Resumo extraído do Capítulo 3, do livro: Electric Machinery - 7ª edição — Fitzgerald & Kingsley - Umans

Capítulo 3 - Princípios da conversão eletromecânica de energia

---

Secção 3.1 – Forças e Binários em Sistemas de Campo Magnético

Nesta secção é introduzida a lei de Lorentz, que descreve a força $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ exercida sobre uma partícula com carga $q$ em presença de campos elétrico $\mathbf{E}$ e magnético $\mathbf{B}$. São analisados dois casos específicos:

1. Campo elétrico puro ($\mathbf{B} = 0$): a força é $\mathbf{F} = q\mathbf{E}$ e actua na direção do campo, independentemente do movimento da partícula.

2. Campo magnético puro ($\mathbf{E} = 0$): a força é $\mathbf{F} = q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})$, perpendicular tanto ao movimento como ao campo magnético, cuja direção é dada pela regra da mão direita.

Para sistemas com muitas partículas em movimento, introduz-se o conceito de densidade de carga $\rho$ e de densidade de corrente $\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}$, levando à forma da força por unidade de volume:
$\mathbf{f}_v = \mathbf{J} \times \mathbf{B}$

É demonstrado com um exemplo prático (Exemplo 3.1) o cálculo do binário sobre um rotor com uma bobina de uma espira sujeita a um campo magnético uniforme. Conclui-se que:

• Em sistemas com fios condutores e geometria simples, a equação $\mathbf{f}_v = \mathbf{J} \times \mathbf{B}$ é útil.

• Em dispositivos práticos com materiais magnéticos, essa equação não é suficiente, pois a força também atua nos materiais, não apenas nas cargas em movimento.

---

Secção 3.2 – Balanço de Energia e o Método da Energia

Esta secção introduz o princípio da conservação de energia como base para o cálculo de forças e binários em sistemas eletromecânicos. Considera-se um sistema com entrada de energia elétrica, saída de energia mecânica, armazenamento de energia no campo magnético e perdas por calor:

$$\text{Energia elétrica de entrada} = \text{Energia mecânica de saída} + \text{Energia armazenada} + \text{Perdas}$$

A análise foca-se em sistemas sem perdas (elementos de armazenamento idealizados) que ligam terminais elétricos e terminais mecânicos via energia armazenada em campos magnéticos.

Usando um modelo idealizado (Fig. 3.3a), o sistema é representado com:

• Variáveis elétricas: tensão $e$, corrente $i$

• Variáveis mecânicas: força $f_{\text{fld}}$, posição $x$

A potência elétrica de entrada é $ei$, a potência mecânica de saída é $f_{\text{fld}} \cdot \frac{dx}{dt}$, e a variação da energia armazenada é:

$$\frac{dW_{\text{fld}}}{dt} = ei - f_{\text{fld}} \cdot \frac{dx}{dt}$$

Combinando com a equação da força eletromotriz $e = \frac{d\lambda}{dt}$, obtém-se:

$$dW_{\text{fld}} = i \, d\lambda - f_{\text{fld}} \, dx$$

Esta equação é a base do método da energia, permitindo determinar as forças eletromagnéticas a partir da variação da energia armazenada em função das variáveis de estado (fluxo ligado $\lambda$ e posição $x$). O método oferece uma forma eficaz de analisar dispositivos complexos sem recorrer a distribuições de campo detalhadas.

---

Secção 3.3 – Energia em Sistemas de Campo Magnético com Excitação Simples

Esta secção trata da aplicação do método da energia a sistemas de excitação simples, ou seja, com uma única bobina como fonte de energia magnética e um terminal mecânico com deslocamento linear (ou angular, por analogia).

Conceitos principais:

• O exemplo usado é um relé eletromagnético com armadura móvel e núcleo de elevada permeabilidade.

• A energia é armazenada maioritariamente nos entreferros (air-gaps), pois têm uma relutância muito superior à do material magnético.

• Adota-se o modelo linear: a relação entre o fluxo ligado $\lambda$ e a corrente $i$ é dada por:

  $$\lambda = L(x) \cdot i$$

  onde $L(x)$ é a indutância dependente da posição $x$.

Cálculo da energia armazenada:

Partindo da equação deduzida na secção anterior:

$$dW_{\text{fld}} = i \, d\lambda - f_{\text{fld}} \, dx$$

e assumindo uma trajetória de integração em que $x$ se mantém constante, obtém-se:

$$W_{\text{fld}}(\lambda, x) = \int_0^{\lambda} i(\lambda', x) \, d\lambda'$$

Para sistemas lineares:

$$W_{\text{fld}}(\lambda, x) = \frac{\lambda^2}{2L(x)} \quad \text{ou} \quad W_{\text{fld}}(i, x) = \frac{1}{2} L(x) i^2$$

Exemplos:

• Exemplo 3.2: cálculo da energia armazenada num relé com entreferro uniforme. Mostra que a energia armazenada depende da posição da armadura $x$ através da área do entreferro e da indutância.

---

Secção 3.4 – Determinação da Força e do Binário Magnético a partir da Energia

Nesta secção, o objetivo é determinar forças e binários eletromagnéticos usando o método da energia, sem analisar detalhadamente os campos.

