Resumo extraído do capítulo 1 do livro Communication Systems – An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication de Carlson & Crilly, 5ª edição

Capítulo 1 – Introdução

---

1.1 Elementos e Limitações dos Sistemas de Comunicação

Um sistema de comunicação serve para transferir informação de uma origem para um destino a alguma distância. Apesar de existirem muitos tipos diferentes de sistemas de comunicação (circuitos, electrónica, electromagnetismo, processamento de sinal, microprocessadores, redes), a abordagem do livro é geral: identifica princípios e problemas de transferir informação em forma eléctrica.

Informação, Mensagens e Sinais

• Informação é um conceito difícil de definir, por isso trabalha-se com a ideia de mensagem: a manifestação física da informação produzida pela fonte.

• O objectivo de um sistema de comunicação é reproduzir no destino uma réplica aceitável da mensagem original.

• Existem mensagens analógicas (quantidade física contínua no tempo, como pressão acústica ou luz numa imagem) e digitais (sequências de símbolos discretos, como texto ou teclas de um computador). O sucesso depende da fidelidade (analógico) ou precisão/tempo (digital).

• Como poucas fontes são eléctricas por natureza, usam-se transdutores: por exemplo, microfone e altifalante num sistema de voz.

Elementos de um Sistema de Comunicação

• Transmissor: processa o sinal de entrada para o adaptar ao canal, usando modulação e, por vezes, codificação.

• Canal de transmissão: meio eléctrico que transporta o sinal. Pode ser fio, cabo coaxial, onda de rádio ou feixe laser. Sofre perdas (atenuação).

• Receptor: compensa perdas (amplificação), faz desmodulação e descodificação. Filtra também o sinal.

Problemas no canal

• Atenuação: redução da potência do sinal com a distância.

• Distorção: alterações na forma de onda devido à resposta imperfeita do sistema. Pode corrigir-se com equalizadores.

• Interferência: sinais indesejados de outras fontes (outros transmissores, máquinas). Filtragem adequada ajuda se ocuparem bandas diferentes.

• Ruído: sinais eléctricos aleatórios, como o ruído térmico. Não é eliminável totalmente.

Limitações Fundamentais

• Largura de banda (B): limita a rapidez com que o sinal pode variar. Exemplo: voz ~3 kHz, TV vários MHz. Em digital, a largura de banda necessária é proporcional à taxa de símbolos.

• Ruído: inevitável devido a fenómenos físicos como o movimento térmico dos electrões. Caracteriza-se por S/N (relação entre as potências: sinal/ruído). Baixo S/N degrada a fidelidade (analógico) ou aumenta erros (digital).

• Lei de Hartley-Shannon: estabelece o limite teórico da taxa de transmissão:

  $$C = B \log_2(1 + S/N)$$

  Isto define a capacidade máxima de um canal com largura de banda B e relação sinal/ruído S/N.

---

1.2 Modulação e Codificação

Modulação e codificação são operações feitas no transmissor para garantir transmissão eficiente e fiável.

Métodos de Modulação

• Modulação envolve dois sinais: o modulante (a mensagem) e a portadora (carrier).

• O modulador altera sistematicamente a portadora conforme o sinal da mensagem. É um processo reversível (permite desmodulação).

• Tipos:

  • AM (Amplitude Modulation): variação da amplitude de uma portadora sinusoidal.

  • FM/PM: variações de frequência ou fase.

  • Pulse Modulation: usa impulsos periódicos (exemplo: PAM). Permite amostragem e reconstrução sob certas condições.

• Modulação CW (continuous-wave) traduz o espectro em frequência mais elevada, facilitando a transmissão.

Benefícios da Modulação

• Transmissão eficiente: frequências mais altas permitem antenas mais pequenas e melhor propagação. Exemplo: áudio não modulado exigiria antenas enormes; modulação FM a 100 MHz usa antenas práticas (~1 m).

• Superar limitações de hardware: escolhendo bandas onde o hardware é mais económico e prático.

• Reduzir ruído/interferência: FM e outras modulações permitem redução de ruído de banda larga, trocando mais largura de banda por menor potência necessária.

• Atribuição de frequência: permite que múltiplos emissores coexistam sem interferência (sintonizando frequências diferentes).

• Multiplexagem: transmitir vários sinais num só canal. FDM usa diferentes frequências; TDM usa diferentes intervalos de tempo. CDMA usa códigos únicos por utilizador para partilha eficiente.

Métodos e Benefícios da Codificação

• Codificação é uma operação sobre símbolos (especialmente digitais) para melhorar a fiabilidade.

• Codificação de canal: adiciona redundância para detecção/correção de erros. Aumenta largura de banda e complexidade, mas reduz erros mesmo com baixo S/N.

• Codificação de fonte: reduz redundância estatística para usar largura de banda de forma eficiente.

• PCM (Pulse Code Modulation): converte sinais analógicos em digitais através de amostragem e quantização, aproveitando os benefícios da transmissão digital (fiabilidade, eficiência, versatilidade).

---

1.3 Propagação de Ondas Electromagnéticas em Canais Sem Fios

Esta secção aborda o tema da propagação das ondas rádio para além da linha de visão (Line Of Sight).

Comunicação LOS

• Em espaço livre, ondas rádio viajam em linha recta. Devido à curvatura da Terra, a distância prática de LOS é ~48 km, dependendo da altura das antenas.

• Para maximizar a cobertura, antenas de TV e de redes móveis são colocadas em locais elevados.

Mecanismos de Deflexão

• Reflexão: as ondas reflectem-se em edifícios, montanhas, veículos. Pode causar interferência multipercurso (sinais directos e reflectidos chegam com atrasos, causando somas destrutivas/constructivas).

• Refracção: ondas mudam de direcção ao atravessar meios com índice de refracção diferente. Exemplo: propagação na ionosfera.

• Difracção: contorno de obstáculos ou arestas, permitindo sinal além de obstruções.

• Dispersão: devido a partículas no meio (nevoeiro, meteoros ionizados), causando deflexão aleatória.

Propagação Skywave

• Utiliza a ionosfera para transmitir sinais muito além da LOS.

• A ionosfera tem várias camadas (D, E, F) com comportamentos dependentes da actividade solar.

  • D absorve sinais abaixo de ~10 MHz durante o dia.

  • E e F refletem (ou refractam) sinais de ~10 a ~50 MHz ou mais, dependendo da actividade solar.

  • F permite propagação a ~4000 km por “salto”; múltiplos saltos permitem comunicações intercontinentais.

• MUF (Frequência Máxima Utilizável): frequência máxima para a qual a ionosfera pode refractar sinais de volta para a Terra.

• Variabilidade: propagação via ionosfera é pouco fiável para frequências altas (>30 MHz). Por isso, comunicações fiáveis acima desta gama usam satélites.

• Fenómenos como inversões de temperatura na troposfera podem também refractar ondas, permitindo alguma propagação além de LOS para >30 MHz, mas de forma muito variável.

Considerações para o engenheiro de rádio

• Deve conhecer todos estes modos de propagação para projectar sistemas robustos.

• Deve usar técnicas como diversidade de frequência e ângulos de antena para maximizar a probabilidade de cobertura.

---

1.4 Desenvolvimentos Emergentes 

Esta secção destaca como as tecnologias de comunicação evoluíram para se tornarem mais eficientes e versáteis, focando troca de dados, redes e métodos de acesso múltiplo.

