Resumo extraído do Capítulo 4 do livro Discrete-Time Signal Processing de Oppenheim e Schafer, (3ª edição)

4 - Amostragem de sinais em tempo contínuo

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Secção 4.1 – Amostragem Periódica

Esta secção introduz o conceito de amostragem periódica como a forma mais comum de obter representações em tempo discreto de sinais contínuos. A operação básica consiste em obter uma sequência de amostras $x[n] = x_c(nT)$, onde $T$ é o período de amostragem. A conversão ideal contínua-para-discreta (C/D) é representada por um modulador de trem de impulsos seguido pela conversão desses impulsos numa sequência discreta.

É destacado que a operação de amostragem, por si só, não é invertível sem restrições ao conteúdo em frequência do sinal original, o que leva à introdução do conceito de sinal de banda limitada. É feita uma representação matemática do processo através da multiplicação do sinal contínuo $x_c(t)$ por um trem de impulsos $s(t)$, resultando numa expressão composta por impulsos com áreas iguais aos valores de $x_c(nT)$. Esta modelação permite a análise do processo tanto no domínio do tempo como no da frequência.

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Secção 4.2 – Representação no Domínio da Frequência da Amostragem

Esta secção desenvolve a análise da amostragem no domínio da frequência. Mostra que a transformada de Fourier do sinal amostrado $x_s(t)$ é uma soma de cópias deslocadas da transformada de Fourier do sinal original $X_c(j\Omega)$, espaçadas pela frequência de amostragem $\Omega_s = \frac{2\pi}{T}$. Esta replicação espectral pode causar sobreposição, ou aliasing, se $\Omega_s < 2\Omega_N$, onde $\Omega_N$ é a frequência de Nyquist, definida como a maior frequência presente em $x_c(t)$.

O teorema da amostragem de Nyquist-Shannon é: um sinal contínuo de banda limitada pode ser reconstruído exatamente a partir das suas amostras, desde que a frequência de amostragem seja pelo menos o dobro da frequência máxima do sinal. São fornecidos exemplos com sinais sinusoidais que demonstram a ocorrência ou ausência de aliasing dependendo da frequência de amostragem usada.

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Secção 4.3 – Reconstrução de um Sinal de Banda Limitada a partir das suas Amostras

A secção foca-se no processo inverso da amostragem: a reconstrução de $x_c(t)$ a partir de $x[n]$. Quando o sinal amostrado satisfaz o teorema de Nyquist, é possível reconstruí-lo exatamente utilizando um filtro passa-baixo ideal. O sistema ideal de reconstrução é chamado conversor ideal discreto-para-contínuo (D/C), que transforma a sequência $x[n]$ num trem de impulsos e, posteriormente, aplica um filtro passa-baixo com resposta impulsiva $h_r(t) = \frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T}$, resultando numa interpolação sinc dos valores amostrados.

A equação final expressa $x_r(t)$, o sinal reconstruído, como uma soma ponderada de funções sinc deslocadas no tempo. É mostrado que este processo gera um sinal contínuo cujos valores coincidem com os das amostras originais em $t = nT$, garantindo assim uma reconstrução perfeita sob as condições ideais.

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Secção 4.4 – Processamento em Tempo Discreto de Sinais em Tempo Contínuo

Esta secção explora um dos principais objetivos do processamento digital de sinais: usar sistemas em tempo discreto para processar sinais analógicos (contínuos). Isto é feito interligando três blocos principais:

1. Um conversor contínuo-para-discreto (C/D), que amostra o sinal analógico.

2. Um sistema em tempo discreto (como um filtro digital).

3. Um conversor discreto-para-contínuo (D/C), que reconstrói um sinal contínuo a partir do sinal processado.

Para que o sistema global se comporte como um sistema linear e invariante no tempo (LTI), duas condições devem ser cumpridas:

• O sistema digital deve ser LTI.

• A frequência de amostragem deve ser pelo menos igual à taxa de Nyquist para evitar aliasing.

Esta secção fornece uma análise em domínio da frequência que mostra como a resposta em frequência do sistema total pode ser entendida como o produto da resposta do sistema digital com a resposta do filtro de reconstrução, devidamente escalados.

São dados exemplos práticos:

• Exemplo 4.3 mostra como realizar um filtro passa-baixo contínuo ideal usando um filtro digital passa-baixo.

• Exemplo 4.4 mostra como implementar numericamente um diferenciador ideal contínuo através de um sistema digital.

Estes exemplos demonstram como, ajustando a frequência de corte e o período de amostragem, se consegue controlar a frequência de corte do sistema contínuo equivalente.

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Secção 4.5 – Processamento em Tempo Contínuo de Sinais em Tempo Discreto

Aqui é apresentado o conceito complementar ao da secção anterior: usar sistemas contínuos para interpretar ou implementar comportamentos de sistemas discretos. Embora esta abordagem não seja habitual para implementação prática, tem valor teórico.