Princípio base:

A energia armazenada $W_{\text{fld}}$ é uma função de estado das variáveis independentes $\lambda$ (fluxo ligado) e $x$ (posição). A partir do diferencial total:

$$dW_{\text{fld}}(\lambda, x) = i \, d\lambda - f_{\text{fld}} \, dx$$

e aplicando cálculo diferencial:

$$i = \frac{\partial W_{\text{fld}}}{\partial \lambda} \bigg|_x \quad \text{e} \quad f_{\text{fld}} = - \frac{\partial W_{\text{fld}}}{\partial x} \bigg|_\lambda$$

Fórmulas práticas:

• Para sistemas lineares ($\lambda = L(x) i$), com energia dada por:

  $$W_{\text{fld}} = \frac{\lambda^2}{2L(x)}$$

  a força é:

  $$f_{\text{fld}} = \frac{\lambda^2}{2L^2(x)} \cdot \frac{dL(x)}{dx}$$

  ou, substituindo $\lambda = L(x)i$:

  $$f_{\text{fld}} = \frac{i^2}{2} \cdot \frac{dL(x)}{dx}$$

Exemplos:

• Exemplo 3.3: cálculo da força sobre um êmbolo com base em dados experimentais de indutância em função da posição $x$, usando ajuste polinomial e o MATLAB.

• Também se mostra como manter $\lambda$ constante (por exemplo, via controlador) e ainda assim calcular a força com base na derivada da energia.

Versão rotativa:

• Quando o terminal mecânico é rotativo, substitui-se $x$ por $\theta$ (ângulo) e a força por torque $T_{\text{fld}}$:

  $$T_{\text{fld}} = - \frac{\partial W_{\text{fld}}(\lambda, \theta)}{\partial \theta} \bigg|_\lambda$$

• Exemplo 3.4: rotor oval com entreferro não uniforme, cuja indutância varia com $\theta$. O binário é calculado como:

  $$T_{\text{fld}}(\theta) = -\frac{1}{2} \lambda^2 \cdot \frac{d}{d\theta} \left( \frac{1}{L(\theta)} \right)$$

---

Secção 3.5 — Coenergia

A secção 3.5 introduz o conceito de coenergia como uma ferramenta útil para análise de sistemas eletromecânicos, especialmente quando se pretende expressar forças ou binários (torques) em termos de corrente em vez de ligação de fluxo. Esta abordagem complementa a análise baseada em energia, permitindo obter expressões mais simples e práticas.

Para sistemas com uma única excitação, a coenergia é definida como:

$$W'_{fld}(i, x) = i \lambda(i, x) - W_{fld}(\lambda, x)$$

E o seu valor diferencial é:

$$dW'_{fld}(i, x) = \lambda di + f_{fld} dx$$

Isto implica que:

• A ligação de fluxo é dada por:

  $$\lambda = \frac{\partial W'_{fld}}{\partial i}$$

• A força eletromagnética é dada por:

  $$f_{fld} = \frac{\partial W'_{fld}}{\partial x}$$

No caso de sistemas lineares, a coenergia é idêntica à energia armazenada no campo magnético. Em sistemas não lineares, as duas são diferentes, mas a coenergia continua a ser útil por permitir o cálculo direto da força ou torque com base na corrente, o que é comum em situações práticas.

A secção termina com um exemplo numérico que mostra como calcular o torque a partir da coenergia num sistema com rotor saliente, utilizando uma expressão explícita dependente da corrente e da posição angular.

---

Secção 3.6 — Sistemas de Campo Magnético com Múltiplas Excitações

Esta secção generaliza a análise para sistemas com múltiplas excitações elétricas, ou seja, com mais do que um enrolamento. Estes sistemas aparecem frequentemente em máquinas elétricas, instrumentos de medição e atuadores eletromecânicos complexos.

Estrutura da Análise

É apresentado um sistema genérico com dois enrolamentos e um terminal mecânico rotativo. A análise é feita com base em três variáveis independentes, geralmente escolhidas entre: θ (posição angular), λ₁, λ₂ (ligações de fluxo), i₁, i₂ (correntes).

A energia armazenada diferencial no campo magnético é dada por:

$$dW_{fld}(\lambda_1, \lambda_2, \theta) = i_1 d\lambda_1 + i_2 d\lambda_2 - T_{fld} d\theta$$

As relações derivadas são:

• Correntes como derivadas parciais da energia em relação às ligações de fluxo.

• Torque como derivada negativa da energia em relação à posição angular.

Coenergia para Sistemas com Múltiplas Excitações

Define-se então a coenergia:

$$W'_{fld}(i_1, i_2, \theta) = \lambda_1 i_1 + \lambda_2 i_2 - W_{fld}$$

Com a sua forma diferencial:

$$dW'_{fld} = \lambda_1 di_1 + \lambda_2 di_2 + T_{fld} d\theta$$

E as correspondentes derivadas parciais para determinar ligações de fluxo e torque diretamente a partir das correntes:

$$T_{fld} = \frac{\partial W'_{fld}}{\partial \theta}$$

Sistema Linear

Para sistemas lineares (λ₁ e λ₂ expressos em função de i₁, i₂ e indutâncias L₁₁, L₁₂, L₂₂):

$$W'_{fld}(i_1, i_2, \theta) = \frac{1}{2}L_{11} i_1^2 + \frac{1}{2}L_{22} i_2^2 + L_{12} i_1 i_2$$

O torque pode ser calculado diretamente como:

$$T_{fld} = \frac{1}{2} i_1^2 \frac{dL_{11}}{d\theta} + \frac{1}{2} i_2^2 \frac{dL_{22}}{d\theta} + i_1 i_2 \frac{dL_{12}}{d\theta}$$

Exemplo Prático

A secção inclui um exemplo com valores específicos de indutâncias variáveis com a posição (dependência trigonométrica de θ). O torque resultante é a soma de:

• Torque de interação mútua entre os enrolamentos (proporcional a i₁i₂ sinθ).

