Eletrónica, Fundamentos de Electrónica

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Resolução de um problema sobre modelo incremental do transistor BJT -  TCFE, IST 

Electrónica - Díodos

Fundamentos de Electrónica - IST, Formulário Cap.1

Fundamentos de Electrónica - IST, Formulário do Cap.2

Fundamentos de Electrónica - IST, Formulário Cap.4

Fundamentos de Electrónica - IST - Tiristor, Cap.5

Fundamentos de Electrónica - IST - Heterojunções, Cap.6

Resolução de um exercício do teste/exame, de Electrónica I, do IST

Electrónica: Transistor NMOS - Regiões de operação 

Electrónica - Características dos amplificadores MOS

Filtro passa-alto

Filtro passa-baixo

Eletrónica - Amplificadores

Funções de Transferência de Montagens básicas com AmpOps

Resolução de problema do exame de 11-02-2013, de Electrónica e Instrumentação, do ISEL

Resolução de problema de exame de Electrónica e Instrumentação do ISEL

Electrónica e Instrumentação / Circuítos

Resolução de Problema do 3º teste de Electrónica, Eng. Biomédica, FCT UNL 

Resolução de exercício do exame de 23-01-2010, de Circuitos Eléctricos e Sistemas Digitais

Resolução de um problema de Electrónica de LEIC, ISEL

Resolução de pergunta de teste de Electrónica de 2010-01-09  - ISEL - LEIC 

Resolução de um problema de teste de Fundamentos de Electrónica, da Escola Naval



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Problema de eletrónica resolvido

Eletrónica II, ISEL

Problema 1 do Teste 1 do 1º semestre1 de 2019-2020

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Eletrónica - Amplificador multi-andar

Eletrónica II, ISEL

Problema 1 do Teste 1 do 1º semestre1 de 2019-2020

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Problema 1 do Teste 1 do 1º semestre1 de 2019-2020

Eletrónica II, ISEL

Problema 1 do Teste 1 do 1º semestre1 de 2019-2020

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Resumo extraído do Capítulo 13 do livro Measurements and Instrumentation Principles de Alan S. Morris, 3 ed

Capítulo 13 – Tecnologias de Sensores 

13.1 Sensores Capacitivos e Resistivos

Sensores Capacitivos:
Funcionam com base na variação da capacidade entre duas placas metálicas paralelas. A capacidade depende da constante dieléctrica do meio entre as placas, da sua área e da distância entre elas. São frequentemente utilizados como sensores de deslocamento, onde o movimento de uma das placas altera a capacidade . Este princípio também é aplicado em sensores de pressão, som, aceleração, humidade, conteúdo de humidade e nível de líquidos, dependendo do tipo de dieléctrico utilizado.

Sensores Resistivos:
Estes sensores exploram a variação da resistência elétrica de um material quando é submetido a uma grandeza física, como temperatura ou deformação. Exemplos comuns incluem termómetros de resistência (RTDs), termistores (para temperatura) e extensómetros (para deformação e deslocamento). Alguns medidores de humidade também funcionam com base neste princípio.

13.2 Sensores Magnéticos

Sensores de Indutância:
Traduzem deslocamentos em variações na indutância mútua entre componentes magnéticos. Um exemplo comum é o transdutor de deslocamento indutivo, onde o movimento de uma placa ferromagnética altera os caminhos de fluxo magnético, alterando a corrente elétrica medida.

Sensores de Relutância Variável:
Estes sensores utilizam uma bobina enrolada num íman permanente e são frequentemente usados para medir velocidades de rotação. A passagem de dentes de uma roda ferromagnética junto ao sensor gera uma sequência de impulsos de tensão, cuja frequência é proporcional à velocidade de rotação.

Sensores de Correntes de Foucault (Eddy Currents):
Empregam uma bobina excitada a alta frequência para induzir correntes de Foucault numa superfície metálica próxima. A variação da distância entre a sonda e o alvo altera a indutância da bobina, permitindo a medição de deslocamentos com elevada resolução (até 0,1 µm). Podem também funcionar com alvos não condutores se for aplicada fita de alumínio.

13.3 Sensores de Efeito Hall

Um sensor de efeito Hall mede a intensidade de um campo magnético. Consiste num condutor com corrente elétrica perpendicular ao campo magnético aplicado, o que gera uma tensão transversal proporcional à intensidade do campo. A relação é dada por V = KIB, onde K é a constante de Hall. São geralmente fabricados com semicondutores devido à maior sensibilidade.

Aplicações comuns:

• Sensores de proximidade com ímanes incorporados, que detetam a aproximação de objetos ferrosos;

• Teclas de teclado com ímanes, que ao serem pressionadas movem-se sobre o sensor de Hall, gerando um sinal digital de saída. São preferidos por evitarem problemas de "contact bounce" e operarem a altas frequências.

13.4 Transdutores Piezoelétricos

Os transdutores piezoelétricos geram uma tensão elétrica quando submetidos a uma força mecânica. São utilizados como recetores de ultrassons e também para medir deslocamentos, acelerações, forças e pressões.

Princípio de funcionamento:

• Os materiais piezoelétricos têm uma estrutura cristalina assimétrica que se distorce sob ação de uma força.

• Esta distorção provoca uma redistribuição de cargas internas, gerando cargas superficiais opostas que podem ser medidas como uma tensão.

• A tensão induzida V depende da força F, da espessura d e da área A do material: V = kFd / A, onde k é a constante piezoelétrica.

Considerações técnicas:

• A impedância de entrada do instrumento de medição deve ser muito alta para evitar fugas de carga.

• Diferentes materiais apresentam diferentes constantes piezoelétricas. Ex.: quartzo (k ≈ 2.3), titanato de bário (k ≈ 140).

• Materiais poliméricos como o polivinilideno também apresentam efeito piezoelétrico, com alta sensibilidade, mas baixa resistência mecânica.

Aplicação reversível:

• Ao aplicar tensão elétrica a um material piezoelétrico, este sofre distorção mecânica. Este princípio é usado em transmissores ultrassónicos.

