interagem com diferentes materiais. Introduz-se a noção de densidade de corrente como a quantidade de carga em movimento por unidade de área e por unidade de tempo, sendo medida em A/m². Discute-se também o papel fundamental da lei de conservação da carga, expressa pela equação da continuidade, que relaciona a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga no tempo. A equação da continuidade é um resultado essencial que garante que a carga elétrica não se cria nem se destrói, apenas se transfere. Esta introdução estabelece a base para o estudo das correntes de condução e de convecção em diferentes meios.

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Secção 5.2 – Propriedades dos Materiais

Aqui são estudadas as características elétricas dos materiais e como estes respondem à aplicação de campos elétricos.

• Condutores: Materiais como os metais têm grande quantidade de eletrões livres, o que permite uma condução eficiente de corrente elétrica.

• Isoladores (dielétricos): Possuem pouquíssimos eletrões livres e, portanto, não conduzem corrente de forma significativa.

• Semicondutores: Têm propriedades intermédias e a sua condutividade pode ser controlada através de impurezas (dopagem) ou da temperatura.

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Secção 5.3 – Correntes de Convecção e Condução

Nesta parte distinguem-se dois tipos de correntes elétricas:

• Corrente de convecção: associada ao movimento de cargas livres em fluidos ou no espaço livre (por exemplo, eletrões num feixe catódico ou iões num plasma). A densidade de corrente de convecção é expressa como:

$$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}$$

onde $\rho_v$ é a densidade volumétrica de carga e $\mathbf{u}$ é a velocidade média das cargas.

• Corrente de condução: ocorre em condutores devido à aplicação de um campo elétrico, sendo descrita pela lei de Ohm:

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

Ambos os tipos de correntes obedecem à equação da continuidade, assegurando a conservação da carga. A secção mostra como estes modelos permitem descrever situações práticas em que a corrente elétrica circula através de diferentes meios, sejam gases ionizados, líquidos ou sólidos condutores.

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Secção 5.4 – Condutores

Nesta secção analisa-se o comportamento dos condutores quando submetidos a campos elétricos:

• Condutor isolado:

  • Quando um campo elétrico externo é aplicado a um condutor isolado, as cargas livres (elétrões) deslocam-se rapidamente.

  • Formam-se cargas induzidas na superfície, que criam um campo interno oposto ao externo.

  • O resultado é que o campo total no interior do condutor é nulo:

    $$\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0, \quad V_{ab} = 0$$

    Isto significa que um condutor perfeito é um equipotencial e não pode conter campo eletrostático no seu interior.

• Condutor ligado a uma fonte de tensão:

  • Se o condutor está ligado a uma fonte, o equilíbrio eletrostático não se estabelece, já que há movimento contínuo de cargas.

  • Para manter a corrente, é necessário um campo elétrico não nulo dentro do condutor.

  • A resistência de um condutor uniforme é obtida pela relação:

    $$R = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}$$

    onde $\ell$ é o comprimento, $S$ a área da secção transversal, $\sigma$ a condutividade e $\rho_c = 1/\sigma$ a resistividade.

  • Quando a secção não é uniforme, a resistência pode ser calculada com integrais envolvendo o campo elétrico e a densidade de corrente.

• Lei de Joule:

  • A potência dissipada num condutor é dada por:

    $$P = \int_V \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\, dv = \int_V \sigma E^2 \, dv$$

    ou, na forma mais usual,

    $$P = VI = I^2 R$$

    mostrando a conversão de energia elétrica em calor.

Esta análise mostra que a condução nos metais depende do movimento de eletrões sob ação de campos elétricos e das colisões com a rede cristalina.

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Secção 5.5 – Polarização em Dielétricos

Aqui é explorado como os dielétricos respondem a campos elétricos:

• Mecanismo de polarização:

  • Um átomo ou molécula é considerado como tendo cargas positivas (núcleo) e negativas (nuvem eletrónica).

  • Quando sujeito a um campo elétrico, há um deslocamento relativo entre estas cargas, formando um dipolo elétrico.

  • A soma dos dipolos por unidade de volume define a polarização:

    $$\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}$$

    em C/m².

• Tipos de dielétricos:

  • Não polares: só criam dipolos quando sujeitos a campo (ex.: gases nobres, oxigénio, azoto).

  • Polares: possuem dipolos permanentes que, sem campo, estão orientados aleatoriamente (ex.: água, HCl, poliestireno). O campo tende a alinhar esses dipolos.

• Cargas ligadas:

  • A polarização dá origem a uma densidade de carga de superfície ($\rho_{ps} = \mathbf{P}\cdot \mathbf{a}_n$) e a uma densidade de carga de volume ($\rho_{pv} = -\nabla \cdot \mathbf{P}$).