• Torque de relutância, devido à variação das indutâncias próprias com θ (proporcional a i² sin2θ).

Estes torques são representados graficamente e discutidos em termos físicos.

---

Secção 3.7 — Forças e Binários em Sistemas com Ímanes Permanentes

Contexto e Problema

As secções anteriores abordam sistemas cujos campos magnéticos são gerados por correntes elétricas em enrolamentos. No entanto, muitos dispositivos práticos usam ímanes permanentes (ou materiais magnéticos duros), como motores brushless, sensores e atuadores.

Nestes sistemas, os métodos tradicionais de cálculo de energia e coenergia requerem adaptação, uma vez que:

• A densidade de fluxo B não é nula quando o campo magnético H = 0.

• A coercividade do íman (Hc) implica um campo interno não nulo, mesmo sem corrente.

Técnica com Enrolamento Fictício

Para adaptar os métodos clássicos, a secção propõe um método analítico baseado num enrolamento fictício, que:

• É colocado no mesmo caminho magnético do íman.

• Tem corrente nula durante a operação normal.

• Serve apenas como artifício matemático para calcular a energia ou coenergia.

Esta abordagem permite:

1. Calcular a coenergia com base na corrente no enrolamento fictício.

2. Derivar a força ou binário aplicando as fórmulas já conhecidas da coenergia.

Equivalência com Enrolamento Real

O íman permanente pode ser substituído por:

• Um material magnético linear com a mesma permeabilidade.

• Um enrolamento com força magnetomotriz equivalente (Ni) = −Hc·d.

Esta substituição produz o mesmo fluxo no circuito externo e a mesma força. Tal equivalência permite:

• Aplicar técnicas convencionais com enrolamentos.

• Combinar ímanes permanentes e enrolamentos reais num único modelo analítico.

---

Secção 3.8 — Equações Dinâmicas

Objetivo

Esta secção integra os conceitos de energia, coenergia, forças e binários no modelo dinâmico completo de um sistema eletromecânico. O objetivo é descrever a interação entre:

• O circuito elétrico.

• O sistema de conversão de energia.

• O sistema mecânico externo.

Modelo Geral

Um sistema tipicamente inclui:

• Fonte elétrica (tensão v₀ e resistência R).

• Enrolamento com fluxo λ e corrente i.

• Parte mecânica com massa M, mola (constante K) e amortecimento (coeficiente B).

Equações Fundamentais

1. Equação elétrica (derivada da lei de Faraday):

$$v_0 = R i + \frac{d\lambda}{dt}$$

Se λ = L(x)i:

$$v_0 = R i + L(x) \frac{di}{dt} + i \frac{dL(x)}{dx} \frac{dx}{dt}$$

O termo final é a tensão de velocidade, típica em sistemas com movimento.

2. Equação mecânica (equilíbrio de forças):

$$f_{fld} - K(x - x_0) - B\frac{dx}{dt} - M\frac{d^2x}{dt^2} = f_0$$

Ou reorganizada:

$$f_0(t) = -M\frac{d^2x}{dt^2} - B\frac{dx}{dt} - K(x - x_0) + f_{fld}(x, i)$$

Exemplo Prático (Ex. 3.10)

Analisa-se um solenóide com êmbolo móvel e guiado por anéis de latão:

• O fluxo passa radialmente.

• A indutância depende da posição x.

• A força magnética e a tensão induzida são derivadas explicitamente como funções de x e i.

Obtem-se as equações diferenciais acopladas que descrevem a dinâmica completa do sistema:

• Equação da força magnética:

$$f_{fld} = \frac{1}{2} i^2 \frac{dL}{dx}$$

• Equação da tensão:

$$v_t = Ri + L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dx} \frac{dx}{dt}$$

• Equação do movimento:

$$f_t = -M \frac{d^2x}{dt^2} - B \frac{dx}{dt} - K(x - l_0) + f_{fld}$$

Aplicação

Estas equações permitem:

• Simulações numéricas (por ex., com MATLAB/Simulink).

• Estudo do comportamento transitório do sistema.

• Análise de estabilidade, tempo de resposta e força resultante.

---

Secção 3.9 — Técnicas Analíticas

Objectivo

A secção 3.9 explora métodos analíticos e numéricos para resolver as equações dinâmicas não-lineares de sistemas eletromecânicos desenvolvidas na secção anterior. As técnicas apresentadas aplicam-se tanto a sistemas de movimento grosseiro (como solenóides e relés) como a transdutores de pequena amplitude, sendo adaptáveis a sistemas mais complexos que os exemplos anteriores.

---

3.9.1 Movimento Grosseiro 

Esta subsecção centra-se na resolução das equações diferenciais não-lineares obtidas de dispositivos como atuadores ou solenóides, que produzem movimento substancial.

---

3.9.2 Linearização

Quando os dispositivos operam perto de um ponto de equilíbrio, é possível simplificar as equações linearizando-as para obter respostas mais fáceis de analisar, especialmente em transdutores e sistemas de controlo.

Estratégia:

Cada variável é escrita como:

$$x = X_0 + x', \quad i = I_0 + i', \quad v_t = V_0 + v', \quad f_t = F_0 + f'$$

Substituindo nas equações diferenciais originais e descartando termos de segunda ordem, obtém-se um sistema linear de equações diferenciais. 

Estas equações permitem:

• Análise em frequência (via números complexos).

• Estudo de estabilidade e resposta a pequenos sinais.

• Determinação de ganhos, constantes de tempo e pontos de ressonância.

---

Secção 3.10 — Sumário

Esta secção sintetiza os conceitos centrais do capítulo 3, agrupando-os numa visão coesa dos princípios fundamentais da conversão de energia eletromecânica.

Conceitos-Chave:

1. Armazenamento de Energia em Campos:

   • A energia armazenada em campos magnéticos (ou elétricos) pode gerar forças ou binários quando há variação geométrica (ex: deslocamento linear ou angular).

   • Essa energia é convertida em movimento mecânico quando há interação entre corrente e campo.

2. Sistemas Conservativos:

   • A modelação considera sistemas conservativos, onde perdas são atribuídas externamente (em resistências, amortecedores, etc.).

   • A energia armazenada é uma função de estado dependente das variáveis do sistema (λ, i, x, θ...).

3. Coenergia:

   • A coenergia é introduzida como uma ferramenta alternativa e eficaz para calcular forças/torques a partir das correntes, especialmente útil em sistemas com múltiplas excitações.

4. Múltiplas Excitações:

   • Dispositivos reais muitas vezes possuem mais do que um enrolamento.

   • A análise com coenergia permite determinar o binário com expressões simples, mesmo quando há variação das indutâncias com a posição.

5. Ímanes Permanentes:

   • Sistemas com ímanes permanentes requerem cuidados especiais, mas podem ser analisados introduzindo um enrolamento fictício.

   • Este modelo permite manter a consistência com a abordagem baseada em energia/coenergia.

6. Equações Dinâmicas:

   • A integração dos domínios elétrico e mecânico leva a um modelo dinâmico completo.

   • Essas equações geralmente não são lineares e são resolvidas com técnicas numéricas (ex: Simulink), mas podem ser linearizadas para análise de estabilidade ou controlo.

7. Aplicabilidade Universal:

   • Os princípios aqui desenvolvidos são aplicáveis a máquinas rotativas (tema dos capítulos seguintes) e a transdutores lineares, servindo como base unificadora.

---

Secção 3.11 — Variáveis do Capítulo 3

Esta secção reúne todas as variáveis utilizadas ao longo do Capítulo 3 com os respetivos símbolos, unidades e significados, de modo a facilitar a consulta e a interpretação das equações.

---

Grandezas Mecânicas e Geométricas

Símbolo	Significado	Unidade (SI)
$\alpha, \theta$	Posição angular	rad (radianos)
$x, X$	Deslocamento linear	m (metros)
$r$	Raio	m
$a, h, l, d, D, W$	Dimensões lineares diversas	m
$A$	Área	m²
$v$	Velocidade linear	m/s
$M$	Massa	kg
$K$	Constante de mola	N/m
$B$	Coeficiente de amortecimento	N·s/m ou kg/s
$T, T_{fld}$	Binário (torque)	N·m
$f, f_{fld}, F$	Força	N

---

Grandezas Elétricas e Magnéticas

Símbolo	Significado	Unidade (SI)
$i, I$	Corrente elétrica	A (ampères)
$\lambda$	Ligação de fluxo (flux linkage)	Wb (weber)
$\phi$	Fluxo magnético	Wb
$v, e$	Tensão ou força eletromotriz	V (volts)
$R$	Resistência elétrica	Ω (ohm)
$L$	Indutância	H (henries)
$N$	Número de espiras (voltaspelo enrolamento)	adimensional
$H$	Intensidade de campo magnético	A/m
$B$	Densidade de fluxo magnético	T (tesla)
$\mu$	Permeabilidade magnética	H/m
$\mu_0$	Permeabilidade do vácuo (ou ar)	$4\pi \times 10^{-7}$ H/m
$\mu_R$	Permeabilidade relativa do íman	H/m
$H_c$	Coercividade do material magnético	A/m
$B_r$	Remanência magnética (magnetização residual)	T
$F$	Força magnetomotriz (f.m.m.)	A (ampères)
$R$ (magnético)	Relutância	1/H (H⁻¹)
$\rho$	Densidade de carga elétrica	C/m³
$q$	Carga elétrica	C (coulomb)
$J$	Densidade de corrente	A/m²
$E$	Campo elétrico	V/m

---

Energia e Potência

Símbolo	Significado	Unidade (SI)
$W_{fld}$	Energia armazenada no campo magnético	J (joules)
$W'_{fld}$	Coenergia magnética	J
$P_{elec}$	Potência elétrica fornecida	W (watts)
$P_{mech}$	Potência mecânica de saída	W

---

Subscritos e Notações Comuns

Subscrito	Significado
$e$	Externo (elétrico ou mecânico)
$f$	Relativo ao campo magnético
$m$	Relativo ao íman (permanente)
$ag$ ou "gap"	Entreferro (air gap)
$equiv$	Valor equivalente (ex: força magnetomotriz)
$0$	Valor de referência ou inicial (ex: posição)

---

🎓 Quer melhorar os seus resultados na universidade? 

Disponibilizamos explicações de ensino superior adaptadas às suas necessidades, com acompanhamento personalizado para diferentes disciplinas.

✔ Explore a nossa Lista de Matérias disponíveis.

🌟 Veja os testemunhos de alunos que já atingiram melhores notas com o nosso apoio.

📬 Contacte-nos por email ou pelo formulário de contacto e obtenha a ajuda que precisa para dominar os seus estudos!

EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior

Resumo extraído do Capítulo 2, do livro: Electric Machinery - 7ª edição — Fitzgerald & Kingsley - Umans

Capítulo 2 - Transformadores

---

2.1 Introdução aos Transformadores

Esta secção introduz o transformador como um dispositivo composto por dois ou mais enrolamentos acoplados por um fluxo magnético comum. Quando uma tensão alternada é aplicada ao enrolamento primário, gera-se um fluxo magnético alternado que induz uma tensão no enrolamento secundário. A razão entre as tensões depende diretamente da razão de espiras entre os enrolamentos.

Apesar de o acoplamento magnético poder ocorrer no ar, o uso de um núcleo ferromagnético (normalmente de aço silício) aumenta significativamente a eficiência do acoplamento, reduzindo perdas e concentrando o fluxo. Para minimizar as correntes de Foucault no núcleo, os transformadores usam núcleos laminados.

Dois tipos de construção comuns:

• Tipo núcleo: os enrolamentos são colocados em dois braços de um núcleo em forma de E;

• Tipo carcaça (shell): os enrolamentos são concentrados num único braço central, com o fluxo a circular por dois caminhos laterais.

Os enrolamentos também geram fluxo de dispersão, que não liga ambos os enrolamentos. Este fluxo, embora menor, influencia o comportamento do transformador. Para o reduzir, os enrolamentos são geralmente intercalados ou enrolados concentricamente.

---

2.2 Condições em Vazio

Nesta secção analisa-se o funcionamento do transformador com o secundário em aberto. Quando uma tensão alternada é aplicada ao primário, uma corrente de excitação (ou de magnetização), pequena mas necessária, estabelece o fluxo alternado no núcleo.

Este fluxo induz uma força electromotriz (f.e.m.) no primário, que se opõe à tensão aplicada, e a sua amplitude é determinada pela frequência, número de espiras e tensão aplicada. Assume-se uma forma de onda sinusoidal para simplificar a análise, originando a fórmula:

$$E_1 = \sqrt{2} \pi f N_1 \phi_{max}$$

Assim, para uma tensão aplicada sinusoidal, o fluxo máximo no núcleo depende apenas da tensão, frequência e número de espiras.

A corrente de excitação não é perfeitamente sinusoidal devido às características não-lineares do ferro (histerese e saturação), contendo harmónicas, sendo a terceira harmónica a mais significativa. Apesar disso, como esta corrente é geralmente pequena (1–2% da corrente nominal), pode ser modelada como uma corrente sinusoidal equivalente para efeitos de análise.

Esta corrente pode ser dividida em:

• Componente de perdas no núcleo (em fase com a f.e.m.);

• Corrente de magnetização (em quadratura com a f.e.m., responsável pela criação do fluxo).

A potência dissipada nas perdas do núcleo é dada por:

$$P_{core} = E_1 I_{\phi} \cos(\theta_c)$$

---

2.3 Efeito da Corrente no Secundário; Transformador Ideal

Esta secção introduz o transformador ideal, no qual:

• Não há perdas no núcleo;

• O fluxo de dispersão é nulo;

• A permeabilidade do núcleo é infinita (não requer corrente de excitação);

• As resistências dos enrolamentos são desprezáveis.

Para este modelo, a tensão induzida no secundário é proporcional ao número de espiras:

$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{N_1}{N_2}$$

Quando uma carga é ligada ao secundário, uma corrente flui, gerando uma força magnetomotriz (f.m.m.) que tende a alterar o fluxo. No entanto, o primário reage com uma corrente que compensa exatamente a f.m.m. secundária, mantendo o fluxo constante. Assim:

$$N_1 i_1 = N_2 i_2 \Rightarrow \frac{i_1}{i_2} = \frac{N_2}{N_1}$$

O transformador ideal conserva a potência:

$$v_1 i_1 = v_2 i_2$$

Além disso, as impedâncias vistas do primário ou do secundário relacionam-se com o quadrado da razão de espiras:

$$Z_1 = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 Z_2$$

Este princípio permite simplificar a análise de circuitos com transformadores, referindo tensões, correntes e impedâncias para um dos lados do transformador, eliminando a necessidade de representar explicitamente o transformador ideal no circuito.