O sistema considerado consiste em:

1. Um conversor D/C que interpola a sequência discreta através de uma função sinc.

2. Um sistema contínuo LTI com resposta em frequência $H_c(j\Omega)$.

3. Um conversor C/D que volta a amostrar o sinal filtrado.

Dado que o sinal reconstruído pelo D/C está limitado em banda (até $\pi/T$), a operação do sistema contínuo pode ser interpretada como uma forma alternativa de aplicar uma operação sobre o sinal discreto.

Exemplos destacados:

• Exemplo 4.7: mostra como implementar um atraso não-inteiro, algo não trivial no domínio discreto. Ao aplicar um atraso fracionário no domínio contínuo ao sinal interpolado, e depois voltar a amostrar, obtém-se o efeito desejado.

• Exemplo 4.8: aplica essa ideia a um filtro de média móvel (moving average), onde se demonstra que um filtro de 6 pontos tem um atraso de 2.5 amostras, visível através do seu efeito sobre um cosseno amostrado.

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Secção 4.6 – Alteração da Taxa de Amostragem Usando Processamento em Tempo Discreto

Esta secção aborda técnicas para alterar a taxa de amostragem de sinais discretos — uma necessidade comum em sistemas digitais. Duas operações principais são discutidas:

Redução da taxa de amostragem (downsampling)

Consiste em reduzir a taxa de amostragem em um fator inteiro $M$, retendo apenas uma em cada $M$ amostras:

$$x_d[n] = x[nM]$$

Este processo pode causar aliasing, tal como a amostragem contínua, se o sinal não for previamente limitado em frequência. Para evitar aliasing, é necessário que o sinal $x[n]$ seja pré-filtrado com um filtro passa-baixo discreto.

A análise em frequência mostra que o espectro de $x_d[n]$ é composto por múltiplas cópias comprimidas do espectro de $x[n]$, somadas entre si.

Exemplos visuais:

• Figuras da secção mostram como o espectro muda com o downsampling, evidenciando os efeitos de aliasing e como evitá-los com pré-filtragem.

A operação inversa (aumento da taxa de amostragem, ou upsampling) será discutida em secções seguintes, mas esta secção foca-se na fundamentação teórica e nos efeitos espectrais da redução da taxa.

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Secção 4.9 – Sobreamostragem e Modelação do Ruído na Conversão A/D e D/A

Esta secção aprofunda a utilização de técnicas de sobreamostragem (oversampling) e modelação de ruído (noise shaping) para melhorar o desempenho na conversão analógica-para-digital (A/D) e digital-para-analógica (D/A), permitindo uma representação mais precisa com menos bits de quantização.

4.9.1 Sobreamostragem com Quantização Directa

Ao aumentar a taxa de amostragem em relação à frequência de Nyquist (ou seja, sobreamostrar com um fator $M$), é possível reduzir o ruído de quantização para um determinado tamanho de passo $\Delta$ do quantizador. Isto significa que podemos utilizar quantizadores com menos bits, mantendo a mesma precisão. A relação é tal que, ao duplicar $M$, pode-se reduzir o número de bits em 0,5 para atingir o mesmo desempenho de relação sinal/ruído.

4.9.2 Sobreamostragem com Modelação do Ruído

Apenas sobreamostrar exige valores de $M$ muito elevados para obter grandes reduções no número de bits, o que é pouco prático. No entanto, ao introduzir um sistema de feedback que "modela" o espectro do ruído de quantização — deslocando-o para fora da banda útil do sinal — pode-se eliminar grande parte desse ruído através de filtragem subsequente. Este processo, chamado modelação de ruído, usa estruturas com realimentação para alterar a densidade espectral de potência do ruído, concentrando-o fora da banda $|ω| < π/M$. Isto permite ganhos maiores em eficiência de quantização, como demonstrado pela Tabela 4.1: com $M = 64$, o ganho pode chegar a 8.1 bits com modelação de ruído de 1ª ordem, versus 3 bits com sobreamostragem directa.

4.9.3 Aplicação na Conversão D/A

As mesmas ideias são aplicáveis ao processo inverso (D/A). Aqui, a sequência digital é primeiro aumentada em taxa (upsampled), sujeita a modelação de ruído e depois reconvertida para o domínio contínuo por um conversor D/A. A ideia é que a modelação de ruído afaste o ruído da banda do sinal para que a filtragem analógica final possa removê-lo de forma mais eficaz, permitindo o uso de conversores com menos bits. A ordem da modelação de ruído (por exemplo, 1ª, 2ª ou até 5ª ordem) permite controlar ainda mais este efeito, como mostrado na Tabela 4.2. Contudo, ordens mais elevadas trazem riscos de instabilidade, o que levou ao desenvolvimento de estruturas alternativas como MASH (Multistage Noise Shaping).