Comutação de Circuito vs. Comutação de Pacotes

• As chamadas telefónicas tradicionais usavam comutação de circuito, reservando um canal dedicado entre origem e destino enquanto durava a comunicação (exemplo: chamadas telefónicas analógicas).

• A Internet usa comutação de pacotes: os dados são divididos em pacotes que podem seguir caminhos diferentes até ao destino, onde são reordenados. Isto é mais eficiente para dados “intermitentes” ou “em rajadas” (como texto).

• Para voz, a comutação de pacotes inicialmente não era ideal, mas avanços em VoIP (Voice over Internet Protocol) e em redes de alta velocidade tornaram-na viável. A telefonia por Internet hoje permite chamadas de qualidade a baixo custo, usando a infraestrutura de redes já existente.

3G e Sistemas Móveis Evoluídos

• Os sistemas móveis evoluíram de 1G (analógico, voz apenas) para 2G (digital) e depois 3G, que é um padrão global que:

  • Suporta voz e dados.

  • Usa comutação apenas por pacotes (ou compatível com circuito em alguns casos).

  • Usa CDMA (Code Division Multiple Access) para melhorar a partilha do canal.

  • Permite roaming global.

  • Evolui a partir das redes 2G existentes.

Métodos de Acesso Múltiplo

• FDMA (Frequency Division Multiple Access): cada utilizador tem uma frequência dedicada.

• TDMA (Time Division Multiple Access): cada utilizador tem um intervalo de tempo.

• CDMA: todos usam a mesma banda de frequências mas com códigos únicos. Isto permite mais utilizadores por célula com menos interferência percebida e um “limite suave” (adiciona ruído gradualmente em vez de saturar rigidamente o canal).

OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)

• Variante de FDM onde as portadoras são ortogonais, reduzindo interferência entre canais.

• Distribui dados por várias portadoras de baixa frequência em vez de uma única portadora de alta frequência.

• Muito usado em Wi-Fi e WiMax porque melhora a robustez face à interferência multipercurso.

UWB (Ultra-Wideband)

• Opera em larguras de banda enormes mas com potência tão baixa que fica abaixo do nível de ruído ambiente.

• Recentes normas da FCC permitem operação sem licença entre ~3.1 e 10.6 GHz com restrições de potência.

• Promete permitir mais utilizadores e serviços sem causar interferência a sistemas já existentes.

Wi-Fi e WiMax

• Wi-Fi (IEEE 802.11): redes locais sem fios (LANs) com alcance típico de ~100 metros. Muito usado em espaços públicos (hot spots) e casas particulares.

• WiMax (IEEE 802.16): redes móveis/metropolitanas (MANs) com alcance comparável ao das redes móveis, usando torres celulares. Oferece acesso de banda larga sem fios como alternativa a cabos.

Software Defined Radio (SDR)

• Permite que funções tradicionais de rádio (filtragem, modulação, desmodulação) sejam implementadas em software usando DSPs e FPGAs.

• Vantagens:

  • Mudança flexível de frequências, filtros e esquemas de modulação via software.

  • Facilita actualizações e compatibilidade com novos protocolos.

  • Na prática, muitos sistemas SDR são híbridos (misturam analógico e digital, especialmente nas secções de RF).

---

1.5 Impacto Social e Perspectiva Histórica 

Impacto Social

• Os avanços em sistemas de comunicação têm provocado grandes mudanças sociais e políticas.

• Exemplos históricos:

  • Antigamente, as chamadas telefónicas eram caras e reguladas como monopólio estatal, com tarifas por minuto para chamadas de longa distância.

  • Hoje, serviços como VoIP e telemóveis eliminaram distinções entre local e longa distância, geralmente por preços fixos.

  • DSL e redes de cabo permitem às empresas telefónicas e de TV oferecer serviços combinados de voz, dados e vídeo.

  • WiMax e Wi-Fi estão a reduzir a dependência de redes com fios.

• Consequências para políticas públicas:

  • As autoridades fiscais e reguladoras precisam de se adaptar, criando ou ajustando impostos e regulamentações para estes novos serviços.

  • As tecnologias móveis tornaram as pessoas “disponíveis 24/7”, mudando hábitos pessoais e profissionais.

• As tecnologias de comunicação também afectam a diplomacia, guerras, movimentos sociais:

  • O telégrafo reduziu o tempo das negociações diplomáticas.

  • A rádio e o radar mudaram a guerra.

  • Fax e Internet ajudaram na divulgação de movimentos políticos.

  • Smartphones e redes sociais facilitam coordenação de protestos e divulgação rápida de informação.

Perspectiva Histórica

• O livro inclui uma cronologia dos principais desenvolvimentos:

  • Invenção da pilha (Volta), leis de Ohm e Kirchhoff.

  • Primeiras linhas de telégrafo (Morse, 1844).

  • Equações de Maxwell (1864) e verificação experimental por Hertz.

  • Telefonia (Bell, Edison).

  • Rádio (Marconi, Popov) e sistemas de comutação automática (Strowger).

  • Desenvolvimento do Audion (Lee De Forest), filtros e circuitos de transmissão.

  • Comunicação via satélite (Telstar I, 1962).

  • Fibra óptica, lasers, semicondutores, microprocessadores.

  • Celulares 1G–3G, Wi-Fi, WiMax, UWB.

  • Evolução constante com maior integração de serviços e maior impacto social.

---

1.6 Prospecto 

Esta secção apresenta a organização geral do livro e os objectivos pedagógicos:

• O livro oferece uma introdução abrangente a comunicações analógicas e digitais.

• Cada grande tema começa com uma revisão do material relevante.

• Usa modelos matemáticos para analisar problemas complexos, mas sublinha que é necessária interpretação física e julgamento de engenharia.

• Estrutura resumida:

  • Capítulos 2–3: sinais determinísticos, análises no domínio do tempo e da frequência, distorção e filtragem.

  • Capítulos 4–5: modulação de onda contínua (CW).

  • Capítulo 6: amostragem e modulação por impulsos.

  • Capítulo 7: sistemas de modulação analógica, incluindo TV.

  • Capítulos 8–9: teoria da probabilidade e estatística para representar sinais aleatórios e ruído.

  • Capítulo 10: impacto do ruído em modulação CW.

  • Capítulo 11: transmissão digital em banda base.

  • Capítulo 12: modulação por impulsos codificados (PCM) e multiplexagem digital.

  • Capítulo 13: codificação para controlo de erros.

  • Capítulo 14: sistemas de transmissão digital com modulação CW, incluindo OFDM.

  • Capítulo 15: espectro espalhado, sistemas sem fios e UWB.

  • Capítulo 16: introdução à teoria da informação e à lei de Hartley-Shannon.

• Cada capítulo inclui exercícios práticos e perguntas qualitativas para estimular a compreensão.

• Referências e material adicional estão disponíveis no site do livro.

• Os autores realçam que a análise matemática é combinada com exemplos de electrónica e aplicações reais para dar uma visão completa.

---

🎓 Quer melhorar os seus resultados na universidade? 

Disponibilizamos explicações de ensino superior adaptadas às suas necessidades, com acompanhamento personalizado para diferentes disciplinas.

✔ Explore a nossa Lista de Matérias disponíveis.

🌟 Veja os testemunhos de alunos que já atingiram melhores notas com o nosso apoio.

📬 Contacte-nos por email ou pelo formulário de contacto e obtenha a ajuda que precisa para dominar os seus estudos!

EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior

Resumo extraído do Capítulo 3 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

Capítulo 3: Representação de sinais periódicos em séries de Fourier

3.1 Perspectiva Histórica

Esta secção traça a evolução histórica da análise de Fourier, mostrando como a ideia de decompor fenómenos periódicos em somas de funções trigonométricas remonta à antiguidade (por exemplo, os babilónios na astronomia). No século XVIII, Euler estudou cordas vibrantes, introduzindo a ideia de modos normais como combinações de senos e cossenos. Bernoulli defendeu que todos os movimentos de uma corda poderiam ser representados assim, mas Lagrange criticou a validade para sinais com descontinuidades.
Joseph Fourier retomou o conceito no início do século XIX para estudar a propagação de calor, afirmando que qualquer fenómeno periódico poderia ser descrito por séries de senos e cossenos, mesmo com descontinuidades — uma ideia inovadora mas inicialmente controversa. Fourier enfrentou resistência (inclusive de Lagrange) e dificuldades para publicar o seu trabalho, mas a sua Théorie analytique de la chaleur (1822) tornou-se fundamental. Fourier foi além das séries, propondo a transformação integral (base do que hoje chamamos Transformada de Fourier) para sinais aperiódicos. O impacto do seu trabalho estende-se por múltiplas áreas da ciência, engenharia e matemática, incluindo tópicos como integração, séries temporais, difusão de calor, sinais sinusoidais em circuitos de corrente alternada, ondas marítimas e transmissão de rádio. Finalmente, o texto destaca que, para sinais em tempo discreto, a análise harmónica ganhou relevância com o desenvolvimento da Transformada Rápida de Fourier (FFT) nos anos 60, revolucionando a computação digital de séries de Fourier.

---

3.2 Resposta de Sistemas LTI a Exponenciais Complexas

Esta secção demonstra porque é que as exponenciais complexas são tão importantes na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). O ponto central é que uma exponencial complexa é uma função própria de um sistema LTI: a resposta do sistema a uma entrada exponencial é a mesma exponencial multiplicada por um factor constante (o valor próprio ou ganho de frequência do sistema).
Em termos contínuos, uma entrada $e^{st}$ gera uma saída $H(s)e^{st}$, onde $H(s)$ é a transformada de Laplace da resposta impulsional. No caso discreto, uma entrada $z^n$ gera uma saída $H(z)z^n$.
Como consequência, qualquer sinal que possa ser escrito como combinação linear de exponenciais complexas pode ser analisado decompondo cada componente, aplicando a propriedade da sobreposição. Assim, se a entrada for uma soma de exponenciais, a saída será uma soma das mesmas exponenciais, escaladas pelos ganhos de frequência correspondentes. Esta ideia justifica a relevância das séries e transformadas de Fourier para representar sinais e estudar sistemas.
Inclui-se um exemplo de um sistema que apenas aplica um atraso de tempo, mostrando que a exponencial é efectivamente função própria — a saída é a entrada atrasada multiplicada por uma fase.

---

3.3 Representação de Sinais Periódicos em Tempo Contínuo (Série de Fourier)

Aqui é introduzida formalmente a Série de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Define-se que um sinal é periódico se $x(t) = x(t + T)$ para um período $T$. O sinal pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas com frequências harmónicas múltiplas da fundamental:

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$$

com $\omega_0 = 2\pi/T$.
É demonstrado que combinações lineares de exponenciais harmonicamente relacionadas continuam a ser periódicas. Apresenta-se a relação entre exponenciais e senos/cossenos, mostrando como sinais reais podem ser escritos em forma trigonométrica.
Segue-se o processo de determinação dos coeficientes $a_k$ (análise) através de integração ao longo de um período, baseando-se na ortogonalidade das exponenciais. Também se ilustra a interpretação física de cada termo: o coeficiente $a_0$ representa a componente DC (média), enquanto os outros descrevem a energia distribuída pelas harmónicas.
Exemplos práticos incluem uma onda sinusoidal, uma combinação de senos e cossenos, e uma onda quadrada — mostrando como sinais com descontinuidades podem ser aproximados por somas finitas de harmónicas.

---

3.4 Convergência da Série de Fourier

Esta secção discute as condições sob as quais a Série de Fourier efectivamente converge para o sinal original. Euler e Lagrange duvidavam da validade de representar funções descontínuas com somas de funções contínuas. Fourier, no entanto, mostrou que mesmo sinais como a onda quadrada podem ser representados correctamente no sentido de energia (ou seja, o erro quadrático médio tende para zero).
São introduzidas condições práticas de convergência:

• Se um sinal for contínuo e de energia finita num período, a sua Série de Fourier converge.

• Para sinais descontínuos, são apresentadas as condições de Dirichlet: o sinal deve ter energia finita, variação limitada (número finito de máximos e mínimos por período) e um número finito de descontinuidades.
  Se estas condições forem satisfeitas, a Série de Fourier converge para o sinal original em todos os pontos de continuidade e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (ex. Gibbs phenomenon).
  O famoso fenómeno de Gibbs mostra que, perto das descontinuidades, a soma parcial da Série de Fourier apresenta oscilações que não desaparecem, mas concentram-se cada vez mais junto à descontinuidade à medida que se somam mais harmónicas. Mesmo assim, a energia do erro global tende para zero.

---

3.5 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Contínuo

Esta secção organiza e descreve as propriedades fundamentais das Séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Estas propriedades são essenciais para simplificar cálculos e interpretar resultados.

As principais propriedades abordadas são:

• Linearidade: A Série de Fourier é linear. Se dois sinais periódicos têm séries de Fourier conhecidas, qualquer combinação linear destes sinais resulta numa combinação linear dos coeficientes das séries.

• Deslocamento Temporal: Um deslocamento no tempo de um sinal resulta numa rotação de fase nos coeficientes. Assim, se deslocarmos o sinal em $t_0$, os coeficientes multiplicam-se por $e^{-jkw_0 t_0}$.

• Inversão Temporal: Inverter um sinal no tempo equivale a inverter a sequência de coeficientes: $a_k \rightarrow a_{-k}$.

• Escalonamento Temporal: Alterar a escala de tempo muda o período do sinal e a frequência fundamental, mas os coeficientes mantêm-se inalterados.

• Multiplicação de Sinais: Multiplicar dois sinais periódicos no domínio temporal corresponde a uma convolução discreta dos seus coeficientes no domínio da frequência.

• Conjugação: O conjugado de um sinal resulta nos coeficientes conjugados e invertidos: $a_k^* = a_{-k}$.

• Sinais Reais: Se o sinal é real, os coeficientes são conjugados simétricos: $a_{-k} = a_k^*$.

• Sinais Pares ou Ímpares: Para sinais reais, se forem pares, os coeficientes são reais e pares; se forem ímpares, os coeficientes são imaginários puros e ímpares.

• Diferenciação e Integração: Derivar um sinal corresponde a multiplicar os coeficientes por $jkw_0$; integrar corresponde a multiplicar os coeficientes pelo inverso (salvo o termo DC).

• Relação de Parseval: A potência média de um sinal periódico é igual à soma das potências médias de cada harmónica: 

• $\frac{1}{T} \int_{T} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2.$

Estas propriedades são resumidas numa tabela para consulta rápida e exemplificadas com pequenos exercícios que mostram como podem poupar cálculos. A intuição é que manipulando sinais no tempo podemos prever e controlar o efeito sobre o espectro de Fourier.

