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EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior

Resumo extraído do Capítulo 3, do livro: Electric Machinery - 7ª edição — Fitzgerald & Kingsley - Umans

Capítulo 3 - Princípios da conversão eletromecânica de energia

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Secção 3.1 – Forças e Binários em Sistemas de Campo Magnético

Nesta secção é introduzida a lei de Lorentz, que descreve a força $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ exercida sobre uma partícula com carga $q$ em presença de campos elétrico $\mathbf{E}$ e magnético $\mathbf{B}$. São analisados dois casos específicos:

1. Campo elétrico puro ($\mathbf{B} = 0$): a força é $\mathbf{F} = q\mathbf{E}$ e actua na direção do campo, independentemente do movimento da partícula.

2. Campo magnético puro ($\mathbf{E} = 0$): a força é $\mathbf{F} = q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})$, perpendicular tanto ao movimento como ao campo magnético, cuja direção é dada pela regra da mão direita.

Para sistemas com muitas partículas em movimento, introduz-se o conceito de densidade de carga $\rho$ e de densidade de corrente $\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}$, levando à forma da força por unidade de volume:
$\mathbf{f}_v = \mathbf{J} \times \mathbf{B}$

É demonstrado com um exemplo prático (Exemplo 3.1) o cálculo do binário sobre um rotor com uma bobina de uma espira sujeita a um campo magnético uniforme. Conclui-se que:

• Em sistemas com fios condutores e geometria simples, a equação $\mathbf{f}_v = \mathbf{J} \times \mathbf{B}$ é útil.

• Em dispositivos práticos com materiais magnéticos, essa equação não é suficiente, pois a força também atua nos materiais, não apenas nas cargas em movimento.

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Secção 3.2 – Balanço de Energia e o Método da Energia

Esta secção introduz o princípio da conservação de energia como base para o cálculo de forças e binários em sistemas eletromecânicos. Considera-se um sistema com entrada de energia elétrica, saída de energia mecânica, armazenamento de energia no campo magnético e perdas por calor:

$$\text{Energia elétrica de entrada} = \text{Energia mecânica de saída} + \text{Energia armazenada} + \text{Perdas}$$

A análise foca-se em sistemas sem perdas (elementos de armazenamento idealizados) que ligam terminais elétricos e terminais mecânicos via energia armazenada em campos magnéticos.

Usando um modelo idealizado (Fig. 3.3a), o sistema é representado com:

• Variáveis elétricas: tensão $e$, corrente $i$

• Variáveis mecânicas: força $f_{\text{fld}}$, posição $x$

A potência elétrica de entrada é $ei$, a potência mecânica de saída é $f_{\text{fld}} \cdot \frac{dx}{dt}$, e a variação da energia armazenada é:

$$\frac{dW_{\text{fld}}}{dt} = ei - f_{\text{fld}} \cdot \frac{dx}{dt}$$

Combinando com a equação da força eletromotriz $e = \frac{d\lambda}{dt}$, obtém-se:

$$dW_{\text{fld}} = i \, d\lambda - f_{\text{fld}} \, dx$$

Esta equação é a base do método da energia, permitindo determinar as forças eletromagnéticas a partir da variação da energia armazenada em função das variáveis de estado (fluxo ligado $\lambda$ e posição $x$). O método oferece uma forma eficaz de analisar dispositivos complexos sem recorrer a distribuições de campo detalhadas.

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Secção 3.3 – Energia em Sistemas de Campo Magnético com Excitação Simples

Esta secção trata da aplicação do método da energia a sistemas de excitação simples, ou seja, com uma única bobina como fonte de energia magnética e um terminal mecânico com deslocamento linear (ou angular, por analogia).

Conceitos principais:

• O exemplo usado é um relé eletromagnético com armadura móvel e núcleo de elevada permeabilidade.

• A energia é armazenada maioritariamente nos entreferros (air-gaps), pois têm uma relutância muito superior à do material magnético.

• Adota-se o modelo linear: a relação entre o fluxo ligado $\lambda$ e a corrente $i$ é dada por:

  $$\lambda = L(x) \cdot i$$

  onde $L(x)$ é a indutância dependente da posição $x$.

Cálculo da energia armazenada:

Partindo da equação deduzida na secção anterior:

$$dW_{\text{fld}} = i \, d\lambda - f_{\text{fld}} \, dx$$

e assumindo uma trajetória de integração em que $x$ se mantém constante, obtém-se:

$$W_{\text{fld}}(\lambda, x) = \int_0^{\lambda} i(\lambda', x) \, d\lambda'$$

Para sistemas lineares:

$$W_{\text{fld}}(\lambda, x) = \frac{\lambda^2}{2L(x)} \quad \text{ou} \quad W_{\text{fld}}(i, x) = \frac{1}{2} L(x) i^2$$

Exemplos:

• Exemplo 3.2: cálculo da energia armazenada num relé com entreferro uniforme. Mostra que a energia armazenada depende da posição da armadura $x$ através da área do entreferro e da indutância.

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Secção 3.4 – Determinação da Força e do Binário Magnético a partir da Energia

Nesta secção, o objetivo é determinar forças e binários eletromagnéticos usando o método da energia, sem analisar detalhadamente os campos.

Princípio base:

A energia armazenada $W_{\text{fld}}$ é uma função de estado das variáveis independentes $\lambda$ (fluxo ligado) e $x$ (posição). A partir do diferencial total:

$$dW_{\text{fld}}(\lambda, x) = i \, d\lambda - f_{\text{fld}} \, dx$$

e aplicando cálculo diferencial:

$$i = \frac{\partial W_{\text{fld}}}{\partial \lambda} \bigg|_x \quad \text{e} \quad f_{\text{fld}} = - \frac{\partial W_{\text{fld}}}{\partial x} \bigg|_\lambda$$

Fórmulas práticas:

• Para sistemas lineares ($\lambda = L(x) i$), com energia dada por:

  $$W_{\text{fld}} = \frac{\lambda^2}{2L(x)}$$

  a força é:

  $$f_{\text{fld}} = \frac{\lambda^2}{2L^2(x)} \cdot \frac{dL(x)}{dx}$$

  ou, substituindo $\lambda = L(x)i$:

  $$f_{\text{fld}} = \frac{i^2}{2} \cdot \frac{dL(x)}{dx}$$

Exemplos:

• Exemplo 3.3: cálculo da força sobre um êmbolo com base em dados experimentais de indutância em função da posição $x$, usando ajuste polinomial e o MATLAB.

• Também se mostra como manter $\lambda$ constante (por exemplo, via controlador) e ainda assim calcular a força com base na derivada da energia.