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Secção 4.10 – Resumo do Capítulo

Esta secção recapitula os principais tópicos abordados no capítulo:

• O teorema de Nyquist-Shannon é a base para a representação de sinais contínuos por amostras discretas.

• É possível reconstruir um sinal contínuo de forma exata a partir das suas amostras se a taxa de amostragem for suficiente (acima do dobro da frequência máxima do sinal).

• Processamento digital de sinais contínuos envolve amostragem, processamento em tempo discreto, e reconstrução.

• Técnicas como subamostragem (downsampling), sobreamostragem (upsampling), e conversão de taxas não inteiras são fundamentais em aplicações digitais.

• Foi dada ênfase às implicações práticas como a necessidade de filtros anti-aliasing, a influência do ruído de quantização, e estratégias como decimação, interpolação e modelação de ruído para melhorar a eficiência das conversões A/D e D/A.

Estas ideias oferecem as bases para sistemas modernos como áudio digital (e.g., CD) e comunicações, onde a relação entre o domínio contínuo e o discreto é fundamental.

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Resumo extraído do Capítulo 27, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 27 – Corrente e Resistência

27.1 Corrente Eléctrica

Esta secção introduz o conceito de corrente eléctrica como o fluxo ordenado de carga eléctrica através de um material, geralmente causado por uma diferença de potencial. A corrente média $I_{\text{avg}}$ é definida como a quantidade de carga $\Delta Q$ que passa por uma área $A$ por unidade de tempo $\Delta t$:

$$I_{\text{avg}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$$

A corrente instantânea é:

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

• A unidade SI é o ampere (A), equivalente a 1 coulomb por segundo.

• A direção convencional da corrente corresponde ao movimento de carga positiva.

• Nos metais, os portadores de carga são electrões (carga negativa), mas a direção da corrente é convencionalmente oposta ao seu movimento.

• Um modelo microscópico é apresentado: os portadores de carga movem-se com uma velocidade de deriva média $v_d$, apesar do seu movimento aleatório (semelhante ao de moléculas num gás).

• A corrente é expressa como:

$$I = nqv_d A$$

em que $n$ é a densidade de portadores de carga, $q$ a carga de cada um e $A$ a área da secção transversal do condutor.

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27.2 Resistência

Aqui é abordada a oposição ao fluxo de corrente num condutor. A densidade de corrente é definida como:

$$J = \frac{I}{A} = nqv_d$$

• Quando há um campo eléctrico $\vec{E}$, a densidade de corrente está relacionada com ele por:

$$J = \sigma E$$

onde $\sigma$ é a condutividade. Se esta relação se verificar, diz-se que o material é óhmico (obedece à Lei de Ohm).

• A resistência $R$ de um condutor de comprimento $\ell$ e área $A$ é:

$$R = \frac{\ell}{\sigma A} = \frac{\rho \ell}{A}$$

com $\rho = 1/\sigma$, a resistividade do material.

• A Lei de Ohm em termos de grandezas macroscópicas:

$$V = IR$$

• É importante distinguir entre:

  • Resistividade (ρ): propriedade do material.

  • Resistência (R): propriedade do objeto (geometria + material).

• São discutidos resistências comerciais, com valores indicados por código de cores.

• A secção conclui com exemplos que mostram como calcular a resistência de um fio e de um cabo coaxial.

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27.3 Modelo de Condução Eléctrica

Esta secção introduz o modelo de Drude para descrever a condução eléctrica em metais:

1. Os metais são vistos como um arranjo regular de átomos com electrões livres (electrões de condução).

2. Na ausência de campo eléctrico, os electrões movem-se de forma aleatória (sem corrente resultante).

3. Com um campo eléctrico aplicado, os electrões adquirem uma velocidade de deriva oposta ao campo.

• A força sobre um electrão é:

$$\vec{F} = q \vec{E}$$

e a aceleração média:

$$a = \frac{qE}{m_e}$$

• Após considerar o intervalo médio entre colisões $\tau$, obtém-se a velocidade de deriva:

$$v_d = \frac{qE \tau}{m_e}$$

• A densidade de corrente pode ser reescrita como:

$$J = \frac{nq^2 \tau}{m_e} E \Rightarrow \sigma = \frac{nq^2 \tau}{m_e} \quad \text{e} \quad \rho = \frac{m_e}{nq^2 \tau}$$

• A equação acima mostra que a resistividade está relacionada com:

  • massa do electrão,

  • densidade de portadores de carga,

  • tempo médio entre colisões.

• A teoria clássica prevê incorretamente a dependência da resistividade com a temperatura. Para corrigir isso, é introduzido um modelo quântico que considera o comportamento ondulatório dos electrões.