---

3.6 Séries de Fourier em Tempo Discreto

Nesta secção, o conceito de Séries de Fourier é estendido a sinais periódicos em tempo discreto. A ideia principal é análoga ao caso contínuo, mas adaptada à natureza discreta dos sinais.

• Um sinal discreto $x[n]$ é periódico com período $N$ se $x[n] = x[n + N]$.

• A representação em série de Fourier é dada por:

  $$x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{j(2\pi/N)kn}.$$

• Os coeficientes são obtidos por:

  $$a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j(2\pi/N)kn}.$$

Comparando com o caso contínuo, destaca-se que:

• O número de harmónicas distintas é finito (N coeficientes para período N).

• Os expoentes são amostrados uniformemente no círculo unitário.

• A periodicidade de $e^{j(2\pi/N)kn}$ implica que o espectro é também periódico (aliasing inerente).

São discutidos exemplos simples de sinais discretos, como sequências binárias ou impulsos periódicos, e mostra-se como se obtêm os espectros. Este formalismo é a base para o desenvolvimento posterior da Transformada Discreta de Fourier (DFT) e da FFT.

---

3.7 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Discreto

Tal como na secção 3.5, mas agora no contexto discreto, são apresentadas as propriedades que permitem manipular séries de Fourier de sinais discretos:

• Linearidade: Mantém-se.

• Deslocamento Temporal: Deslocar uma sequência no tempo adiciona uma fase exponencial ao espectro.

• Inversão Temporal: Inverter o sinal inverte os índices dos coeficientes.

• Multiplicação: A multiplicação de duas sequências periódicas corresponde a uma convolução discreta circular dos seus coeficientes.

• Parseval: A soma da energia de um período é igual à soma dos quadrados das magnitudes dos coeficientes:

  $$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |a_k|^2.$$

Estas propriedades são organizadas numa tabela análoga à do caso contínuo, facilitando o uso prático em problemas de análise de sinais e sistemas discretos.

---

3.8 Resposta de Sistemas LTI a Sinais Periódicos

Esta secção liga tudo: mostra como as séries de Fourier permitem analisar a resposta de sistemas LTI a sinais periódicos, tanto contínuos como discretos.

A ideia é:

• Se a entrada $x(t)$ ou $x[n]$ é uma combinação de exponenciais complexas, e sabendo que cada exponencial é função própria do sistema LTI, então a saída é simplesmente a soma das mesmas exponenciais multiplicadas pelos ganhos do sistema em cada frequência.

• Assim, o sistema filtra cada harmónica de forma independente, modificando a amplitude e fase segundo a resposta em frequência $H(j\omega)$ ou $H(e^{j\Omega})$.

• Na prática, isto significa que podemos prever o comportamento de circuitos, filtros digitais e outros sistemas LTI analisando a resposta em frequência e o espectro de entrada.

A secção termina com exemplos ilustrativos: por exemplo, um circuito RC filtrando uma onda quadrada, mostrando como o espectro de saída atenua harmónicas de alta frequência — demonstrando o papel da resposta em frequência como “peneira” de harmónicas.

---

Secção 3.9 — Filtragem

A filtragem consiste em alterar as amplitudes relativas dos componentes de frequência de um sinal ou até eliminar alguns completamente. Os sistemas LTI (Lineares e Invariantes no Tempo) que modificam o espectro de forma controlada são chamados de filtros modeladores de frequência. Os filtros selectivos de frequência deixam passar algumas frequências quase sem distorção e atenuam ou rejeitam outras.

Como vimos, no domínio da frequência, a saída de um sistema LTI resulta da multiplicação das componentes do sinal de entrada pela resposta em frequência do sistema. Por isso, projectar filtros passa por escolher adequadamente essa resposta em frequência.

3.9.1 Filtros modeladores de frequência

Um exemplo comum está nos sistemas de áudio. Os filtros LTI nesses sistemas permitem ao utilizador ajustar o balanço entre graves e agudos. Estes filtros formam etapas de um equalizador, muitas vezes dividido em vários estágios em cascata, cujo efeito global resulta do produto das respostas em frequência de cada estágio.

• Mostram-se exemplos de curvas de magnitude em dB (20 log10 |H(jω)|), num gráfico log-log.

• Outro exemplo importante é o filtro diferenciador, com resposta em frequência H(jω) = jω. Amplifica mais as componentes de alta frequência, o que o torna útil, por exemplo, para realçar contornos em imagens (realce de transições bruscas em brilho). A aplicação a imagens bidimensionais é ilustrada, mostrando como realça bordas verticais ou horizontais consoante o conteúdo espectral em cada direcção.

No domínio discreto, os filtros LTI também são fundamentais. Usam-se em processamento digital (capítulo 7), por exemplo para separar variações de curto e longo prazo em séries temporais (dados económicos, demográficos). Um exemplo simples é o filtro média de dois pontos:

$$y[n] = \frac{1}{2} (x[n] + x[n-1])$$

que actua como um filtro passa-baixo, atenuando altas frequências e preservando variações lentas.

---

3.9.2 Filtros selectivos de frequência

Estes filtros são desenhados para deixar passar algumas bandas de frequência e rejeitar outras com a maior precisão possível. Por exemplo:

• Em áudio, podem remover ruído de alta frequência.

• Em comunicações (como AM), permitem separar canais codificados em diferentes bandas.

Existem tipos básicos bem definidos:

• Passa-baixo: passa baixas frequências, rejeita altas.

• Passa-alto: o inverso.

• Passa-banda: passa uma banda específica.

As frequências de corte marcam as fronteiras entre bandas passantes e de rejeição.

A figura 3.26 ilustra a resposta em frequência de um filtro passa-baixo ideal. A figura 3.27 mostra filtros passa-alto e passa-banda ideais (observa-se simetria em torno de ω=0 porque usamos exponenciais complexas). Para tempo discreto, a resposta em frequência deve ser periódica (figura 3.28), com período 2π.

Embora úteis para especificação teórica, os filtros ideais não são realizáveis fisicamente. Na prática, usam-se aproximações com transições menos abruptas e características ajustadas a cada aplicação.

---

Secção 3.10 — Exemplos de filtros contínuos descritos por equações diferenciais

Os filtros contínuos reais são muitas vezes implementados por circuitos cujas relações entrada-saída obedecem a equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

3.10.1 Um filtro RC passa-baixo simples

Um exemplo clássico é o circuito RC de primeira ordem, com o condensador como saída. A equação diferencial:

$$RC \frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = v_s(t)$$

leva a uma resposta em frequência:

$$H(jω) = \frac{1}{1 + jωRC}$$

• Para ω≈0, |H(jω)|≈1 → passa baixas frequências.

• Para ω elevado, |H(jω)|→0 → atenua altas frequências.

O compromisso entre domínio do tempo e da frequência: aumentar RC melhora a atenuação de altas frequências mas torna a resposta ao degrau mais lenta.

---

3.10.2 Um filtro RC passa-alto simples

Escolhendo agora como saída a tensão na resistência, a equação diferencial muda para:

$$RC \frac{dv_s(t)}{dt} + v_s(t) = v_r(t)$$

dando uma resposta em frequência:

$$G(jω) = \frac{jωRC}{1 + jωRC}$$

• Atenua baixas frequências.

• Passa altas frequências (para ω ≫ 1/RC).