  • Estas não são cargas livres, mas resultam do deslocamento das cargas atómicas.

• Deslocamento elétrico:

  • A relação entre $\mathbf{D}$, $\mathbf{E}$ e $\mathbf{P}$ é:

    $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

  • Para muitos dielétricos, a polarização é proporcional ao campo elétrico:

    $$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$$

    onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica.

Assim, os dielétricos influenciam os campos elétricos através da polarização, aumentando o fluxo elétrico ($\mathbf{D}$) em relação ao que existiria no vácuo.

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Secção 5.6 – Constante Dielétrica e Força Dielétrica

Nesta secção analisam-se duas propriedades importantes dos dielétricos:

• Constante dielétrica (ou permissividade relativa $\varepsilon_r$):

  • Substituindo $\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$ em $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$, obtém-se:

    $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 (1+\chi_e)\mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E}$$

    com

    $$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$

  • A constante dielétrica é, portanto, a razão entre a permissividade do material e a do vácuo.

  • Valores típicos estão tabelados (vidro, mica, teflon, etc.), sendo sempre $\varepsilon_r \geq 1$.

• Força dielétrica:

  • Quando o campo elétrico é suficientemente elevado, os eletrões podem ser arrancados das moléculas do dielétrico.

  • O material deixa de ser isolante e torna-se condutor: ocorre a ruptura dielétrica.

  • O valor mínimo do campo que causa a ruptura é a força dielétrica, geralmente expressa em kV/mm.

  • Este limite depende do material, da temperatura, da humidade e da duração da aplicação do campo.

Em resumo, a constante dielétrica mede a capacidade de armazenamento de energia elétrica no material, enquanto a força dielétrica define o limite máximo de campo que o material pode suportar sem falhar.

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Secção 5.7 – Dielétricos Lineares, Isotrópicos e Homogéneos

Esta secção classifica os materiais dielétricos segundo três critérios fundamentais:

• Linearidade:
  Um dielétrico é linear quando a relação entre $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ é diretamente proporcional, isto é:

  $$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$$

  Se a permissividade $\varepsilon$ variar com o campo aplicado, o material é não linear.

• Homogeneidade:
  O material é homogéneo quando $\varepsilon$ é constante em todos os pontos do espaço (não depende das coordenadas espaciais).
  Se variar no espaço, o material é não homogéneo (exemplo: a atmosfera, cuja permissividade muda com a altitude).

• Isotropia:
  O material é isotrópico quando as propriedades são iguais em todas as direções, isto é, $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ são paralelos.
  Se não forem paralelos, o material é anisotrópico, e a relação entre $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ é expressa por uma matriz (tensor de permissividade). Cristais e plasmas magnetizados são exemplos de materiais anisotrópicos.

• Materiais simples:
  Na prática, a maioria dos problemas considera meios lineares, isotrópicos e homogéneos (LIH). Nesses casos, basta substituir $\varepsilon_0$ por $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ nas expressões obtidas para o vácuo.

Assim, fórmulas como a Lei de Coulomb e a energia armazenada num campo elétrico podem ser adaptadas diretamente para materiais dielétricos LIH.

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Secção 5.8 – Equação da Continuidade e Tempo de Relaxação

Esta secção trata da conservação da carga elétrica e do comportamento temporal da redistribuição de cargas em materiais:

• Equação da continuidade:
  A partir da lei de conservação da carga, deduz-se que:

  $$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$

  Esta equação indica que qualquer variação de carga num volume está associada ao fluxo de corrente que atravessa a sua superfície.
  Para correntes estacionárias ($\partial \rho_v / \partial t = 0$), resulta $\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$, o que é consistente com a Lei das Correntes de Kirchhoff.

• Tempo de relaxação ($T_r$):
  Considerando a lei de Ohm ($\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$) e a lei de Gauss ($\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho_v/\varepsilon$), obtém-se:

  $$\frac{\partial \rho_v}{\partial t} + \frac{\sigma}{\varepsilon} \rho_v = 0$$

  cuja solução é um decaimento exponencial:

  $$\rho_v(t) = \rho_{v0} e^{-t/T_r}$$

  com

  $$T_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

  chamado tempo de relaxação.

• Interpretação física:

  • Em bons condutores (ex.: cobre), $\sigma$ é muito elevado e $T_r$ é extremamente curto ($\sim 10^{-19}$ s). Isto significa que qualquer carga extra introduzida no interior migra para a superfície quase instantaneamente.

  • Em bons dielétricos (ex.: quartzo fundido), $\sigma$ é muito baixa, resultando num tempo de relaxação muito longo (dias). Assim, as cargas introduzidas permanecem no interior por longos períodos.