---

2.4 – Reatâncias e Circuitos Equivalentes do Transformador

Nesta secção, o foco passa do transformador ideal para o transformador real, que apresenta imperfeições como:

• Resistência dos enrolamentos,

• Fluxo de dispersão,

• Corrente de excitação finita,

• Perdas no núcleo.

Modelação Física e Circuito Equivalente

O circuito equivalente baseia-se em considerações físicas. O fluxo total no primário é dividido em duas componentes:

• Fluxo mútuo, que atravessa o núcleo e liga ambos os enrolamentos;

• Fluxo de dispersão, que só liga um dos enrolamentos (não contribui para a transferência de energia).

Para representar as perdas, o circuito equivalente incorpora:

• Resistência do enrolamento primário $R_1$;

• Reatância de dispersão no primário $X_{l1}$;

• Ramo de excitação, com:

  • Resistência de perdas no núcleo $R_c$;

  • Reatância de magnetização $X_m$, associada à criação do fluxo.

O ramo de excitação está ligado em paralelo com a tensão induzida no primário $E_1$, e representa a corrente de excitação ($I_\phi$), que se divide em:

• Corrente de perdas no núcleo ($I_c$);

• Corrente de magnetização ($I_m$).

Do lado secundário, surgem efeitos semelhantes:

• Resistência de perdas no enrolamento secundário $R_2$;

• Reatância de dispersão no secundário $X_{l2}$;

• Tensão induzida $E_2$;

• Corrente $I_2$.

Transformação para um Único Lado

Para simplificar a análise, todos os parâmetros e grandezas (correntes, tensões, impedâncias) podem ser referidos ao lado primário ou ao lado secundário, eliminando a necessidade de representar explicitamente o transformador ideal. Para isso, utilizam-se as relações de transformação:

• Correntes:

  $$I'_2 = \frac{N_2}{N_1} I_2$$

• Tensões:

  $$V'_2 = \frac{N_1}{N_2} V_2$$

• Impedâncias:

  $$Z'_2 = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 Z_2$$

Este modelo dá origem ao circuito equivalente em T, com os elementos agrupados:

• Impedâncias em série: $R_1 + R'_2$, $X_{l1} + X'_{l2}$;

• Ramo de excitação em derivação (Rc e Xm).

---

2.5 – Aspectos de Engenharia na Análise de Transformadores

Esta secção trata das simplificações práticas do circuito equivalente, usadas em análises de engenharia. Como os transformadores reais geralmente operam com perdas reduzidas e corrente de excitação pequena, é comum adotar modelos aproximados, de acordo com o nível de precisão necessário.

Modelos Aproximados

São apresentados quatro modelos principais:

1. Circuito em T completo:
   Contém todas as impedâncias, transformador ideal e ramo de excitação. Usado quando é necessária precisão elevada.

2. Circuito em "cantilever":
   O ramo de excitação é movido para um dos lados, ficando junto aos terminais do primário ou do secundário. Esta simplificação ignora a queda de tensão da corrente de excitação nas impedâncias de dispersão — uma omissão geralmente desprezável.

3. Modelo série simplificado:
   Ignora totalmente o ramo de excitação, mantendo apenas a impedância série $R_{eq} + jX_{eq}$. Adequado para transformadores grandes, onde a corrente de excitação é muito pequena.

4. Transformador ideal:
   Todos os efeitos não ideais são desprezados. Usado em situações de baixa exigência ou como primeira aproximação.

Cálculos Típicos em Engenharia

Duas grandezas importantes em engenharia:

• Regulação de tensão:
  Percentagem de variação da tensão aos terminais do secundário entre carga nula e carga plena, com a tensão do primário constante. Uma regulação baixa indica melhor qualidade.

• Rendimento (eficiência):

  $$\eta = \frac{P_{útil}}{P_{entrada}} = 1 - \frac{P_{perdas}}{P_{entrada}}$$

  Considera perdas no cobre (I²R) e perdas no ferro (constantes à tensão nominal).

Ensaios para Obtenção de Parâmetros

Dois ensaios permitem determinar os parâmetros dos modelos:

1. Ensaio em curto-circuito (secundário curto-circuitado, tensão reduzida no primário):
   Mede-se a impedância série equivalente $Z_{eq} = R_{eq} + jX_{eq}$. A corrente é de valor nominal. As perdas medidas são as perdas no cobre.

2. Ensaio em vazio (secundário em aberto, tensão nominal no primário):
   Mede-se o ramo de excitação: $R_c$ e $X_m$. As perdas medidas correspondem às perdas no ferro. A corrente é a corrente de excitação.

Estas medições permitem caracterizar completamente o transformador e construir o modelo equivalente adequado para qualquer condição de operação.

---

2.6 – Autotransformadores e Transformadores com Enrolamentos Múltiplos

2.6.1 Autotransformadores

Os autotransformadores diferem dos transformadores comuns por terem uma única bobina partilhada entre o primário e o secundário. Embora possam transformar tensões, correntes e impedâncias da mesma forma, não oferecem isolamento eléctrico entre entrada e saída, o que pode ser uma desvantagem em algumas aplicações.

• Vantagens: Menor reactância de fuga, menores perdas, corrente de excitação reduzida e custo mais baixo, especialmente para relações de transformação próximas de 1:1.