Versão rotativa:

• Quando o terminal mecânico é rotativo, substitui-se $x$ por $\theta$ (ângulo) e a força por torque $T_{\text{fld}}$:

  $$T_{\text{fld}} = - \frac{\partial W_{\text{fld}}(\lambda, \theta)}{\partial \theta} \bigg|_\lambda$$

• Exemplo 3.4: rotor oval com entreferro não uniforme, cuja indutância varia com $\theta$. O binário é calculado como:

  $$T_{\text{fld}}(\theta) = -\frac{1}{2} \lambda^2 \cdot \frac{d}{d\theta} \left( \frac{1}{L(\theta)} \right)$$

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Secção 3.5 — Coenergia

A secção 3.5 introduz o conceito de coenergia como uma ferramenta útil para análise de sistemas eletromecânicos, especialmente quando se pretende expressar forças ou binários (torques) em termos de corrente em vez de ligação de fluxo. Esta abordagem complementa a análise baseada em energia, permitindo obter expressões mais simples e práticas.

Para sistemas com uma única excitação, a coenergia é definida como:

$$W'_{fld}(i, x) = i \lambda(i, x) - W_{fld}(\lambda, x)$$

E o seu valor diferencial é:

$$dW'_{fld}(i, x) = \lambda di + f_{fld} dx$$

Isto implica que:

• A ligação de fluxo é dada por:

  $$\lambda = \frac{\partial W'_{fld}}{\partial i}$$

• A força eletromagnética é dada por:

  $$f_{fld} = \frac{\partial W'_{fld}}{\partial x}$$

No caso de sistemas lineares, a coenergia é idêntica à energia armazenada no campo magnético. Em sistemas não lineares, as duas são diferentes, mas a coenergia continua a ser útil por permitir o cálculo direto da força ou torque com base na corrente, o que é comum em situações práticas.

A secção termina com um exemplo numérico que mostra como calcular o torque a partir da coenergia num sistema com rotor saliente, utilizando uma expressão explícita dependente da corrente e da posição angular.

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Secção 3.6 — Sistemas de Campo Magnético com Múltiplas Excitações

Esta secção generaliza a análise para sistemas com múltiplas excitações elétricas, ou seja, com mais do que um enrolamento. Estes sistemas aparecem frequentemente em máquinas elétricas, instrumentos de medição e atuadores eletromecânicos complexos.

Estrutura da Análise

É apresentado um sistema genérico com dois enrolamentos e um terminal mecânico rotativo. A análise é feita com base em três variáveis independentes, geralmente escolhidas entre: θ (posição angular), λ₁, λ₂ (ligações de fluxo), i₁, i₂ (correntes).

A energia armazenada diferencial no campo magnético é dada por:

$$dW_{fld}(\lambda_1, \lambda_2, \theta) = i_1 d\lambda_1 + i_2 d\lambda_2 - T_{fld} d\theta$$

As relações derivadas são:

• Correntes como derivadas parciais da energia em relação às ligações de fluxo.

• Torque como derivada negativa da energia em relação à posição angular.

Coenergia para Sistemas com Múltiplas Excitações

Define-se então a coenergia:

$$W'_{fld}(i_1, i_2, \theta) = \lambda_1 i_1 + \lambda_2 i_2 - W_{fld}$$

Com a sua forma diferencial:

$$dW'_{fld} = \lambda_1 di_1 + \lambda_2 di_2 + T_{fld} d\theta$$

E as correspondentes derivadas parciais para determinar ligações de fluxo e torque diretamente a partir das correntes:

$$T_{fld} = \frac{\partial W'_{fld}}{\partial \theta}$$

Sistema Linear

Para sistemas lineares (λ₁ e λ₂ expressos em função de i₁, i₂ e indutâncias L₁₁, L₁₂, L₂₂):

$$W'_{fld}(i_1, i_2, \theta) = \frac{1}{2}L_{11} i_1^2 + \frac{1}{2}L_{22} i_2^2 + L_{12} i_1 i_2$$

O torque pode ser calculado diretamente como:

$$T_{fld} = \frac{1}{2} i_1^2 \frac{dL_{11}}{d\theta} + \frac{1}{2} i_2^2 \frac{dL_{22}}{d\theta} + i_1 i_2 \frac{dL_{12}}{d\theta}$$

Exemplo Prático

A secção inclui um exemplo com valores específicos de indutâncias variáveis com a posição (dependência trigonométrica de θ). O torque resultante é a soma de:

• Torque de interação mútua entre os enrolamentos (proporcional a i₁i₂ sinθ).

• Torque de relutância, devido à variação das indutâncias próprias com θ (proporcional a i² sin2θ).

Estes torques são representados graficamente e discutidos em termos físicos.

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Secção 3.7 — Forças e Binários em Sistemas com Ímanes Permanentes

Contexto e Problema

As secções anteriores abordam sistemas cujos campos magnéticos são gerados por correntes elétricas em enrolamentos. No entanto, muitos dispositivos práticos usam ímanes permanentes (ou materiais magnéticos duros), como motores brushless, sensores e atuadores.

Nestes sistemas, os métodos tradicionais de cálculo de energia e coenergia requerem adaptação, uma vez que:

• A densidade de fluxo B não é nula quando o campo magnético H = 0.

• A coercividade do íman (Hc) implica um campo interno não nulo, mesmo sem corrente.

Técnica com Enrolamento Fictício

Para adaptar os métodos clássicos, a secção propõe um método analítico baseado num enrolamento fictício, que:

• É colocado no mesmo caminho magnético do íman.

• Tem corrente nula durante a operação normal.

• Serve apenas como artifício matemático para calcular a energia ou coenergia.

Esta abordagem permite:

1. Calcular a coenergia com base na corrente no enrolamento fictício.

2. Derivar a força ou binário aplicando as fórmulas já conhecidas da coenergia.

Equivalência com Enrolamento Real

O íman permanente pode ser substituído por:

• Um material magnético linear com a mesma permeabilidade.

• Um enrolamento com força magnetomotriz equivalente (Ni) = −Hc·d.

Esta substituição produz o mesmo fluxo no circuito externo e a mesma força. Tal equivalência permite:

• Aplicar técnicas convencionais com enrolamentos.

• Combinar ímanes permanentes e enrolamentos reais num único modelo analítico.

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Secção 3.8 — Equações Dinâmicas

Objetivo

Esta secção integra os conceitos de energia, coenergia, forças e binários no modelo dinâmico completo de um sistema eletromecânico. O objetivo é descrever a interação entre:

• O circuito elétrico.

• O sistema de conversão de energia.

• O sistema mecânico externo.

Modelo Geral

Um sistema tipicamente inclui:

• Fonte elétrica (tensão v₀ e resistência R).

• Enrolamento com fluxo λ e corrente i.