• No modelo quântico:

  • Se a estrutura atómica for perfeitamente periódica, não há colisões (resistência nula).

  • A resistividade real deve-se a impurezas e vibrações térmicas dos átomos (mais notórias a altas temperaturas).

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27.4 Resistência e Temperatura

Esta secção descreve como a resistividade de um condutor varia com a temperatura. Para muitos materiais condutores (sobretudo metais), essa variação é aproximadamente linear numa gama limitada de temperaturas:

$$\rho = \rho_0 [1 + \alpha (T - T_0)]$$

onde:

• $\rho$ é a resistividade à temperatura $T$,

• $\rho_0$ é a resistividade à temperatura de referência $T_0$ (geralmente 20 °C),

• $\alpha$ é o coeficiente de temperatura da resistividade, dado por:

$$\alpha = \frac{1}{\rho_0} \cdot \frac{\Delta \rho}{\Delta T}$$

• Como a resistência R depende de $\rho$, a sua variação com a temperatura é análoga:

$$R = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]$$

• Para metais como o cobre, o gráfico de resistividade vs. temperatura é linear numa grande gama, mas tende para um valor finito à medida que a temperatura se aproxima do zero absoluto. Essa resistividade residual deve-se a impurezas e imperfeições.

• Alguns materiais, como semicondutores (ex. carbono, germânio, silício), têm coeficiente $\alpha$ negativo, ou seja, a resistividade diminui com o aumento da temperatura. Isso deve-se ao aumento do número de portadores de carga.

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27.5 Supercondutores

Nesta secção é descrita a supercondutividade, um fenómeno onde a resistência eléctrica de certos materiais cai abruptamente para zero abaixo de uma temperatura crítica $T_c$.

• Exemplo clássico: o mercúrio torna-se supercondutor abaixo de 4,15 K.

• A resistividade em estado supercondutor pode ser menor que $4 \times 10^{-25} \, \Omega \cdot m$, cerca de $10^{17}$ vezes menor do que a do cobre.

Características:

• Uma corrente eléctrica pode persistir indefinidamente num circuito supercondutor, sem necessidade de fonte de tensão (pois $R = 0$, e $V = IR = 0$).

• Existem dois grandes grupos:

  • Metálicos, como os inicialmente descobertos (ex.: Hg, Pb).

  • Cerâmicos, com temperaturas críticas muito mais altas (ex.: YBa₂Cu₃O₇ com $T_c = 92\,K$).

Aplicações:

• Imagem por ressonância magnética (MRI),

• Armazenamento de energia em campos magnéticos intensos,

• Levitação magnética (maglev),

• Linhas de transmissão eléctrica sem perdas (ainda em investigação).

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27.6 Potência Eléctrica

Esta secção liga os conceitos de corrente, tensão e resistência ao ritmo de transferência de energia nos circuitos eléctricos. Quando uma carga $Q$ atravessa uma diferença de potencial $\Delta V$, a energia transferida é $Q \Delta V$. A potência (energia por unidade de tempo) é:

$$P = I \Delta V$$

Se a carga atravessar uma resistência, a energia é transformada em energia interna (aquecimento do material), fenómeno chamado de aquecimento por efeito Joule. Combinando com a Lei de Ohm $V = IR$, temos outras formas da potência:

$$P = I^2 R \quad \text{ou} \quad P = \frac{(\Delta V)^2}{R}$$

• A unidade SI da potência é o watt (W).

• As perdas em cabos eléctricos são inevitáveis devido à resistência dos materiais. A potência dissipada (perdida) é dada por $P = I^2 R$.

• Para minimizar perdas:

  • A energia eléctrica é transmitida a altas tensões e correntes reduzidas, reduzindo o termo $I^2 R$.

  • Transformadores são usados para aumentar e depois reduzir a tensão.

• A secção termina com exemplos sobre:

  • Aquecedores eléctricos,

  • Estimativa de custo de energia,

  • Relação entre eletricidade e termodinâmica.

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🧲 Quadro-Resumo – Corrente e Resistência 

⚡ Corrente Eléctrica

Quantidade	Símbolo	Fórmula / Definição	Unidade SI
Corrente média	$I_{\text{avg}}$	$I_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$	ampere (A)
Corrente instantânea	$I$	$I = \dfrac{dQ}{dt}$	ampere (A)
Corrente microscópica	$I$	$I = nq v_d A$	ampere (A)
Densidade de corrente	$J$	$J = \dfrac{I}{A} = nqv_d$	A/m²
Velocidade de deriva	$v_d$	$v_d = \dfrac{qE\tau}{m_e}$	m/s

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🧮 Resistência e Resistividade

