Teste de Novembro de 2010
Exercício I.2)
Dado um conjunto de sinais pretende-se saber:- se são periódicos
- quais os seus períodos fundamentais
- se a soma dos sinais é um sinal periódico
- e, se for, qual o seu período fundamental
Dados:
- x₁(t) = cos(t/3)
- x₂(t) = sen(2t/7)
- x₃(t) = 2 cos(5t/2)
Resolução:
Quando temos sinais cos(ωt) ou sen(ωt), o período destes sinais é:
T = 2π/ω
Para os sinais acima, temos:
- T₁ = 2π/(1/3) = 6π
- T₂ = 2π/(2/7) = 7π
- T₃ = 2π/(5/2) = 4π/5
Para sabermos se a soma dos sinais é periódica, temos que fazer a razão entre o menor dos períodos e cada um dos outros. Se forem quocientes (fracções) de números inteiros, então o sinal soma é também periódico.
T₃/T₁ = (4π/5)/(6π) = 2/15 → Razão de n.º inteiros ✓
T₃/T₂ = (4π/5)/(7π) = 4/35 → Razão de n.º inteiros ✓
Para calcular o período fundamental da soma, temos que determinar o mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores dos períodos acima:
mmc(15, 35) = 105
T₀ = 105 x T₃ = 105 x 4π/5 ⟹ T₀ = 84π
Nota: imagens melhoradas em 2025 com ajuda de Claude Sonnet 4, a partir da minha resolução manuescrita no final da página.
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