• Parte mecânica com massa M, mola (constante K) e amortecimento (coeficiente B).

Equações Fundamentais

1. Equação elétrica (derivada da lei de Faraday):

$$v_0 = R i + \frac{d\lambda}{dt}$$

Se λ = L(x)i:

$$v_0 = R i + L(x) \frac{di}{dt} + i \frac{dL(x)}{dx} \frac{dx}{dt}$$

O termo final é a tensão de velocidade, típica em sistemas com movimento.

2. Equação mecânica (equilíbrio de forças):

$$f_{fld} - K(x - x_0) - B\frac{dx}{dt} - M\frac{d^2x}{dt^2} = f_0$$

Ou reorganizada:

$$f_0(t) = -M\frac{d^2x}{dt^2} - B\frac{dx}{dt} - K(x - x_0) + f_{fld}(x, i)$$

Exemplo Prático (Ex. 3.10)

Analisa-se um solenóide com êmbolo móvel e guiado por anéis de latão:

• O fluxo passa radialmente.

• A indutância depende da posição x.

• A força magnética e a tensão induzida são derivadas explicitamente como funções de x e i.

Obtem-se as equações diferenciais acopladas que descrevem a dinâmica completa do sistema:

• Equação da força magnética:

$$f_{fld} = \frac{1}{2} i^2 \frac{dL}{dx}$$

• Equação da tensão:

$$v_t = Ri + L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dx} \frac{dx}{dt}$$

• Equação do movimento:

$$f_t = -M \frac{d^2x}{dt^2} - B \frac{dx}{dt} - K(x - l_0) + f_{fld}$$

Aplicação

Estas equações permitem:

• Simulações numéricas (por ex., com MATLAB/Simulink).

• Estudo do comportamento transitório do sistema.

• Análise de estabilidade, tempo de resposta e força resultante.

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Secção 3.9 — Técnicas Analíticas

Objectivo

A secção 3.9 explora métodos analíticos e numéricos para resolver as equações dinâmicas não-lineares de sistemas eletromecânicos desenvolvidas na secção anterior. As técnicas apresentadas aplicam-se tanto a sistemas de movimento grosseiro (como solenóides e relés) como a transdutores de pequena amplitude, sendo adaptáveis a sistemas mais complexos que os exemplos anteriores.

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3.9.1 Movimento Grosseiro 

Esta subsecção centra-se na resolução das equações diferenciais não-lineares obtidas de dispositivos como atuadores ou solenóides, que produzem movimento substancial.

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3.9.2 Linearização

Quando os dispositivos operam perto de um ponto de equilíbrio, é possível simplificar as equações linearizando-as para obter respostas mais fáceis de analisar, especialmente em transdutores e sistemas de controlo.

Estratégia:

Cada variável é escrita como:

$$x = X_0 + x', \quad i = I_0 + i', \quad v_t = V_0 + v', \quad f_t = F_0 + f'$$

Substituindo nas equações diferenciais originais e descartando termos de segunda ordem, obtém-se um sistema linear de equações diferenciais. 

Estas equações permitem:

• Análise em frequência (via números complexos).

• Estudo de estabilidade e resposta a pequenos sinais.

• Determinação de ganhos, constantes de tempo e pontos de ressonância.

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Secção 3.10 — Sumário

Esta secção sintetiza os conceitos centrais do capítulo 3, agrupando-os numa visão coesa dos princípios fundamentais da conversão de energia eletromecânica.

Conceitos-Chave:

1. Armazenamento de Energia em Campos:

   • A energia armazenada em campos magnéticos (ou elétricos) pode gerar forças ou binários quando há variação geométrica (ex: deslocamento linear ou angular).

   • Essa energia é convertida em movimento mecânico quando há interação entre corrente e campo.

2. Sistemas Conservativos:

   • A modelação considera sistemas conservativos, onde perdas são atribuídas externamente (em resistências, amortecedores, etc.).

   • A energia armazenada é uma função de estado dependente das variáveis do sistema (λ, i, x, θ...).

3. Coenergia:

   • A coenergia é introduzida como uma ferramenta alternativa e eficaz para calcular forças/torques a partir das correntes, especialmente útil em sistemas com múltiplas excitações.

4. Múltiplas Excitações:

   • Dispositivos reais muitas vezes possuem mais do que um enrolamento.

   • A análise com coenergia permite determinar o binário com expressões simples, mesmo quando há variação das indutâncias com a posição.

5. Ímanes Permanentes:

   • Sistemas com ímanes permanentes requerem cuidados especiais, mas podem ser analisados introduzindo um enrolamento fictício.

   • Este modelo permite manter a consistência com a abordagem baseada em energia/coenergia.

6. Equações Dinâmicas:

   • A integração dos domínios elétrico e mecânico leva a um modelo dinâmico completo.

   • Essas equações geralmente não são lineares e são resolvidas com técnicas numéricas (ex: Simulink), mas podem ser linearizadas para análise de estabilidade ou controlo.

7. Aplicabilidade Universal:

   • Os princípios aqui desenvolvidos são aplicáveis a máquinas rotativas (tema dos capítulos seguintes) e a transdutores lineares, servindo como base unificadora.

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Secção 3.11 — Variáveis do Capítulo 3

Esta secção reúne todas as variáveis utilizadas ao longo do Capítulo 3 com os respetivos símbolos, unidades e significados, de modo a facilitar a consulta e a interpretação das equações.

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Grandezas Mecânicas e Geométricas

Símbolo	Significado	Unidade (SI)
$\alpha, \theta$	Posição angular	rad (radianos)
$x, X$	Deslocamento linear	m (metros)
$r$	Raio	m
$a, h, l, d, D, W$	Dimensões lineares diversas	m
$A$	Área	m²
$v$	Velocidade linear	m/s
$M$	Massa	kg
$K$	Constante de mola	N/m
$B$	Coeficiente de amortecimento	N·s/m ou kg/s
$T, T_{fld}$	Binário (torque)	N·m
$f, f_{fld}, F$	Força	N

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Grandezas Elétricas e Magnéticas