Conceito	Símbolo	Fórmula / Relação	Unidade SI
Lei de Ohm	—	$V = IR$	V, A, Ω
Resistência (definição)	$R$	$R = \dfrac{V}{I}$	ohm (Ω)
Resistência (forma geométrica)	$R$	$R = \dfrac{\rho \ell}{A}$	ohm (Ω)
Resistividade	$\rho$	$\rho = \dfrac{1}{\sigma}$	Ω·m
Condutividade	$\sigma$	$\sigma = \dfrac{1}{\rho} = \dfrac{nq^2\tau}{m_e}$	S/m

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🌡️ Variação com a Temperatura

Quantidade	Fórmula	Notas
Resistividade com a temperatura	$\rho = \rho_0 [1 + \alpha (T - T_0)]$	$\alpha$ é o coeficiente de temperatura
Resistência com a temperatura	$R = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]$	Válido para intervalos moderados de $T$

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❄️ Supercondutores

• Resistência cai abruptamente para zero abaixo da temperatura crítica $T_c$.

• Correntes persistentes sem fonte de energia.

• Aplicações: MRI, maglev, armazenamento de energia.

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🔥 Potência Eléctrica

Expressão	Fórmula	Situação
Potência geral	$P = IV$	Energia por segundo
Potência em resistências	$P = I^2 R$ ou $P = \dfrac{V^2}{R}$	Efeito Joule
Unidade de potência	watt (W)	$1 \, \text{W} = 1\,\text{V} \cdot 1\,\text{A}$
Custo de energia	$\text{Energia} = P \cdot t$	Energia em kWh = kW × h

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🧠 Conceitos Importantes

• Corrente não é "consumida": é constante num circuito em série.

• Resistência depende do material (ρ) e da geometria do fio (comprimento e área).

• A resistividade de metais aumenta com a temperatura; em semicondutores, diminui.

• Altas tensões e baixas correntes são usadas na distribuição de energia para minimizar perdas $I^2 R$.

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Resumo extraído do Capítulo 10 do livro Microelectronic Circuits de Sedra e Smith, (6.ª edição)

Capítulo 10 – Feedback 

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Secção 10.1 – A Estrutura Geral de Realimentação 

Esta secção introduz a estrutura básica de um amplificador com realimentação negativa, usando um diagrama de fluxo de sinal. O sistema é composto por:

• Um amplificador de malha aberta com ganho $A$;

• Uma rede de realimentação que devolve parte do sinal de saída à entrada;

• Um somador que subtrai o sinal de realimentação $x_f$ do sinal de entrada $x_s$, resultando no sinal $x_i$ que entra no amplificador.

O sinal de realimentação $x_f$ é uma fração da saída $x_o$, dada por $x_f = \beta x_o$. O ganho da malha fechada $A_f$ é derivado como:

$$A_f = \frac{A}{1 + A\beta}$$

O produto $A\beta$ é designado ganho de malha (loop gain). Quando $A\beta \gg 1$, o ganho do sistema depende principalmente de $\beta$, o que permite obter ganhos precisos e estáveis, pois $\beta$ é normalmente determinado por componentes passivos.

A secção reforça também o conceito de sinal de erro $x_i$, que tende para zero quando o ganho de malha é elevado, promovendo uma operação linear do amplificador.

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Secção 10.2 – Algumas Propriedades da Realimentação Negativa 

Nesta secção, discutem-se os principais benefícios da realimentação negativa:

1. Desensibilização do Ganho:

Reduz a sensibilidade do ganho da malha fechada a variações no ganho do amplificador. Um pequeno desvio em $A$ causa uma variação muito menor em $A_f$, dependendo da quantidade de realimentação $1 + A\beta$.

2. Extensão da Largura de Banda:

Para um amplificador com uma única frequência de corte $\omega_H$, a aplicação de realimentação negativa aumenta a frequência de corte para:

$$\omega_{Hf} = \omega_H (1 + A_M\beta)$$

Reduz-se o ganho, mas aumenta-se a largura de banda, mantendo constante o produto ganho-largura de banda.

3. Redução de Interferência:

Ao intercalar um amplificador livre de interferências antes do estágio sujeito a ruído e aplicar realimentação, melhora-se a relação sinal/interferência. O benefício só ocorre se a interferência puder ser isolada de forma prática.

4. Redução da Distorção Não Linear:

A realimentação reduz as variações no ganho devido a não linearidades internas do amplificador. Isto resulta numa característica de transferência mais linear, embora com um ganho menor. A saturação, no entanto, não pode ser corrigida por realimentação.

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Secção 10.3 – As Quatro Topologias Básicas de Realimentação 

Esta secção classifica amplificadores em quatro tipos, com base nas quantidades de entrada e saída, e associa a cada um uma topologia de realimentação apropriada:

1. Amplificadores de Tensão:

• Entrada: tensão

• Saída: tensão

• Topologia: série–shunt (mistura série na entrada, amostragem shunt na saída)

• Efeitos: aumento da resistência de entrada, diminuição da resistência de saída

2. Amplificadores de Corrente:

• Entrada: corrente

• Saída: corrente

• Topologia: shunt–série (mistura shunt na entrada, amostragem série na saída)

• Efeitos: diminuição da resistência de entrada, aumento da resistência de saída

3. Amplificadores de Transcondutância:

• Entrada: tensão

• Saída: corrente

• Topologia: série–série

• Efeitos: aumento das resistências de entrada e saída

4. Amplificadores de Transresistência:

• Entrada: corrente

• Saída: tensão

• Topologia: shunt–shunt

• Efeitos: diminuição das resistências de entrada e saída

Cada topologia é ilustrada com circuitos práticos, mostrando como a realimentação é implementada e como se garante que seja negativa.

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Secção 10.4 – O Amplificador de Tensão com Realimentação (Série–Shunt)

10.4.1 – Caso Ideal

A estrutura ideal de um amplificador de tensão com realimentação série–shunt é composta por:

• Um amplificador de malha aberta com resistência de entrada $R_i$, ganho de tensão $A = V_o/V_i$ e resistência de saída $R_o$;

• Uma rede de realimentação que mistura em série na entrada e amostra em paralelo (shunt) na saída;

• Fontes e cargas absorvidas no bloco do amplificador.

O ganho de tensão com realimentação é:

$$A_f = \frac{A}{1 + A\beta}$$

A resistência de entrada com realimentação aumenta:

$$R_{if} = R_i (1 + A\beta)$$

A resistência de saída com realimentação diminui:

$$R_{of} = \frac{R_o}{1 + A\beta}$$

Estes efeitos são desejáveis num amplificador de tensão: entrada alta impedância, saída baixa impedância, e ganho estável.

10.4.2 – Caso Prático

Na prática, a rede de realimentação pode carregar o amplificador e alterar os valores de $A$, $R_i$, e $R_o$. Para lidar com isso, Sedra e Smith recomendam:

• Representar a rede de realimentação com parâmetros h (modelo híbrido), pois facilita a análise de ligações série (entrada) e shunt (saída);

• Desprezar o parâmetro $h_{21}$, assumindo que a rede de realimentação é passiva;

• Determinar o bloco A (amplificador base) incluindo os efeitos da carga e da fonte;

• Determinar $\beta = h_{12}$, medindo a proporção entre o sinal na entrada e na saída da rede, com entrada aberta (devido à ligação série).

10.4.3 – Resumo

Para sistemas com realimentação série–shunt:

• Curto-circuita a porta ligada em shunt;

• Abre a porta ligada em série;

• Determina $A$, $\beta$, $R_i$, e $R_o$ com estas condições;

• Aplica as fórmulas:

  • $R_{if} = R_i (1 + A\beta)$

  • $R_{of} = \frac{R_o}{1 + A\beta}$

Dois exemplos (com amplificadores operacionais e MOSFETs) são trabalhados com valores numéricos para ilustrar o processo.

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Secção 10.5 – O Amplificador de Transcondutância com Realimentação (Série–Série)

10.5.1 – Caso Ideal

Este tipo de amplificador:

• Recebe uma tensão de entrada;

• Fornece uma corrente de saída (ganho $A = I_o/V_i$);

• Utiliza realimentação série na entrada e série na saída.

O sistema ideal consiste num:

• Amplificador de malha aberta com entrada de resistência $R_i$, saída $R_o$, e transcondutância $A$;

• Rede de realimentação que converte a corrente de saída $I_o$ numa tensão $V_f = \beta I_o$, que é subtraída de $V_s$.

Ganho com realimentação:

$$A_f = \frac{A}{1 + A\beta}$$

Efeitos principais:

• A resistência de entrada aumenta: $R_{if} = R_i (1 + A\beta)$;

• A resistência de saída aumenta: $R_{of} = R_o (1 + A\beta)$.

10.5.2 – Caso Prático

O processo para análise prática é semelhante ao da secção anterior:

• Representa-se a rede de realimentação com parâmetros z (impedância), já que as ligações série aparecem tanto na entrada como na saída;

• O parâmetro $\beta = z_{12}$ pode ser obtido medindo a tensão de realimentação em função da corrente de saída;

• A resistência de entrada considera o efeito de abrir a porta de saída;

• A resistência de saída é calculada com a porta de entrada aberta.

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Secção 10.6 – O Amplificador de Transresistência com Realimentação (Shunt–Shunt)

10.6.1 – Caso Ideal

O amplificador de transresistência converte corrente de entrada em tensão de saída:

• $A = V_o/I_i$

A realimentação:

• Amostra a tensão de saída (shunt na saída);

• Injeta uma corrente de realimentação na entrada (shunt na entrada).

