Resumo extraído do Capítulo 2, do livro: Electric Machinery - 7ª edição — Fitzgerald & Kingsley - Umans

Capítulo 2 - Transformadores

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2.1 Introdução aos Transformadores

Esta secção introduz o transformador como um dispositivo composto por dois ou mais enrolamentos acoplados por um fluxo magnético comum. Quando uma tensão alternada é aplicada ao enrolamento primário, gera-se um fluxo magnético alternado que induz uma tensão no enrolamento secundário. A razão entre as tensões depende diretamente da razão de espiras entre os enrolamentos.

Apesar de o acoplamento magnético poder ocorrer no ar, o uso de um núcleo ferromagnético (normalmente de aço silício) aumenta significativamente a eficiência do acoplamento, reduzindo perdas e concentrando o fluxo. Para minimizar as correntes de Foucault no núcleo, os transformadores usam núcleos laminados.

Dois tipos de construção comuns:

• Tipo núcleo: os enrolamentos são colocados em dois braços de um núcleo em forma de E;

• Tipo carcaça (shell): os enrolamentos são concentrados num único braço central, com o fluxo a circular por dois caminhos laterais.

Os enrolamentos também geram fluxo de dispersão, que não liga ambos os enrolamentos. Este fluxo, embora menor, influencia o comportamento do transformador. Para o reduzir, os enrolamentos são geralmente intercalados ou enrolados concentricamente.

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2.2 Condições em Vazio

Nesta secção analisa-se o funcionamento do transformador com o secundário em aberto. Quando uma tensão alternada é aplicada ao primário, uma corrente de excitação (ou de magnetização), pequena mas necessária, estabelece o fluxo alternado no núcleo.

Este fluxo induz uma força electromotriz (f.e.m.) no primário, que se opõe à tensão aplicada, e a sua amplitude é determinada pela frequência, número de espiras e tensão aplicada. Assume-se uma forma de onda sinusoidal para simplificar a análise, originando a fórmula:

$$E_1 = \sqrt{2} \pi f N_1 \phi_{max}$$

Assim, para uma tensão aplicada sinusoidal, o fluxo máximo no núcleo depende apenas da tensão, frequência e número de espiras.

A corrente de excitação não é perfeitamente sinusoidal devido às características não-lineares do ferro (histerese e saturação), contendo harmónicas, sendo a terceira harmónica a mais significativa. Apesar disso, como esta corrente é geralmente pequena (1–2% da corrente nominal), pode ser modelada como uma corrente sinusoidal equivalente para efeitos de análise.

Esta corrente pode ser dividida em:

• Componente de perdas no núcleo (em fase com a f.e.m.);

• Corrente de magnetização (em quadratura com a f.e.m., responsável pela criação do fluxo).

A potência dissipada nas perdas do núcleo é dada por:

$$P_{core} = E_1 I_{\phi} \cos(\theta_c)$$

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2.3 Efeito da Corrente no Secundário; Transformador Ideal

Esta secção introduz o transformador ideal, no qual:

• Não há perdas no núcleo;

• O fluxo de dispersão é nulo;

• A permeabilidade do núcleo é infinita (não requer corrente de excitação);

• As resistências dos enrolamentos são desprezáveis.

Para este modelo, a tensão induzida no secundário é proporcional ao número de espiras:

$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{N_1}{N_2}$$

Quando uma carga é ligada ao secundário, uma corrente flui, gerando uma força magnetomotriz (f.m.m.) que tende a alterar o fluxo. No entanto, o primário reage com uma corrente que compensa exatamente a f.m.m. secundária, mantendo o fluxo constante. Assim:

$$N_1 i_1 = N_2 i_2 \Rightarrow \frac{i_1}{i_2} = \frac{N_2}{N_1}$$

O transformador ideal conserva a potência:

$$v_1 i_1 = v_2 i_2$$

Além disso, as impedâncias vistas do primário ou do secundário relacionam-se com o quadrado da razão de espiras:

$$Z_1 = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 Z_2$$

Este princípio permite simplificar a análise de circuitos com transformadores, referindo tensões, correntes e impedâncias para um dos lados do transformador, eliminando a necessidade de representar explicitamente o transformador ideal no circuito.

