Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Basic Engineering Circuit Analysis de J. David Irwin e R. Mark Nelms

Resumo do Capítulo 2 – Circuitos Resistivos

Objetivos de Aprendizagem

Este capítulo apresenta os fundamentos da análise de circuitos resistivos e ensina os alunos a:

• Aplicar a Lei de Ohm para calcular tensões e correntes.
• Utilizar as Leis de Kirchhoff para determinar tensões e correntes nos circuitos.
• Analisar circuitos de malha única e de nó único para calcular os parâmetros elétricos.
• Determinar a resistência equivalente de redes de resistores em série e paralelo.
• Aplicar os princípios da divisão de tensão e corrente.
• Transformar redes resistivas do tipo estrela para triângulo e vice-versa.
• Analisar circuitos com fontes dependentes.

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2.1 – Lei de Ohm

A Lei de Ohm estabelece que a tensão ($V$) através de uma resistência é proporcional à corrente ($I$) que a atravessa, com a resistência ($R$) como constante de proporcionalidade:

$$V = RI$$

As resistências são dispositivos que podem ser compradas com valores padronizados e são fabricadas em diferentes materiais, como carbono, fio enrolado, filme metálico ou semicondutores.

Outros conceitos abordados:

• A potência dissipada por uma resistência é dada por: $$P = VI = I^2 R = \frac{V^2}{R}$$
• A condutância ($G$) é o inverso da resistência: $$G = \frac{1}{R}$$

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2.2 – Leis de Kirchhoff

Lei das Correntes de Kirchhoff (KCL)

A soma algébrica das correntes que entram e saem de um nó é zero:

$$\sum I_{\text{entrada}} = \sum I_{\text{saída}}$$

Lei das Tensões de Kirchhoff (KVL)

A soma algébrica das tensões em qualquer malha fechada de um circuito é zero:

$$\sum V = 0$$

Isto é consequência da conservação de energia.

O capítulo apresenta exemplos práticos destas leis aplicadas a circuitos simples e complexos.

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2.3 – Circuitos de Malha Única

Circuitos de malha única contêm apenas um caminho fechado para a corrente. Aplicam-se a eles:

• Lei das Tensões de Kirchhoff (KVL) para encontrar tensões.
• Lei de Ohm para calcular correntes.
• O conceito de divisão de tensão: $$V_R = \frac{R}{R_{\text{total}}} V_{\text{fonte}}$$
• Redução de fontes de tensão em série para uma única fonte equivalente.

Exemplos incluem circuitos em série e análise de perdas de potência em linhas de transmissão.

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2.4 – Circuitos de Nó Único

Em circuitos paralelos, todos os elementos compartilham a mesma tensão. Aplicam-se a eles:

• Lei das Correntes de Kirchhoff (KCL) para encontrar correntes.
• Lei de Ohm para calcular tensões.
• O conceito de divisão de corrente: $$I_R = \frac{R_{\text{outro}}}{R_1 + R_2} I_{\text{fonte}}$$
• Redução de resistências em paralelo: $$R_{\text{eq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$
• Redução de fontes de corrente em paralelo para uma única fonte equivalente.

Exemplos incluem circuitos com várias fontes e métodos para encontrar a resistência equivalente em terminais específicos.

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Em suma

Este capítulo introduz as leis e conceitos fundamentais para a análise de circuitos resistivos, abordando tanto circuitos simples como redes complexas. O conhecimento adquirido aqui serve de base para estudos mais avançados em análise de circuitos elétricos.

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Control System Engineering, 6th Edition by Norman S. Nise

Capítulo 2 – Modelação no domínio da frequência

2.1 Introdução
Esta secção inicia a discussão sobre a modelação de sistemas físicos. São apresentados dois métodos principais de modelação: (1) funções de transferência no domínio da frequência e (2) equações de estado no domínio do tempo. O foco deste capítulo é a primeira abordagem, que permite separar de forma clara a entrada, o sistema (modelo) e a saída. A importância de aplicar as leis físicas fundamentais (como a lei de Ohm, as leis de Kirchhoff e as leis de Newton) para obter as equações diferenciais que regem o comportamento dos sistemas.

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2.2 Revisão da Transformada de Laplace
Nesta secção revê-se a transformada de Laplace, ferramenta essencial para converter equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a análise e a resolução dos sistemas.

• Definição e Propriedades: É apresentada a definição da transformada de Laplace e a importância do parâmetro complexo "S". Discutem-se as condições de existência (convergência) e a utilidade das condições iniciais, mesmo quando estas são descontínuas.

• Transformada Inversa: Explica-se como recuperar a função original através da transformada inversa e como a utilização de tabelas simplifica o processo, evitando integrações complexas.

• Teoremas e Expansões: São listados vários teoremas fundamentais (linearidade, deslocamento no tempo e na frequência, diferenciação, integração) que facilitam a manipulação das transformadas. A técnica de expansão em frações parciais é introduzida para decompor funções complexas em termos mais simples, facilitando assim a aplicação da transformada inversa.

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2.3 A Função de Transferência
Esta secção mostra como se pode obter uma representação do sistema que separa claramente a entrada, o sistema e a saída.

• Derivação a partir de Equações Diferenciais: Começa com uma equação diferencial linear e invariante no tempo, transformando-a utilizando a transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) para obter uma relação algébrica entre saída, C(s) e entrada, R(s).

• Definição e Representação: A função de transferência G(s) é definida como a razão entre a saída e a entrada (C(s)/R(s)). É enfatizado que o denominador desta função corresponde ao polinómio característico do sistema, e a representação em diagramas de blocos facilita a compreensão das interconexões dos subsistemas.

• Exemplos Práticos: São apresentados exemplos que ilustram a extração da função de transferência a partir de equações diferenciais simples, demonstrando como se pode obter a resposta do sistema a um determinado estímulo.

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2.4 Funções de Transferência em Circuitos Eléctricos
Nesta secção, o foco desloca-se para a modelação de circuitos elétricos, abrangendo tanto circuitos passivos (compostos por resistências, condensadores e bobines) como circuitos ativos com amplificadores operacionais.

• Modelação de Circuitos Passivos:

  • Relações Fundamentais: São resumidas as relações entre tensão, corrente e carga (ex.: a lei de Ohm e as relações de impedância e admitância para condensadores e bobines).

