Resumo extraído do Capítulo 7 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 7 - Campos Magnétostáticos

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7.1 — Introdução

A secção apresenta o domínio da magnetostática: o estudo dos campos magnéticos gerados por correntes constantes (DC). Principais pontos:

• Origem dos campos: ao contrário da electrostática (campos gerados por cargas estacionárias), os campos magnéticos estáticos são produzidos por correntes estacionárias (cargas em movimento com velocidade constante) — por exemplo, correntes de condutores, correntes de magnetização em ímanes permanentes, e feixes de electrões.

• Quantidades fundamentais: introduz-se a comparação entre grandezas eléctricas e magnéticas (analogia $E \leftrightarrow H$, $D \leftrightarrow B$) e lembra-se a relação no vácuo

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H},$$

  com $\mu_0$ = permeabilidade do espaço livre.

• Motivação prática: explica-se porque é importante a magnetostática (motores, transformadores, sensores, armazenamento magnético, levitação magnética, etc.).

• Leis fundamentais que serão usadas: são enunciadas as duas leis principais da magnetostática — Lei de Biot–Savart (lei geral, análoga à lei de Coulomb) e Lei de Ampère (caso especial útil para distribuições com simetria).

• Observação conceptual: prepara o leitor para ver semelhanças e diferenças entre campos eléctricos e magnéticos (por exemplo, os fluxos magnéticos fecham-se sempre — não existem monopolos magnéticos isolados).

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7.2 — Lei de Biot–Savart

Apresenta a Lei de Biot–Savart, que dá o campo magnético diferencial devido a um elemento de corrente:

• Enunciado (forma vetorial para $\mathbf{H}$):

  $$d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{\hat{R}}}{4\pi R^{2}} \quad\text{ou}\quad d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{4\pi R^{3}},$$

  
  

• Interpretação física:

  • Direção de $d\mathbf{H}$ dada pelo produto vetorial: regra da mão direita.

  • Dependência com a distância: $1/R^2$ em termo diferencial; após integração aparece a dependência característica para cada geometria.

• Distribuições de corrente: a lei aplica-se a correntes lineares ($I\,d\mathbf l$), superfícies de corrente ($\mathbf{K}\,dS$) e volumes de corrente ($\mathbf{J}\,dV$):

  $$\mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\int_{\text{linha}}\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{R^{3}}, \quad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\iint_{\text{superf}} \frac{\mathbf{K}\times\mathbf{R}}{R^{3}}\,dS, \quad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\iiint_{\text{vol}} \frac{\mathbf{J}\times\mathbf{R}}{R^{3}}\,dV.$$

• Exemplos trabalhados (formas fechadas obtidas por integração):

  • Fio rectilíneo finito (distância radial $r$, ângulos $\alpha_1,\alpha_2$ subtendidos em relação ao ponto):

    $$\mathbf{H}=\frac{I}{4\pi r}(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2)\,\mathbf{a}_\varphi.$$

    Casos particulares:

    • fio semi-infinito: $H=\dfrac{I}{4\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi$.

    • fio infinito: $H=\dfrac{I}{2\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi$.

  • Espira circular: resultado para o eixo da espira; componente axial não nula, componente radial cancela por simetria.

  • Solenóide: integração das espiras leva à fórmula axial, e no centro de um solenóide longo obtém-se $H=nI$ (com $n$ espiras por unidade de comprimento).

• Observações práticas:

  • Biot–Savart é geral mas pode exigir integrais complicados; é útil quando não há simetria suficiente para Ampère.

  • A lei mostra explícito o papel do produto vetorial — a orientação do elemento de corrente influencia fortemente o campo resultante.

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7.3 — Lei de Ampère 

Esta secção introduz a Lei de Ampère e a sua forma diferencial, ligando-a às equações de Maxwell para campos estáticos.

• Forma integral (Lei de Ampère):

  $$\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},$$

  o integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada $C$ é igual à corrente total incluída pela superfície limite dessa curva.

• Forma diferencial (equação de Maxwell):
  Aplicando o Teorema de Stokes obtém-se

  $$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J},$$

  em magnetostática (correntes estacionárias). Esta é uma das equações de Maxwell para campos estáticos.

• Quando usar Ampère:

  • É extremamente útil quando existe simetria (cilíndrica, planar, toroidal) que permite escolher um caminho amperiano em que $|\mathbf{H}|$ é constante sobre o caminho ou perpendicular a partes do mesmo, simplificando o integral.

• Exemplos clássicos resolvidos com Ampère:

  1. Fio infinito: ao tomar um caminho circular concêntrico obtemos

     $$H=\frac{I}{2\pi r}\,\mathbf{a}_\varphi,$$

     compatível com Biot–Savart.

  2. Plano infinito de corrente com densidade superficial $\mathbf{K}$: campo uniforme dos dois lados com salto $\tfrac{1}{2}\mathbf{K}\times\mathbf{n}$.

     • Resultado geral para plano infinito: $\mathbf{H}=\tfrac{1}{2}\,\mathbf{K}\times\mathbf{a}_n$ 

  3. Linha coaxial (condutor concêntrico) e regiões internas/externas: Ampère permite obter $H$ por regiões dependendo da corrente incluída.

  4. Toroide: Amperiana circular dá $H=\dfrac{NI}{2\pi r}$ no interior (fora do toroide $H\approx 0$).

• Propriedade física importante:

  • Ao contrário do campo eléctrico electrostático (onde $\nabla\times\mathbf{E}=0$), o campo magnético não é conservativo em geral: $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}\neq 0$ nas regiões com corrente.

• Ligação a $\mathbf{B}$:
  $\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$ no espaço livre; portanto as expressões para $\mathbf{H}$ traduzem-se directamente em $\mathbf{B}$ multiplicando por $\mu_0$.

• Limitações e observações:

  • Ampère é uma ferramenta poderosa mas só quando a simetria permite simplificar o integral; caso contrário recorre-se a Biot–Savart ou ao potencial vectorial.

  • Ampère mostra o papel topológico das correntes (a circulação do campo depende apenas da corrente incluída na superfície limitada).

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7.4 — Aplicações da Lei de Ampère

Esta secção aplica a Lei de Ampère a distribuições de corrente com simetria, mostrando como escolher caminhos amperianos (curvas fechadas) que simplificam o cálculo da circulação de H. Principais resultados e exemplos:

• Forma integral (recordar):

  $$\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}}.$$

  Aplicando o Teorema de Stokes obtém-se a forma diferencial $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$.

• Fio infinito — simetria cilíndrica: escolhendo um caminho circular concêntrico obtemos

  $$H_\varphi=\frac{I}{2\pi r}\quad(\mathbf{H}=H_\varphi\,\mathbf{a}_\varphi),$$

  onde $r$ é a distância radial ao eixo do fio. Resultado consistente com Biot–Savart.

• Plano infinito de corrente com densidade superficial $\mathbf{K}$ ao longo de $\mathbf{a}_y$ é

  $$\mathbf{H}=\pm\frac{1}{2}\,\mathbf{K}\times\mathbf{a}_n,$$

  onde $\mathbf{a}_n$ é o vector normal apontando do plano para o ponto considerado — o sinal depende do lado.

• Linha coaxial infinita: considerando correntes distribuídas uniformemente nas regiões do condutor interno e externo, aplica-se Ampère por regiões radiais e obtêm-se expressões por partes para $H$:

  • $0\le r\le a$: $H=\dfrac{I r}{2\pi a^2}$ (corrente distribuída no interior do condutor interno);

  • $a\le r\le b$: $H=\dfrac{I}{2\pi r}$ (região entre os condutores — campo como fio externo);

  • $b\le r\le b+t$: expressão que inclui a fração da corrente contida na parte do condutor externo atravessada pela amperiana;

  • $r\ge b+t$: $H=0$ (fora do conjunto quando correntes interna e externa se anulam). Detalhes e a fórmula completa por regiões estão desenvolvidos na secção.

• Toroide: para um toroide com $N$ espiras e corrente $I$, a amperiana circular de raio $r$ dá

  $$H_\varphi=\frac{NI}{2\pi r}$$

  no interior do toroide; exteriormente $H\approx 0$. Este resultado mostra por que o toroide confina o campo magnético.

• Solenóide longo: somando as contribuições das espiras por unidade de comprimento obtém-se, no interior aproximado de um solenóide longo,

  $$H=nI\quad\text{(com \(n\) espiras por unidade de comprimento).}$$

  Fora do solenóide o campo é (em muitas aproximações) desprezável.

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7.5 — Densidade de fluxo magnético
$\mathbf{B}$ — equação de Maxwell

Esta secção introduz a densidade de fluxo magnético $\mathbf{B}$, explica a sua relação com $\mathbf{H}$ em espaço livre e discute propriedades geométricas do fluxo magnético.

• Relação entre $\mathbf{B}$ e $\mathbf{H}$ (no espaço livre):

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H},$$

  onde $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ é a permeabilidade do espaço livre.

• Fluxo magnético através de uma superfície $S$:

  $$\Psi=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\quad(\text{unidade: weber, Wb}).$$

  Linhas de fluxo magnético são trajectórias tangenciais a $\mathbf{B}$ em cada ponto (a bússola orienta-se ao longo destas linhas).

• Propriedade topológica importante — não existem monopólos magnéticos isolados:

  $$\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0.$$

  Isto significa que as linhas de $\mathbf{B}$ são sempre fechadas (não têm início nem fim) — contraste com linhas de $\mathbf{D}$ que podem emergir de cargas.

• Conceitos de potencial magnético: a secção prepara a motivação para usar potenciais (escalar $V_m$ quando $\mathbf{J}=0$, e vectorial $\mathbf{A}$ em geral), relacionando $\mathbf{B}$ com o rotacional do potencial vetorial:

  $$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},$$

  
  

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7.6 — Equações de Maxwell para campos estáticos

A secção reúne as quatro equações de Maxwell na forma apropriada para campos eléctricos e magnéticos estáticos (magnetostática + electrostática), tanto na forma diferencial como integral, e introduz os potenciais magnéticos.

• As quatro equações (formas diferencial e integral, para o caso estático): 

  • Gauss (electricidade):

    $$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{enc}}.$$

  • Não-existência de monopólos magnéticos:

    $$\nabla\cdot\mathbf{B}=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0.$$

  • Electrostática (conservatividade de $\mathbf{E}$):

    $$\nabla\times\mathbf{E}=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0.$$

  • Ampère (magnetostática, forma diferencial):

    $$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}.$$

  Estas expressões aparecem compiladas na Tabela 7.2 do capítulo.

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Resumo 

O capítulo apresenta a magnetostática: leis que descrevem como correntes eléctricas constantes geram campos magnéticos estáticos e as ferramentas para os calcular. 

• Biot–Savart (forma diferencial e integral) — campo devido a um elemento de corrente:

  $$d\mathbf{H}=\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{4\pi R^{3}},\qquad \mathbf{H}=\frac{1}{4\pi}\int\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{R}}{R^{3}}.$$

  Aplicável a correntes lineares, superficiais e volumétricas.

• Lei de Ampère (integral) — circulação do campo magnético:

  $$\oint_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},$$

  com a forma diferencial $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$. Útil quando existe simetria (fios infinitos, folhas infinitas, solenóides, toroides, condutores concêntricos).

• Relação $\mathbf{B}$–$\mathbf{H}$:

  $$\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\quad(\text{no espaço livre}),\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

  
  

• Potenciais magnéticos:

  • Potencial escalar $V_m$ — válido apenas em regiões sem corrente ($\mathbf{J}=0$) com $\mathbf{H}=-\nabla V_m$ e $\nabla^2 V_m=0$.

  • Potencial vectorial $\mathbf{A}$ — geral, $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$; (p.ex. Coulomb: $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$) conduz a $\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$.

Resultados práticos destacados (fórmulas de referência)

• Fio retilíneo infinito:

  $$H_\varphi=\frac{I}{2\pi r}.$$

• Espira circular (eixo): expressão para a componente axial (obtida por integração de Biot–Savart).

• Solenóide longo (interior):

  $$H=nI \quad\Rightarrow\quad B=\mu_0 n I.$$

• Toroide:

  $$H=\frac{NI}{2\pi r}\quad\text{(no interior do toroide)}.$$

• Plano de corrente infinita:

  $$\mathbf{H}=\pm\frac{1}{2}\mathbf{K}\times\mathbf{n}\quad(\text{saltos de campo dos dois lados}).$$

Estas fórmulas são as ferramentas de referência para problemas práticos em magnetostática.

Observações finais e ligação a regimes não-estáticos

• Para problemas sem simetria usa-se Biot–Savart ou a formulação por potenciais (especialmente $\mathbf{A}$).

• As equações de divergência ($\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$, $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$) mantêm-se para campos dependentes do tempo; as equações de rotacional são modificadas quando aparecem termos temporais (p.ex. deslocamento eléctrico) — isso é tratado mais adiante em capítulos sobre campos dependentes do tempo.

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Resumo extraído do Capítulo 6 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 6 - Fronteira eletroestática

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6.1 Introdução

Esta secção introduz a importância das equações diferenciais parciais (EDPs) no estudo do eletromagnetismo. Grande parte dos problemas em eletrostática, magnetostática e eletrodinâmica reduz-se à resolução de EDPs que descrevem os potenciais associados a campos elétricos e magnéticos. Destacam-se duas equações fundamentais: a equação de Poisson e a equação de Laplace, que surgem naturalmente a partir da lei de Gauss e da definição de potencial escalar elétrico. O autor sublinha que a resolução destas equações, com condições de fronteira adequadas, permite determinar os potenciais e, consequentemente, os campos em várias situações físicas. Também é destacado o papel do Teorema da Unicidade, que garante que a solução encontrada para um problema bem definido é a única possível, dando confiança na aplicação prática destas técnicas matemáticas.

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6.2 Equações de Poisson e de Laplace

Nesta parte, derivam-se formalmente as equações de Poisson e de Laplace.

• Partindo da lei de Gauss em forma diferencial, $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v$, e sabendo que $\mathbf{E} = -\nabla V$ e $\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$, obtém-se:

  $$\nabla^2 V = -\frac{\rho_v}{\epsilon}$$

  que corresponde à equação de Poisson.

• Quando não existe carga livre ($\rho_v = 0$), a equação reduz-se a:

  $$\nabla^2 V = 0$$

  que é a equação de Laplace.

A secção enfatiza que estas equações são fundamentais porque descrevem como o potencial elétrico se comporta em regiões com ou sem carga. Apresentam-se ainda exemplos práticos de aplicação: em condutores, em dielétricos e em configurações com simetrias geométricas. É salientado que a equação de Laplace é especialmente importante, pois muitos problemas reais podem ser resolvidos considerando regiões sem carga.

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6.3 Teorema da Unicidade

Esta secção aborda o princípio da unicidade das soluções. O Teorema da Unicidade estabelece que, se o potencial satisfaz a equação de Laplace ou de Poisson numa região, e se são impostas condições de fronteira bem definidas (condições de Dirichlet ou de Neumann), então a solução obtida é única.
Este resultado é importante porque significa que, uma vez encontrada uma solução que respeite tanto a equação diferencial como as condições de fronteira, não existe necessidade de procurar outras soluções alternativas. O teorema dá consistência às técnicas matemáticas usadas (como separação de variáveis, expansão em séries, ou métodos numéricos) e valida a aplicação prática das equações diferenciais no cálculo de potenciais eletrostáticos.

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6.4 Procedimentos gerais para resolver a equação de Poisson ou de Laplace

Esta secção descreve os passos sistemáticos para resolver problemas de valor de fronteira que envolvem as equações de Poisson e de Laplace.
O processo segue, em geral, quatro etapas:

1. Resolver a equação diferencial:

   • Se $\rho_v = 0$, aplica-se a equação de Laplace.

   • Se $\rho_v \neq 0$, aplica-se a equação de Poisson.

   • Utiliza-se integração direta quando o potencial depende de uma única variável, ou o método de separação de variáveis quando depende de várias. Nesta fase, a solução é obtida de forma geral, com constantes de integração por determinar.

2. Aplicar as condições de fronteira:

   • As condições de contorno (potenciais conhecidos, continuidade de campos, etc.) permitem determinar os valores das constantes de integração, obtendo uma solução única.

3. Determinar os campos e correntes:

   • Uma vez encontrado o potencial $V$, calculam-se o campo elétrico $\mathbf{E} = -\nabla V$, o deslocamento elétrico $\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$, e a densidade de corrente $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$.

4. Determinar carga, capacitância ou resistência, se necessário:

   • A carga induzida $Q$ pode ser obtida a partir de $D_n$ (componente normal de $\mathbf{D}$).

   • A capacitância $C$ resulta de $C = Q/V$.

   • A resistência $R$ obtém-se de $R = V/I$.

A secção apresenta exemplos práticos, incluindo o funcionamento de bombas eletro-hidrodinâmicas e aplicações em fotocopiadoras (xerografia), bem como problemas clássicos com placas condutoras e cones. Estes exemplos ilustram como os métodos de solução podem ser aplicados em geometrias diferentes, reforçando a utilidade do método de separação de variáveis.

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6.5 Resistência e Capacitância

Aqui são tratados os conceitos de resistência e capacitância como problemas de valor de fronteira.

• Resistência:

  • Para condutores de secção uniforme já tinha sido deduzida (Cap. 5).

  • Para condutores de secção não uniforme, usa-se a equação geral:

    $$R = \frac{V}{I} = \frac{\int_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}}{\int_S \sigma \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}}$$

  • O cálculo envolve escolher um sistema de coordenadas adequado, resolver a equação de Laplace para obter $V$, calcular $\mathbf{E}$ e depois determinar a corrente $I$.

• Capacitância:

  • Definida como a razão entre a carga e a diferença de potencial:

    $$C = \frac{Q}{V}$$

  • Calcula-se considerando duas placas condutoras com cargas iguais e opostas, aplicando a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrando para obter o potencial.

  • São estudadas três configurações fundamentais:

    • Condensador de placas paralelas: $C = \frac{\epsilon S}{d}$.

    • Condensador coaxial: $C = \frac{2\pi \epsilon L}{\ln(b/a)}$.

    • Condensador esférico: $C = \frac{4\pi \epsilon}{(1/a - 1/b)}$.

• Relação entre R e C:

  • Mostra-se que o produto $RC = \epsilon/\sigma$, chamado tempo de relaxação do dielétrico.

  • Exemplos são apresentados para condensadores reais, mostrando que a resistência considerada é a resistência de fuga no dielétrico e não a dos condutores.

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6.6 Método das Imagens

Esta secção introduz o método das cargas-imagem, uma técnica matemática que simplifica a resolução de problemas de eletrostática com condutores.

• Ideia principal: substituir as condições de fronteira impostas por condutores por cargas fictícias (“imagens”) colocadas em posições convenientes, de forma a reproduzir a mesma distribuição de campo e potencial que no problema original.

• Exemplo clássico:

  • Uma carga pontual próxima de um plano condutor infinito aterrado.

  • O campo elétrico que resulta da carga real e da sua carga imagem (de sinal oposto, simetricamente colocada em relação ao plano) satisfaz as condições de fronteira no condutor.

• Importância:

  • O método permite calcular campos, potenciais e forças de forma direta, evitando a resolução explícita da equação de Laplace com condições de contorno complexas.

  • É aplicado em problemas com planos condutores, esferas condutoras e outras geometrias com simetrias adequadas.

• Limitações:

  • Só funciona em casos com alta simetria.

  • Nem sempre é possível encontrar uma configuração de cargas imagens simples que satisfaça as condições de fronteira.

O método das imagens é particularmente útil para estudar interações carga-condutor, forças induzidas e cálculo de capacitâncias em sistemas simples.

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6.7 Resistência e Capacitância com Potenciais Específicos

Nesta secção, o autor mostra como resolver problemas de resistência e capacitância quando o potencial aplicado não é constante em toda a fronteira, mas segue uma função específica (por exemplo, sinusoidal).

• O procedimento mantém-se: resolver a equação de Laplace, aplicar as condições de fronteira e determinar a solução particular.

• Aplica-se a separação de variáveis, mas agora os coeficientes são obtidos por séries de Fourier, já que o potencial imposto pode variar ao longo de uma superfície.

• Exemplo: num canal retangular, em vez de impor $V = V_0$ numa das paredes, impõe-se $V(x) = V_0 \sin(\frac{3\pi x}{b})$. Isso leva a soluções específicas para os coeficientes $c_n$, e apenas alguns termos da série sobrevivem.

• Conclusão: mesmo para condições de contorno não uniformes, a técnica de separação de variáveis continua válida, mas exige análise mais detalhada das funções impostas.

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6.8 Método de Separação de Variáveis em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Aqui generaliza-se o método da separação de variáveis para coordenadas não cartesianas:

• Cilíndricas ($r, \varphi, z$): parte-se da equação de Laplace nesta forma e procura-se uma solução do tipo $V(r,\varphi,z) = R(r)\Phi(\varphi)Z(z)$. A equação divide-se em três equações diferenciais ordinárias:

  • Para $Z(z)$, uma equação exponencial ou hiperbólica.

  • Para $\Phi(\varphi)$, uma equação trigonométrica (seno/cosseno).

  • Para $R(r)$, surge a equação de Bessel, cuja solução completa requer funções especiais (funções de Bessel).

• Esféricas ($r, \theta, \varphi$): um processo análogo conduz à equação associada de Legendre.

• Estas soluções são usadas em problemas mais avançados, como a distribuição de potencial em cilindros coaxiais ou esferas com simetria parcial.

Nota: o livro não aprofunda as soluções completas (remete para referências), mas sublinha a importância destas equações diferenciais especiais em eletromagnetismo.

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6.9 Aplicações a Configurações Concretas

A secção aplica os métodos anteriores a exemplos específicos, calculando resistência e capacitância em geometrias particulares:

• Condutores planos e não uniformes: resistência obtida resolvendo Laplace.

• Condensadores coaxiais, esféricos e paralelos: recapitulam-se as fórmulas clássicas já obtidas.

• Exemplos numéricos mostram como calcular valores concretos de $R$ e $C$, incluindo casos de barras metálicas curvas e outras formas não triviais.

• Introduz-se também a noção de resistência de fuga nos dielétricos, reforçando que a resistência associada às expressões anteriores não é a dos condutores, mas sim a do meio dielétrico que os separa.

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Resumo

O resumo final destaca os pontos centrais do capítulo:

1. Problemas de valor de fronteira:

   • Surgem quando se conhecem condições de carga e/ou potencial apenas em superfícies, e pretende-se determinar $V$ e $\mathbf{E}$ em toda a região.

2. Equações fundamentais:

   • Poisson ($\nabla^2 V = -\rho_v/\epsilon$): válida em regiões com carga.

   • Laplace ($\nabla^2 V = 0$): válida em regiões sem carga.