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2.4 – Reatâncias e Circuitos Equivalentes do Transformador

Nesta secção, o foco passa do transformador ideal para o transformador real, que apresenta imperfeições como:

• Resistência dos enrolamentos,

• Fluxo de dispersão,

• Corrente de excitação finita,

• Perdas no núcleo.

Modelação Física e Circuito Equivalente

O circuito equivalente baseia-se em considerações físicas. O fluxo total no primário é dividido em duas componentes:

• Fluxo mútuo, que atravessa o núcleo e liga ambos os enrolamentos;

• Fluxo de dispersão, que só liga um dos enrolamentos (não contribui para a transferência de energia).

Para representar as perdas, o circuito equivalente incorpora:

• Resistência do enrolamento primário $R_1$;

• Reatância de dispersão no primário $X_{l1}$;

• Ramo de excitação, com:

  • Resistência de perdas no núcleo $R_c$;

  • Reatância de magnetização $X_m$, associada à criação do fluxo.

O ramo de excitação está ligado em paralelo com a tensão induzida no primário $E_1$, e representa a corrente de excitação ($I_\phi$), que se divide em:

• Corrente de perdas no núcleo ($I_c$);

• Corrente de magnetização ($I_m$).

Do lado secundário, surgem efeitos semelhantes:

• Resistência de perdas no enrolamento secundário $R_2$;

• Reatância de dispersão no secundário $X_{l2}$;

• Tensão induzida $E_2$;

• Corrente $I_2$.

Transformação para um Único Lado

Para simplificar a análise, todos os parâmetros e grandezas (correntes, tensões, impedâncias) podem ser referidos ao lado primário ou ao lado secundário, eliminando a necessidade de representar explicitamente o transformador ideal. Para isso, utilizam-se as relações de transformação:

• Correntes:

  $$I'_2 = \frac{N_2}{N_1} I_2$$

• Tensões:

  $$V'_2 = \frac{N_1}{N_2} V_2$$

• Impedâncias:

  $$Z'_2 = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 Z_2$$

Este modelo dá origem ao circuito equivalente em T, com os elementos agrupados:

• Impedâncias em série: $R_1 + R'_2$, $X_{l1} + X'_{l2}$;

• Ramo de excitação em derivação (Rc e Xm).

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2.5 – Aspectos de Engenharia na Análise de Transformadores

Esta secção trata das simplificações práticas do circuito equivalente, usadas em análises de engenharia. Como os transformadores reais geralmente operam com perdas reduzidas e corrente de excitação pequena, é comum adotar modelos aproximados, de acordo com o nível de precisão necessário.

Modelos Aproximados

São apresentados quatro modelos principais:

1. Circuito em T completo:
   Contém todas as impedâncias, transformador ideal e ramo de excitação. Usado quando é necessária precisão elevada.

2. Circuito em "cantilever":
   O ramo de excitação é movido para um dos lados, ficando junto aos terminais do primário ou do secundário. Esta simplificação ignora a queda de tensão da corrente de excitação nas impedâncias de dispersão — uma omissão geralmente desprezável.

3. Modelo série simplificado:
   Ignora totalmente o ramo de excitação, mantendo apenas a impedância série $R_{eq} + jX_{eq}$. Adequado para transformadores grandes, onde a corrente de excitação é muito pequena.

4. Transformador ideal:
   Todos os efeitos não ideais são desprezados. Usado em situações de baixa exigência ou como primeira aproximação.

Cálculos Típicos em Engenharia

Duas grandezas importantes em engenharia:

• Regulação de tensão:
  Percentagem de variação da tensão aos terminais do secundário entre carga nula e carga plena, com a tensão do primário constante. Uma regulação baixa indica melhor qualidade.

• Rendimento (eficiência):

  $$\eta = \frac{P_{útil}}{P_{entrada}} = 1 - \frac{P_{perdas}}{P_{entrada}}$$

  Considera perdas no cobre (I²R) e perdas no ferro (constantes à tensão nominal).