  • Análise por Malhas e Nós: São descritos métodos para obter a função de transferência, utilizando a análise por malhas (aplicação da lei das tensões de Kirchhoff) e a análise nodal (aplicação da lei das correntes de Kirchhoff).

  • Exemplos de Circuitos: São mostrados exemplos em que se determina a função de transferência de circuitos RLC simples, utilizando técnicas como a divisão de tensão e o redesenho dos circuitos no domínio de Laplace, onde os componentes são substituídos pelas suas impedâncias.

• Circuitos com Amplificadores Operacionais:

  • Configurações Inversora e Não Inversora: Explica-se o funcionamento básico dos amplificadores operacionais, destacando as suas características ideais (alta impedância de entrada, baixa impedância de saída e ganho elevado).

  • Implementação de Funções de Transferência: São apresentadas as configurações de circuitos inversores e não inversores, onde a função de transferência é determinada através de relações entre as impedâncias conectadas ao amplificador.

  • Aplicações Práticas: Um dos exemplos discutidos é o circuito PID (Proporcional-Integral-Derivativo), que utiliza um amplificador operacional para melhorar o desempenho do sistema de controlo.

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Circuitos, Análise de Circuitos, Circuitos Elétricos

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Análise de Circuitos/Teoria de Circuitos

Problema resolvido de TCFE (Teoria dos Circuítos e Fundamentos de Electrónica)

Resolução: determinar o equivalente de Norton aos terminais de um circuito

Resolução de problema de exame, de ACir, IST Alameda, MEEC

Resolução de um problema sobre resposta transitória de uma montagem RLC

Resolução de um exercício de teste (1-12-2012) de Circuitos Eléctricos e Sistemas Digitais

Resolução de exercício do exame de 23-01-2010, de Circuitos Eléctricos e Sistemas Digitais

Resolução de um problema de Electrónica de LEIC, ISEL

Resolução de um problema de teste de Fundamentos de Electrónica, da Escola Naval

Resolução de pergunta de teste de Electrónica de 2010-01-09  - ISEL - LEIC

Exercício de CESD

Circuitos Eléctricos - resolução de um exercício

Se quiser informações detalhadas sobre esta matéria (ou outras que encontre neste blogue), contacte-nos, de preferência por email. Este blogue destina-se à divulgação dos nossos serviços. É apenas uma pequena amostra do que sabemos e podemos fazer.

Resumo extraído do Capítulo 2 do livro "Microelectronic Circuits", 6th Edition, de Sedra and Smith

Capítulo 2 – Amplificadores Operacionais

Secção 2.1 – Introdução aos Amplificadores Operacionais

Esta secção introduz o conceito de amplificadores operacionais (AmpOps), destacando a sua versatilidade e importância em circuitos analógicos. Os amplificadores operacionais são dispositivos amplamente utilizados devido às suas características ideais, como ganho de tensão infinito, impedância de entrada infinita e impedância de saída nula.​

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Secção 2.2 – O Amplificador Operacional Ideal

Aqui, são discutidas as propriedades do amplificador operacional ideal, incluindo:​

• Ganho de tensão infinito: O AmpOp ideal amplifica qualquer diferença de tensão entre as suas entradas de forma ilimitada.​
• Impedância de entrada infinita: Não há corrente nas entradas, permitindo que o AmpOp  não carregue os circuitos anteriores.​
• Impedância de saída nula: A tensão de saída não é afetada pela carga conectada ao amplificador.​

Estas características permitem simplificar a análise de circuitos que utilizam amplificadores operacionais.​

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Secção 2.3 – Circuitos com Amplificadores Operacionais Ideais

Esta secção explora diversas configurações de circuitos que utilizam amplificadores operacionais ideais, tais como:​

• Amplificador inversor: Inverte a fase do sinal de entrada e proporciona um ganho determinado pela razão de resistências no circuito.​
• Amplificador não inversor: Mantém a fase do sinal de entrada e oferece um ganho positivo.​
• Seguidor de tensão (buffer): Fornece uma cópia exata da tensão de entrada na saída, com alta impedância de entrada e baixa impedância de saída.​
• Somador: Combina vários sinais de entrada numa única saída, ponderada por resistências específicas.​
• Integrador e diferenciador: Realizam operações matemáticas de integração e diferenciação sobre o sinal de entrada, respectivamente.​

Cada configuração é acompanhada de análises detalhadas e exemplos práticos de aplicação.​

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Secção 2.4 – Amplificadores Operacionais Reais e suas Características

Nesta secção, são abordadas as diferenças entre os amplificadores operacionais ideais e os reais. Os AmpOps reais apresentam limitações como:​

• Ganho de tensão finito: Embora elevado, é limitado e varia com a frequência.​
• Impedância de entrada alta, mas finita: Pode permitir pequenas correntes de entrada.​
• Impedância de saída baixa, mas não nula: Pode influenciar a tensão de saída dependendo da carga.​
• Largura de banda limitada: O ganho diminui a altas frequências.​
• Offset de tensão de entrada: Pequena tensão diferencial necessária para obter uma saída zero.​

A compreensão destas imperfeições é fundamental para o projeto de circuitos com amplificadores operacionais.​

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Secção 2.5 – Aplicações Avançadas de Amplificadores Operacionais

Esta secção explora aplicações mais complexas dos amplificadores operacionais, incluindo:​

• Filtros ativos: Implementação de filtros passa-baixo, passa-alto, passa-banda e rejeita-banda utilizando AmpOps para controlar características de frequência.​
• Osciladores: Geração de sinais periódicos sinusoidais ou de outra forma, utilizando realimentação positiva em circuitos com amplificadores operacionais.​
• Conversores de sinal: Circuitos que convertem sinais analógicos em digitais (ADC) ou digitais em analógicos (DAC) com o auxílio de amplificadores operacionais.​

São fornecidos exemplos práticos e análises de desempenho para cada aplicação.

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro "Logic and Computer Design Fundamentals" de Morris Mano

O capítulo 2 apresenta conceitos fundamentais sobre lógica combinatória, fornecendo a base para o projeto e otimização de circuitos digitais. As técnicas abordadas, como álgebra de Boole e Mapas de Karnaugh, são essenciais para a redução de custos e eficiência no design de sistemas digitais.