Tal como no caso passa-baixo, o valor de RC controla a forma da resposta em frequência e a velocidade da resposta no tempo. Ambos os circuitos são exemplos de filtros de primeira ordem, com transições suaves entre banda passante e de rejeição.

---

Secção 3.11 — Exemplos de filtros discretos descritos por equações às diferenças

Os filtros em tempo discreto são implementados por equações às diferenças lineares de coeficientes constantes. Podem ser:

• Recursivos (IIR): têm resposta ao impulso infinita.

• Não-recursivos (FIR): resposta ao impulso finita.

Ambos são muito usados em sistemas digitais.

3.11.1 Filtros recursivos de primeira ordem

Um exemplo simples:

$$y[n] - a y[n-1] = x[n]$$

Para entrada exponencial complexa, a resposta em frequência é:

$$H(e^{jω}) = \frac{1}{1 - a e^{-jω}}$$

• Para a>0 (e |a|<1), actua como passa-baixo.

• Para a<0 (e |a|<1), actua como passa-alto.

O parâmetro a controla tanto a largura da banda passante como a velocidade da resposta ao impulso ou degrau.

---

3.11.2 Filtros não-recursivos

Forma geral:

$$y[n] = \sum_{k=-N}^{M} b_k x[n-k]$$

Exemplo clássico: filtro de média móvel.
Para três pontos:

$$y[n] = \frac{1}{3}(x[n-1] + x[n] + x[n+1])$$

• Atenua variações rápidas (altas frequências), passa variações lentas (baixas frequências).

• O tamanho da janela controla a frequência de corte.

Outros filtros não-recursivos podem fazer passa-alto. Exemplo:

$$y[n] = \frac{1}{2}(x[n] - x[n-1])$$

atua como um diferenciador discreto, atenuando baixas frequências.

As principais características dos FIR:

• Impulso finito → sempre estáveis.

• Possibilidade de serem causais ou não, dependendo se dependem de amostras futuras.

---

Secção 3.12 — Resumo

O capítulo introduz a representação em séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo e discreto, explorando a motivação principal: as exponenciais complexas são autofunções de sistemas LTI.

Mostrou-se que:

• Qualquer sinal periódico pode decompor-se numa soma ponderada de exponenciais harmónicas.

• Aplicando um sinal periódico a um sistema LTI, cada coeficiente de Fourier na saída é o produto do coeficiente de entrada pelo valor da resposta em frequência nessa harmónica.

Isto conduz ao conceito de filtragem com sistemas LTI, incluindo a filtragem selectiva de frequência.

O capítulo discutiu:

• Filtros ideais (não realizáveis) como referência teórica.

• Exemplos práticos baseados em equações diferenciais (contínuo) e às diferenças (discreto).

• A importância de compreender as respostas em frequência para conceber sistemas que realizem filtragem conforme os requisitos da aplicação.

Adiantou ainda que nos capítulos seguintes se desenvolverão ferramentas para sinais aperiódicos e uma análise mais detalhada da filtragem.

---

🎓 Quer melhorar os seus resultados na universidade? 

Disponibilizamos explicações de ensino superior adaptadas às suas necessidades, com acompanhamento personalizado para diferentes disciplinas.

✔ Explore a nossa Lista de Matérias disponíveis.

🌟 Veja os testemunhos de alunos que já atingiram melhores notas com o nosso apoio.

📬 Contacte-nos por email ou pelo formulário de contacto e obtenha a ajuda que precisa para dominar os seus estudos!

EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior

Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Introduction to Signal Processing de Sophocles J. Orfanidis

Capítulo 2 – Quantização

2.1 Processo de Quantização

Esta secção explica o processo fundamental de quantização, etapa essencial da conversão de sinais analógicos em digitais, após a amostragem.

• Um conversor analógico-digital (ADC) converte cada amostra do sinal $x(nT)$ num valor quantizado $x_Q(nT)$, representável por um número finito de bits $B$, com $2^B$ níveis de quantização.

• A resolução do quantizador, ou largura de quantização $Q$, é $Q = R/2^B$, onde $R$ é a gama total do sinal (full-scale range).

• A quantização por arredondamento é preferível à truncagem, pois introduz menor viés no erro de quantização.

• O erro de quantização $e(nT) = x_Q(nT) - x(nT)$ tem amplitude máxima de $Q/2$, e a variância média do erro é $Q^2/12$. O erro pode ser modelado como ruído branco com distribuição uniforme em $[-Q/2, Q/2]$, desde que o sinal ocupe bem a gama $R$.

• O modelo aditivo de ruído considera que $x_Q(n) = x(n) + e(n)$, sendo $e(n)$ ruído branco, estacionário, não correlacionado com o sinal.

• Para sinais de baixa amplitude, o erro de quantização não é ruído branco, podendo introduzir distorções chamadas granulação.

• A técnica de dithering (adição de ruído antes da quantização) pode eliminar essas distorções, tornando o erro mais aleatório, ainda que à custa de um aumento ligeiro do ruído (3 a 6 dB).

---

2.2 Sobreamostragem e modelação do ruído

Esta secção apresenta técnicas para melhorar a qualidade da quantização sem aumentar o número de bits por amostra.

Conceitos principais:

• O ruído de quantização é uniformemente distribuído no espectro (ruído branco).

• Com sobreamostragem (oversampling), o sinal é amostrado a uma taxa $f_s' > f_s$. Isto espalha o ruído por uma banda maior, reduzindo o ruído na banda útil.

• Mesmo com menor resolução (menos bits por amostra), o desempenho pode manter-se ou até melhorar devido ao maior número de amostras.

Cálculos:

• Com sobreamostragem, a potência de ruído dentro da banda útil é reduzida: $\sigma_e^2 = \sigma_{e'}^2 / L$, com $L = f_s' / f_s$.

• A poupança de bits por sobreamostragem sem modelação de ruído é pequena: $\Delta B = 0.5 \log_2 L$.

• Para aumentar essa poupança, usa-se modelação de ruído, que filtra o ruído de quantização com um filtro $H_{NS}(f)$ para "empurrar" o ruído para fora da banda útil.

• Com quantizadores de ordem $p$ e sobreamostragem, a poupança é maior: $\Delta B = (p + 0.5) \log_2 L - 0.5 \log_2\left(\frac{\pi^{2p}}{2p+1}\right)$.

• Por exemplo, com ordem 2 e $L = 128$, é possível obter o equivalente a um quantizador de 16 bits usando apenas 1 bit por amostra.

Aplicações:

• Esta técnica é usada em conversores delta-sigma, presentes em leitores de CD, sistemas de áudio digital e codificação de voz.

• O sistema de DSP com sobreamostragem permite filtros analógicos mais simples, menor resolução nos conversores, e ainda assim manter a qualidade através de filtragem digital (interpolação e decimação).

---

2.3 Conversores D/A

Esta secção discute os conversores digital-analógico (DACs), focando-se nas convenções de codificação e funcionamento lógico, sem entrar em detalhes eléctricos.

• Um DAC de $B$ bits converte uma palavra digital $[b_1, b_2, ..., b_B]$ num valor analógico $x_Q$ dentro da gama $R$.

• Três tipos de codificação:

  1. Unipolar natural binario: $x_Q = R \cdot \sum_{i=1}^{B} b_i \cdot 2^{-i}$

  2. Bipolar offset binario: igual ao anterior, mas com deslocamento $-R/2$

  3. Complemento para dois: semelhante ao offset binario, mas com o bit mais significativo invertido para representar sinais negativos de forma natural.