Ensaios para Obtenção de Parâmetros

Dois ensaios permitem determinar os parâmetros dos modelos:

1. Ensaio em curto-circuito (secundário curto-circuitado, tensão reduzida no primário):
   Mede-se a impedância série equivalente $Z_{eq} = R_{eq} + jX_{eq}$. A corrente é de valor nominal. As perdas medidas são as perdas no cobre.

2. Ensaio em vazio (secundário em aberto, tensão nominal no primário):
   Mede-se o ramo de excitação: $R_c$ e $X_m$. As perdas medidas correspondem às perdas no ferro. A corrente é a corrente de excitação.

Estas medições permitem caracterizar completamente o transformador e construir o modelo equivalente adequado para qualquer condição de operação.

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2.6 – Autotransformadores e Transformadores com Enrolamentos Múltiplos

2.6.1 Autotransformadores

Os autotransformadores diferem dos transformadores comuns por terem uma única bobina partilhada entre o primário e o secundário. Embora possam transformar tensões, correntes e impedâncias da mesma forma, não oferecem isolamento eléctrico entre entrada e saída, o que pode ser uma desvantagem em algumas aplicações.

• Vantagens: Menor reactância de fuga, menores perdas, corrente de excitação reduzida e custo mais baixo, especialmente para relações de transformação próximas de 1:1.

• Exemplo 2.7: Demonstra como um transformador de 50 kVA, ao ser ligado como autotransformador, pode atingir uma potência equivalente de 550 kVA devido à parte da potência ser transferida por condução directa (ligação comum) e não por acoplamento magnético. A eficiência é extremamente elevada (99,82%) porque as perdas permanecem as mesmas mas a potência útil aumenta.

• Conclusão: A potência aparente de um autotransformador é maior que a de um transformador comum, mas a potência realmente transformada é a mesma.

2.6.2 Transformadores com Enrolamentos Múltiplos

São transformadores com três ou mais enrolamentos, muito utilizados em sistemas que necessitam de interligar múltiplas redes com diferentes níveis de tensão.

• Aplicações comuns: Fontes de alimentação com múltiplas saídas, distribuição doméstica (com dois enrolamentos de 120 V ligados em série para fornecer 240 V), e sistemas de subestações com enrolamento terciário para serviços auxiliares, compensação de potência reactiva ou atenuação de harmónicas.

• Modelação: Exige circuitos equivalentes mais complexos, pois é necessário considerar as impedâncias de fuga entre cada par de enrolamentos. Normalmente, todos os parâmetros são referidos a uma base comum ou expressos em sistema por unidade (pu).

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2.7 – Transformadores em Circuitos Trifásicos

Em sistemas trifásicos é comum agrupar três transformadores monofásicos ou usar um único transformador trifásico.

• Ligações típicas:

  • Y-Y

  • Y-Δ

  • Δ-Y

  • Δ-Δ
    Cada ligação tem características específicas quanto a tensão, corrente e presença de neutro.

• Ligação Y-Δ: Muito usada para redução de tensão, permitindo ligação do neutro à terra no lado de alta tensão.

• Ligação Δ-Δ: Permite operação com apenas dois transformadores (ligação em "V") em caso de manutenção, com potência reduzida (~58%).

• Exemplo 2.8: Cálculo da tensão na carga de uma ligação Y-Δ trifásica com queda de tensão ao longo da linha. Mostra como os cálculos podem ser feitos por fase, facilitando a análise.

• Exemplo 2.9: Análise de uma corrente de curto-circuito trifásica. Mostra o cálculo das correntes nos vários pontos do sistema (primário, secundário e terminais de carga), com ênfase nas implicações da ligação Δ-Y.

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2.8 – Transformadores de Tensão e Corrente (Instrumentação)

Esta secção trata dos transformadores de potencia (PT) e transformadores de corrente (CT), utilizados para medição precisa em sistemas de potência, reduzindo as grandezas reais a níveis seguros e manejáveis para instrumentos (ex.: 120 V e 5 A).

• Transformador de Potencia (PT):

  • Idealmente mede a tensão sem carregar o circuito (impedância de carga alta).

  • São introduzidos erros pelo fluxo de excitação e pelas impedâncias dos enrolamentos.

  • O erro pode ser minimizado com reactância de magnetização elevada e impedâncias de enrolamento baixas.

• Transformador de Corrente (CT):

  • Idealmente mede a corrente apresentando-se como curto-circuito ao sistema (impedância de carga baixa).

  • Os erros são causados pela corrente de magnetização não transferida para o secundário.

  • Para minimizar os erros, requer impedância de magnetização elevada e baixas impedâncias no secundário.

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2.9 – O Sistema por Unidade

O sistema por unidade é uma técnica de normalização em que grandezas eléctricas (tensão, corrente, impedância, potência, etc.) são expressas como frações decimais dos seus valores base. Este sistema é amplamente utilizado na análise de sistemas eléctricos de potência, particularmente em redes com muitos transformadores, linhas e máquinas.

Vantagens do sistema por unidade:

• Simplificação de cálculos: Os transformadores passam a ter relação de transformação 1:1 quando as tensões base são escolhidas de forma compatível, eliminando a necessidade de referir impedâncias entre lados.

• Uniformidade de valores: Os parâmetros eléctricos, quando expressos em pu com base nos dados nominais dos equipamentos, tendem a variar dentro de intervalos reduzidos, facilitando comparações.

• Facilidade em análises de sistemas complexos: Os cálculos tornam-se mais directos e os erros mais fáceis de detectar.

Definições fundamentais:

• Cada grandeza por unidade (pu) é dada por:
  valor pu = valor real / valor base

• Os valores base estão relacionados entre si:

  • Potência base: S_base = V_base × I_base

  • Impedância base: Z_base = V_base / I_base = V_base² / S_base

• Apenas duas grandezas base são escolhidas livremente (normalmente tensão e potência), e as restantes derivam dessas.

Aplicações:

• Usado tanto em análises monofásicas como em sistemas trifásicos.

• Em sistemas trifásicos:

  • S_base_trifásica = 3 × S_base_fase

  • V_base_linha-neutro = V_base_linha-linha / √3

  • Z_base = V²_base / S_base

Exemplos e Problemas:

• Exemplo 2.12: Mostra a conversão de um circuito equivalente de um transformador para por unidade em ambos os lados (alta e baixa tensão), com simplificação para eliminar o transformador ideal (1:1).

• Exemplo 2.13: Demonstra que as impedâncias e correntes expressas em pu são iguais em ambos os lados do transformador quando as bases são escolhidas adequadamente.

• Exemplo 2.14: Repete o cálculo da corrente de curto-circuito trifásico de um exemplo anterior, mas usando exclusivamente valores por unidade.

• Exemplo 2.15: Usa o sistema por unidade para determinar a tensão no lado de alta tensão de um transformador, dado o consumo da carga e a impedância da máquina.

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2.10 – Resumo

Embora os transformadores sejam dispositivos estáticos (não envolvem movimento mecânico), eles são fundamentais no estudo de sistemas electromecânicos por partilharem muitos conceitos com máquinas rotativas, como:

• Fluxo magnético,

• Corrente de excitação,

• Fluxo mútuo e de fuga,

• Indutâncias e f.m.m. (força magnetomotriz).

Pontos principais:

• O fluxo mútuo no núcleo é responsável pela indução de tensões proporcionais ao número de espiras.

• Nas máquinas rotativas, o fluxo atravessa uma folga de ar entre estator e rotor, mas o princípio de indução mantém-se.

• A diferença chave é que nas máquinas há movimento relativo, o que gera uma componente adicional na tensão induzida: a tensão de velocidade, fundamental na conversão de energia electromecânica (estudada no Capítulo 3).

• A f.e.m. (força electromotriz) de contraposição no enrolamento primário deve equilibrar a tensão aplicada, tal como nas máquinas AC.

• A corrente no primário ajusta-se para garantir que a f.m.m. total produz o fluxo necessário — comportamento idêntico ao das máquinas AC.

• O fluxo de fuga, presente tanto em transformadores como em máquinas rotativas, origina reactâncias de fuga que reduzem o fluxo mútuo.

• Os testes de caracterização (circuito aberto e curto-circuito) são semelhantes em ambos os tipos de equipamento.

• O modelo de saturação do circuito magnético também segue o mesmo raciocínio: assume-se linearidade nas reactâncias de fuga e saturação apenas no circuito magnético principal.

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2.11 – Variáveis do Capítulo 2

Tabela de símbolos e unidades usadas ao longo do capítulo, agrupando variáveis e subscritos com os seus significados. Exemplos:

Variáveis Principais

Símbolo	Significado	Unidade
λ	Fluxo concatenado	Weber (Wb)
ω	Frequência angular	radianos/segundo (rad/s)
ϕ, ϕₘₐₓ	Fluxo magnético, fluxo magnético máximo	Weber (Wb)
Φ̂	Fluxo magnético (amplitude complexa)	Weber (Wb)
θ	Ângulo de fase	radianos (rad)
Bₘₐₓ	Densidade de fluxo magnético de pico	Tesla (T)
e	Força electromotriz (f.e.m.), tensão induzida	Volt (V)
E	Tensão	Volt (V)
Ê	Tensão (amplitude complexa)	Volt (V)
f	Frequência	Hertz (Hz)
i, I	Corrente	Ampère (A)
iϕ	Corrente de excitação	Ampère (A)
Î	Corrente (amplitude complexa)	Ampère (A)
Îc	Componente de perdas no núcleo da corrente de excitação	Ampère (A)
Îm	Corrente de magnetização (amplitude complexa)	Ampère (A)
Îϕ	Corrente de excitação (amplitude complexa)	Ampère (A)
L	Indutância	Henry (H)
N	Número de espiras	—
Q	Potência reactiva	Volt-Ampère Reactivo (VAR)
R	Resistência	Ohm (Ω)
R_base	Resistência base	Ohm (Ω)
t	Tempo	Segundo (s)
v, V	Tensão	Volt (V)
V_base	Tensão base	Volt (V)
V̂	Tensão (amplitude complexa)	Volt (V)
VA	Volt-Ampère (potência aparente)	Volt-Ampère (VA)
X	Reactância	Ohm (Ω)
Z	Impedância	Ohm (Ω)
ZΔ	Impedância equivalente em Δ	Ohm/fase (Ω/fase)
Zϕ	Impedância de excitação	Ohm (Ω)
ZY	Impedância equivalente em Y	Ohm/fase (Ω/fase)

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Subscritos Comuns

Subscrito	Significado
ϕ	Excitação
b	Carga (burden)
base	Valor base
c	Núcleo (core)
eq	Equivalente
H	Lado de alta tensão
l	Fluxo de fuga (leakage)
l-n	Linha-neutro
L	Lado de baixa tensão
m	Magnetização
max	Máximo
oc	Circuito aberto (open circuit)
pu	Por unidade (per unit)
rms	Valor eficaz (root mean square)
s	Envio (sending)
sc	Curto-circuito (short circuit)
tot	Total

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Resumo extraído do Capítulo 1, do livro: Electric Machinery - 7ª edição — Fitzgerald & Kingsley - Umans

Capítulo 1 - Circuitos Magnéticos e Materiais Magnéticos

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Secção 1.1 - Circuitos Magnéticos

A secção 1.1 introduz o conceito de circuitos magnéticos, uma abordagem prática para analisar sistemas eletromagnéticos, especialmente em máquinas elétricas e transformadores. Estes circuitos são utilizados para descrever a forma como os campos magnéticos se comportam em estruturas feitas, na sua maioria, de materiais ferromagnéticos de alta permeabilidade.

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Princípios fundamentais:

1. Equações de Maxwell (Forma Magneto-Quasi-Estática)
   Ao assumir que os efeitos da corrente de deslocamento podem ser desprezados (válido para muitas aplicações de engenharia), as equações de Maxwell relevantes simplificam-se para:

   • Lei de Ampère: ∮𝐻·dl = ∫𝐽·da → o campo magnético 𝐻 é gerado por correntes elétricas.

   • Lei de Gauss para o magnetismo: ∮𝐵·da = 0 → o fluxo magnético 𝐵 não tem fontes nem sumidouros; as linhas de fluxo são sempre fechadas.

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Conceito de Circuito Magnético:

• Semelhança com circuitos elétricos: Tal como a corrente elétrica segue condutores de baixa resistência, o fluxo magnético tende a seguir caminhos com alta permeabilidade magnética, geralmente feitos de ferro ou aço.

• A ideia é representar um campo magnético tridimensional complexo através de um circuito unidimensional, utilizando analogias com a eletricidade:

  • Corrente → Fluxo magnético φ

  • Tensão → Força magnetomotriz (fmm) F = Ni

  • Resistência → Relutância R

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Elementos principais:

• fmm (Força Magnetomotriz):
  F = Ni, onde N é o número de espiras e i a corrente — atua como a “força” que impulsiona o fluxo magnético.

• Fluxo magnético:
  φ = B·A, sendo B a densidade de fluxo magnético e A a área da secção transversal.

• Relutância (R):
  R = l / (μ·A), onde l é o comprimento médio do caminho do fluxo, μ a permeabilidade magnética, e A a área da secção. A unidade é A·espiras / Weber.

• Permeância (P):
  P = 1 / R, ou seja, mede a “facilidade” com que o fluxo atravessa um caminho magnético.

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Circuitos com e sem entreferro (air gap):

• Em transformadores, os núcleos são fechados (sem entreferro).

• Em máquinas rotativas, existe um entreferro necessário para permitir o movimento.

  • O entreferro apresenta baixa permeabilidade (μ₀), o que aumenta significativamente a relutância total.

  • Frequentemente, a relutância do entreferro domina o circuito magnético total, permitindo ignorar a relutância do núcleo.

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Dispersão (Fringing) do fluxo:

• O fluxo tende a “espalhar-se” ao atravessar o entreferro — fenómeno denominado fringing.

• A área efetiva do entreferro pode ser ligeiramente maior do que a secção transversal do núcleo.

• Na maioria das análises, o fringing é desprezado para simplificação.

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Analogias com circuitos elétricos:

• Lei das malhas (KVL): A soma das fmm ao longo de um caminho fechado é igual à soma das quedas de fmm (F = ΣFₖ).

• Lei dos nós (KCL): A soma dos fluxos que entram num nó é igual à soma dos fluxos que saem (Σφₙ = 0).

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Limitações:

• A análise de circuitos magnéticos envolve aproximações:

  • Supõe-se muitas vezes que a permeabilidade é constante.

  • O campo magnético fora do núcleo (campos de fuga) é negligenciado, o que não é sempre válido.

  • A precisão depende da intuição e julgamento de engenharia.

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Secção 1.2 — Fluxo ligado, indutância e energia

A secção 1.2 introduz os conceitos de fluxo ligado, indutância e energia armazenada em circuitos magnéticos. Estes conceitos são fundamentais para a compreensão do comportamento dinâmico dos dispositivos eletromagnéticos, sobretudo quando sujeitos a variações temporais de corrente e fluxo magnético.

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1. Lei de Faraday — Tensão induzida

Quando um campo magnético varia no tempo, produz-se um campo elétrico. Esta relação é expressa pela lei de Faraday, uma das equações de Maxwell:

$$\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{a}$$

Nos sistemas com enrolamentos (bobinas) de alta condutividade elétrica, a tensão induzida aos terminais de uma bobina é:

$$e = -N \frac{d\phi}{dt} = \frac{d\lambda}{dt}$$

onde:

• $e$ é a tensão induzida,

• $\phi$ é o fluxo magnético que atravessa uma espira,

• $N$ é o número de espiras,

• $\lambda = N\phi$ é o fluxo ligado à bobine com N espiras.

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2. Indutância

Se a relação entre o fluxo ligado e a corrente for linear, a indutância $L$ é definida por:

$$L = \frac{\lambda}{i}$$

A partir da análise de circuitos magnéticos com relutância total $R_{\text{tot}}$, deduz-se que:

$$L = \frac{N^2}{R_{\text{tot}}}$$

Isto mostra que:

• A indutância aumenta com o quadrado do número de espiras,

• Diminui com a relutância total do circuito magnético.

No caso de um circuito magnético com entreferro dominante (alta relutância), pode-se simplificar:

$$L = \frac{N^2 \mu_0 A_g}{g}$$

onde:

• $\mu_0$ é a permeabilidade do vazio,

• $A_g$ é a área da secção do entreferro,

• $g$ é o comprimento do entreferro.

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3. Linearidade e materiais não-lineares

• A definição clássica de indutância assume que o material é linear (isto é, $B = \mu H$, com $\mu$ constante).

• Contudo, muitos materiais ferromagnéticos têm permeabilidade não constante.

• Se o entreferro dominar a relutância do circuito, a não linearidade do material pode ser ignorada com boa aproximação.

• Em muitos casos práticos, assume-se um valor médio ou constante da permeabilidade para efeitos de cálculos de engenharia.

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4. Circuitos com dois enrolamentos — Autoindutância e Indutância Mútua 

Num circuito com duas bobinas, o fluxo ligado de cada uma depende da sua própria corrente e da corrente da outra:

$$\lambda_1 = L_{11} i_1 + L_{12} i_2 \quad \text{e} \quad \lambda_2 = L_{21} i_1 + L_{22} i_2$$

• $L_{11}$ e $L_{22}$: autoindutâncias,

• $L_{12} = L_{21}$: indutância mútua, definida como:

$$L_{12} = L_{21} = \frac{N_1 N_2 \mu_0 A_c}{g}$$

(assumindo que o entreferro domina a relutância total e que $A_c = A_g$).

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5. Tensão induzida com indutância variável

Se a indutância variar com o tempo (ex.: quando há movimento ou variação da permeabilidade):

$$e = \frac{d}{dt}(Li) = L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dt}$$

Este termo adicional $i \frac{dL}{dt}$ representa o contributo da variação da própria indutância (caso comum em máquinas elétricas com movimento).

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6. Energia armazenada num circuito magnético

A energia magnética armazenada $W$ é dada por:

$$W = \int_{0}^{\lambda} i \, d\lambda = \frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{2} \frac{\lambda^2}{L}$$

• A energia está relacionada com o fluxo ligado e a corrente.

• A unidade de energia é o joule (J).

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Secção 1.3 — Propriedades dos Materiais Magnéticos

A secção 1.3 analisa as propriedades dos materiais magnéticos, com destaque para os materiais ferromagnéticos usados em dispositivos de conversão eletromecânica de energia. Estes materiais são essenciais para alcançar densidades elevadas de fluxo magnético com correntes relativamente pequenas, permitindo maior eficiência e melhor desempenho.

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1. Função dos materiais magnéticos na engenharia eletromecânica

Os materiais magnéticos são importantes por dois motivos principais:

1. Permitem obter fluxos magnéticos intensos com baixa fmm (força magnetomotriz).

   • Isto é fundamental porque o binário e a densidade de energia dos dispositivos dependem do nível de fluxo magnético.

2. Canalizam e moldam os campos magnéticos em trajetórias definidas.

   • No caso dos transformadores: aumentam o acoplamento entre enrolamentos.

   • Nas máquinas elétricas: ajudam a produzir binário e a controlar o comportamento eletromagnético.

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2. Materiais ferromagnéticos

• São compostos por ferro puro ou ligas com outros metais como cobalto, níquel, tungsténio ou alumínio.

• Caracterizam-se por domínios magnéticos: pequenas regiões com momentos magnéticos atómicos alinhados.

• Num material não magnetizado, os domínios estão orientados aleatoriamente → fluxo magnético líquido nulo.

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3. Magnetização e saturação

• Quando se aplica uma força magnetizante (campo magnético externo), os domínios reorientam-se no sentido do campo.

• Isso reforça o campo aplicado e resulta num aumento significativo da densidade de fluxo magnético $B$.

• Este comportamento ocorre até à saturação, quando todos os domínios estão alinhados — daí para a frente, aumentar $H$ pouco influencia $B$.

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4. Histerese magnética

• Quando o campo $H$ é removido, os domínios não regressam ao estado aleatório inicial.

• O material mantém magnetização residual → fenómeno de histerese.