Capítulo 2 - Circuitos Lógicos Combinacionais

2.1 Lógica Binária e Portas Lógicas

Os circuitos digitais manipulam informação binária, sendo implementados em circuitos integrados. As portas lógicas são os blocos básicos, modeladas matematicamente sem a necessidade de compreender os seus componentes internos.

Operações Básicas da Álgebra de Boole

• AND: A saída é 1 apenas se todas as entradas forem 1.

• OR: A saída é 1 se pelo menos uma entrada for 1.

• NOT: Inverte o valor da entrada.

• NAND e NOR: Complementos das operações AND e OR, respectivamente.

• XOR e XNOR: Exclusivo-OU e o seu complemento.

2.2 Álgebra de Boole

A álgebra de Boole é uma ferramenta fundamental para a manipulação de expressões lógicas. Os operadores seguem leis e identidades que ajudam na simplificação dos circuitos:

• Leis Comutativa, Associativa e Distributiva

• Teorema de DeMorgan, que inverte a operação e os complementos

• Teorema da Consistência: elimina redundâncias em expressões lógicas

2.3 Formas Padrão de Expressões Booleanas

As funções lógicas podem ser expressas de duas formas padronizadas:

• Soma de Produtos (Sum of Products - SOP): Expressão formada por um conjunto de produtos (AND) somados (OR).

• Produto de Somas (Product of Sums - POS): Expressão com um conjunto de somas (OR) multiplicadas (AND).

Os conceitos de mintermos e maxtermos permitem a representação sistemática das funções lógicas.

2.4 Otimização de Circuitos de Dois Níveis

A otimização procura reduzir a complexidade de um circuito. O Mapa de Karnaugh (K-map) é uma ferramenta visual para simplificar expressões booleanas eliminando redundâncias e reduzindo o número de portas lógicas.

Critérios de Custo

• Custo Literal: Quantidade de aparições das variáveis.

• Custo de Entrada das Portas: Soma das entradas necessárias para implementar a expressão.

A minimização das expressões reduz a quantidade de portas e o tempo de propagação do sinal.

2.5 Linguagens de Descrição de Hardware (HDLs)

As linguagens VHDL e Verilog são introduzidas para descrever circuitos digitais. Elas permitem a modelação estrutural e comportamental dos circuitos e facilitam a automação do projeto e a síntese de hardware.

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Resumo extraído do Capítulo 5 do livro The Art of Electronics (2.ª edição), de Horowitz e Hill

Capítulo 5 — Filtros Activos e Osciladores

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5.01 Resposta em frequência com filtros RC

Filtros RC simples (resistência-condensador) produzem respostas em frequência de inclinação suave, que são suficientes para aplicações em que a frequência indesejada está bem afastada da banda de passagem. No entanto, para necessidades de separação mais rigorosa de frequências próximas, é necessário um filtro com uma banda de passagem mais plana e uma queda de ganho mais acentuada fora dela. Simplesmente encadear vários filtros RC com buffers não resolve, pois embora a inclinação global melhore, a “curva do joelho” permanece suave. Conclui-se que não se consegue obter uma resposta tipo queda abrupta com filtros RC passivos, mesmo com vários estágios.

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5.02 Desempenho ideal com filtros LC

Filtros com bobines (L) e condensadores (C) permitem alcançar respostas de frequência muito mais nítidas, com transições acentuadas e passagens planas. Exemplos como os filtros telefónicos demonstram que os circuitos LC podem aproximar-se bastante do desempenho ideal. Contudo, as bobines são volumosas, caras e apresentam imperfeições como resistências parasitas, não linearidade e susceptibilidade a interferência magnética. Por isso, procura-se uma alternativa sem bobinas que mantenha estas características ideais.

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5.03 Introdução aos filtros activos: visão geral

Filtros activos utilizam amplificadores operacionais (op-amps) para replicar características de filtros LC sem usarem bobinas. Podem implementar todos os tipos de filtros (passa-baixo, passa-alto, passa-banda, rejeita-banda) com diversas respostas (máxima planura, declive acentuado, atraso constante, etc.). Introduzem-se os conceitos de Negative-Impedance Converter (NIC) e gyrator, dois circuitos que simulam o comportamento de bobinas com apenas resistências, condensadores e amplificadores. Estes métodos permitem construir filtros activos com características semelhantes às dos filtros RLC clássicos, mas de forma mais prática e versátil.

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5.04 Critérios chave de desempenho dos filtros

Define-se uma série de parâmetros para caracterizar filtros:

• Domínio da frequência: onde se analisam o ganho e a fase em função da frequência. Inclui-se:

  • Banda de passagem: gama de frequências pouco atenuadas.

  • Banda de corte: onde o sinal é fortemente atenuado.

  • Região de transição: entre as duas anteriores.

  • Ondulações: variações no ganho dentro da banda de passagem.

• Domínio temporal: observa-se a resposta a sinais transitórios (degraus, impulsos), caracterizada por tempo de subida, sobre-elevação, oscilação e tempo de estabelecimento.

A linearidade da fase também é importante, pois variações não-lineares distorcem sinais mesmo dentro da banda de passagem.

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5.05 Tipos de filtros

Existem diferentes famílias de filtros, cada uma optimizada para diferentes critérios:

• Butterworth: passabanda com resposta maximamente plana, mas transição suave para a banda de corte. É fácil de implementar, mas tem más características de fase.

• Chebyshev: permite ondulações na banda de passagem para obter uma transição mais rápida para a banda de corte. Existe também a variante com ondulações na banda de corte (filtro elíptico ou Cauer) que melhora ainda mais a inclinação da transição.

• Bessel: optimizado para manter o atraso temporal constante e evitar distorções temporais, mesmo com uma transição menos acentuada em frequência. Ideal para sinais que requerem preservação de forma.

A escolha do filtro depende dos requisitos da aplicação: planura, inclinação, distorção temporal ou número de componentes. Cada tipo é adequado para diferentes contextos de uso.

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5.06 — Circuitos VCVS (Voltage-Controlled Voltage Source)

Os filtros activos mais comuns baseiam-se na topologia VCVS, uma variação do circuito de Sallen-Key, em que o seguidor de tensão (ganho unitário) é substituído por um amplificador não inversor com ganho superior a 1. Estes circuitos permitem implementar filtros de 2 polos (2ª ordem) com poucos componentes, sendo possíveis variantes passa-baixo, passa-alto e passa-banda.