• As representações natural e offset têm os mesmos padrões binários, mas diferentes níveis de saída.

• A tabela 2.3.2 mostra, por exemplo com $B = 4$, como as palavras binárias mapeiam para níveis analógicos em cada codificação.

• O código complemento para dois é obtido facilmente a partir da forma natural binaria, complementando os bits e somando 1 (ex: 0011 = +3 → 1101 = −3).

• São apresentadas funções C para simular conversores DAC de  complemento para dois (usando a regra de Horner para calcular $x_Q$).

---

🎓 Quer melhorar os seus resultados na universidade? 

Disponibilizamos explicações de ensino superior adaptadas às suas necessidades, com acompanhamento personalizado para diferentes disciplinas.

✔ Explore a nossa Lista de Matérias disponíveis.

🌟 Veja os testemunhos de alunos que já atingiram melhores notas com o nosso apoio.

📬 Contacte-nos por email ou pelo formulário de contacto e obtenha a ajuda que precisa para dominar os seus estudos!

EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior

Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Structured Computer Organization de Andrew S. Tanenbaum (5.ª edição)

Estrutura dos sistemas computacionais

---

2.1 PROCESSADORES

Esta secção aborda a organização e evolução dos processadores (CPUs).

• Estrutura Básica da CPU: A CPU é composta pela UC (unidade de controlo), ALU (Unidade Aritmética e Lógica) e registos. A unidade de controlo busca instruções da memória principal, interpreta-as e executa-as. Os registos armazenam dados temporários e instruções em execução, sendo o Program Counter (PC) e o Instruction Register (IR) os mais importantes.

• Execução de Instruções: A execução dá-se em etapas: buscar a instrução, actualizar o PC, decodificar a instrução, buscar operandos, executar a operação e escrever o resultado.

• Caminho de Dados (Datapath): Mostra como os dados fluem dentro da CPU, entre registos e a ALU. A performance do processador depende da eficiência deste caminho.

• Pipelining: Técnica para acelerar a execução de instruções dividindo-as em várias fases (como uma linha de montagem). Várias instruções podem ser processadas em simultâneo, uma em cada estágio.

• Paralelismo a Nível de Instrução: Explora-se o uso de pipelines duplos (como no Pentium) ou arquitecturas superscalares com várias unidades funcionais que permitem executar múltiplas instruções por ciclo de relógio.

• Processamento Paralelo (Array e Vector Processors): Processadores de array como o ILLIAC IV executam a mesma instrução sobre múltiplos dados em paralelo (SIMD). Os vector processors, como o Cray-1, usam registos vectoriais e pipelines para realizar operações vectoriais com alta eficiência.

• Multiprocessadores e Multicomputadores: Multiprocessadores partilham memória comum e são fortemente acoplados, facilitando a programação. Multicomputadores têm memória separada por CPU e comunicam por troca de mensagens, sendo mais escaláveis. Sistemas híbridos tentam combinar o melhor de ambos.

---

2.2 MEMÓRIA PRINCIPAL

Esta secção foca-se na organização, tipos e funcionamento da memória principal de um sistema informático.

• Bits e Codificação Binária: A unidade mínima é o bit. O sistema binário é o mais fiável devido à facilidade de distinguir entre dois estados (0 e 1). Alguns sistemas usam codificações como BCD para representar números decimais.

• Endereços de Memória: Cada célula de memória tem um endereço único. A quantidade de bits por endereço determina o número máximo de células endereçáveis. A célula é a unidade mais pequena de endereçamento e normalmente contém um byte (8 bits).

• Ordenação de Bytes (Byte Ordering): Define como os bytes que compõem uma palavra são armazenados na memória — por exemplo, "little-endian" versus "big-endian".

• Correção de Erros: Utilizam-se códigos como o de Hamming para detectar e corrigir erros na memória. A verificação de paridade também pode ser usada para detecção simples.

• Memória Cache: Pequena memória rápida usada para armazenar dados frequentemente usados. Baseia-se no princípio da localidade (temporal e espacial). A performance depende da taxa de acertos (hit ratio) e é influenciada pelo tamanho da cache, tamanho da linha, organização, separação de dados e instruções (cache unificada vs Harvard) e número de níveis de cache.

• Empacotamento e Tipos de Memória: As memórias modernas são vendidas como módulos (SIMMs ou DIMMs), cada um contendo vários chips de memória. DIMMs transferem 64 bits por ciclo e são comuns em computadores de secretária, enquanto os SO-DIMMs são usados em portáteis. A correção de erros é opcional e pouco comum em computadores domésticos.

---

2.3 MEMÓRIA SECUNDÁRIA

Mesmo com memórias principais cada vez maiores, elas continuam a ser insuficientes para armazenar todos os dados desejados, especialmente com o aumento da informação digital (como livros digitalizados, vídeos, etc.). A solução clássica é utilizar uma hierarquia de memória, onde memórias mais lentas, maiores e baratas complementam as mais rápidas e pequenas.

2.3.1 Hierarquias de Memória

• Organiza-se a memória em níveis: registos, cache, memória principal, discos magnéticos, fitas magnéticas e discos ópticos.

• À medida que se desce na hierarquia:

  • O tempo de acesso aumenta.

  • A capacidade de armazenamento aumenta.

  • O custo por bit diminui.

2.3.2 Discos Magnéticos

• Compostos por pratos com revestimento magnético.

• A informação é lida/escrita por cabeças móveis que flutuam sobre os pratos.

• Os pratos giram a velocidade constante; os dados são organizados em pistas e sectores.

• Utilizam estratégias como zonas concêntricas com diferentes números de sectores para aumentar a capacidade (zone bit recording).

• Discos Winchester são selados para evitar poeira.

2.3.3 Desempenho dos Discos

• Fatores como o tempo de procura (seek time), latência rotacional e taxa de transferência afetam o desempenho.

• Há uma grande diferença entre a taxa de pico (burst) e a taxa sustentada de transferência de dados.

2.3.4 Interfaces e Controladores

• Interfaces como IDE, EIDE e SCSI evoluíram para suportar velocidades maiores e múltiplos dispositivos.

• O endereçamento evoluiu de C/H/S para LBA (Logical Block Addressing) para ultrapassar limites antigos (como os 504 MB dos primeiros BIOS).

2.3.6 RAID

• RAID (Redundant Array of Independent Disks) melhora desempenho e fiabilidade.

• Combina múltiplos discos como se fossem um só, podendo usar técnicas como espelhamento (RAID 1) ou distribuição de paridade (RAID 5).

2.3.8 CD-Recordables (CD-R)

• CDs graváveis foram introduzidos como meio económico para backups.

• Utilizam discos com trilhas guia e material sensível à gravação com laser.

2.3.9 CD-Rewritables (CD-RW)

• Usam uma liga metálica especial com dois estados estáveis (amorfo e cristalino).

• Um laser de diferentes potências escreve, apaga e lê os dados.

2.3.10 DVD

• Representa uma evolução do CD-ROM, com maior capacidade.

• É mais adequado para aplicações como filmes e grandes bases de dados.

---

2.4 ENTRADA/SAÍDA (INPUT/OUTPUT)

A secção trata da forma como os dispositivos de entrada e saída (E/S) se ligam ao processador e à memória, com foco especial nos barramentos (buses).