13.5 Extensómetros 

Os extensómetros são sensores cuja resistência elétrica varia com a deformação (strain) mecânica aplicada. São capazes de detetar deslocamentos muito pequenos (0–50 µm) e são amplamente usados em transdutores de pressão (ex.: diafragmas), força e aceleração.

Tipos:

• Tradicionalmente feitos com fios metálicos em ziguezague montados num suporte flexível.

• Com a aplicação de esforço, o fio deforma-se, alterando a sua área de secção transversal e consequentemente a resistência.

• A relação entre a variação de resistência ΔR e a deformação S define o fator de gauge: Fator de Gauge = ΔR / S.

Variedades modernas:

• Extensómetros de folha metálica: usam tiras finas de metal cortadas em ziguezague — mais baratos e fáceis de fabricar.

• Fabricados com ligas como cobre-níquel-manganês (“Advance”).

• Extensómetros semicondutores (ver secção 13.6): apresentam fatores de gauge até 100 vezes superiores, mas têm maior sensibilidade à temperatura e são mais caros.

Montagem e medição:

• São colados diretamente à estrutura sob teste, o que exige cuidados, especialmente com sensores semicondutores.

• A resistência é geralmente medida com um circuito em ponte (ex.: ponte de Wheatstone), e a saída é muito pequena, necessitando de amplificação.

• Correntes máximas permitidas: 5 a 50 mA. Isto limita a tensão aplicada e, portanto, a saída da ponte.

13.6 Sensores Piezoresistivos

Estes sensores são feitos de materiais semicondutores com regiões p e n, cuja resistência muda significativamente quando o material é sujeito a compressão ou tração. São utilizados como extensómetros de alta precisão, sensores de pressão com diafragma de silício e acelerómetros semicondutores.

Vantagens:

• Fatores de gauge muito mais elevados do que os extensómetros metálicos (até 100 vezes superiores).

• Maior precisão: incerteza de medição até ±0,1%.

Esclarecimento terminológico:

• O termo “piezoresistivo” é por vezes aplicado a todos os extensómetros, incluindo os metálicos, o que é incorreto.

• Nos sensores metálicos, apenas cerca de 10% da variação de resistência é devida ao efeito piezoresistivo; os restantes 90% devem-se à mudança dimensional.

• Nos sensores verdadeiramente piezoresistivos (semicondutores), cerca de 90% da variação de resistência advém do efeito piezoresistivo.

13.7 Sensores Ópticos (via aérea)

Estes sensores funcionam com base na modulação de luz entre uma fonte luminosa e um detetor. A luz pode viajar pelo ar (caminho ótico em espaço aberto) ou por cabo de fibra ótica (ver secção 13.8). A modulação da luz é causada por uma variável física a medir, que afeta a intensidade, direção ou presença do feixe luminoso.

Componentes:

• Fontes de luz: lâmpadas incandescentes, díodos laser e LEDs (preferencialmente infravermelhos para evitar interferência solar).

• Detetores de luz: células fotoelétricas (CdS, CdSe), fototransístores e fotodíodos (com resposta sensível à luz infravermelha).

Aplicações:

• Deteção de proximidade.

• Medição de movimentos translacionais e rotacionais.

• Deteção de gases (detalhado em capítulos posteriores).

Vantagens:

• Imunidade ao ruído eletromagnético.

• Segurança intrínseca em ambientes perigosos (sem faíscas, sem eletricidade no ponto de medição).

13.8 Sensores Ópticos (fibra ótica)

Os sensores de fibra ótica utilizam cabos óticos para transmitir luz entre a fonte e o recetor. A grandeza a medir altera uma ou mais características do feixe de luz transmitido. As fibras podem ser de vidro, plástico ou uma combinação de ambos. As fibras de plástico são mais baratas, robustas e fáceis de manusear, sendo ideais para sensores. As fibras de vidro têm maior fragilidade, mas oferecem melhor desempenho em certas aplicações.

Parâmetros da luz que podem ser modulados:

• Intensidade.

• Fase.

• Polarização.

• Comprimento de onda.

• Tempo de trânsito.

Classificações:
a) Sensores intrínsecos:
A própria fibra ótica é o sensor. A modulação ocorre dentro da fibra. Dividem-se em:

• Sensores de intensidade: mais simples e comuns; incluem sensores de proximidade, deslocamento (fotónicos), pressão, pH e deteção de fumo. A intensidade da luz varia com a variável medida.

• Exemplo: sensores com diafragma deformável que altera a intensidade da luz; sensores de proximidade com variação de luz refletida.

Outros mecanismos:

• Índice de refração: usado em deteção de fugas criogénicas e óleo na água.

• Fluorescência: modulação da luz com materiais fluorescentes sensíveis a gases, hormonas, etc.

• Modulação de fase, polarização, comprimento de onda e tempo de trânsito: utilizados em sensores de alta precisão, como giroscópios, sensores de temperatura e de campo elétrico/magnético.

b) Sensores extrínsecos:
A fibra ótica é apenas um canal de transmissão, conduzindo luz para e do sensor convencional (ex.: termoresistência ou cristal piezoelétrico). São úteis em locais de difícil acesso ou com alto ruído eletromagnético (ex.: motores de avião ou transformadores).

Vantagens dos sensores de fibra ótica:

• Elevada fiabilidade e resistência a ambientes agressivos.

• Imunidade a ruídos elétricos.

• Tamanhos reduzidos e baixo custo (excepto quando requerem eletrónica auxiliar).

Distribuição:
É possível integrar vários sensores ao longo de uma única fibra ótica, permitindo medição distribuída (ex.: medir temperatura ao longo de 2 km com resolução de 1°C em 400 pontos).

13.9 Transdutores Ultrassónicos

Transdutores ultrassónicos operam em frequências acima de 20 kHz (ultrassom) e são amplamente utilizados para medição de:

• Vazão de fluidos.

• Nível de líquidos.

• Deslocamentos lineares.

• Imagens médicas e detecção de falhas em materiais.

Princípio de funcionamento:

• Um transmissor emite uma onda ultrassónica.

• A onda é recebida por um receptor.

• A variável medida é deduzida através da diferença de tempo, fase ou frequência entre a emissão e a recepção.

Tipos de transdutores:

• Piezoelétricos: cristais que geram ondas ultrassónicas quando excitados com tensão alternada. Podem também atuar como receptores.

• Capacitivos: membranas dielétricas entre camadas condutoras, também funcionam em emissão e recepção.

Velocidade de propagação:

• Depende do meio: ar (331,6 m/s), água (1440 m/s), ferro (5130 m/s), granito (6000 m/s).

• No ar, a velocidade depende da temperatura (V = 331,6 + 0,6T), e marginalmente da humidade.

Direcionalidade:

• A onda não é unidirecional: propaga-se em padrão esférico com máxima intensidade na direção normal ao emissor.

• Elementos de baixa frequência (ex.: 40 kHz) têm cones de emissão amplos (±50°), enquanto os de alta frequência (400 kHz) têm feixes estreitos (±3°).

Atenuação:

• A amplitude do sinal diminui com a distância e depende da frequência, do meio e de contaminantes (pó, humidade).

• A atenuação pode ser expressa como: Xd/X0 = √(e−αd) / (fd), onde α é a constante de atenuação.

Sensores de distância:

• Calculam a distância com base no tempo de voo do ultrassom: d = v × t.

• É necessário compensar variações de temperatura.

• A resolução depende do comprimento de onda (frequência); maior frequência, melhor resolução.

Aplicações especiais:

• Seguimento de objetos em 3D: usam três receptores em posições conhecidas para triangular a posição do transmissor.

• Efeito Doppler: variação na frequência do sinal recebido devido ao movimento relativo, usado em medição de velocidade (ex.: caudalímetros).

• Imagens ultrassónicas: utilizadas na medicina e na detecção de falhas internas. As reflexões são analisadas em função do tempo e da intensidade.

Problemas e soluções:

• Ruído ambiental (ex.: maquinaria) pode afetar o sinal. Usam-se cabos blindados e materiais absorventes.

• Reflexões indesejadas podem causar erros. Solução: parar a contagem ao detetar o primeiro sinal e evitar sobreposição de pulsos.

13.10 Sensores Nucleares

Os sensores nucleares são instrumentos pouco comuns devido às suas exigências de segurança e ao elevado custo. Utilizam radiações (geralmente gama) para realizar medições sem contacto direto, sendo úteis em ambientes extremos ou onde métodos convencionais falham.

Princípio de funcionamento:

• Baseiam-se na atenuação da radiação entre uma fonte e um detetor.

• A intensidade de radiação detectada varia conforme a densidade ou nível do meio atravessado.

Componentes típicos:

• Fonte radioativa: normalmente césio-137, que emite raios gama.

• Detetor: geralmente um cristal de iodeto de sódio, que gera um sinal elétrico proporcional à radiação incidente.

Aplicações:

• Medição não invasiva do nível de líquidos em tanques (ver Capítulo 17).

• Medição de caudal mássico (ver Capítulo 16).

• Aplicações médicas de imagem (referência: Webster, 1998).

Considerações:

• Existem fontes de baixa radiação que minimizam riscos, mas a sua sensibilidade pode ser afetada por radiação de fundo.

• Apesar das restrições, os sensores nucleares são indispensáveis em algumas aplicações industriais e científicas.

13.11 Microsensores

Os microsensores são sensores de dimensões reduzidas (milimétricas), produzidos por técnicas de micromaquinação, frequentemente integrados em dispositivos eletrónicos. Combinam baixo custo, alta fiabilidade, boa performance e potencial para produção em massa.

Materiais e estrutura:

• Tipicamente construídos em silício, mas podem incluir metais, plásticos, cerâmicas e vidros.

• O silício é preferido por ter propriedades mecânicas semelhantes ao aço, baixa expansão térmica e resistência química.

Técnicas de fabrico:

• Usam processos semelhantes aos da microeletrónica: deposição de filmes finos, fotolitografia, gravação química, gravação a laser, entre outros.

• Estruturas típicas incluem diafragmas, feixes em consola e pontes.

Vantagens:

• Pequenas dimensões.

• Alta sensibilidade e baixo consumo.

• Possibilidade de integração com circuitos eletrónicos (sensores inteligentes).

• Custo de produção reduzido em grandes quantidades.

Desafios:

• Sinais de baixa amplitude e baixa capacidade tornam os microsensores sensíveis ao ruído.

• Requerem amplificação e conversores A/D especializados (ex.: conversores sigma-delta com precisão superior a 16 bits).

• Algumas aplicações requerem saída digital em vez de analógica.

Exemplo de sensor digital:

• Sensor de pressão com dois ressonadores em forma de H: um comprimido e outro esticado. A diferença de frequência entre os dois dá um sinal digital proporcional à pressão diferencial.

Aplicações:

• Automóvel (ex.: pressão de pneus, airbag) com custos unitários muito baixos.

• Medicina (ex.: medição de pressão sanguínea).

• Medição de força, aceleração, temperatura, campos magnéticos, radiação e parâmetros químicos.

Tecnologias utilizadas:

• Capacitiva.

• Piezoresistiva.

• Variação de frequência de ressonância.

• Indutiva.

• Piezoelétrica.

• Acoplamento ótico ou magnético.

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E1, FEUP, exercícios extra sobre AmpOps, Problema 1

Eletrónica I, 2024-2025, da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

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Fundamentos de Electrónica - IST - Tiristor, Cap.5

Resumo de fórmulas, esquemas e gráficos do capítulo referente ao estudo do Tiristor, do livro recomendado (Fundamentos de Eletrónica: A. C. Baptista, C. F. Fernandes, J. T. Pereira, J. J. Paisana 2012 Lidel).