A resposta do filtro é determinada pelos valores das resistências e capacidades, bem como pelo ganho do amplificador. Por encadeamento (cascata) de várias secções VCVS de 2 polos, é possível construir filtros de ordem superior (4, 6, 8 polos, etc.). Cada secção corresponde a um factor quadrático da função de transferência total.

Esta abordagem é popular pela sua simplicidade, baixo número de componentes e bom desempenho para muitos tipos de filtros padrão (Butterworth, Bessel, Chebyshev). No entanto, é sensível à tolerância dos componentes.

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5.07 — Projecto de filtros VCVS usando uma tabela simplificada

Esta secção apresenta uma forma prática de projectar filtros VCVS, com base numa tabela (Tabela 5.2) que fornece os ganhos e factores de normalização para diferentes tipos de resposta (Butterworth, Bessel e Chebyshev com 1 dB ou 2 dB de ripple) e ordens do filtro (2, 4, 6, 8 polos).

Processo de projecto:

• Escolhe-se o tipo de filtro (ex.: Butterworth, para planura máxima; Chebyshev, para transição rápida; Bessel, para bom desempenho temporal).

• Decide-se o número de polos (ordem do filtro).

• Colocam-se em cascata as secções de 2 polos necessárias (ex.: 3 secções para um filtro de 6 polos).

• A tabela fornece o ganho (K) e, quando necessário, um factor de escala para os valores RC de cada secção.

• Para filtros passa-alto, invertem-se os valores de frequência de normalização (usa-se 1/factor).

Filtros passa-banda ou rejeita-banda podem ser construídos combinando filtros passa-baixo e passa-alto, embora esta abordagem tenha limitações para filtros com Q elevado (factor de qualidade alta).

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5.08 — Filtros de variável de estado (State-variable filters)

Estes filtros são mais complexos do que os VCVS (tipicamente usam 3 ou 4 amplificadores operacionais), mas oferecem vantagens significativas:

• Maior estabilidade.

• Baixa sensibilidade a variações dos componentes.

• Facilidade de ajuste (frequência e Q podem ser ajustados independentemente).

• Permitem obter simultaneamente saídas passa-baixo, passa-alto e passa-banda a partir do mesmo circuito.

Estão disponíveis em forma de circuitos integrados comerciais (ex.: AF100, UAF série). Os fabricantes fornecem tabelas e fórmulas para desenhar filtros Butterworth, Chebyshev e Bessel com diversas ordens e respostas.

Estes filtros são especialmente úteis para implementações com elevada selectividade (filtros de Q elevado). São usados em aplicações que exigem estabilidade de frequência, boa precisão e ajustabilidade.

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5.09 — Filtros notch com Twin-T

A configuração Twin-T é um circuito passivo RC que cria um filtro rejeita-banda (notch) com atenuação máxima numa frequência específica. Caracteriza-se por uma forte atenuação no ponto de ressonância (frequência de entalhe), mas com uma queda de resposta suave nas frequências vizinhas — típico de redes RC.

Pode transformar-se em filtro activo com amplificadores operacionais para melhorar a profundidade da atenuação, formando um filtro activo de rejeição. No entanto, quanto maior for o ganho no circuito de realimentação (bootstrap), menor é a profundidade efectiva do entalhe devido a limitações práticas, como a estabilidade.

Há também a variante chamada “bridged-T”, que permite ajuste do entalhe com um único potenciómetro. Apesar de mais prática, requer igualmente boa correspondência entre componentes (condensadores e resistências).

Estes filtros são úteis para eliminar interferências específicas, como a frequência da rede eléctrica (50/60 Hz), mas não são adequados para filtros com alta selectividade ou aplicações com grande variação de frequência (são difíceis de sintonizar).

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5.10 — Implementação de filtros com gyrators

Os gyrators são circuitos activos que simulam bobines usando apenas resistências, condensadores e amplificadores operacionais. Um gyrator pode transformar o comportamento de um condensador numa bobine equivalente (L = CR²), permitindo replicar as propriedades de filtros LC sem usar bobines físicas.

Vantagens:

• Evita as limitações práticas das bobines reais (volume, custo, perdas, interferência magnética).

• Permite realizar filtros com resposta similar a filtros LC ideais.

Estas implementações são especialmente úteis em filtros de áudio, telefónicos ou outras aplicações em que a utilização de bobines seria impraticável. Filtros baseados em gyrators são geralmente mais estáveis e compactos, e os seus desempenhos aproximam-se bastante dos filtros passivos com bobinas.

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5.11 — Filtros de condensador comutado (Switched-capacitor filters)

Os filtros com condensadores comutados substituem resistências por circuitos comutadores (MOS) que operam com um sinal de relógio. Estes circuitos simulam a função de integração com precisão, e a frequência de corte do filtro torna-se proporcional à frequência do relógio.

Vantagens principais:

• Grande precisão e estabilidade, pois o ganho do integrador depende apenas da razão entre condensadores, facilmente controlável em tecnologia integrada.

• Facilidade de ajuste da frequência do filtro variando apenas a frequência do relógio.

• Implementação em circuito integrado (IC) facilita miniaturização e baixo custo.

Desvantagens:

• Presença de "clock feedthrough": interferência do sinal de relógio na saída (normalmente removível com um filtro RC).

• Possibilidade de aliasing: componentes do sinal perto da frequência de relógio podem ser misturadas para dentro da banda de passagem.

• Gama dinâmica reduzida devido ao ruído e injecção de carga dos interruptores MOS.

Estes filtros são ideais para aplicações de baixo custo e frequência relativamente baixa. Estão disponíveis em várias versões: filtros dedicados (ex.: MF4) e filtros universais (ex.: MF5), que permitem configuração externa para diferentes tipos de resposta.

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5.12 — Introdução aos Osciladores

Osciladores são componentes essenciais em quase todos os sistemas electrónicos — desde relógios digitais a instrumentos de medição, passando por computadores e telecomunicações. Geram formas de onda periódicas como relógios, sinais sinusoidais ou rampas.

Utilizações típicas incluem:

• Geração de sinais de referência.

• Controlo de tempo.

• Excitação de circuitos de medição ou processamento.

A escolha do tipo de oscilador depende da aplicação, sendo importantes factores como:

• Estabilidade e precisão da frequência.

• Pureza do sinal (baixo ruído de fase).

• Facilidade de ajuste e controlo.