2.4.1 Barramentos

• Os barramentos são conjuntos de fios paralelos que transportam sinais de controlo, dados e endereços entre os vários componentes de um computador.

• A estrutura física típica inclui uma motherboard com slots para módulos de memória e placas de E/S ligadas ao barramento (ex: PCI).

• Dispositivos de E/S dividem-se entre o controlador (controlador físico/electrónico) e o dispositivo propriamente dito (ex: disco, monitor).

• O controlador gere o dispositivo e comunica com a CPU através do barramento. Pode usar DMA (Acesso Directo à Memória) para ler/escrever dados sem intervenção da CPU.

• Quando a transferência termina, o controlador gera uma interrupção, que suspende o programa em execução e invoca um tratador de interrupções (interrupt handler).

Arbitragem do Barramento

• Um árbitro de barramento decide qual componente usa o barramento quando há conflito (por exemplo, CPU vs dispositivo de E/S).

• Os dispositivos de E/S têm normalmente prioridade, pois não podem parar a sua operação física sem risco de perda de dados (ex: discos rígidos).

Problemas de Velocidade e Compatibilidade

• À medida que os componentes ficaram mais rápidos, os barramentos tornaram-se um gargalo. Surgiram soluções com barramentos múltiplos (por exemplo, PCI e ISA).

• A evolução para o barramento PCI, mais rápido, permitiu maior largura de banda para dispositivos como placas gráficas, som, rede e discos SCSI.

---

2.5 SUMÁRIO

Esta secção faz uma recapitulação dos principais conceitos abordados ao longo do capítulo:

• Componentes dos Sistemas Computacionais: São compostos por três tipos principais de componentes:

  • Processadores: Responsáveis por buscar, decifrar e executar instruções.

  • Memórias: Armazenam instruções e dados.

  • Dispositivos de Entrada/Saída (E/S): Permitem a comunicação com o exterior (ex: teclado, ecrã, impressora, etc.).

• Ciclo de Execução de Instruções: Consiste em buscar uma instrução da memória, decodificá-la e executá-la. Este processo pode ser descrito como um algoritmo e, por vezes, é implementado por interpretadores.

• Melhoria de Desempenho: Muitos computadores modernos usam pipelines ou arquitecturas superscalar, com várias unidades funcionais a operar em paralelo.

• Computação Paralela:

  • Processadores em Array: Executam a mesma operação em múltiplos dados ao mesmo tempo (SIMD).

  • Multiprocessadores: Partilham uma memória comum (memória partilhada).

  • Multicomputadores: Cada processador tem a sua própria memória, e a comunicação entre eles é feita por troca de mensagens.

• Hierarquia de Memória:

  • Memória Principal: Rápida e usada para armazenar o programa em execução. Pode usar cache para melhorar a performance.

  • Memória Secundária: Mais lenta, usada para armazenamento a longo prazo. Inclui discos magnéticos, discos ópticos e RAID.

• Dispositivos de Entrada/Saída: Transferem dados entre o mundo exterior e o computador. Estão ligados por meio de um ou mais barramentos. A maioria dos dispositivos usa o código ASCII, mas o UNICODE está a tornar-se o padrão global.

---

🎓 Quer melhorar os seus resultados na universidade? 

Disponibilizamos explicações de ensino superior adaptadas às suas necessidades, com acompanhamento personalizado para diferentes disciplinas.

✔ Explore a nossa Lista de Matérias disponíveis.

🌟 Veja os testemunhos de alunos que já atingiram melhores notas com o nosso apoio.

📬 Contacte-nos por email ou pelo formulário de contacto e obtenha a ajuda que precisa para dominar os seus estudos!

EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior

Resumo extraído do Capítulo 4 do livro Discrete-Time Signal Processing de Oppenheim e Schafer, (3ª edição)

4 - Amostragem de sinais em tempo contínuo

---

Secção 4.1 – Amostragem Periódica

Esta secção introduz o conceito de amostragem periódica como a forma mais comum de obter representações em tempo discreto de sinais contínuos. A operação básica consiste em obter uma sequência de amostras $x[n] = x_c(nT)$, onde $T$ é o período de amostragem. A conversão ideal contínua-para-discreta (C/D) é representada por um modulador de trem de impulsos seguido pela conversão desses impulsos numa sequência discreta.

É destacado que a operação de amostragem, por si só, não é invertível sem restrições ao conteúdo em frequência do sinal original, o que leva à introdução do conceito de sinal de banda limitada. É feita uma representação matemática do processo através da multiplicação do sinal contínuo $x_c(t)$ por um trem de impulsos $s(t)$, resultando numa expressão composta por impulsos com áreas iguais aos valores de $x_c(nT)$. Esta modelação permite a análise do processo tanto no domínio do tempo como no da frequência.

---

Secção 4.2 – Representação no Domínio da Frequência da Amostragem

Esta secção desenvolve a análise da amostragem no domínio da frequência. Mostra que a transformada de Fourier do sinal amostrado $x_s(t)$ é uma soma de cópias deslocadas da transformada de Fourier do sinal original $X_c(j\Omega)$, espaçadas pela frequência de amostragem $\Omega_s = \frac{2\pi}{T}$. Esta replicação espectral pode causar sobreposição, ou aliasing, se $\Omega_s < 2\Omega_N$, onde $\Omega_N$ é a frequência de Nyquist, definida como a maior frequência presente em $x_c(t)$.

O teorema da amostragem de Nyquist-Shannon é: um sinal contínuo de banda limitada pode ser reconstruído exatamente a partir das suas amostras, desde que a frequência de amostragem seja pelo menos o dobro da frequência máxima do sinal. São fornecidos exemplos com sinais sinusoidais que demonstram a ocorrência ou ausência de aliasing dependendo da frequência de amostragem usada.

---

Secção 4.3 – Reconstrução de um Sinal de Banda Limitada a partir das suas Amostras

A secção foca-se no processo inverso da amostragem: a reconstrução de $x_c(t)$ a partir de $x[n]$. Quando o sinal amostrado satisfaz o teorema de Nyquist, é possível reconstruí-lo exatamente utilizando um filtro passa-baixo ideal. O sistema ideal de reconstrução é chamado conversor ideal discreto-para-contínuo (D/C), que transforma a sequência $x[n]$ num trem de impulsos e, posteriormente, aplica um filtro passa-baixo com resposta impulsiva $h_r(t) = \frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T}$, resultando numa interpolação sinc dos valores amostrados.

A equação final expressa $x_r(t)$, o sinal reconstruído, como uma soma ponderada de funções sinc deslocadas no tempo. É mostrado que este processo gera um sinal contínuo cujos valores coincidem com os das amostras originais em $t = nT$, garantindo assim uma reconstrução perfeita sob as condições ideais.

---

Secção 4.4 – Processamento em Tempo Discreto de Sinais em Tempo Contínuo

Esta secção explora um dos principais objetivos do processamento digital de sinais: usar sistemas em tempo discreto para processar sinais analógicos (contínuos). Isto é feito interligando três blocos principais:

1. Um conversor contínuo-para-discreto (C/D), que amostra o sinal analógico.

2. Um sistema em tempo discreto (como um filtro digital).

3. Um conversor discreto-para-contínuo (D/C), que reconstrói um sinal contínuo a partir do sinal processado.

Para que o sistema global se comporte como um sistema linear e invariante no tempo (LTI), duas condições devem ser cumpridas:

• O sistema digital deve ser LTI.