Rede ideal:

• O amplificador tem resistência de entrada $R_i$, resistência de saída $R_o$, e ganho $A$;

• A rede fornece $I_f = \beta V_o$, sendo misturado com $I_s$ para produzir $I_i$.

Ganho com realimentação:

$$A_f = \frac{A}{1 + A\beta}$$

Efeitos principais:

• A resistência de entrada diminui: $R_{if} = \frac{R_i}{1 + A\beta}$

• A resistência de saída diminui: $R_{of} = \frac{R_o}{1 + A\beta}$

10.6.2 – Caso Prático

Nesta topologia:

• Utilizam-se parâmetros y (admitância) para descrever a rede de realimentação;

• A porta de entrada é shunt (mistura em paralelo), portanto deve ser curto-circuitada para calcular os efeitos da carga;

• A porta de saída também é shunt, sendo curto-circuitada para isolar a rede.

Determina-se $\beta = y_{21}$ aplicando uma tensão à saída e medindo a corrente injectada na entrada (com entrada em curto-circuito).

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Secção 10.7 – O Amplificador de Corrente com Realimentação (Shunt–Série)

10.7.1 – Caso Ideal

Este amplificador:

• Recebe uma corrente de entrada;

• Fornece uma corrente de saída;

• É caracterizado por um ganho de corrente $A = I_o / I_i$;

• Utiliza uma topologia shunt–série, ou seja, mistura em paralelo na entrada e amostra em série na saída.

A estrutura ideal inclui:

• Um amplificador com resistência de entrada $R_i$, resistência de saída $R_o$, e ganho de corrente $A$;

• Uma rede de realimentação que converte a corrente de saída $I_o$ numa corrente $I_f = \beta I_o$ que é subtraída da corrente da fonte $I_s$, produzindo $I_i$.

O ganho com realimentação:

$$A_f = \frac{A}{1 + A\beta}$$

As resistências alteram-se da seguinte forma:

• A resistência de entrada diminui:

  $$R_{if} = \frac{R_i}{1 + A\beta}$$

• A resistência de saída aumenta:

  $$R_{of} = R_o (1 + A\beta)$$

10.7.2 – Caso Prático

Utiliza-se o modelo g (transcondutância/admitância) para a rede de realimentação, apropriado para conexões shunt (paralelas). Para determinar os efeitos da rede:

• A porta de entrada (mistura shunt) é curto-circuitada;

• A porta de saída (amostragem série) é aberta.

Para obter $\beta = g_{21}$, aplica-se uma corrente na saída e mede-se a corrente de realimentação que entra na entrada, com esta em curto-circuito.

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Secção 10.8 – Resumo do Método de Análise com Realimentação

Esta secção sintetiza o método sistemático para analisar qualquer amplificador com realimentação negativa, dividido nos seguintes passos:

1. Identificar o tipo de amplificador (tensão, corrente, transcondutância ou transresistência);

2. Determinar a topologia de realimentação adequada (série–shunt, série–série, shunt–shunt ou shunt–série);

3. Isolar o circuito A (malha aberta), incluindo os efeitos das resistências de fonte e carga, bem como da rede de realimentação (através da sua carga);

4. Determinar o ganho de malha aberta $A$, resistência de entrada $R_i$ e de saída $R_o$;

5. Determinar o fator de realimentação $\beta$;

6. Calcular o ganho com realimentação:

   $$A_f = \frac{A}{1 + A\beta}$$

7. Calcular as resistências com realimentação com base na topologia:

Topologia	$R_{if}$	$R_{of}$
Série–shunt	$R_i (1 + A\beta)$	$R_o / (1 + A\beta)$
Série–série	$R_i (1 + A\beta)$	$R_o (1 + A\beta)$
Shunt–shunt	$R_i / (1 + A\beta)$	$R_o / (1 + A\beta)$
Shunt–série	$R_i / (1 + A\beta)$	$R_o (1 + A\beta)$

Este resumo serve como um guia rápido para a análise de qualquer circuito com realimentação.

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Secção 10.9 – Determinação do Ganho de Malha (Loop Gain)

O ganho de malha

$A\beta$ é um parâmetro central na análise de amplificadores com realimentação negativa.

Método de Determinação:

1. Abrir a malha – rompe-se o laço de realimentação num ponto apropriado do circuito;

2. Inserir uma fonte de teste no ponto de ruptura (pode ser uma fonte de tensão ou corrente, conforme a topologia);

3. Calcular a resposta do sistema à fonte de teste;

4. O ganho de malha é definido como:

   $$A\beta = \frac{\text{sinal de realimentação (feedback)}}{\text{sinal de teste}}$$

Observações:

• A abertura da malha deve preservar a impedância de entrada e saída originais;

• Esta abordagem é particularmente útil quando se pretende analisar a estabilidade do sistema;

• Será usada nas secções seguintes para estudar o problema da estabilidade e a compensação em frequência.