• Exemplo 2.7: Demonstra como um transformador de 50 kVA, ao ser ligado como autotransformador, pode atingir uma potência equivalente de 550 kVA devido à parte da potência ser transferida por condução directa (ligação comum) e não por acoplamento magnético. A eficiência é extremamente elevada (99,82%) porque as perdas permanecem as mesmas mas a potência útil aumenta.

• Conclusão: A potência aparente de um autotransformador é maior que a de um transformador comum, mas a potência realmente transformada é a mesma.

2.6.2 Transformadores com Enrolamentos Múltiplos

São transformadores com três ou mais enrolamentos, muito utilizados em sistemas que necessitam de interligar múltiplas redes com diferentes níveis de tensão.

• Aplicações comuns: Fontes de alimentação com múltiplas saídas, distribuição doméstica (com dois enrolamentos de 120 V ligados em série para fornecer 240 V), e sistemas de subestações com enrolamento terciário para serviços auxiliares, compensação de potência reactiva ou atenuação de harmónicas.

• Modelação: Exige circuitos equivalentes mais complexos, pois é necessário considerar as impedâncias de fuga entre cada par de enrolamentos. Normalmente, todos os parâmetros são referidos a uma base comum ou expressos em sistema por unidade (pu).

---

2.7 – Transformadores em Circuitos Trifásicos

Em sistemas trifásicos é comum agrupar três transformadores monofásicos ou usar um único transformador trifásico.

• Ligações típicas:

  • Y-Y

  • Y-Δ

  • Δ-Y

  • Δ-Δ
    Cada ligação tem características específicas quanto a tensão, corrente e presença de neutro.

• Ligação Y-Δ: Muito usada para redução de tensão, permitindo ligação do neutro à terra no lado de alta tensão.

• Ligação Δ-Δ: Permite operação com apenas dois transformadores (ligação em "V") em caso de manutenção, com potência reduzida (~58%).

• Exemplo 2.8: Cálculo da tensão na carga de uma ligação Y-Δ trifásica com queda de tensão ao longo da linha. Mostra como os cálculos podem ser feitos por fase, facilitando a análise.

• Exemplo 2.9: Análise de uma corrente de curto-circuito trifásica. Mostra o cálculo das correntes nos vários pontos do sistema (primário, secundário e terminais de carga), com ênfase nas implicações da ligação Δ-Y.

---

2.8 – Transformadores de Tensão e Corrente (Instrumentação)

Esta secção trata dos transformadores de potencia (PT) e transformadores de corrente (CT), utilizados para medição precisa em sistemas de potência, reduzindo as grandezas reais a níveis seguros e manejáveis para instrumentos (ex.: 120 V e 5 A).

• Transformador de Potencia (PT):

  • Idealmente mede a tensão sem carregar o circuito (impedância de carga alta).

  • São introduzidos erros pelo fluxo de excitação e pelas impedâncias dos enrolamentos.

  • O erro pode ser minimizado com reactância de magnetização elevada e impedâncias de enrolamento baixas.

• Transformador de Corrente (CT):

  • Idealmente mede a corrente apresentando-se como curto-circuito ao sistema (impedância de carga baixa).

  • Os erros são causados pela corrente de magnetização não transferida para o secundário.

  • Para minimizar os erros, requer impedância de magnetização elevada e baixas impedâncias no secundário.

---

2.9 – O Sistema por Unidade

O sistema por unidade é uma técnica de normalização em que grandezas eléctricas (tensão, corrente, impedância, potência, etc.) são expressas como frações decimais dos seus valores base. Este sistema é amplamente utilizado na análise de sistemas eléctricos de potência, particularmente em redes com muitos transformadores, linhas e máquinas.

Vantagens do sistema por unidade:

• Simplificação de cálculos: Os transformadores passam a ter relação de transformação 1:1 quando as tensões base são escolhidas de forma compatível, eliminando a necessidade de referir impedâncias entre lados.

• Uniformidade de valores: Os parâmetros eléctricos, quando expressos em pu com base nos dados nominais dos equipamentos, tendem a variar dentro de intervalos reduzidos, facilitando comparações.

• Facilidade em análises de sistemas complexos: Os cálculos tornam-se mais directos e os erros mais fáceis de detectar.

Definições fundamentais:

• Cada grandeza por unidade (pu) é dada por:
  valor pu = valor real / valor base

• Os valores base estão relacionados entre si:

  • Potência base: S_base = V_base × I_base

  • Impedância base: Z_base = V_base / I_base = V_base² / S_base

• Apenas duas grandezas base são escolhidas livremente (normalmente tensão e potência), e as restantes derivam dessas.

Aplicações:

• Usado tanto em análises monofásicas como em sistemas trifásicos.

• Em sistemas trifásicos:

  • S_base_trifásica = 3 × S_base_fase

  • V_base_linha-neutro = V_base_linha-linha / √3

  • Z_base = V²_base / S_base

Exemplos e Problemas:

• Exemplo 2.12: Mostra a conversão de um circuito equivalente de um transformador para por unidade em ambos os lados (alta e baixa tensão), com simplificação para eliminar o transformador ideal (1:1).