• A frequência de amostragem deve ser pelo menos igual à taxa de Nyquist para evitar aliasing.

Esta secção fornece uma análise em domínio da frequência que mostra como a resposta em frequência do sistema total pode ser entendida como o produto da resposta do sistema digital com a resposta do filtro de reconstrução, devidamente escalados.

São dados exemplos práticos:

• Exemplo 4.3 mostra como realizar um filtro passa-baixo contínuo ideal usando um filtro digital passa-baixo.

• Exemplo 4.4 mostra como implementar numericamente um diferenciador ideal contínuo através de um sistema digital.

Estes exemplos demonstram como, ajustando a frequência de corte e o período de amostragem, se consegue controlar a frequência de corte do sistema contínuo equivalente.

---

Secção 4.5 – Processamento em Tempo Contínuo de Sinais em Tempo Discreto

Aqui é apresentado o conceito complementar ao da secção anterior: usar sistemas contínuos para interpretar ou implementar comportamentos de sistemas discretos. Embora esta abordagem não seja habitual para implementação prática, tem valor teórico.

O sistema considerado consiste em:

1. Um conversor D/C que interpola a sequência discreta através de uma função sinc.

2. Um sistema contínuo LTI com resposta em frequência $H_c(j\Omega)$.

3. Um conversor C/D que volta a amostrar o sinal filtrado.

Dado que o sinal reconstruído pelo D/C está limitado em banda (até $\pi/T$), a operação do sistema contínuo pode ser interpretada como uma forma alternativa de aplicar uma operação sobre o sinal discreto.

Exemplos destacados:

• Exemplo 4.7: mostra como implementar um atraso não-inteiro, algo não trivial no domínio discreto. Ao aplicar um atraso fracionário no domínio contínuo ao sinal interpolado, e depois voltar a amostrar, obtém-se o efeito desejado.

• Exemplo 4.8: aplica essa ideia a um filtro de média móvel (moving average), onde se demonstra que um filtro de 6 pontos tem um atraso de 2.5 amostras, visível através do seu efeito sobre um cosseno amostrado.

---

Secção 4.6 – Alteração da Taxa de Amostragem Usando Processamento em Tempo Discreto

Esta secção aborda técnicas para alterar a taxa de amostragem de sinais discretos — uma necessidade comum em sistemas digitais. Duas operações principais são discutidas:

Redução da taxa de amostragem (downsampling)

Consiste em reduzir a taxa de amostragem em um fator inteiro $M$, retendo apenas uma em cada $M$ amostras:

$$x_d[n] = x[nM]$$

Este processo pode causar aliasing, tal como a amostragem contínua, se o sinal não for previamente limitado em frequência. Para evitar aliasing, é necessário que o sinal $x[n]$ seja pré-filtrado com um filtro passa-baixo discreto.

A análise em frequência mostra que o espectro de $x_d[n]$ é composto por múltiplas cópias comprimidas do espectro de $x[n]$, somadas entre si.

Exemplos visuais:

• Figuras da secção mostram como o espectro muda com o downsampling, evidenciando os efeitos de aliasing e como evitá-los com pré-filtragem.

A operação inversa (aumento da taxa de amostragem, ou upsampling) será discutida em secções seguintes, mas esta secção foca-se na fundamentação teórica e nos efeitos espectrais da redução da taxa.

---

Secção 4.9 – Sobreamostragem e Modelação do Ruído na Conversão A/D e D/A

Esta secção aprofunda a utilização de técnicas de sobreamostragem (oversampling) e modelação de ruído (noise shaping) para melhorar o desempenho na conversão analógica-para-digital (A/D) e digital-para-analógica (D/A), permitindo uma representação mais precisa com menos bits de quantização.

4.9.1 Sobreamostragem com Quantização Directa

Ao aumentar a taxa de amostragem em relação à frequência de Nyquist (ou seja, sobreamostrar com um fator $M$), é possível reduzir o ruído de quantização para um determinado tamanho de passo $\Delta$ do quantizador. Isto significa que podemos utilizar quantizadores com menos bits, mantendo a mesma precisão. A relação é tal que, ao duplicar $M$, pode-se reduzir o número de bits em 0,5 para atingir o mesmo desempenho de relação sinal/ruído.

4.9.2 Sobreamostragem com Modelação do Ruído

Apenas sobreamostrar exige valores de $M$ muito elevados para obter grandes reduções no número de bits, o que é pouco prático. No entanto, ao introduzir um sistema de feedback que "modela" o espectro do ruído de quantização — deslocando-o para fora da banda útil do sinal — pode-se eliminar grande parte desse ruído através de filtragem subsequente. Este processo, chamado modelação de ruído, usa estruturas com realimentação para alterar a densidade espectral de potência do ruído, concentrando-o fora da banda $|ω| < π/M$. Isto permite ganhos maiores em eficiência de quantização, como demonstrado pela Tabela 4.1: com $M = 64$, o ganho pode chegar a 8.1 bits com modelação de ruído de 1ª ordem, versus 3 bits com sobreamostragem directa.

4.9.3 Aplicação na Conversão D/A

As mesmas ideias são aplicáveis ao processo inverso (D/A). Aqui, a sequência digital é primeiro aumentada em taxa (upsampled), sujeita a modelação de ruído e depois reconvertida para o domínio contínuo por um conversor D/A. A ideia é que a modelação de ruído afaste o ruído da banda do sinal para que a filtragem analógica final possa removê-lo de forma mais eficaz, permitindo o uso de conversores com menos bits. A ordem da modelação de ruído (por exemplo, 1ª, 2ª ou até 5ª ordem) permite controlar ainda mais este efeito, como mostrado na Tabela 4.2. Contudo, ordens mais elevadas trazem riscos de instabilidade, o que levou ao desenvolvimento de estruturas alternativas como MASH (Multistage Noise Shaping).

---

Secção 4.10 – Resumo do Capítulo

Esta secção recapitula os principais tópicos abordados no capítulo:

• O teorema de Nyquist-Shannon é a base para a representação de sinais contínuos por amostras discretas.

• É possível reconstruir um sinal contínuo de forma exata a partir das suas amostras se a taxa de amostragem for suficiente (acima do dobro da frequência máxima do sinal).

• Processamento digital de sinais contínuos envolve amostragem, processamento em tempo discreto, e reconstrução.

• Técnicas como subamostragem (downsampling), sobreamostragem (upsampling), e conversão de taxas não inteiras são fundamentais em aplicações digitais.

• Foi dada ênfase às implicações práticas como a necessidade de filtros anti-aliasing, a influência do ruído de quantização, e estratégias como decimação, interpolação e modelação de ruído para melhorar a eficiência das conversões A/D e D/A.

Estas ideias oferecem as bases para sistemas modernos como áudio digital (e.g., CD) e comunicações, onde a relação entre o domínio contínuo e o discreto é fundamental.

---

🎓 Quer melhorar os seus resultados na universidade? 

Disponibilizamos explicações de ensino superior adaptadas às suas necessidades, com acompanhamento personalizado para diferentes disciplinas.

✔ Explore a nossa Lista de Matérias disponíveis.

🌟 Veja os testemunhos de alunos que já atingiram melhores notas com o nosso apoio.

📬 Contacte-nos por email ou pelo formulário de contacto e obtenha a ajuda que precisa para dominar os seus estudos!

EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior