Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Introduction to Signal Processing de Sophocles J. Orfanidis

Capítulo 2 – Quantização

2.1 Processo de Quantização

Esta secção explica o processo fundamental de quantização, etapa essencial da conversão de sinais analógicos em digitais, após a amostragem.

• Um conversor analógico-digital (ADC) converte cada amostra do sinal $x(nT)$ num valor quantizado $x_Q(nT)$, representável por um número finito de bits $B$, com $2^B$ níveis de quantização.

• A resolução do quantizador, ou largura de quantização $Q$, é $Q = R/2^B$, onde $R$ é a gama total do sinal (full-scale range).

• A quantização por arredondamento é preferível à truncagem, pois introduz menor viés no erro de quantização.

• O erro de quantização $e(nT) = x_Q(nT) - x(nT)$ tem amplitude máxima de $Q/2$, e a variância média do erro é $Q^2/12$. O erro pode ser modelado como ruído branco com distribuição uniforme em $[-Q/2, Q/2]$, desde que o sinal ocupe bem a gama $R$.

• O modelo aditivo de ruído considera que $x_Q(n) = x(n) + e(n)$, sendo $e(n)$ ruído branco, estacionário, não correlacionado com o sinal.

• Para sinais de baixa amplitude, o erro de quantização não é ruído branco, podendo introduzir distorções chamadas granulação.

• A técnica de dithering (adição de ruído antes da quantização) pode eliminar essas distorções, tornando o erro mais aleatório, ainda que à custa de um aumento ligeiro do ruído (3 a 6 dB).

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2.2 Sobreamostragem e modelação do ruído

Esta secção apresenta técnicas para melhorar a qualidade da quantização sem aumentar o número de bits por amostra.

Conceitos principais:

• O ruído de quantização é uniformemente distribuído no espectro (ruído branco).

• Com sobreamostragem (oversampling), o sinal é amostrado a uma taxa $f_s' > f_s$. Isto espalha o ruído por uma banda maior, reduzindo o ruído na banda útil.

• Mesmo com menor resolução (menos bits por amostra), o desempenho pode manter-se ou até melhorar devido ao maior número de amostras.

Cálculos:

• Com sobreamostragem, a potência de ruído dentro da banda útil é reduzida: $\sigma_e^2 = \sigma_{e'}^2 / L$, com $L = f_s' / f_s$.

• A poupança de bits por sobreamostragem sem modelação de ruído é pequena: $\Delta B = 0.5 \log_2 L$.

• Para aumentar essa poupança, usa-se modelação de ruído, que filtra o ruído de quantização com um filtro $H_{NS}(f)$ para "empurrar" o ruído para fora da banda útil.

• Com quantizadores de ordem $p$ e sobreamostragem, a poupança é maior: $\Delta B = (p + 0.5) \log_2 L - 0.5 \log_2\left(\frac{\pi^{2p}}{2p+1}\right)$.

• Por exemplo, com ordem 2 e $L = 128$, é possível obter o equivalente a um quantizador de 16 bits usando apenas 1 bit por amostra.

Aplicações:

• Esta técnica é usada em conversores delta-sigma, presentes em leitores de CD, sistemas de áudio digital e codificação de voz.

• O sistema de DSP com sobreamostragem permite filtros analógicos mais simples, menor resolução nos conversores, e ainda assim manter a qualidade através de filtragem digital (interpolação e decimação).

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2.3 Conversores D/A

Esta secção discute os conversores digital-analógico (DACs), focando-se nas convenções de codificação e funcionamento lógico, sem entrar em detalhes eléctricos.

• Um DAC de $B$ bits converte uma palavra digital $[b_1, b_2, ..., b_B]$ num valor analógico $x_Q$ dentro da gama $R$.

• Três tipos de codificação:

  1. Unipolar natural binario: $x_Q = R \cdot \sum_{i=1}^{B} b_i \cdot 2^{-i}$

  2. Bipolar offset binario: igual ao anterior, mas com deslocamento $-R/2$

  3. Complemento para dois: semelhante ao offset binario, mas com o bit mais significativo invertido para representar sinais negativos de forma natural.

• As representações natural e offset têm os mesmos padrões binários, mas diferentes níveis de saída.

• A tabela 2.3.2 mostra, por exemplo com $B = 4$, como as palavras binárias mapeiam para níveis analógicos em cada codificação.

• O código complemento para dois é obtido facilmente a partir da forma natural binaria, complementando os bits e somando 1 (ex: 0011 = +3 → 1101 = −3).

• São apresentadas funções C para simular conversores DAC de  complemento para dois (usando a regra de Horner para calcular $x_Q$).

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