3. Teorema da Unicidade:

   • Garante que, se uma solução satisfaz a equação diferencial e as condições de fronteira, então essa solução é única.

4. Procedimento de resolução:

   • Resolver a equação diferencial.

   • Impor condições de fronteira.

   • Determinar campos, correntes, cargas e eventualmente resistência ou capacitância.

5. Resistência e Capacitância:

   • Podem ser deduzidas a partir da equação de Laplace e das condições impostas.

   • Geometrias comuns: placas paralelas, coaxiais, esferas.

   • O produto $RC = \epsilon/\sigma$ define o tempo de relaxação do meio.

6. Método das Imagens:

   • Simplifica problemas com condutores, substituindo-os por cargas fictícias em posições adequadas.

7. Método da Separação de Variáveis:

   • Permite resolver a equação de Laplace em diferentes sistemas de coordenadas, levando a equações diferenciais clássicas (Bessel, Legendre).

O capítulo conclui que o estudo de problemas de valor de fronteira em eletrostática não só permite compreender melhor os campos e potenciais, como fornece as bases matemáticas para aplicações práticas em engenharia eletrotécnica e eletrónica (condensadores, isolamentos, dispositivos de alta tensão, etc.).

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Resumo extraído do Capítulo 3 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 3 - Cálculo Vectorial

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3.1 Introdução

Esta secção introduz o conceito de cálculo vetorial, isto é, a diferenciação e a integração de vetores.
Nos capítulos anteriores, o autor abordou operações básicas com vetores (adição, subtração, multiplicação) e a sua aplicação em diferentes sistemas de coordenadas. Agora, o objetivo é desenvolver as ferramentas matemáticas que servirão de base para expressar conceitos fundamentais em eletromagnetismo e noutras áreas da matemática.
O autor alerta que, à primeira vista, alguns estudantes podem não perceber a utilidade prática destes conceitos, mas recomenda que se concentrem primeiro na aprendizagem das técnicas, pois as aplicações surgirão em capítulos seguintes.

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3.2 Comprimento, Área e Volume Diferenciais

Esta secção apresenta os elementos diferenciais (de comprimento, área e volume) em três sistemas de coordenadas fundamentais: cartesiano, cilíndrico e esférico.

• No sistema cartesiano:

  • O deslocamento diferencial é $dl = dx\,a_x + dy\,a_y + dz\,a_z$.

  • As áreas diferenciais (normais às superfícies) são combinações de dois diferenciais, como $dS = dy\,dz\,a_x$, etc.

  • O volume diferencial é $dv = dx\,dy\,dz$.

• No sistema cilíndrico:

  • O deslocamento diferencial é $dl = dr\,a_r + r\,d\phi\,a_\phi + dz\,a_z$.

  • As áreas diferenciais incluem termos como $dS = r\,d\phi\,dz\,a_r$.

  • O volume diferencial é $dv = r\,dr\,d\phi\,dz$.

• No sistema esférico:

  • O deslocamento diferencial é $dl = dr\,a_r + r\,d\theta\,a_\theta + r\sin\theta\,d\phi\,a_\phi$.

  • As áreas diferenciais incluem expressões como $dS = r^2 \sin\theta\,d\theta\,d\phi\,a_r$.

  • O volume diferencial é $dv = r^2 \sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$.

O autor enfatiza que basta memorizar o deslocamento diferencial $dl$, porque a partir dele se obtêm facilmente os elementos de área e de volume. A secção inclui exemplos práticos de cálculo de comprimentos, áreas e volumes utilizando estes diferenciais.

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3.3 Integrais de Linha, de Superfície e de Volume

Aqui o autor estende o conceito de integral para situações em que o integrando é um vetor.

• Integral de linha:
  Define-se como $\int_L \mathbf{A}\cdot dl$, ou seja, a soma do componente tangencial de um campo vetorial ao longo de um percurso. Um exemplo físico é o trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula ao longo de uma trajetória. Se o caminho for fechado, fala-se em circulação do campo.

• Integral de superfície (fluxo):
  Representa a quantidade de campo que atravessa uma superfície. É dado por $\int_S \mathbf{A}\cdot dS$, sendo $dS$ um vetor normal à superfície. Para superfícies fechadas, calcula-se o fluxo líquido que sai de um volume.

• Integral de volume:
  Para uma grandeza escalar distribuída num volume, o integral é $\int_V \rho_v dv$, representando, por exemplo, a massa total se $\rho_v$ fosse densidade de massa.

Cada integral tem interpretação física diferente consoante o tipo de grandeza considerada (força, fluxo, densidade, etc.).