Símbolo	Significado	Unidade (SI)
$i, I$	Corrente elétrica	A (ampères)
$\lambda$	Ligação de fluxo (flux linkage)	Wb (weber)
$\phi$	Fluxo magnético	Wb
$v, e$	Tensão ou força eletromotriz	V (volts)
$R$	Resistência elétrica	Ω (ohm)
$L$	Indutância	H (henries)
$N$	Número de espiras (voltaspelo enrolamento)	adimensional
$H$	Intensidade de campo magnético	A/m
$B$	Densidade de fluxo magnético	T (tesla)
$\mu$	Permeabilidade magnética	H/m
$\mu_0$	Permeabilidade do vácuo (ou ar)	$4\pi \times 10^{-7}$ H/m
$\mu_R$	Permeabilidade relativa do íman	H/m
$H_c$	Coercividade do material magnético	A/m
$B_r$	Remanência magnética (magnetização residual)	T
$F$	Força magnetomotriz (f.m.m.)	A (ampères)
$R$ (magnético)	Relutância	1/H (H⁻¹)
$\rho$	Densidade de carga elétrica	C/m³
$q$	Carga elétrica	C (coulomb)
$J$	Densidade de corrente	A/m²
$E$	Campo elétrico	V/m

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Energia e Potência

Símbolo	Significado	Unidade (SI)
$W_{fld}$	Energia armazenada no campo magnético	J (joules)
$W'_{fld}$	Coenergia magnética	J
$P_{elec}$	Potência elétrica fornecida	W (watts)
$P_{mech}$	Potência mecânica de saída	W

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Subscritos e Notações Comuns

Subscrito	Significado
$e$	Externo (elétrico ou mecânico)
$f$	Relativo ao campo magnético
$m$	Relativo ao íman (permanente)
$ag$ ou "gap"	Entreferro (air gap)
$equiv$	Valor equivalente (ex: força magnetomotriz)
$0$	Valor de referência ou inicial (ex: posição)

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EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior

Resumo extraído do capítulo 1 do livro Communication Systems – An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication de Carlson & Crilly, 5ª edição

Capítulo 1 – Introdução

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1.1 Elementos e Limitações dos Sistemas de Comunicação

Um sistema de comunicação serve para transferir informação de uma origem para um destino a alguma distância. Apesar de existirem muitos tipos diferentes de sistemas de comunicação (circuitos, electrónica, electromagnetismo, processamento de sinal, microprocessadores, redes), a abordagem do livro é geral: identifica princípios e problemas de transferir informação em forma eléctrica.

Informação, Mensagens e Sinais

• Informação é um conceito difícil de definir, por isso trabalha-se com a ideia de mensagem: a manifestação física da informação produzida pela fonte.

• O objectivo de um sistema de comunicação é reproduzir no destino uma réplica aceitável da mensagem original.

• Existem mensagens analógicas (quantidade física contínua no tempo, como pressão acústica ou luz numa imagem) e digitais (sequências de símbolos discretos, como texto ou teclas de um computador). O sucesso depende da fidelidade (analógico) ou precisão/tempo (digital).

• Como poucas fontes são eléctricas por natureza, usam-se transdutores: por exemplo, microfone e altifalante num sistema de voz.

Elementos de um Sistema de Comunicação

• Transmissor: processa o sinal de entrada para o adaptar ao canal, usando modulação e, por vezes, codificação.

• Canal de transmissão: meio eléctrico que transporta o sinal. Pode ser fio, cabo coaxial, onda de rádio ou feixe laser. Sofre perdas (atenuação).

• Receptor: compensa perdas (amplificação), faz desmodulação e descodificação. Filtra também o sinal.

Problemas no canal

• Atenuação: redução da potência do sinal com a distância.

• Distorção: alterações na forma de onda devido à resposta imperfeita do sistema. Pode corrigir-se com equalizadores.

• Interferência: sinais indesejados de outras fontes (outros transmissores, máquinas). Filtragem adequada ajuda se ocuparem bandas diferentes.

• Ruído: sinais eléctricos aleatórios, como o ruído térmico. Não é eliminável totalmente.

Limitações Fundamentais

• Largura de banda (B): limita a rapidez com que o sinal pode variar. Exemplo: voz ~3 kHz, TV vários MHz. Em digital, a largura de banda necessária é proporcional à taxa de símbolos.

• Ruído: inevitável devido a fenómenos físicos como o movimento térmico dos electrões. Caracteriza-se por S/N (relação entre as potências: sinal/ruído). Baixo S/N degrada a fidelidade (analógico) ou aumenta erros (digital).

• Lei de Hartley-Shannon: estabelece o limite teórico da taxa de transmissão:

  $$C = B \log_2(1 + S/N)$$

  Isto define a capacidade máxima de um canal com largura de banda B e relação sinal/ruído S/N.

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1.2 Modulação e Codificação

Modulação e codificação são operações feitas no transmissor para garantir transmissão eficiente e fiável.

Métodos de Modulação

• Modulação envolve dois sinais: o modulante (a mensagem) e a portadora (carrier).

• O modulador altera sistematicamente a portadora conforme o sinal da mensagem. É um processo reversível (permite desmodulação).

• Tipos:

  • AM (Amplitude Modulation): variação da amplitude de uma portadora sinusoidal.

  • FM/PM: variações de frequência ou fase.

  • Pulse Modulation: usa impulsos periódicos (exemplo: PAM). Permite amostragem e reconstrução sob certas condições.

• Modulação CW (continuous-wave) traduz o espectro em frequência mais elevada, facilitando a transmissão.

Benefícios da Modulação

• Transmissão eficiente: frequências mais altas permitem antenas mais pequenas e melhor propagação. Exemplo: áudio não modulado exigiria antenas enormes; modulação FM a 100 MHz usa antenas práticas (~1 m).

• Superar limitações de hardware: escolhendo bandas onde o hardware é mais económico e prático.

• Reduzir ruído/interferência: FM e outras modulações permitem redução de ruído de banda larga, trocando mais largura de banda por menor potência necessária.

• Atribuição de frequência: permite que múltiplos emissores coexistam sem interferência (sintonizando frequências diferentes).

• Multiplexagem: transmitir vários sinais num só canal. FDM usa diferentes frequências; TDM usa diferentes intervalos de tempo. CDMA usa códigos únicos por utilizador para partilha eficiente.

Métodos e Benefícios da Codificação

• Codificação é uma operação sobre símbolos (especialmente digitais) para melhorar a fiabilidade.

• Codificação de canal: adiciona redundância para detecção/correção de erros. Aumenta largura de banda e complexidade, mas reduz erros mesmo com baixo S/N.

• Codificação de fonte: reduz redundância estatística para usar largura de banda de forma eficiente.

• PCM (Pulse Code Modulation): converte sinais analógicos em digitais através de amostragem e quantização, aproveitando os benefícios da transmissão digital (fiabilidade, eficiência, versatilidade).

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1.3 Propagação de Ondas Electromagnéticas em Canais Sem Fios

Esta secção aborda o tema da propagação das ondas rádio para além da linha de visão (Line Of Sight).

Comunicação LOS

• Em espaço livre, ondas rádio viajam em linha recta. Devido à curvatura da Terra, a distância prática de LOS é ~48 km, dependendo da altura das antenas.