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5.13 — Osciladores de relaxação

Os osciladores de relaxação baseiam-se na carga e descarga de um condensador até atingir um limiar, reiniciando então o ciclo. Produzem formas de onda triangulares ou dente-de-serra.

Características principais:

• Simplicidade: podem ser implementados com um amplificador operacional ou mesmo com inversores CMOS.

• Custo reduzido e poucos componentes.

• São ideais para frequências baixas a médias, mas menos precisos que os osciladores de cristal.

Exemplo: um op-amp com realimentação positiva pode gerar um ciclo de carga/descarga controlado por um limiar interno (como um Schmitt trigger). Também se pode obter um oscilador de baixa interferência (baixo ruído de fase) com CMOS inverters, útil em aplicações sensíveis.

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5.14 — O clássico temporizador 555

O 555 é um dos circuitos integrados mais populares de sempre para gerar sinais de temporização e oscilação. É um circuito de relaxação com lógica interna que carrega e descarrega um condensador através de resistências, produzindo um sinal rectangular.

Modos de funcionamento:

• Astável: oscilador contínuo (carga/descarga cíclica).

• Monoestável: gera um único pulso de duração definida.

• Gerador de rampa ou dente-de-serra: com fonte de corrente.

Vantagens:

• Funciona com tensões de 4,5 V a 16 V.

• Boa estabilidade de frequência.

• Pode ser usado como gerador de pulsos, rampas ou mesmo sinais com ciclos de trabalho (duty cycle) personalizados.

Limitações:

• Picos de corrente durante transições de saída.

• A versão bipolar (original) não fornece oscilação rail-to-rail nem baixas correntes de alimentação.

Alternativas CMOS (como o 7555) melhoram estes aspectos: menor consumo, funcionamento com tensões mais baixas, e melhor desempenho em alta frequência.

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5.15 — Osciladores controlados por tensão (VCOs)

Os VCOs (Voltage-Controlled Oscillators) produzem uma frequência de saída que varia em função de uma tensão de entrada. São essenciais em aplicações como modulação de frequência (FM), síntese de frequências, e controlo de fase (PLLs).

Características importantes:

• A linearidade da relação tensão-frequência.

• A estabilidade da frequência.

• A capacidade de modulação.

Existem muitos ICs comerciais com saídas em onda quadrada, triangular ou sinusoidal, com diferentes gamas de frequência e linearidade. Um VCO ideal teria:

• Boa linearidade.

• Baixo ruído de fase.

• Amplitude de saída constante.

Alguns chips combinam VCO com circuitos de controlo de fase (ex.: CD4046, usado em PLLs). Outros VCOs usam filtros de condensador comutado para gerar formas de onda moduladas com boa estabilidade.

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5.16 — Osciladores em quadratura (Quadrature oscillators)

Um oscilador em quadratura gera dois sinais sinusoidais de igual frequência e amplitude, com um desfasamento de 90° entre si — um sinal seno e um co-seno. Estes sinais são fundamentais em aplicações como:

• Geração de sinal de banda lateral única (SSB).

• Comunicação em quadratura.

• Síntese de sinais modulados.

Implementações possíveis:

• Usar um filtro passa-banda de condensador comutado (como o MF5), que recebe uma onda quadrada e filtra a frequência central, convertendo-a numa sinusóide. Uma realimentação adequada permite auto-oscilação.

• Usar geradores analógicos de funções trigonométricas (como o AD639), que convertem uma entrada triangular em saídas seno e co-seno com grande precisão.

Estes osciladores funcionam bem para frequências até cerca de 100 kHz. Podem ser utilizados como fontes sinusoidais de baixa distorção, ajustáveis em frequência e amplitude.

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5.17 — Geradores de funções trigonométricas analógicos

A Analog Devices produz circuitos integrados especializados, como o AD639, que gera funções trigonométricas a partir de tensões analógicas.

Características do AD639:

• Aceita uma entrada linear (ex.: uma rampa ou onda triangular).

• Gera em tempo real uma saída proporcional a sin(x) ou cos(x).

• Inclui uma tensão de referência precisa (+1,8 V).

• Gera saídas com elevada linearidade e baixa distorção.

Esta abordagem é particularmente útil para criar osciladores sinusoidais com excelente estabilidade e controlo preciso da frequência, sem depender de filtragem posterior de sinais triangulares.

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5.18 — Osciladores sinusoidais por filtragem

Outra técnica para gerar sinais sinusoidais consiste em:

1. Gerar uma onda quadrada (por exemplo, com um comparador).

2. Aplicar essa onda a um filtro passa-banda activo (ex.: com o CI MF5).

3. Realimentar a saída do filtro à entrada do comparador.

O filtro, ao ter uma resposta estreita (alto Q), selecciona uma única frequência da onda quadrada e mantém a oscilação. Este método resulta num oscilador sinusoidal auto-oscilante, com frequência definida pela frequência de corte do filtro.

É uma forma eficaz de produzir sinais sinusoidais limpos, com baixo custo e poucos componentes, adequada para frequências entre alguns Hz e dezenas de kHz.

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5.19 — Osciladores com cristal de quartzo

Cristais de quartzo vibram naturalmente a frequências precisas e estáveis, sendo usados para obter osciladores de altíssima estabilidade e baixo desvio.

Vantagens:

• Precisão e estabilidade muito elevadas (ppm).

• Baixo ruído de fase.

• Temperatura e envelhecimento pouco afectam a frequência.

Configurações típicas:

• Osciladores Pierce.

• Osciladores Colpitts com cristal.

• Amplificadores em realimentação com o cristal no laço.

Aplicações incluem:

• Relógios e temporizadores.

• Sistemas digitais síncronos.

• Equipamento de rádio e telecomunicações.

Osciladores com cristal são indispensáveis quando se exige referência de frequência estável ao longo do tempo e temperatura.

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5.20 — Estabilidade e ruído de osciladores

Esta secção aborda os factores que afectam a qualidade dos osciladores, nomeadamente:

• Estabilidade de frequência: depende do tipo de oscilador, componentes usados e controlo de temperatura.

• Ruído de fase (ou ruído lateral): resulta de flutuações de fase próximas da frequência fundamental, afectando sinais em rádio e comunicação digital.

• Sensibilidade à tensão de alimentação: é desejável que a frequência se mantenha constante mesmo com variações no fornecimento eléctrico.