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3.4 Operador Delta

• O operador delta (∇), também chamado operador diferencial vetorial ou operador gradiente, é uma ferramenta central do cálculo vetorial.

• Em coordenadas cartesianas, é definido como:

$$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \,a_x + \frac{\partial}{\partial y} \,a_y + \frac{\partial}{\partial z} \,a_z$$

• Apesar de ter a forma de um vetor, ∇ não é um vetor em si, mas um operador que, aplicado a diferentes funções, gera novos campos:

  1. Gradiente de um escalar $V$: $\nabla V$ → resulta num vetor.

  2. Divergência de um vetor $A$: $\nabla \cdot A$ → resulta num escalar.

  3. Rotacional de um vetor $A$: $\nabla \times A$ → resulta num vetor.

  4. Laplaciano de um escalar $V$: $\nabla^2 V$ → resulta num escalar.

• O operador ∇ também pode ser expresso em coordenadas cilíndricas e esféricas, com expressões específicas que dependem das transformações entre sistemas de coordenadas.

• É uma ferramenta unificada que simplifica o tratamento matemático de campos em eletromagnetismo.

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3.5 Gradiente de um Escalar

• O gradiente de um campo escalar $V(x,y,z)$ é um vetor que aponta na direção de maior variação de $V$ e cujo módulo indica a taxa máxima de variação por unidade de comprimento.

• A definição matemática é:

$$\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x}\,a_x + \frac{\partial V}{\partial y}\,a_y + \frac{\partial V}{\partial z}\,a_z$$

• Propriedades importantes:

  1. O módulo de $\nabla V$ indica a taxa máxima de variação de $V$.

  2. A direção de $\nabla V$ é a da variação mais rápida.

  3. $\nabla V$ é sempre perpendicular às superfícies de nível constante de $V$.

  4. A derivada de $V$ ao longo de uma direção $\mathbf{a}$ é dada por $\nabla V \cdot \mathbf{a}$.

  5. Se um campo vetorial $A$ for derivado de um escalar por $A = \nabla V$, então $V$ é chamado de potencial escalar de $A$.

• O gradiente pode ser expresso também em coordenadas cilíndricas e esféricas, com fórmulas adaptadas.

• Exemplos práticos mostram como calcular o gradiente em diferentes sistemas e como aplicá-lo para obter direções de variação máxima de grandezas físicas (como temperatura, potencial elétrico, etc.).

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3.6 Divergência de um Vetor e Teorema da Divergência

• A divergência mede o grau em que um campo vetorial “sai” de um ponto (como uma fonte) ou “entra” num ponto (como um sumidouro).

• Definição matemática:

$$\nabla \cdot A = \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\oint_S A \cdot dS}{\Delta v}$$

• Em coordenadas cartesianas:

$$\nabla \cdot A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$

• Interpretação física:

  • Divergência positiva → o campo espalha-se (fonte).

  • Divergência negativa → o campo converge (sumidouro).

  • Divergência nula → fluxo equilibrado (sem fonte nem sumidouro).

• Em coordenadas cilíndricas e esféricas, a divergência assume formas adaptadas ao sistema.

• Teorema da Divergência (ou de Gauss-Ostrogradsky):

$$\oint_S A \cdot dS = \int_V (\nabla \cdot A)\,dv$$

• Ou seja, o fluxo total que atravessa a superfície fechada $S$ é igual ao integral da divergência de $A$ no volume $V$ por ela delimitado.

• Este teorema é de enorme importância prática, porque muitas vezes é mais simples calcular o integral de volume do que o integral de superfície.

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3.7 Rotacional de um Vetor e Teorema de Stokes

• O rotacional de um campo vetorial $\mathbf{A}$ mede a tendência de rotação ou de circulação desse campo em torno de um ponto.

• Definição matemática:

$$\text{rot}\,\mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A}$$

• Interpretação física:

  • O módulo do rotacional dá a circulação máxima por unidade de área de $\mathbf{A}$.

  • A direção do rotacional é normal à área considerada e é determinada pela regra da mão direita.

  • Assim, o rotacional indica como e em que direção um campo “gira” em torno de um ponto.

• Em coordenadas cartesianas:

$$\nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$

• Em coordenadas cilíndricas e esféricas, as expressões são mais complexas, mas obtidas a partir de transformações vetoriais.

• Propriedades principais do rotacional:

  1. O rotacional de um vetor é sempre um vetor.

  2. $\nabla \times (A + B) = \nabla \times A + \nabla \times B$.

  3. $\nabla \times (VA) = V (\nabla \times A) + (\nabla V) \times A$.