• Para maximizar a cobertura, antenas de TV e de redes móveis são colocadas em locais elevados.

Mecanismos de Deflexão

• Reflexão: as ondas reflectem-se em edifícios, montanhas, veículos. Pode causar interferência multipercurso (sinais directos e reflectidos chegam com atrasos, causando somas destrutivas/constructivas).

• Refracção: ondas mudam de direcção ao atravessar meios com índice de refracção diferente. Exemplo: propagação na ionosfera.

• Difracção: contorno de obstáculos ou arestas, permitindo sinal além de obstruções.

• Dispersão: devido a partículas no meio (nevoeiro, meteoros ionizados), causando deflexão aleatória.

Propagação Skywave

• Utiliza a ionosfera para transmitir sinais muito além da LOS.

• A ionosfera tem várias camadas (D, E, F) com comportamentos dependentes da actividade solar.

  • D absorve sinais abaixo de ~10 MHz durante o dia.

  • E e F refletem (ou refractam) sinais de ~10 a ~50 MHz ou mais, dependendo da actividade solar.

  • F permite propagação a ~4000 km por “salto”; múltiplos saltos permitem comunicações intercontinentais.

• MUF (Frequência Máxima Utilizável): frequência máxima para a qual a ionosfera pode refractar sinais de volta para a Terra.

• Variabilidade: propagação via ionosfera é pouco fiável para frequências altas (>30 MHz). Por isso, comunicações fiáveis acima desta gama usam satélites.

• Fenómenos como inversões de temperatura na troposfera podem também refractar ondas, permitindo alguma propagação além de LOS para >30 MHz, mas de forma muito variável.

Considerações para o engenheiro de rádio

• Deve conhecer todos estes modos de propagação para projectar sistemas robustos.

• Deve usar técnicas como diversidade de frequência e ângulos de antena para maximizar a probabilidade de cobertura.

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1.4 Desenvolvimentos Emergentes 

Esta secção destaca como as tecnologias de comunicação evoluíram para se tornarem mais eficientes e versáteis, focando troca de dados, redes e métodos de acesso múltiplo.

Comutação de Circuito vs. Comutação de Pacotes

• As chamadas telefónicas tradicionais usavam comutação de circuito, reservando um canal dedicado entre origem e destino enquanto durava a comunicação (exemplo: chamadas telefónicas analógicas).

• A Internet usa comutação de pacotes: os dados são divididos em pacotes que podem seguir caminhos diferentes até ao destino, onde são reordenados. Isto é mais eficiente para dados “intermitentes” ou “em rajadas” (como texto).

• Para voz, a comutação de pacotes inicialmente não era ideal, mas avanços em VoIP (Voice over Internet Protocol) e em redes de alta velocidade tornaram-na viável. A telefonia por Internet hoje permite chamadas de qualidade a baixo custo, usando a infraestrutura de redes já existente.

3G e Sistemas Móveis Evoluídos

• Os sistemas móveis evoluíram de 1G (analógico, voz apenas) para 2G (digital) e depois 3G, que é um padrão global que:

  • Suporta voz e dados.

  • Usa comutação apenas por pacotes (ou compatível com circuito em alguns casos).

  • Usa CDMA (Code Division Multiple Access) para melhorar a partilha do canal.

  • Permite roaming global.

  • Evolui a partir das redes 2G existentes.

Métodos de Acesso Múltiplo

• FDMA (Frequency Division Multiple Access): cada utilizador tem uma frequência dedicada.

• TDMA (Time Division Multiple Access): cada utilizador tem um intervalo de tempo.

• CDMA: todos usam a mesma banda de frequências mas com códigos únicos. Isto permite mais utilizadores por célula com menos interferência percebida e um “limite suave” (adiciona ruído gradualmente em vez de saturar rigidamente o canal).

OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)

• Variante de FDM onde as portadoras são ortogonais, reduzindo interferência entre canais.

• Distribui dados por várias portadoras de baixa frequência em vez de uma única portadora de alta frequência.

• Muito usado em Wi-Fi e WiMax porque melhora a robustez face à interferência multipercurso.

UWB (Ultra-Wideband)

• Opera em larguras de banda enormes mas com potência tão baixa que fica abaixo do nível de ruído ambiente.

• Recentes normas da FCC permitem operação sem licença entre ~3.1 e 10.6 GHz com restrições de potência.

• Promete permitir mais utilizadores e serviços sem causar interferência a sistemas já existentes.

Wi-Fi e WiMax

• Wi-Fi (IEEE 802.11): redes locais sem fios (LANs) com alcance típico de ~100 metros. Muito usado em espaços públicos (hot spots) e casas particulares.

• WiMax (IEEE 802.16): redes móveis/metropolitanas (MANs) com alcance comparável ao das redes móveis, usando torres celulares. Oferece acesso de banda larga sem fios como alternativa a cabos.

Software Defined Radio (SDR)

• Permite que funções tradicionais de rádio (filtragem, modulação, desmodulação) sejam implementadas em software usando DSPs e FPGAs.

• Vantagens:

  • Mudança flexível de frequências, filtros e esquemas de modulação via software.

  • Facilita actualizações e compatibilidade com novos protocolos.

  • Na prática, muitos sistemas SDR são híbridos (misturam analógico e digital, especialmente nas secções de RF).

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1.5 Impacto Social e Perspectiva Histórica 

Impacto Social

• Os avanços em sistemas de comunicação têm provocado grandes mudanças sociais e políticas.

• Exemplos históricos:

  • Antigamente, as chamadas telefónicas eram caras e reguladas como monopólio estatal, com tarifas por minuto para chamadas de longa distância.

  • Hoje, serviços como VoIP e telemóveis eliminaram distinções entre local e longa distância, geralmente por preços fixos.

  • DSL e redes de cabo permitem às empresas telefónicas e de TV oferecer serviços combinados de voz, dados e vídeo.

  • WiMax e Wi-Fi estão a reduzir a dependência de redes com fios.

• Consequências para políticas públicas:

  • As autoridades fiscais e reguladoras precisam de se adaptar, criando ou ajustando impostos e regulamentações para estes novos serviços.

  • As tecnologias móveis tornaram as pessoas “disponíveis 24/7”, mudando hábitos pessoais e profissionais.

• As tecnologias de comunicação também afectam a diplomacia, guerras, movimentos sociais:

  • O telégrafo reduziu o tempo das negociações diplomáticas.

  • A rádio e o radar mudaram a guerra.

  • Fax e Internet ajudaram na divulgação de movimentos políticos.

  • Smartphones e redes sociais facilitam coordenação de protestos e divulgação rápida de informação.