• Influência da carga: o oscilador deve manter a frequência quando ligado a diferentes circuitos.

Uma boa escolha de topologia (como o uso de cristais ou reguladores de tensão) e de componentes (com baixo coeficiente térmico) é essencial para garantir desempenho previsível e fiável do oscilador.

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Resumo extraído do capítulo 3 do livro Modern Control Engineering de Katsuhiko Ogata, 5ª edição

Capítulo 3 – Modelos Matemáticos para Sistemas Mecânicos e para Sistemas Elétricos

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3–1 INTRODUÇÃO

Esta secção introduz o objectivo e o conteúdo geral do Capítulo 3, que trata da modelação matemática de sistemas mecânicos e eléctricos no contexto de engenharia de controlo.

No capítulo anterior (Capítulo 2), foram apresentados exemplos muito simples: um circuito eléctrico básico e um sistema mecânico elementar. Esses exemplos serviram para introduzir as ideias fundamentais de modelação. Agora, o propósito é generalizar e sistematizar o processo de modelação, aplicando-o a sistemas mais realistas e variados que se encontram com frequência em problemas de controlo.

O objectivo principal é mostrar como se podem obter modelos matemáticos de sistemas físicos que descrevam a sua dinâmica, ou seja, como a saída ou estado do sistema evolui em resposta a entradas ou forças actuantes. Esses modelos matemáticos podem depois ser usados para:

• Análise do comportamento dinâmico (por exemplo, estabilidade, resposta transitória).

• Projecto e síntese de controladores (compensadores, realimentação de estados).

• Simulação computacional.

Os dois domínios principais que serão estudados:

• Sistemas mecânicos, cuja dinâmica é governada pela segunda lei de Newton. Na Secção 3–2, será feita a aplicação directa dessa lei para derivar modelos de sistemas mecânicos mais complexos, incluindo a dedução de funções de transferência (que relacionam entrada e saída no domínio de Laplace) e modelos em espaço de estados (representação em termos de variáveis de estado e equações diferenciais de primeira ordem).

• Sistemas eléctricos, cujo comportamento segue as leis de Kirchhoff (lei das correntes e lei das tensões). A Secção 3–3 apresentará como aplicar estas leis a diferentes circuitos eléctricos, incluindo circuitos com resistências, bobines, condensadores e amplificadores operacionais (AmpOps), componentes muito usados em circuitos de controlo, filtros e compensadores.

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3–2 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS

A Secção 3–2 apresenta métodos sistemáticos para obter modelos matemáticos de sistemas mecânicos, fundamentais para o projecto e análise de sistemas de controlo. A abordagem baseia-se directamente na segunda lei de Newton, que relaciona forças com acelerações.

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Molas em paralelo e em série

• Apresenta como determinar a constante de mola equivalente (keq) para arranjos de molas:

  • Em paralelo: as constantes somam-se directamente (keq = k₁ + k₂).

  • Em série: a constante equivalente obtém-se pela fórmula do tipo resistência em paralelo (1/keq = 1/k₁ + 1/k₂).

• O Exemplo 3–1 mostra como deduzir estas fórmulas analisando as forças e deslocamentos nos sistemas representados em figuras.

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Amortecedores em paralelo e em série

• Um amortecedor é descrito como um amortecedor viscoso (óleo), gerando força proporcional à velocidade relativa.

• Para amortecedores:

  • Em paralelo: o coeficiente de atrito viscoso equivalente soma-se (beq = b₁ + b₂).

  • Em série: aplica-se a fórmula de resistências em paralelo (1/beq = 1/b₁ + 1/b₂).

• Exemplo 3–2 detalha estas deduções, mostrando como obter beq a partir de balanços de forças.

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Sistema massa–mola–amortecedor montado num carro sem massa

• Analisa um sistema com uma massa m, mola de constante k e amortecedor de coeficiente b, montado num carro considerado sem massa.

• Define-se a entrada como o deslocamento do carro (u(t)) e a saída como o deslocamento da massa (y(t)).

• Aplica-se a segunda lei de Newton para escrever a equação diferencial:

  $$m \frac{d^2 y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + ky = b \frac{du}{dt} + ku$$

• A transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) permite obter a função de transferência:

  $$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{bs + k}{ms^2 + bs + k}$$

• O texto explica que estas representações em função de transferência são amplamente usadas em engenharia de controlo.

• Em seguida, apresenta um modelo em espaço de estados para o mesmo sistema:

  • Define variáveis de estado.

  • Deduz as equações de estado e a equação de saída.

  • Mostra como expressar o sistema na forma matricial padrão.

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Sistema mecânico com duas massas ligadas

• Exemplo 3–4 analisa um sistema com duas massas (m₁ e m₂) ligadas por molas e amortecedores.

• Deriva as equações diferenciais que descrevem os movimentos relativos.

• Aplica a transformada de Laplace para obter funções de transferência que relacionam entradas e saídas (forças aplicadas e deslocamentos das massas).

• Mostra como resolver sistemas de equações no domínio de Laplace para obter essas funções.

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Pêndulo invertido montado num carro

• Exemplo 3–5 estuda um pêndulo invertido (modelo clássico em controlo), montado num carro com motor.

• O objectivo do sistema é manter o pêndulo na vertical, o que é naturalmente instável.

• Considera deslocamentos angulares pequenos para linearizar as equações:

  • Usa aproximações como sen(u) ≈ u e cos(u) ≈ 1.

• Deriva as equações de movimento usando a segunda lei de Newton para a translação e rotação.

• Obtém um modelo matemático que descreve o acoplamento entre o movimento do carro e o ângulo do pêndulo:

  $$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = u$$ $$(I + ml^2)\ddot{\theta} + ml\ddot{x} = mgl\theta$$

• Estas equações descrevem a dinâmica acoplada do carro e do pêndulo.

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Pêndulo invertido com massa concentrada no topo

• Exemplo 3–6 simplifica o modelo anterior assumindo que a massa do pêndulo está toda no topo (momento de inércia I ≈ 0).

• As equações tornam-se mais simples:

  $$(M + m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = u$$ $$ml\ddot{x} + ml^2\ddot{\theta} = mgl\theta$$

• Deriva uma função de transferência do ângulo do pêndulo em relação à força de controlo aplicada ao carro.

• Mostra que o sistema tem pólos reais, um no semi-eixo positivo (indicando instabilidade em malha aberta).

• Define variáveis de estado (x, ẋ, θ, θ̇) para obter uma representação em espaço de estados completa com matriz A (dinâmica), matriz B (entrada) e matriz C (saída)

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3–3 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉCTRICOS

Esta secção apresenta métodos para obter modelos matemáticos de sistemas eléctricos, baseando-se nas leis fundamentais que regem os circuitos eléctricos: as leis de Kirchhoff.

Leis de Kirchhoff

• Lei das correntes (lei dos nós): a soma algébrica das correntes que entram e saem de um nó é zero.

• Lei das tensões (lei das malhas): a soma algébrica das tensões em qualquer malha fechada é zero.

Estas leis são aplicadas para escrever equações diferenciais que descrevem o comportamento de circuitos eléctricos. A partir dessas equações diferenciais, obtêm-se funções de transferência e modelos em espaço de estados.

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Modelação de um circuito LRC

• Considere um circuito em série com indutância L, resistência R e capacitância C.

• Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff, obtém-se uma equação diferencial que relaciona a corrente i(t) com as tensões de entrada ei(t) e saída eo(t).

• Equações diferenciais:

  $$\frac{1}{C}\int i \,dt = e_o$$ $$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i\,dt = e_i$$

• A transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) permite obter a função de transferência:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}$$

• Também se apresenta um modelo em espaço de estados, definindo variáveis de estado adequadas para expressar o sistema como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem.

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Funções de Transferência em circuitos RC em cascata com efeito de carga

• Analisa-se um sistema formado por duas malhas RC ligadas em cascata.

• Mostra-se que a ligação em cascata causa efeito de carga: o segundo circuito "carrega" o primeiro, afectando o seu comportamento.

• São deduzidas as equações diferenciais e as transformadas no domínio de Laplace, mostrando que a função de transferência global não é simplesmente o produto das funções de transferência individuais dos estágios.

• Explica-se matematicamente como surge o termo extra no denominador (representando a interacção entre os estágios).

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Impedâncias complexas

• Introduz-se o conceito de impedância complexa no domínio de Laplace:

  • Resistor: R.

  • Indutor: LS.

  • Condensador: 1/(CS).

• As impedâncias em série somam-se, e em paralelo combinam-se como resistências equivalentes.

• Usando impedâncias complexas, pode-se obter directamente a função de transferência sem resolver as equações diferenciais originais.

• Exemplo:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = \frac{Z_2(s)}{Z_1(s) + Z_2(s)}$$

• Esta abordagem simplifica muito a análise de circuitos lineares.

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Elementos em cascata sem carga

• Aborda a situação em que dois blocos são ligados em cascata sem efeito de carga (o segundo não carrega o primeiro).

• Mostra que, quando a impedância de entrada do segundo bloco é infinita (por exemplo, com um amplificador de isolamento), o modelo global é o produto directo dos modelos individuais:

  $$G(s) = G_1(s) \times G_2(s)$$

• Exemplifica a prática comum de usar amplificadores com alta impedância de entrada para evitar o efeito de carga.

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Amplificadores operacionais (AmpOps)

• Introduz os AmpOps como componentes fundamentais em sistemas de controlo, sensores e electrónica em geral.

• Explica o funcionamento básico: amplificam a diferença de potencial entre os terminais de entrada, com ganho diferencial muito elevado.

• Características ideais:

  • Impedância de entrada infinita (não consome corrente).

  • Impedância de saída nula (pode fornecer corrente sem variação de tensão).

  • Necessidade de realimentação negativa para funcionamento estável.

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Circuitos com AmpOps

• Amplificador inversor: ganho negativo proporcional a -R₂/R₁.

• Amplificador não inversor: ganho positivo proporcional a 1 + R₂/R₁.

• Malhas de atraso de 1ª ordem: redes RC com AmpOp geram um polo de 1ª ordem no domínio de Laplace.

• Malhas de avanço ou atraso: redes RC específicas configuradas com AmpOps permitem criar compensadores do tipo avanço ou atraso, úteis para ajustar margens de fase e estabilidade.

• Efeito de inversão de sinal: alguns circuitos têm ganho negativo. Mostra-se como se pode adicionar um inversor de sinal para corrigir isso se necessário.

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PID com AmpOps

• Apresenta o controlador PID electrónico construído com AmpOps.

• Deduz a função de transferência geral:

  $$\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$$

• Mostra como definir os parâmetros proporcional (Kp), integral (Ki) e derivativo (Kd) em função das resistências e condensadores no circuito.

• Fornece fórmulas explícitas para determinar tempo integral (Ti) e tempo derivativo (Td) a partir dos componentes.

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Tabela de circuitos típicos

• Inclui uma tabela (Table 3–1) com esquemas de circuitos com AmpOps usados como controladores:

  • Proporcionais (P)

  • Integrais (I)

  • Proporcionais–derivativos (PD)

  • Proporcionais–integrais (PI)

  • Proporcionais–integrais–derivativos (PID)

  • Compensadores de avanço, atraso e avanço-atraso

• Para cada configuração, mostra a função de transferência correspondente em termos dos componentes eléctricos (resistências e condensadores).

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Análise de Circuitos/Teoria de Circuitos

Resolução pelo Teorema/Princípio da Sobreposição: podemos determinar a resposta de circuitos lineares a várias fontes, calculando a resposta a cada uma das fontes individualmente (anulando as restantes), e adicionando as respostas.
Anulam-se fontes de tensão substituindo-as por curto-circuitos.
Anulam-se fontes de corrente, substituindo-as por circuitos abertos.

Se quiser explicações sobre esta matéria (ou outras que encontre neste blogue), contacte-nos, de preferência por email. Este blogue destina-se à divulgação dos nossos serviços. É apenas uma pequena amostra do que sabemos e podemos fazer.

Resumo extraído do Capítulo 1 do livro "Logic and Computer Design Fundamentals" de Morris Mano

O Capítulo 1 do livro "Logic and Computer Design Fundamentals" de Morris Mano aborda os conceitos fundamentais dos sistemas digitais e da representação da informação. 