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Secção 10.10 – O Problema da Estabilidade

A realimentação negativa, embora traga vantagens (ganho estável, menor distorção, etc.), pode comprometer a estabilidade do amplificador quando envolve sinais dependentes da frequência.

Oscilações não desejadas:

• Um sistema com realimentação negativa pode tornar-se instável e entrar em oscilação se o ganho de malha $A\beta$ se tornar negativo (i.e., com mudança de fase de 180° e magnitude ≥ 1).

• Esta oscilação ocorre quando a realimentação se transforma efetivamente em positiva a certas frequências, devido a efeitos de fase introduzidos por múltiplos polos.

Critério de estabilidade:

• Um amplificador com realimentação é potencialmente instável se, para alguma frequência, a magnitude de $A\beta$ for ≥ 1 e a fase total for 180°.

• Para garantir estabilidade: quando $\angle A\beta = -180°$, a magnitude $|A\beta|$ deve ser inferior a 1.

Exemplo: AmpOp realimentado:

• Um AmpOp com múltiplos polos e sem compensação pode oscilar quando usado com realimentação.

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Secção 10.11 – Efeito da Realimentação sobre os Polos do Amplificador

Esta secção examina como a realimentação altera a resposta em frequência, modificando os polos do amplificador.

Amplificador de malha aberta com dois polos:

Ganho:

$$A(s) = \frac{A_0}{(1 + s/p_1)(1 + s/p_2)}$$

Com realimentação:

$$A_f(s) = \frac{A(s)}{1 + \beta A(s)}$$

Efeitos principais:

1. Polos deslocam-se para frequências mais elevadas:

   • Os polos movem-se para a direita no plano complexo (frequência aumenta);

   • Isso resulta num aumento da largura de banda do sistema;

2. Separação entre os polos diminui:

   • Quanto mais separados os polos estiverem no amplificador de malha aberta, mais benéfico é o efeito da realimentação;

3. Realimentação pode alterar a natureza dos polos:

   • Polos reais podem tornar-se complexos conjugados;

   • Se o sistema se aproximar de um par de polos com parte real pequena, pode gerar picos na resposta em frequência (ressonância).

Conclusão:

A realimentação negativa melhora a largura de banda mas pode também reduzir a margem de estabilidade, exigindo atenção à posição dos polos.

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Secção 10.12 – Estudo da Estabilidade com Diagramas de Bode

A estabilidade pode ser avaliada visualmente com o uso de diagramas de Bode para o ganho de malha 

$A\beta$.

Critérios importantes:

• Margem de fase (PM):

  • A diferença entre a fase de $A\beta$ e -180° quando $|A\beta| = 1$;

  • PM ≥ 45° é geralmente desejável para garantir estabilidade e evitar picos excessivos na resposta.

• Margem de ganho (GM):

  • O valor de $|A\beta|$ em dB abaixo de 0 dB quando a fase atinge -180°;

  • Também deve ser positivo (tipicamente ≥ 10 dB).

Etapas para o estudo com Bode:

1. Traçar $|A\beta|$ e $\angle A\beta$;

2. Determinar a frequência de ganho unitário (onde $|A\beta| = 1$);

3. Avaliar a margem de fase nessa frequência.

Exemplo:

Um sistema com dois polos muito afastados terá boa margem de fase; se os polos forem próximos, a margem pode ser insuficiente e a resposta em frequência exibirá sobre-elevação (overshoot) ou até instabilidade.

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Secção 10.13 – Compensação em Frequência

Quando o amplificador realimentado não é estável, é necessário aplicar compensação para controlar o comportamento em frequência.

Objetivo:

Modificar a função $A(s)$ de modo que o ganho de malha $A\beta$ tenha margens de estabilidade adequadas (PM e GM).

Métodos comuns:

1. Compensação por polo dominante:

   • Introduz um novo polo de baixa frequência que domina o comportamento;

   • Os polos de alta frequência são relegados a frequências mais elevadas;

   • Tipicamente usada em AmpOps (por exemplo, através de um condensador de compensação interno);

2. Compensação por zero:

   • Introduz um zero para cancelar ou deslocar polos;

   • Pode aumentar a margem de fase;

3. Compensação com realimentação de Miller:

   • Utiliza a capacidade de Miller para mover um polo para frequências mais baixas;

   • Frequentemente empregada com transístores bipolares ou MOSFETs.

Compensação interna vs externa:

• Muitos AmpOps são compensados internamente para garantir estabilidade com ganho unitário;

• Noutros casos, o projetista deve dimensionar redes externas para estabilizar o sistema.

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