Perspectiva Histórica

• O livro inclui uma cronologia dos principais desenvolvimentos:

  • Invenção da pilha (Volta), leis de Ohm e Kirchhoff.

  • Primeiras linhas de telégrafo (Morse, 1844).

  • Equações de Maxwell (1864) e verificação experimental por Hertz.

  • Telefonia (Bell, Edison).

  • Rádio (Marconi, Popov) e sistemas de comutação automática (Strowger).

  • Desenvolvimento do Audion (Lee De Forest), filtros e circuitos de transmissão.

  • Comunicação via satélite (Telstar I, 1962).

  • Fibra óptica, lasers, semicondutores, microprocessadores.

  • Celulares 1G–3G, Wi-Fi, WiMax, UWB.

  • Evolução constante com maior integração de serviços e maior impacto social.

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1.6 Prospecto 

Esta secção apresenta a organização geral do livro e os objectivos pedagógicos:

• O livro oferece uma introdução abrangente a comunicações analógicas e digitais.

• Cada grande tema começa com uma revisão do material relevante.

• Usa modelos matemáticos para analisar problemas complexos, mas sublinha que é necessária interpretação física e julgamento de engenharia.

• Estrutura resumida:

  • Capítulos 2–3: sinais determinísticos, análises no domínio do tempo e da frequência, distorção e filtragem.

  • Capítulos 4–5: modulação de onda contínua (CW).

  • Capítulo 6: amostragem e modulação por impulsos.

  • Capítulo 7: sistemas de modulação analógica, incluindo TV.

  • Capítulos 8–9: teoria da probabilidade e estatística para representar sinais aleatórios e ruído.

  • Capítulo 10: impacto do ruído em modulação CW.

  • Capítulo 11: transmissão digital em banda base.

  • Capítulo 12: modulação por impulsos codificados (PCM) e multiplexagem digital.

  • Capítulo 13: codificação para controlo de erros.

  • Capítulo 14: sistemas de transmissão digital com modulação CW, incluindo OFDM.

  • Capítulo 15: espectro espalhado, sistemas sem fios e UWB.

  • Capítulo 16: introdução à teoria da informação e à lei de Hartley-Shannon.

• Cada capítulo inclui exercícios práticos e perguntas qualitativas para estimular a compreensão.

• Referências e material adicional estão disponíveis no site do livro.

• Os autores realçam que a análise matemática é combinada com exemplos de electrónica e aplicações reais para dar uma visão completa.

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Resumo extraído do Capítulo 3 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

Capítulo 3: Representação de sinais periódicos em séries de Fourier

3.1 Perspectiva Histórica

Esta secção traça a evolução histórica da análise de Fourier, mostrando como a ideia de decompor fenómenos periódicos em somas de funções trigonométricas remonta à antiguidade (por exemplo, os babilónios na astronomia). No século XVIII, Euler estudou cordas vibrantes, introduzindo a ideia de modos normais como combinações de senos e cossenos. Bernoulli defendeu que todos os movimentos de uma corda poderiam ser representados assim, mas Lagrange criticou a validade para sinais com descontinuidades.
Joseph Fourier retomou o conceito no início do século XIX para estudar a propagação de calor, afirmando que qualquer fenómeno periódico poderia ser descrito por séries de senos e cossenos, mesmo com descontinuidades — uma ideia inovadora mas inicialmente controversa. Fourier enfrentou resistência (inclusive de Lagrange) e dificuldades para publicar o seu trabalho, mas a sua Théorie analytique de la chaleur (1822) tornou-se fundamental. Fourier foi além das séries, propondo a transformação integral (base do que hoje chamamos Transformada de Fourier) para sinais aperiódicos. O impacto do seu trabalho estende-se por múltiplas áreas da ciência, engenharia e matemática, incluindo tópicos como integração, séries temporais, difusão de calor, sinais sinusoidais em circuitos de corrente alternada, ondas marítimas e transmissão de rádio. Finalmente, o texto destaca que, para sinais em tempo discreto, a análise harmónica ganhou relevância com o desenvolvimento da Transformada Rápida de Fourier (FFT) nos anos 60, revolucionando a computação digital de séries de Fourier.

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3.2 Resposta de Sistemas LTI a Exponenciais Complexas

Esta secção demonstra porque é que as exponenciais complexas são tão importantes na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). O ponto central é que uma exponencial complexa é uma função própria de um sistema LTI: a resposta do sistema a uma entrada exponencial é a mesma exponencial multiplicada por um factor constante (o valor próprio ou ganho de frequência do sistema).
Em termos contínuos, uma entrada $e^{st}$ gera uma saída $H(s)e^{st}$, onde $H(s)$ é a transformada de Laplace da resposta impulsional. No caso discreto, uma entrada $z^n$ gera uma saída $H(z)z^n$.
Como consequência, qualquer sinal que possa ser escrito como combinação linear de exponenciais complexas pode ser analisado decompondo cada componente, aplicando a propriedade da sobreposição. Assim, se a entrada for uma soma de exponenciais, a saída será uma soma das mesmas exponenciais, escaladas pelos ganhos de frequência correspondentes. Esta ideia justifica a relevância das séries e transformadas de Fourier para representar sinais e estudar sistemas.
Inclui-se um exemplo de um sistema que apenas aplica um atraso de tempo, mostrando que a exponencial é efectivamente função própria — a saída é a entrada atrasada multiplicada por uma fase.

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3.3 Representação de Sinais Periódicos em Tempo Contínuo (Série de Fourier)

Aqui é introduzida formalmente a Série de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Define-se que um sinal é periódico se $x(t) = x(t + T)$ para um período $T$. O sinal pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas com frequências harmónicas múltiplas da fundamental:

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$$

com $\omega_0 = 2\pi/T$.
É demonstrado que combinações lineares de exponenciais harmonicamente relacionadas continuam a ser periódicas. Apresenta-se a relação entre exponenciais e senos/cossenos, mostrando como sinais reais podem ser escritos em forma trigonométrica.
Segue-se o processo de determinação dos coeficientes $a_k$ (análise) através de integração ao longo de um período, baseando-se na ortogonalidade das exponenciais. Também se ilustra a interpretação física de cada termo: o coeficiente $a_0$ representa a componente DC (média), enquanto os outros descrevem a energia distribuída pelas harmónicas.
Exemplos práticos incluem uma onda sinusoidal, uma combinação de senos e cossenos, e uma onda quadrada — mostrando como sinais com descontinuidades podem ser aproximados por somas finitas de harmónicas.

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3.4 Convergência da Série de Fourier

Esta secção discute as condições sob as quais a Série de Fourier efectivamente converge para o sinal original. Euler e Lagrange duvidavam da validade de representar funções descontínuas com somas de funções contínuas. Fourier, no entanto, mostrou que mesmo sinais como a onda quadrada podem ser representados correctamente no sentido de energia (ou seja, o erro quadrático médio tende para zero).
São introduzidas condições práticas de convergência:

• Se um sinal for contínuo e de energia finita num período, a sua Série de Fourier converge.