• Exemplo 2.13: Demonstra que as impedâncias e correntes expressas em pu são iguais em ambos os lados do transformador quando as bases são escolhidas adequadamente.

• Exemplo 2.14: Repete o cálculo da corrente de curto-circuito trifásico de um exemplo anterior, mas usando exclusivamente valores por unidade.

• Exemplo 2.15: Usa o sistema por unidade para determinar a tensão no lado de alta tensão de um transformador, dado o consumo da carga e a impedância da máquina.

---

2.10 – Resumo

Embora os transformadores sejam dispositivos estáticos (não envolvem movimento mecânico), eles são fundamentais no estudo de sistemas electromecânicos por partilharem muitos conceitos com máquinas rotativas, como:

• Fluxo magnético,

• Corrente de excitação,

• Fluxo mútuo e de fuga,

• Indutâncias e f.m.m. (força magnetomotriz).

Pontos principais:

• O fluxo mútuo no núcleo é responsável pela indução de tensões proporcionais ao número de espiras.

• Nas máquinas rotativas, o fluxo atravessa uma folga de ar entre estator e rotor, mas o princípio de indução mantém-se.

• A diferença chave é que nas máquinas há movimento relativo, o que gera uma componente adicional na tensão induzida: a tensão de velocidade, fundamental na conversão de energia electromecânica (estudada no Capítulo 3).

• A f.e.m. (força electromotriz) de contraposição no enrolamento primário deve equilibrar a tensão aplicada, tal como nas máquinas AC.

• A corrente no primário ajusta-se para garantir que a f.m.m. total produz o fluxo necessário — comportamento idêntico ao das máquinas AC.

• O fluxo de fuga, presente tanto em transformadores como em máquinas rotativas, origina reactâncias de fuga que reduzem o fluxo mútuo.

• Os testes de caracterização (circuito aberto e curto-circuito) são semelhantes em ambos os tipos de equipamento.

• O modelo de saturação do circuito magnético também segue o mesmo raciocínio: assume-se linearidade nas reactâncias de fuga e saturação apenas no circuito magnético principal.

---

2.11 – Variáveis do Capítulo 2

Tabela de símbolos e unidades usadas ao longo do capítulo, agrupando variáveis e subscritos com os seus significados. Exemplos:

Variáveis Principais

Símbolo	Significado	Unidade
λ	Fluxo concatenado	Weber (Wb)
ω	Frequência angular	radianos/segundo (rad/s)
ϕ, ϕₘₐₓ	Fluxo magnético, fluxo magnético máximo	Weber (Wb)
Φ̂	Fluxo magnético (amplitude complexa)	Weber (Wb)
θ	Ângulo de fase	radianos (rad)
Bₘₐₓ	Densidade de fluxo magnético de pico	Tesla (T)
e	Força electromotriz (f.e.m.), tensão induzida	Volt (V)
E	Tensão	Volt (V)
Ê	Tensão (amplitude complexa)	Volt (V)
f	Frequência	Hertz (Hz)
i, I	Corrente	Ampère (A)
iϕ	Corrente de excitação	Ampère (A)
Î	Corrente (amplitude complexa)	Ampère (A)
Îc	Componente de perdas no núcleo da corrente de excitação	Ampère (A)
Îm	Corrente de magnetização (amplitude complexa)	Ampère (A)
Îϕ	Corrente de excitação (amplitude complexa)	Ampère (A)
L	Indutância	Henry (H)
N	Número de espiras	—
Q	Potência reactiva	Volt-Ampère Reactivo (VAR)
R	Resistência	Ohm (Ω)
R_base	Resistência base	Ohm (Ω)
t	Tempo	Segundo (s)
v, V	Tensão	Volt (V)
V_base	Tensão base	Volt (V)
V̂	Tensão (amplitude complexa)	Volt (V)
VA	Volt-Ampère (potência aparente)	Volt-Ampère (VA)
X	Reactância	Ohm (Ω)
Z	Impedância	Ohm (Ω)
ZΔ	Impedância equivalente em Δ	Ohm/fase (Ω/fase)
Zϕ	Impedância de excitação	Ohm (Ω)
ZY	Impedância equivalente em Y	Ohm/fase (Ω/fase)

---

Subscritos Comuns

Subscrito	Significado
ϕ	Excitação
b	Carga (burden)
base	Valor base
c	Núcleo (core)
eq	Equivalente
H	Lado de alta tensão
l	Fluxo de fuga (leakage)
l-n	Linha-neutro
L	Lado de baixa tensão
m	Magnetização
max	Máximo
oc	Circuito aberto (open circuit)
pu	Por unidade (per unit)
rms	Valor eficaz (root mean square)
s	Envio (sending)
sc	Curto-circuito (short circuit)
tot	Total

---

🎓 Quer melhorar os seus resultados na universidade? 

Disponibilizamos explicações de ensino superior adaptadas às suas necessidades, com acompanhamento personalizado para diferentes disciplinas.

✔ Explore a nossa Lista de Matérias disponíveis.

🌟 Veja os testemunhos de alunos que já atingiram melhores notas com o nosso apoio.

📬 Contacte-nos por email ou pelo formulário de contacto e obtenha a ajuda que precisa para dominar os seus estudos!

EuExplico Eu Explico Explicações de Ensino Superior