Capítulo 1 – Sistemas Digitais e Representação da Informação

Este capítulo introduz os conceitos fundamentais dos sistemas digitais, abordando a natureza da informação e como esta é representada e processada nos computadores. Começa por diferenciar sistemas analógicos e digitais, explicando por que os computadores modernos utilizam representação digital. Apresenta também as diferentes camadas de abstração no design computacional, os sistemas de numeração utilizados para manipulação de dados e os códigos binários usados para representar informação.

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1.1 Introdução aos Sistemas Digitais

Os sistemas digitais são baseados na manipulação de informação representada por valores discretos. O termo “digital” vem do latim digitus (dedo), pois os primeiros computadores foram concebidos para processar números inteiros representados como dígitos.

Os sistemas digitais utilizam circuitos lógicos para processar dados binários, onde cada valor pode ser representado por 0 (falso) e 1 (verdadeiro). Esta abordagem diferencia-se dos sistemas analógicos, que trabalham com sinais contínuos.

1.1.1 Computadores Digitais e a Importância do Binário

O computador digital é um sistema programável capaz de executar uma sequência de instruções armazenadas na memória. Ele processa informação usando circuitos lógicos binários, que operam com dois estados elétricos distintos (0 e 1). Essa escolha deve-se a:

• Simplicidade de implementação: os circuitos eletrónicos podem ser projetados para reconhecer apenas dois níveis de tensão.
• Maior resistência a ruído: sistemas digitais podem interpretar corretamente os valores, mesmo com pequenas variações na tensão.
• Facilidade de armazenamento e processamento: as operações aritméticas e lógicas podem ser realizadas de forma eficiente com números binários.

Os computadores modernos são sistemas digitais de uso geral, capazes de executar várias tarefas, desde cálculos numéricos até processamento de texto e multimédia.

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1.2 Representação da Informação

A informação pode ser classificada como contínua (analógica) ou discreta (digital). Os computadores lidam essencialmente com informação discreta, mas podem converter sinais analógicos para digital e vice-versa.

1.2.1 Sinais Analógicos vs. Sinais Digitais

• Sinal analógico: varia de forma contínua dentro de um intervalo. Exemplo: temperatura, pressão, corrente elétrica.
• Sinal digital: assume apenas um conjunto finito de valores distintos. Exemplo: valores binários 0 e 1.

Para converter sinais analógicos em digitais, usa-se um Conversor Analógico-Digital (ADC). O processo de conversão envolve:

1. Amostragem: medir o sinal analógico em intervalos de tempo fixos.
2. Quantização: atribuir um valor discreto ao sinal medido.
3. Codificação: representar o valor quantizado num sistema binário.

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1.3 Arquitetura de um Computador Digital

Um computador digital é composto por diferentes componentes interligados. A arquitetura básica inclui:

• Unidade Central de Processamento (CPU): processa dados e executa instruções.
• Memória: armazena programas e dados temporários e permanentes.
• Dispositivos de Entrada/Saída (I/O): permitem a interação do computador com o utilizador e outros sistemas.
• Barramento (Bus): interliga os componentes, permitindo a transferência de dados.

1.3.1 Modelo de um Computador Digital

Um computador digital é um sistema que executa instruções armazenadas na memória. A sua estrutura básica inclui:

• Memória: armazena programas e dados.
• Datapath: executa operações aritméticas e lógicas.
• Unidade de Controlo: gere a execução das instruções e o fluxo de informação.
• Entrada e Saída: permitem a comunicação com o utilizador e outros sistemas.

1.3.2 Sistemas Embebidos (Embedded Systems)

Além dos computadores pessoais, existem sistemas embebidos, que são dispositivos computacionais especializados em tarefas específicas. Exemplos incluem:

• Microcontroladores em automóveis.
• Sensores em eletrodomésticos.
• Dispositivos médicos.

Os sistemas embebidos utilizam software dedicado, muitas vezes armazenado permanentemente, para desempenhar funções específicas.

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1.4 Camadas de Abstração no Design de Computadores

Para lidar com a complexidade dos sistemas computacionais, o design é organizado em camadas de abstração, onde cada nível esconde os detalhes do nível inferior:

1. Algoritmos: descrevem o que precisa ser feito para resolver um problema.
2. Linguagens de Programação: traduzem os algoritmos para código executável.
3. Sistemas Operativos: gerem os recursos do computador e executam os programas.
4. Arquitetura do Conjunto de Instruções (ISA): define as operações que o processador pode executar.
5. Microarquitetura: descreve a implementação interna do processador.
6. Transferência de Registos: define como os dados circulam dentro do processador.
7. Portas Lógicas: implementam operações básicas.
8. Circuitos Transistorizados: realizam a computação física.

Este modelo permite a especialização em diferentes níveis do design de computadores.

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1.5 Sistemas de Numeração

Os computadores manipulam números em diferentes bases numéricas:

1. Decimal (Base 10): utilizado pelos humanos.
2. Binário (Base 2): usado internamente nos circuitos digitais.
3. Octal (Base 8) e Hexadecimal (Base 16): formas compactas de representar números binários.

1.5.1 Conversão entre Bases

A conversão entre sistemas de numeração é essencial para a comunicação entre humanos e computadores. Os principais métodos incluem:

• Conversão de Decimal para Binário: dividir sucessivamente por 2.
• Conversão de Binário para Decimal: expandir o número como uma soma de potências de 2.
• Conversão entre Binário, Octal e Hexadecimal: agrupar bits em conjuntos de 3 (octal) ou 4 (hexadecimal).

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1.6 Representação de Dados no Computador

Os computadores representam números, caracteres e outros tipos de dados através de códigos binários.

1.6.1 Código BCD (Binary-Coded Decimal)

O BCD representa números decimais com 4 bits por dígito decimal. Por exemplo, o número 185 em BCD seria:

(185)10 = (0001 1000 0101)BCD

1.6.2 Código ASCII

O ASCII (American Standard Code for Information Interchange) é um código de 7 bits que representa caracteres alfanuméricos e símbolos especiais. Exemplo:

'A' = 01000001
'B' = 01000010

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1.7 Operações Aritméticas em Binário

Os computadores realizam operações matemáticas usando números binários. Algumas regras básicas incluem:

• Adição binária: segue regras similares à adição decimal, mas com base 2.
• Subtração binária: pode usar o método do complemento para facilitar os cálculos.
• Multiplicação binária: baseada em deslocamentos e somas sucessivas.
• Divisão binária: semelhante à divisão decimal, mas operando em binário.

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