• Para sinais descontínuos, são apresentadas as condições de Dirichlet: o sinal deve ter energia finita, variação limitada (número finito de máximos e mínimos por período) e um número finito de descontinuidades.
  Se estas condições forem satisfeitas, a Série de Fourier converge para o sinal original em todos os pontos de continuidade e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (ex. Gibbs phenomenon).
  O famoso fenómeno de Gibbs mostra que, perto das descontinuidades, a soma parcial da Série de Fourier apresenta oscilações que não desaparecem, mas concentram-se cada vez mais junto à descontinuidade à medida que se somam mais harmónicas. Mesmo assim, a energia do erro global tende para zero.

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3.5 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Contínuo

Esta secção organiza e descreve as propriedades fundamentais das Séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Estas propriedades são essenciais para simplificar cálculos e interpretar resultados.

As principais propriedades abordadas são:

• Linearidade: A Série de Fourier é linear. Se dois sinais periódicos têm séries de Fourier conhecidas, qualquer combinação linear destes sinais resulta numa combinação linear dos coeficientes das séries.

• Deslocamento Temporal: Um deslocamento no tempo de um sinal resulta numa rotação de fase nos coeficientes. Assim, se deslocarmos o sinal em $t_0$, os coeficientes multiplicam-se por $e^{-jkw_0 t_0}$.

• Inversão Temporal: Inverter um sinal no tempo equivale a inverter a sequência de coeficientes: $a_k \rightarrow a_{-k}$.

• Escalonamento Temporal: Alterar a escala de tempo muda o período do sinal e a frequência fundamental, mas os coeficientes mantêm-se inalterados.

• Multiplicação de Sinais: Multiplicar dois sinais periódicos no domínio temporal corresponde a uma convolução discreta dos seus coeficientes no domínio da frequência.

• Conjugação: O conjugado de um sinal resulta nos coeficientes conjugados e invertidos: $a_k^* = a_{-k}$.

• Sinais Reais: Se o sinal é real, os coeficientes são conjugados simétricos: $a_{-k} = a_k^*$.

• Sinais Pares ou Ímpares: Para sinais reais, se forem pares, os coeficientes são reais e pares; se forem ímpares, os coeficientes são imaginários puros e ímpares.

• Diferenciação e Integração: Derivar um sinal corresponde a multiplicar os coeficientes por $jkw_0$; integrar corresponde a multiplicar os coeficientes pelo inverso (salvo o termo DC).

• Relação de Parseval: A potência média de um sinal periódico é igual à soma das potências médias de cada harmónica: 

• $\frac{1}{T} \int_{T} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2.$

Estas propriedades são resumidas numa tabela para consulta rápida e exemplificadas com pequenos exercícios que mostram como podem poupar cálculos. A intuição é que manipulando sinais no tempo podemos prever e controlar o efeito sobre o espectro de Fourier.

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3.6 Séries de Fourier em Tempo Discreto

Nesta secção, o conceito de Séries de Fourier é estendido a sinais periódicos em tempo discreto. A ideia principal é análoga ao caso contínuo, mas adaptada à natureza discreta dos sinais.

• Um sinal discreto $x[n]$ é periódico com período $N$ se $x[n] = x[n + N]$.

• A representação em série de Fourier é dada por:

  $$x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{j(2\pi/N)kn}.$$

• Os coeficientes são obtidos por:

  $$a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j(2\pi/N)kn}.$$

Comparando com o caso contínuo, destaca-se que:

• O número de harmónicas distintas é finito (N coeficientes para período N).

• Os expoentes são amostrados uniformemente no círculo unitário.

• A periodicidade de $e^{j(2\pi/N)kn}$ implica que o espectro é também periódico (aliasing inerente).

São discutidos exemplos simples de sinais discretos, como sequências binárias ou impulsos periódicos, e mostra-se como se obtêm os espectros. Este formalismo é a base para o desenvolvimento posterior da Transformada Discreta de Fourier (DFT) e da FFT.

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3.7 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Discreto

Tal como na secção 3.5, mas agora no contexto discreto, são apresentadas as propriedades que permitem manipular séries de Fourier de sinais discretos:

• Linearidade: Mantém-se.

• Deslocamento Temporal: Deslocar uma sequência no tempo adiciona uma fase exponencial ao espectro.

• Inversão Temporal: Inverter o sinal inverte os índices dos coeficientes.

• Multiplicação: A multiplicação de duas sequências periódicas corresponde a uma convolução discreta circular dos seus coeficientes.

• Parseval: A soma da energia de um período é igual à soma dos quadrados das magnitudes dos coeficientes:

  $$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |a_k|^2.$$

Estas propriedades são organizadas numa tabela análoga à do caso contínuo, facilitando o uso prático em problemas de análise de sinais e sistemas discretos.

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3.8 Resposta de Sistemas LTI a Sinais Periódicos

Esta secção liga tudo: mostra como as séries de Fourier permitem analisar a resposta de sistemas LTI a sinais periódicos, tanto contínuos como discretos.

A ideia é:

• Se a entrada $x(t)$ ou $x[n]$ é uma combinação de exponenciais complexas, e sabendo que cada exponencial é função própria do sistema LTI, então a saída é simplesmente a soma das mesmas exponenciais multiplicadas pelos ganhos do sistema em cada frequência.

• Assim, o sistema filtra cada harmónica de forma independente, modificando a amplitude e fase segundo a resposta em frequência $H(j\omega)$ ou $H(e^{j\Omega})$.

• Na prática, isto significa que podemos prever o comportamento de circuitos, filtros digitais e outros sistemas LTI analisando a resposta em frequência e o espectro de entrada.

A secção termina com exemplos ilustrativos: por exemplo, um circuito RC filtrando uma onda quadrada, mostrando como o espectro de saída atenua harmónicas de alta frequência — demonstrando o papel da resposta em frequência como “peneira” de harmónicas.

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Secção 3.9 — Filtragem

A filtragem consiste em alterar as amplitudes relativas dos componentes de frequência de um sinal ou até eliminar alguns completamente. Os sistemas LTI (Lineares e Invariantes no Tempo) que modificam o espectro de forma controlada são chamados de filtros modeladores de frequência. Os filtros selectivos de frequência deixam passar algumas frequências quase sem distorção e atenuam ou rejeitam outras.

Como vimos, no domínio da frequência, a saída de um sistema LTI resulta da multiplicação das componentes do sinal de entrada pela resposta em frequência do sistema. Por isso, projectar filtros passa por escolher adequadamente essa resposta em frequência.

3.9.1 Filtros modeladores de frequência

Um exemplo comum está nos sistemas de áudio. Os filtros LTI nesses sistemas permitem ao utilizador ajustar o balanço entre graves e agudos. Estes filtros formam etapas de um equalizador, muitas vezes dividido em vários estágios em cascata, cujo efeito global resulta do produto das respostas em frequência de cada estágio.

• Mostram-se exemplos de curvas de magnitude em dB (20 log10 |H(jω)|), num gráfico log-log.

• Outro exemplo importante é o filtro diferenciador, com resposta em frequência H(jω) = jω. Amplifica mais as componentes de alta frequência, o que o torna útil, por exemplo, para realçar contornos em imagens (realce de transições bruscas em brilho). A aplicação a imagens bidimensionais é ilustrada, mostrando como realça bordas verticais ou horizontais consoante o conteúdo espectral em cada direcção.

No domínio discreto, os filtros LTI também são fundamentais. Usam-se em processamento digital (capítulo 7), por exemplo para separar variações de curto e longo prazo em séries temporais (dados económicos, demográficos). Um exemplo simples é o filtro média de dois pontos:

$$y[n] = \frac{1}{2} (x[n] + x[n-1])$$

que actua como um filtro passa-baixo, atenuando altas frequências e preservando variações lentas.

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3.9.2 Filtros selectivos de frequência

Estes filtros são desenhados para deixar passar algumas bandas de frequência e rejeitar outras com a maior precisão possível. Por exemplo:

• Em áudio, podem remover ruído de alta frequência.

• Em comunicações (como AM), permitem separar canais codificados em diferentes bandas.

Existem tipos básicos bem definidos:

• Passa-baixo: passa baixas frequências, rejeita altas.

• Passa-alto: o inverso.

• Passa-banda: passa uma banda específica.

As frequências de corte marcam as fronteiras entre bandas passantes e de rejeição.

A figura 3.26 ilustra a resposta em frequência de um filtro passa-baixo ideal. A figura 3.27 mostra filtros passa-alto e passa-banda ideais (observa-se simetria em torno de ω=0 porque usamos exponenciais complexas). Para tempo discreto, a resposta em frequência deve ser periódica (figura 3.28), com período 2π.

Embora úteis para especificação teórica, os filtros ideais não são realizáveis fisicamente. Na prática, usam-se aproximações com transições menos abruptas e características ajustadas a cada aplicação.

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Secção 3.10 — Exemplos de filtros contínuos descritos por equações diferenciais

Os filtros contínuos reais são muitas vezes implementados por circuitos cujas relações entrada-saída obedecem a equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

3.10.1 Um filtro RC passa-baixo simples

Um exemplo clássico é o circuito RC de primeira ordem, com o condensador como saída. A equação diferencial:

$$RC \frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = v_s(t)$$

leva a uma resposta em frequência:

$$H(jω) = \frac{1}{1 + jωRC}$$

• Para ω≈0, |H(jω)|≈1 → passa baixas frequências.

• Para ω elevado, |H(jω)|→0 → atenua altas frequências.

O compromisso entre domínio do tempo e da frequência: aumentar RC melhora a atenuação de altas frequências mas torna a resposta ao degrau mais lenta.

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3.10.2 Um filtro RC passa-alto simples

Escolhendo agora como saída a tensão na resistência, a equação diferencial muda para:

$$RC \frac{dv_s(t)}{dt} + v_s(t) = v_r(t)$$

dando uma resposta em frequência:

$$G(jω) = \frac{jωRC}{1 + jωRC}$$

• Atenua baixas frequências.

• Passa altas frequências (para ω ≫ 1/RC).

Tal como no caso passa-baixo, o valor de RC controla a forma da resposta em frequência e a velocidade da resposta no tempo. Ambos os circuitos são exemplos de filtros de primeira ordem, com transições suaves entre banda passante e de rejeição.

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Secção 3.11 — Exemplos de filtros discretos descritos por equações às diferenças

Os filtros em tempo discreto são implementados por equações às diferenças lineares de coeficientes constantes. Podem ser:

• Recursivos (IIR): têm resposta ao impulso infinita.

• Não-recursivos (FIR): resposta ao impulso finita.

Ambos são muito usados em sistemas digitais.

3.11.1 Filtros recursivos de primeira ordem

Um exemplo simples:

$$y[n] - a y[n-1] = x[n]$$

Para entrada exponencial complexa, a resposta em frequência é:

$$H(e^{jω}) = \frac{1}{1 - a e^{-jω}}$$

• Para a>0 (e |a|<1), actua como passa-baixo.

• Para a<0 (e |a|<1), actua como passa-alto.

O parâmetro a controla tanto a largura da banda passante como a velocidade da resposta ao impulso ou degrau.

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3.11.2 Filtros não-recursivos

Forma geral:

$$y[n] = \sum_{k=-N}^{M} b_k x[n-k]$$

Exemplo clássico: filtro de média móvel.
Para três pontos:

$$y[n] = \frac{1}{3}(x[n-1] + x[n] + x[n+1])$$

• Atenua variações rápidas (altas frequências), passa variações lentas (baixas frequências).

• O tamanho da janela controla a frequência de corte.

Outros filtros não-recursivos podem fazer passa-alto. Exemplo:

$$y[n] = \frac{1}{2}(x[n] - x[n-1])$$

atua como um diferenciador discreto, atenuando baixas frequências.

As principais características dos FIR:

• Impulso finito → sempre estáveis.

• Possibilidade de serem causais ou não, dependendo se dependem de amostras futuras.

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Secção 3.12 — Resumo

O capítulo introduz a representação em séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo e discreto, explorando a motivação principal: as exponenciais complexas são autofunções de sistemas LTI.

Mostrou-se que:

• Qualquer sinal periódico pode decompor-se numa soma ponderada de exponenciais harmónicas.

• Aplicando um sinal periódico a um sistema LTI, cada coeficiente de Fourier na saída é o produto do coeficiente de entrada pelo valor da resposta em frequência nessa harmónica.

Isto conduz ao conceito de filtragem com sistemas LTI, incluindo a filtragem selectiva de frequência.

O capítulo discutiu:

• Filtros ideais (não realizáveis) como referência teórica.

• Exemplos práticos baseados em equações diferenciais (contínuo) e às diferenças (discreto).

• A importância de compreender as respostas em frequência para conceber sistemas que realizem filtragem conforme os requisitos da aplicação.

Adiantou ainda que nos capítulos seguintes se desenvolverão ferramentas para sinais aperiódicos e uma análise mais detalhada da filtragem.

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