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Problema de teste resolvido

Eletrónica II, ISEL

Problema 1 do Teste 1 do 1º semestre1 de 2019-2020

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Resumo extraído do Capítulo 6 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 6 - Fronteira eletroestática

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6.1 Introdução

Esta secção introduz a importância das equações diferenciais parciais (EDPs) no estudo do eletromagnetismo. Grande parte dos problemas em eletrostática, magnetostática e eletrodinâmica reduz-se à resolução de EDPs que descrevem os potenciais associados a campos elétricos e magnéticos. Destacam-se duas equações fundamentais: a equação de Poisson e a equação de Laplace, que surgem naturalmente a partir da lei de Gauss e da definição de potencial escalar elétrico. O autor sublinha que a resolução destas equações, com condições de fronteira adequadas, permite determinar os potenciais e, consequentemente, os campos em várias situações físicas. Também é destacado o papel do Teorema da Unicidade, que garante que a solução encontrada para um problema bem definido é a única possível, dando confiança na aplicação prática destas técnicas matemáticas.

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6.2 Equações de Poisson e de Laplace

Nesta parte, derivam-se formalmente as equações de Poisson e de Laplace.

• Partindo da lei de Gauss em forma diferencial, $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v$, e sabendo que $\mathbf{E} = -\nabla V$ e $\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$, obtém-se:

  $$\nabla^2 V = -\frac{\rho_v}{\epsilon}$$

  que corresponde à equação de Poisson.

• Quando não existe carga livre ($\rho_v = 0$), a equação reduz-se a:

  $$\nabla^2 V = 0$$

  que é a equação de Laplace.

A secção enfatiza que estas equações são fundamentais porque descrevem como o potencial elétrico se comporta em regiões com ou sem carga. Apresentam-se ainda exemplos práticos de aplicação: em condutores, em dielétricos e em configurações com simetrias geométricas. É salientado que a equação de Laplace é especialmente importante, pois muitos problemas reais podem ser resolvidos considerando regiões sem carga.

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6.3 Teorema da Unicidade

Esta secção aborda o princípio da unicidade das soluções. O Teorema da Unicidade estabelece que, se o potencial satisfaz a equação de Laplace ou de Poisson numa região, e se são impostas condições de fronteira bem definidas (condições de Dirichlet ou de Neumann), então a solução obtida é única.
Este resultado é importante porque significa que, uma vez encontrada uma solução que respeite tanto a equação diferencial como as condições de fronteira, não existe necessidade de procurar outras soluções alternativas. O teorema dá consistência às técnicas matemáticas usadas (como separação de variáveis, expansão em séries, ou métodos numéricos) e valida a aplicação prática das equações diferenciais no cálculo de potenciais eletrostáticos.

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6.4 Procedimentos gerais para resolver a equação de Poisson ou de Laplace

Esta secção descreve os passos sistemáticos para resolver problemas de valor de fronteira que envolvem as equações de Poisson e de Laplace.
O processo segue, em geral, quatro etapas:

1. Resolver a equação diferencial:

   • Se $\rho_v = 0$, aplica-se a equação de Laplace.

   • Se $\rho_v \neq 0$, aplica-se a equação de Poisson.

   • Utiliza-se integração direta quando o potencial depende de uma única variável, ou o método de separação de variáveis quando depende de várias. Nesta fase, a solução é obtida de forma geral, com constantes de integração por determinar.

2. Aplicar as condições de fronteira:

   • As condições de contorno (potenciais conhecidos, continuidade de campos, etc.) permitem determinar os valores das constantes de integração, obtendo uma solução única.

3. Determinar os campos e correntes:

   • Uma vez encontrado o potencial $V$, calculam-se o campo elétrico $\mathbf{E} = -\nabla V$, o deslocamento elétrico $\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$, e a densidade de corrente $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$.

4. Determinar carga, capacitância ou resistência, se necessário:

   • A carga induzida $Q$ pode ser obtida a partir de $D_n$ (componente normal de $\mathbf{D}$).

   • A capacitância $C$ resulta de $C = Q/V$.

   • A resistência $R$ obtém-se de $R = V/I$.

A secção apresenta exemplos práticos, incluindo o funcionamento de bombas eletro-hidrodinâmicas e aplicações em fotocopiadoras (xerografia), bem como problemas clássicos com placas condutoras e cones. Estes exemplos ilustram como os métodos de solução podem ser aplicados em geometrias diferentes, reforçando a utilidade do método de separação de variáveis.

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6.5 Resistência e Capacitância

Aqui são tratados os conceitos de resistência e capacitância como problemas de valor de fronteira.

• Resistência:

  • Para condutores de secção uniforme já tinha sido deduzida (Cap. 5).

  • Para condutores de secção não uniforme, usa-se a equação geral:

    $$R = \frac{V}{I} = \frac{\int_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}}{\int_S \sigma \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}}$$

  • O cálculo envolve escolher um sistema de coordenadas adequado, resolver a equação de Laplace para obter $V$, calcular $\mathbf{E}$ e depois determinar a corrente $I$.

• Capacitância:

  • Definida como a razão entre a carga e a diferença de potencial:

    $$C = \frac{Q}{V}$$

  • Calcula-se considerando duas placas condutoras com cargas iguais e opostas, aplicando a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrando para obter o potencial.

  • São estudadas três configurações fundamentais:

    • Condensador de placas paralelas: $C = \frac{\epsilon S}{d}$.

    • Condensador coaxial: $C = \frac{2\pi \epsilon L}{\ln(b/a)}$.

    • Condensador esférico: $C = \frac{4\pi \epsilon}{(1/a - 1/b)}$.

• Relação entre R e C:

  • Mostra-se que o produto $RC = \epsilon/\sigma$, chamado tempo de relaxação do dielétrico.

  • Exemplos são apresentados para condensadores reais, mostrando que a resistência considerada é a resistência de fuga no dielétrico e não a dos condutores.

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6.6 Método das Imagens

Esta secção introduz o método das cargas-imagem, uma técnica matemática que simplifica a resolução de problemas de eletrostática com condutores.

• Ideia principal: substituir as condições de fronteira impostas por condutores por cargas fictícias (“imagens”) colocadas em posições convenientes, de forma a reproduzir a mesma distribuição de campo e potencial que no problema original.

• Exemplo clássico:

  • Uma carga pontual próxima de um plano condutor infinito aterrado.

  • O campo elétrico que resulta da carga real e da sua carga imagem (de sinal oposto, simetricamente colocada em relação ao plano) satisfaz as condições de fronteira no condutor.

• Importância:

  • O método permite calcular campos, potenciais e forças de forma direta, evitando a resolução explícita da equação de Laplace com condições de contorno complexas.

  • É aplicado em problemas com planos condutores, esferas condutoras e outras geometrias com simetrias adequadas.

• Limitações:

  • Só funciona em casos com alta simetria.

  • Nem sempre é possível encontrar uma configuração de cargas imagens simples que satisfaça as condições de fronteira.

O método das imagens é particularmente útil para estudar interações carga-condutor, forças induzidas e cálculo de capacitâncias em sistemas simples.

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6.7 Resistência e Capacitância com Potenciais Específicos

Nesta secção, o autor mostra como resolver problemas de resistência e capacitância quando o potencial aplicado não é constante em toda a fronteira, mas segue uma função específica (por exemplo, sinusoidal).

• O procedimento mantém-se: resolver a equação de Laplace, aplicar as condições de fronteira e determinar a solução particular.

• Aplica-se a separação de variáveis, mas agora os coeficientes são obtidos por séries de Fourier, já que o potencial imposto pode variar ao longo de uma superfície.

• Exemplo: num canal retangular, em vez de impor $V = V_0$ numa das paredes, impõe-se $V(x) = V_0 \sin(\frac{3\pi x}{b})$. Isso leva a soluções específicas para os coeficientes $c_n$, e apenas alguns termos da série sobrevivem.

• Conclusão: mesmo para condições de contorno não uniformes, a técnica de separação de variáveis continua válida, mas exige análise mais detalhada das funções impostas.

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6.8 Método de Separação de Variáveis em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Aqui generaliza-se o método da separação de variáveis para coordenadas não cartesianas:

• Cilíndricas ($r, \varphi, z$): parte-se da equação de Laplace nesta forma e procura-se uma solução do tipo $V(r,\varphi,z) = R(r)\Phi(\varphi)Z(z)$. A equação divide-se em três equações diferenciais ordinárias:

  • Para $Z(z)$, uma equação exponencial ou hiperbólica.

  • Para $\Phi(\varphi)$, uma equação trigonométrica (seno/cosseno).

  • Para $R(r)$, surge a equação de Bessel, cuja solução completa requer funções especiais (funções de Bessel).

• Esféricas ($r, \theta, \varphi$): um processo análogo conduz à equação associada de Legendre.

• Estas soluções são usadas em problemas mais avançados, como a distribuição de potencial em cilindros coaxiais ou esferas com simetria parcial.

Nota: o livro não aprofunda as soluções completas (remete para referências), mas sublinha a importância destas equações diferenciais especiais em eletromagnetismo.

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6.9 Aplicações a Configurações Concretas

A secção aplica os métodos anteriores a exemplos específicos, calculando resistência e capacitância em geometrias particulares:

• Condutores planos e não uniformes: resistência obtida resolvendo Laplace.

• Condensadores coaxiais, esféricos e paralelos: recapitulam-se as fórmulas clássicas já obtidas.

• Exemplos numéricos mostram como calcular valores concretos de $R$ e $C$, incluindo casos de barras metálicas curvas e outras formas não triviais.

• Introduz-se também a noção de resistência de fuga nos dielétricos, reforçando que a resistência associada às expressões anteriores não é a dos condutores, mas sim a do meio dielétrico que os separa.

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Resumo

O resumo final destaca os pontos centrais do capítulo:

1. Problemas de valor de fronteira:

   • Surgem quando se conhecem condições de carga e/ou potencial apenas em superfícies, e pretende-se determinar $V$ e $\mathbf{E}$ em toda a região.

2. Equações fundamentais:

   • Poisson ($\nabla^2 V = -\rho_v/\epsilon$): válida em regiões com carga.

   • Laplace ($\nabla^2 V = 0$): válida em regiões sem carga.

3. Teorema da Unicidade:

   • Garante que, se uma solução satisfaz a equação diferencial e as condições de fronteira, então essa solução é única.

4. Procedimento de resolução:

   • Resolver a equação diferencial.

   • Impor condições de fronteira.

   • Determinar campos, correntes, cargas e eventualmente resistência ou capacitância.

5. Resistência e Capacitância:

   • Podem ser deduzidas a partir da equação de Laplace e das condições impostas.

   • Geometrias comuns: placas paralelas, coaxiais, esferas.

   • O produto $RC = \epsilon/\sigma$ define o tempo de relaxação do meio.

6. Método das Imagens:

   • Simplifica problemas com condutores, substituindo-os por cargas fictícias em posições adequadas.

7. Método da Separação de Variáveis:

   • Permite resolver a equação de Laplace em diferentes sistemas de coordenadas, levando a equações diferenciais clássicas (Bessel, Legendre).

O capítulo conclui que o estudo de problemas de valor de fronteira em eletrostática não só permite compreender melhor os campos e potenciais, como fornece as bases matemáticas para aplicações práticas em engenharia eletrotécnica e eletrónica (condensadores, isolamentos, dispositivos de alta tensão, etc.).

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Eletrónica I - IST

Pag.1 da resolução de um exercício do teste/exame de 30-06-2007

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Eletrónica - Amplificadores

Esquema de um amplificador de tensão e função de transferência que relaciona a tensão de saída com a tensão de entrada.
Quadro resumo dos quatro tipos de amplificadores:
- tensão - tensão
- corrente - corrente
- tensão - corrente
- corrente - tensão

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Fundamentos de Electrónica - IST - Heterojunções, Cap.6

Resumo de fórmulas, esquemas e gráficos do capítulo referente ao estudo das Heterojunções, do livro recomendado (Fundamentos de Eletrónica: A. C. Baptista, C. F. Fernandes, J. T. Pereira, J. J. Paisana 2012 Lidel).

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Fundamentos de Electrónica - IST, Formulário Cap.4

Resumo de fórmulas, esquemas e gráficos do capítulo referente ao estudo do FET (JFET, MOSFET, CMOS), do livro recomendado (Fundamentos de Eletrónica: A. C. Baptista, C. F. Fernandes, J. T. Pereira, J. J. Paisana 2012 Lidel)

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro Control System Engineering, 6th Edition by Norman S. Nise

Capítulo 1 – Introdução 

1.1 Introdução

Sistemas de controlo fazem parte do dia a dia, sendo aplicados em diversas áreas, como indústria, espaço e biologia. Eles são compostos por subsistemas que interagem para obter uma saída desejada a partir de uma entrada especificada. Um exemplo comum é o elevador, que responde a um comando para subir ou descer até um determinado andar.

Os sistemas de controlo oferecem quatro principais vantagens:

1. Amplificação de Potência

2. Controlo Remoto

3. Conveniência na Forma da Entrada

4. Compensação de Perturbações

1.2 História dos Sistemas de Controlo

Os sistemas de controlo têm uma longa história, desde mecanismos da Grécia Antiga até os modernos sistemas automáticos:

• Controlo de nível de líquidos: Relógios de água gregos utilizavam válvulas de flutuação.

• Regulação de pressão do vapor: Introduzida no século XVII.

• Controlo de velocidade: Governadores centrífugos foram utilizados em moinhos de vento e máquinas a vapor no século XVIII.

• Estabilidade e Controlo Automático: No século XIX, Maxwell e Lyapunov formularam teorias matemáticas para garantir estabilidade.

• Sistemas modernos: Durante o século XX, os avanços na eletrónica permitiram o desenvolvimento de sistemas de controlo complexos em aeronáutica, indústria e automação.

1.3 Configuração dos Sistemas de Controlo

Os sistemas de controlo podem ser classificados em dois tipos:

• Sistemas de Controlo em Malha Aberta: Não corrigem erros automaticamente. Exemplo: uma torradeira que opera por tempo predefinido.

• Sistemas de Controlo em Malha Fechada (Feedback): Monitorizam a saída e ajustam automaticamente. Exemplo: um termostato que regula a temperatura.

Os sistemas de malha fechada têm vantagens como maior precisão e menor sensibilidade a perturbações, mas podem ser mais complexos e caros.

1.4 Objetivos de Análise e Projeto

Os principais objetivos são:

1. Resposta Transitória: Determina quão rapidamente um sistema responde a uma entrada.

2. Erro em Regime Permanente: Mede a precisão da resposta final do sistema.

3. Estabilidade: Garante que o sistema não apresente respostas divergentes.

1.5 Processo de Projeto

O projeto de um sistema de controlo segue seis etapas:

1. Determinação dos requisitos físicos e especificações.

2. Elaboração de um diagrama funcional.

3. Representação do sistema em esquema elétrico e mecânico.

4. Formulação do modelo matemático.

5. Redução do diagrama de blocos para simplificação.

6. Análise e ajustes no projeto para atender às especificações desejadas.

1.6 Projeto Assistido por Computador

Ferramentas como MATLAB e LabVIEW auxiliam na modelação, simulação e projeto de sistemas de controlo. Elas permitem ajustes rápidos e avaliações precisas.

1.7 O Engenheiro de Sistemas de Controlo

O engenheiro de controlo trabalha em diferentes disciplinas, incluindo engenharia mecânica, elétrica e computacional. O estudo de sistemas de controlo capacita os engenheiros a desenvolverem soluções que melhoram processos industriais, automação e robótica.

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Eletrónica I, 2024-2025, da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

E1, FEUP, exercícios extra sobre AmpOps, Problema 2

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Resumo extraído do Capítulo 5 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 5 - Campo Elétrico em materiais

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Secção 5.1 – Introdução

Esta secção apresenta a ligação entre campos elétricos e magnéticos e a forma como estes interagem com diferentes materiais. Introduz-se a noção de densidade de corrente como a quantidade de carga em movimento por unidade de área e por unidade de tempo, sendo medida em A/m². Discute-se também o papel fundamental da lei de conservação da carga, expressa pela equação da continuidade, que relaciona a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga no tempo. A equação da continuidade é um resultado essencial que garante que a carga elétrica não se cria nem se destrói, apenas se transfere. Esta introdução estabelece a base para o estudo das correntes de condução e de convecção em diferentes meios.

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Secção 5.2 – Propriedades dos Materiais

Aqui são estudadas as características elétricas dos materiais e como estes respondem à aplicação de campos elétricos.

• Condutores: Materiais como os metais têm grande quantidade de eletrões livres, o que permite uma condução eficiente de corrente elétrica.

• Isoladores (dielétricos): Possuem pouquíssimos eletrões livres e, portanto, não conduzem corrente de forma significativa.

• Semicondutores: Têm propriedades intermédias e a sua condutividade pode ser controlada através de impurezas (dopagem) ou da temperatura.

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Secção 5.3 – Correntes de Convecção e Condução

Nesta parte distinguem-se dois tipos de correntes elétricas:

• Corrente de convecção: associada ao movimento de cargas livres em fluidos ou no espaço livre (por exemplo, eletrões num feixe catódico ou iões num plasma). A densidade de corrente de convecção é expressa como:

$$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}$$

onde $\rho_v$ é a densidade volumétrica de carga e $\mathbf{u}$ é a velocidade média das cargas.

• Corrente de condução: ocorre em condutores devido à aplicação de um campo elétrico, sendo descrita pela lei de Ohm:

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

Ambos os tipos de correntes obedecem à equação da continuidade, assegurando a conservação da carga. A secção mostra como estes modelos permitem descrever situações práticas em que a corrente elétrica circula através de diferentes meios, sejam gases ionizados, líquidos ou sólidos condutores.

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Secção 5.4 – Condutores

Nesta secção analisa-se o comportamento dos condutores quando submetidos a campos elétricos:

• Condutor isolado:

  • Quando um campo elétrico externo é aplicado a um condutor isolado, as cargas livres (elétrões) deslocam-se rapidamente.

  • Formam-se cargas induzidas na superfície, que criam um campo interno oposto ao externo.

  • O resultado é que o campo total no interior do condutor é nulo:

    $$\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0, \quad V_{ab} = 0$$

    Isto significa que um condutor perfeito é um equipotencial e não pode conter campo eletrostático no seu interior.

• Condutor ligado a uma fonte de tensão:

  • Se o condutor está ligado a uma fonte, o equilíbrio eletrostático não se estabelece, já que há movimento contínuo de cargas.

  • Para manter a corrente, é necessário um campo elétrico não nulo dentro do condutor.

  • A resistência de um condutor uniforme é obtida pela relação:

    $$R = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}$$

    onde $\ell$ é o comprimento, $S$ a área da secção transversal, $\sigma$ a condutividade e $\rho_c = 1/\sigma$ a resistividade.

  • Quando a secção não é uniforme, a resistência pode ser calculada com integrais envolvendo o campo elétrico e a densidade de corrente.

• Lei de Joule:

  • A potência dissipada num condutor é dada por:

    $$P = \int_V \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\, dv = \int_V \sigma E^2 \, dv$$

    ou, na forma mais usual,

    $$P = VI = I^2 R$$

    mostrando a conversão de energia elétrica em calor.

Esta análise mostra que a condução nos metais depende do movimento de eletrões sob ação de campos elétricos e das colisões com a rede cristalina.

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Secção 5.5 – Polarização em Dielétricos

Aqui é explorado como os dielétricos respondem a campos elétricos:

• Mecanismo de polarização:

  • Um átomo ou molécula é considerado como tendo cargas positivas (núcleo) e negativas (nuvem eletrónica).

  • Quando sujeito a um campo elétrico, há um deslocamento relativo entre estas cargas, formando um dipolo elétrico.

  • A soma dos dipolos por unidade de volume define a polarização:

    $$\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}$$

    em C/m².

• Tipos de dielétricos:

  • Não polares: só criam dipolos quando sujeitos a campo (ex.: gases nobres, oxigénio, azoto).

  • Polares: possuem dipolos permanentes que, sem campo, estão orientados aleatoriamente (ex.: água, HCl, poliestireno). O campo tende a alinhar esses dipolos.

• Cargas ligadas:

  • A polarização dá origem a uma densidade de carga de superfície ($\rho_{ps} = \mathbf{P}\cdot \mathbf{a}_n$) e a uma densidade de carga de volume ($\rho_{pv} = -\nabla \cdot \mathbf{P}$).

  • Estas não são cargas livres, mas resultam do deslocamento das cargas atómicas.

• Deslocamento elétrico:

  • A relação entre $\mathbf{D}$, $\mathbf{E}$ e $\mathbf{P}$ é:

    $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

  • Para muitos dielétricos, a polarização é proporcional ao campo elétrico:

    $$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$$

    onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica.

Assim, os dielétricos influenciam os campos elétricos através da polarização, aumentando o fluxo elétrico ($\mathbf{D}$) em relação ao que existiria no vácuo.

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Secção 5.6 – Constante Dielétrica e Força Dielétrica

Nesta secção analisam-se duas propriedades importantes dos dielétricos:

• Constante dielétrica (ou permissividade relativa $\varepsilon_r$):

  • Substituindo $\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$ em $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$, obtém-se:

    $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 (1+\chi_e)\mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E}$$

    com

    $$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$

  • A constante dielétrica é, portanto, a razão entre a permissividade do material e a do vácuo.

  • Valores típicos estão tabelados (vidro, mica, teflon, etc.), sendo sempre $\varepsilon_r \geq 1$.

• Força dielétrica:

  • Quando o campo elétrico é suficientemente elevado, os eletrões podem ser arrancados das moléculas do dielétrico.

  • O material deixa de ser isolante e torna-se condutor: ocorre a ruptura dielétrica.

  • O valor mínimo do campo que causa a ruptura é a força dielétrica, geralmente expressa em kV/mm.

  • Este limite depende do material, da temperatura, da humidade e da duração da aplicação do campo.

Em resumo, a constante dielétrica mede a capacidade de armazenamento de energia elétrica no material, enquanto a força dielétrica define o limite máximo de campo que o material pode suportar sem falhar.

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Secção 5.7 – Dielétricos Lineares, Isotrópicos e Homogéneos

Esta secção classifica os materiais dielétricos segundo três critérios fundamentais:

• Linearidade:
  Um dielétrico é linear quando a relação entre $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ é diretamente proporcional, isto é:

  $$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$$

  Se a permissividade $\varepsilon$ variar com o campo aplicado, o material é não linear.

• Homogeneidade:
  O material é homogéneo quando $\varepsilon$ é constante em todos os pontos do espaço (não depende das coordenadas espaciais).
  Se variar no espaço, o material é não homogéneo (exemplo: a atmosfera, cuja permissividade muda com a altitude).

• Isotropia:
  O material é isotrópico quando as propriedades são iguais em todas as direções, isto é, $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ são paralelos.
  Se não forem paralelos, o material é anisotrópico, e a relação entre $\mathbf{D}$ e $\mathbf{E}$ é expressa por uma matriz (tensor de permissividade). Cristais e plasmas magnetizados são exemplos de materiais anisotrópicos.

• Materiais simples:
  Na prática, a maioria dos problemas considera meios lineares, isotrópicos e homogéneos (LIH). Nesses casos, basta substituir $\varepsilon_0$ por $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ nas expressões obtidas para o vácuo.

Assim, fórmulas como a Lei de Coulomb e a energia armazenada num campo elétrico podem ser adaptadas diretamente para materiais dielétricos LIH.

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Secção 5.8 – Equação da Continuidade e Tempo de Relaxação

Esta secção trata da conservação da carga elétrica e do comportamento temporal da redistribuição de cargas em materiais:

• Equação da continuidade:
  A partir da lei de conservação da carga, deduz-se que:

  $$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$

  Esta equação indica que qualquer variação de carga num volume está associada ao fluxo de corrente que atravessa a sua superfície.
  Para correntes estacionárias ($\partial \rho_v / \partial t = 0$), resulta $\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$, o que é consistente com a Lei das Correntes de Kirchhoff.