  4. O divergente do rotacional é sempre nulo: $\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0$.

  5. O rotacional do gradiente de um escalar também é sempre nulo: $\nabla \times (\nabla V) = 0$.

• Teorema de Stokes:

$$\oint_L \mathbf{A} \cdot dl = \iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot dS$$

• Relaciona a circulação de um campo ao longo de uma curva fechada $L$ com o integral de superfície do rotacional sobre a superfície $S$ delimitada por $L$.

• Tal como o teorema da divergência, este é um resultado fundamental, pois muitas vezes é mais fácil calcular o integral de superfície do que o de linha (ou vice-versa).

• Aplicações práticas: muito usado em eletromagnetismo (ex.: equações de Maxwell), dinâmica de fluidos e teoria de campos em geral.

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3.8 Laplaciano de um Escalar

• O Laplaciano é um operador escalar definido como a divergência do gradiente de um escalar:

$$\nabla^2 V = \nabla \cdot (\nabla V)$$

• Em coordenadas cartesianas:

$$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$

• Em coordenadas cilíndricas:

$$\nabla^2 V = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$

• Em coordenadas esféricas:

$$\nabla^2 V = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2}$$

• Propriedades e aplicações:

  • O Laplaciano de um escalar é sempre outro escalar.

  • Um campo escalar $V$ é dito harmónico se satisfaz $\nabla^2 V = 0$. Esta equação é conhecida como Equação de Laplace e aparece frequentemente em eletrostática, condução de calor e dinâmica de fluidos.

  • Soluções da equação de Laplace são geralmente combinações de funções seno e cosseno (ou harmónicas).

• Laplaciano de um vetor:

  • Também se pode definir $\nabla^2 A$, mas neste caso:

$$\nabla^2 A = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla \times (\nabla \times A)$$

• Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de um vetor é simplesmente o Laplaciano de cada componente aplicado separadamente:

$$\nabla^2 A = (\nabla^2 A_x)\,a_x + (\nabla^2 A_y)\,a_y + (\nabla^2 A_z)\,a_z$$

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Resumo

1. O cálculo vetorial lida com diferenciação e integração de vetores.

2. O comprimento diferencial em coordenadas cartesianas é $dl = dx\,a_x + dy\,a_y + dz\,a_z$. Em coordenadas cilíndricas é $dl = dr\,a_r + r\,d\phi\,a_\phi + dz\,a_z$. Em coordenadas esféricas é $dl = dr\,a_r + r\,d\theta\,a_\theta + r\sin\theta\,d\phi\,a_\phi$.

3. A área diferencial em coordenadas cartesianas pode ser expressa como: $dS = dy\,dz\,a_x$, $dS = dx\,dz\,a_y$, ou $dS = dx\,dy\,a_z$. Em coordenadas cilíndricas: $dS = r\,d\phi\,dz\,a_r$, $dS = dr\,dz\,a_\phi$, ou $dS = r\,dr\,d\phi\,a_z$. Em coordenadas esféricas: $dS = r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,a_r$, $dS = r\sin\theta\,dr\,d\phi\,a_\theta$, ou $dS = r\,dr\,d\theta\,a_\phi$.

4. O volume diferencial em coordenadas cartesianas é $dv = dx\,dy\,dz$. Em coordenadas cilíndricas é $dv = r\,dr\,d\phi\,dz$. Em coordenadas esféricas é $dv = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$.

5. O integral de linha de um vetor ao longo de um caminho $L$ é definido como:

   $$\int_L \mathbf{A}\cdot dl$$

6. O integral de superfície (ou fluxo) de um vetor através de uma superfície $S$ é definido como:

   $$\int_S \mathbf{A}\cdot dS$$

7. O integral de volume de um escalar é definido como:

   $$\int_V \rho_v\,dv$$

8. O operador diferencial vetorial (delta) é definido como:

   $$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\,a_x + \frac{\partial}{\partial y}\,a_y + \frac{\partial}{\partial z}\,a_z$$

9. O gradiente de um escalar $V$ é dado por:

   $$\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x}\,a_x + \frac{\partial V}{\partial y}\,a_y + \frac{\partial V}{\partial z}\,a_z$$

   O gradiente é perpendicular à superfície de nível de $V$.

10. A divergência de um vetor $A$ é dada por:

$$\nabla \cdot A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$

O Teorema da Divergência afirma que:

$$\oint_S A \cdot dS = \int_V (\nabla \cdot A)\,dv$$

11. O rotacional de um vetor $A$ é dado por:

$$\nabla \times A = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$

O Teorema de Stokes afirma que:

$$\oint_L A \cdot dl = \int_S (\nabla \times A)\cdot dS$$

12. O Laplaciano de um escalar $V$ é dado por:

$$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$

13. O Laplaciano de um vetor $A$ é definido como:

$$\nabla^2 A = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla \times (\nabla \times A)$$

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