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Secção 5.9 – Condições de Contorno

Aqui são estabelecidas as condições que os campos elétricos devem satisfazer na fronteira entre dois meios diferentes.

• Decomposição dos campos:
  O campo elétrico é separado em duas componentes relativamente à superfície de separação:

  $$\mathbf{E} = \mathbf{E}_t + \mathbf{E}_n$$

  • $\mathbf{E}_t$: componente tangencial

  • $\mathbf{E}_n$: componente normal

• Entre dois dielétricos:
  Aplicando as equações de Maxwell:

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ é contínua:

    $$E_{1t} = E_{2t}$$

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ sofre descontinuidade proporcional à densidade de carga livre superficial $\rho_s$:

    $$D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$$

    Se não houver carga livre, $D_{1n} = D_{2n}$.

  • Estas relações levam à lei da refração elétrica, que descreve a inclinação das linhas de campo ao passar de um meio para outro:

    $$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$

• Entre condutor e dielétrico:

  • Dentro do condutor perfeito:

    $$\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0$$

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ na superfície é nula.

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ na superfície é igual à densidade de carga livre superficial:

    $$D_n = \rho_s$$

  • Aplicação prática: blindagem eletrostática (um condutor a zero potencial isola o seu interior de campos externos).

• Entre condutor e espaço livre:
  Caso particular da anterior, com $\varepsilon_r = 1$.
  Assim, o campo elétrico externo é normal à superfície e proporcional à densidade de carga superficial.

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Resumo

Neste capítulo estudaram-se as propriedades elétricas dos materiais e a forma como estes interagem com campos elétricos. Os principais pontos abordados foram:

• A densidade de corrente ($\mathbf{J}$) mede o fluxo de carga por unidade de área.

• A equação da continuidade garante a conservação da carga elétrica, relacionando a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga.

• Existem dois tipos principais de corrente:

  • Corrente de convecção, resultante do movimento de partículas carregadas em fluidos ou no espaço.

  • Corrente de condução, causada pelo movimento de eletrões livres em condutores sob ação de um campo elétrico, obedecendo à lei de Ohm ($\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$).

• Em condutores perfeitos, o campo elétrico interno é nulo e as cargas livres distribuem-se na superfície. A potência dissipada em condutores reais segue a lei de Joule ($P = I^2R$).

• Em dielétricos, o campo elétrico provoca polarização, que é o alinhamento de dipolos elétricos. A polarização pode ser expressa em função da susceptibilidade elétrica $\chi_e$.

• O vetor deslocamento elétrico ($\mathbf{D}$) relaciona-se com o campo elétrico e a polarização através de:

  $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

• A constante dielétrica relativa ($\varepsilon_r$) quantifica a capacidade de um material armazenar energia elétrica.

• A força dielétrica indica o valor máximo de campo que um dielétrico pode suportar sem sofrer ruptura.

• Os materiais podem ser classificados como lineares ou não lineares, homogéneos ou não homogéneos, e isotrópicos ou anisotrópicos.

• A redistribuição temporal de cargas obedece ao tempo de relaxação ($T_r = \varepsilon / \sigma$), que é muito curto em bons condutores e muito longo em dielétricos.

• Foram estabelecidas as condições de contorno para os campos elétricos em interfaces:

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ é contínua.

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ sofre descontinuidade proporcional à carga superficial livre.

  • No caso de condutores, o campo elétrico é sempre normal à superfície e proporcional à densidade de carga.

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Equações Importantes

1. Densidade de corrente:

$$\mathbf{J} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{I}{\Delta S}$$

onde $I$ é a corrente que atravessa a área $\Delta S$.

2. Equação da continuidade:

$$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$

garante a conservação da carga elétrica.

3. Corrente de convecção:

$$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}$$

onde $\rho_v$ é a densidade volumétrica de carga e $\mathbf{u}$ a velocidade das partículas carregadas.

4. Corrente de condução (Lei de Ohm local):

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

onde $\sigma$ é a condutividade do material.

5. Resistência de um condutor uniforme:

$$R = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}$$

onde $\ell$ é o comprimento, $S$ a área da secção transversal, $\sigma$ a condutividade e $\rho_c$ a resistividade.

6. Potência dissipada num condutor (Lei de Joule):

$$P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}$$

7. Polarização:

$$\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}$$

e, para materiais lineares,

$$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$$

onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica.

8. Deslocamento elétrico:

$$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

9. Relação em dielétricos lineares, isotrópicos e homogéneos:

$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, \quad \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$

10. Tempo de relaxação:

$$T_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

11. Condições de contorno nos campos elétricos:

• Componente tangencial de $\mathbf{E}$:

$$E_{1t} = E_{2t}$$

• Componente normal de $\mathbf{D}$:

$$D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$$

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