• Tempo de relaxação ($T_r$):
  Considerando a lei de Ohm ($\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$) e a lei de Gauss ($\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho_v/\varepsilon$), obtém-se:

  $$\frac{\partial \rho_v}{\partial t} + \frac{\sigma}{\varepsilon} \rho_v = 0$$

  cuja solução é um decaimento exponencial:

  $$\rho_v(t) = \rho_{v0} e^{-t/T_r}$$

  com

  $$T_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

  chamado tempo de relaxação.

• Interpretação física:

  • Em bons condutores (ex.: cobre), $\sigma$ é muito elevado e $T_r$ é extremamente curto ($\sim 10^{-19}$ s). Isto significa que qualquer carga extra introduzida no interior migra para a superfície quase instantaneamente.

  • Em bons dielétricos (ex.: quartzo fundido), $\sigma$ é muito baixa, resultando num tempo de relaxação muito longo (dias). Assim, as cargas introduzidas permanecem no interior por longos períodos.

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Secção 5.9 – Condições de Contorno

Aqui são estabelecidas as condições que os campos elétricos devem satisfazer na fronteira entre dois meios diferentes.

• Decomposição dos campos:
  O campo elétrico é separado em duas componentes relativamente à superfície de separação:

  $$\mathbf{E} = \mathbf{E}_t + \mathbf{E}_n$$

  • $\mathbf{E}_t$: componente tangencial

  • $\mathbf{E}_n$: componente normal

• Entre dois dielétricos:
  Aplicando as equações de Maxwell:

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ é contínua:

    $$E_{1t} = E_{2t}$$

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ sofre descontinuidade proporcional à densidade de carga livre superficial $\rho_s$:

    $$D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$$

    Se não houver carga livre, $D_{1n} = D_{2n}$.

  • Estas relações levam à lei da refração elétrica, que descreve a inclinação das linhas de campo ao passar de um meio para outro:

    $$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$

• Entre condutor e dielétrico:

  • Dentro do condutor perfeito:

    $$\mathbf{E} = 0, \quad \rho_v = 0$$

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ na superfície é nula.

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ na superfície é igual à densidade de carga livre superficial:

    $$D_n = \rho_s$$

  • Aplicação prática: blindagem eletrostática (um condutor a zero potencial isola o seu interior de campos externos).

• Entre condutor e espaço livre:
  Caso particular da anterior, com $\varepsilon_r = 1$.
  Assim, o campo elétrico externo é normal à superfície e proporcional à densidade de carga superficial.

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Resumo

Neste capítulo estudaram-se as propriedades elétricas dos materiais e a forma como estes interagem com campos elétricos. Os principais pontos abordados foram:

• A densidade de corrente ($\mathbf{J}$) mede o fluxo de carga por unidade de área.

• A equação da continuidade garante a conservação da carga elétrica, relacionando a divergência da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade de carga.

• Existem dois tipos principais de corrente:

  • Corrente de convecção, resultante do movimento de partículas carregadas em fluidos ou no espaço.

  • Corrente de condução, causada pelo movimento de eletrões livres em condutores sob ação de um campo elétrico, obedecendo à lei de Ohm ($\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$).

• Em condutores perfeitos, o campo elétrico interno é nulo e as cargas livres distribuem-se na superfície. A potência dissipada em condutores reais segue a lei de Joule ($P = I^2R$).

• Em dielétricos, o campo elétrico provoca polarização, que é o alinhamento de dipolos elétricos. A polarização pode ser expressa em função da susceptibilidade elétrica $\chi_e$.

• O vetor deslocamento elétrico ($\mathbf{D}$) relaciona-se com o campo elétrico e a polarização através de:

  $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

• A constante dielétrica relativa ($\varepsilon_r$) quantifica a capacidade de um material armazenar energia elétrica.

• A força dielétrica indica o valor máximo de campo que um dielétrico pode suportar sem sofrer ruptura.

• Os materiais podem ser classificados como lineares ou não lineares, homogéneos ou não homogéneos, e isotrópicos ou anisotrópicos.

• A redistribuição temporal de cargas obedece ao tempo de relaxação ($T_r = \varepsilon / \sigma$), que é muito curto em bons condutores e muito longo em dielétricos.

• Foram estabelecidas as condições de contorno para os campos elétricos em interfaces:

  • A componente tangencial de $\mathbf{E}$ é contínua.

  • A componente normal de $\mathbf{D}$ sofre descontinuidade proporcional à carga superficial livre.

  • No caso de condutores, o campo elétrico é sempre normal à superfície e proporcional à densidade de carga.

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Equações Importantes

1. Densidade de corrente:

$$\mathbf{J} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{I}{\Delta S}$$

onde $I$ é a corrente que atravessa a área $\Delta S$.

2. Equação da continuidade:

$$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$

garante a conservação da carga elétrica.

3. Corrente de convecção:

$$\mathbf{J} = \rho_v \mathbf{u}$$

onde $\rho_v$ é a densidade volumétrica de carga e $\mathbf{u}$ a velocidade das partículas carregadas.

4. Corrente de condução (Lei de Ohm local):

$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$

onde $\sigma$ é a condutividade do material.

5. Resistência de um condutor uniforme:

$$R = \frac{\ell}{\sigma S} = \rho_c \frac{\ell}{S}$$

onde $\ell$ é o comprimento, $S$ a área da secção transversal, $\sigma$ a condutividade e $\rho_c$ a resistividade.

6. Potência dissipada num condutor (Lei de Joule):

$$P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}$$

7. Polarização:

$$\mathbf{P} = \frac{\sum Q_k \mathbf{d}_k}{\Delta v}$$

e, para materiais lineares,

$$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$$

onde $\chi_e$ é a susceptibilidade elétrica.

8. Deslocamento elétrico:

$$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$

9. Relação em dielétricos lineares, isotrópicos e homogéneos:

$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, \quad \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$

10. Tempo de relaxação:

$$T_r = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

11. Condições de contorno nos campos elétricos:

• Componente tangencial de $\mathbf{E}$:

$$E_{1t} = E_{2t}$$

• Componente normal de $\mathbf{D}$:

$$D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$$

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