• Esta propriedade torna a relação $B-H$ não linear e multi-valor, isto é, depende da história da excitação.

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5. Curvas características

• As propriedades magnéticas são geralmente fornecidas sob forma gráfica (medidas experimentais segundo normas ASTM).

Tipos de curvas:

1. Curva de histerese (B-H loop)

   • Obtida com excitação cíclica (campo $H$ alternado entre valores positivos e negativos).

   • Mostra claramente os efeitos de:

     • Saturação

     • Magnetização remanescente (quando $H = 0$)

     • Coercividade (valor de $H$ necessário para anular $B$)

   • Exemplo no livro: aço elétrico M-5 (grain-oriented), amplamente utilizado em transformadores e máquinas.

2. Curva de magnetização DC (normal)

   • Obtida com base nos pontos extremos da curva de histerese.

   • É mono-valor e representa a resposta média do material (ignora perdas por histerese).

   • Usada frequentemente em análises simplificadas de engenharia.

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6. Unidades e dados práticos

• A curva B-H pode ser expressa em diferentes sistemas de unidades:

  • $H$: amperes por metro (A/m), ou oersted (em CGS)

  • $B$: webers por metro quadrado (T), gauss ou kilogauss

• No livro, todos os cálculos e gráficos usam unidades SI.

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Secção 1.4 — Excitação em Corrente Alternada (AC)

A secção 1.4 aborda a excitação de materiais magnéticos sob condições de corrente alternada (AC), ou seja, quando os sistemas operam em regime permanente com tensões e fluxos sinusoidais.

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Modelo de Estudo

Considera-se um circuito magnético com núcleo fechado e sem entreferro, com comprimento magnético $l_c$ e área de secção transversal $A_c$ constantes. Assume-se uma variação sinusoidal do fluxo magnético:

$$\phi(t) = \phi_{\text{max}} \sin(\omega t) = A_c B_{\text{max}} \sin(\omega t)$$

onde:

• $\phi(t)$: fluxo instantâneo (Wb),

• $\phi_{\text{max}}$: fluxo máximo,

• $B_{\text{max}}$: densidade de fluxo máximo (T),

• $\omega = 2\pi f$: frequência angular (rad/s),

• $f$: frequência da fonte (Hz).

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Tensão Induzida e Valor Eficaz (rms)

A tensão induzida num enrolamento de $N$ espiras é:

$$e(t) = \omega N \phi_{\text{max}} \cos(\omega t)$$

O valor eficaz da tensão (usualmente mais relevante em AC) é:

$$E_{\text{rms}} = \sqrt{2} \pi f N A_c B_{\text{max}}$$

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Corrente de Excitação e Histerese

A corrente de excitação $i_{\phi}(t)$ necessária para manter o fluxo $\phi(t)$ não é sinusoidal, devido à não-linearidade do material magnético. Essa corrente é obtida através da curva de histerese AC do material. A relação entre campo magnético $H_c$ e $i_{\phi}$ é:

$$i_{\phi} = \frac{H_c l_c}{N}$$

O valor eficaz da corrente de excitação é:

$$I_{\phi,\text{rms}} = \frac{l_c H_{\text{rms}}}{N}$$

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Potência de Excitação em AC

A potência aparente necessária para excitar o núcleo é dada por:

$$S = E_{\text{rms}} \cdot I_{\phi,\text{rms}} = \sqrt{2} \pi f B_{\text{max}} H_{\text{rms}} V_{\text{núcleo}}$$

com $V_{\text{núcleo}} = A_c l_c$ sendo o volume do núcleo.

A potência aparente por unidade de massa (VA/kg), útil para comparação entre materiais, é:

$$S_a = \frac{S}{\text{massa}} = \sqrt{2} \pi f \cdot \frac{B_{\text{max}} H_{\text{rms}}}{\rho_c}$$

sendo $\rho_c$ a densidade do material magnético.

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Perdas no Núcleo

Há dois tipos principais de perdas:

1. Perdas por histerese: Energia dissipada devido ao ciclo de magnetização, proporcional à área do laço de histerese e ao volume do material. A potência dissipada por histerese aumenta com a frequência.

2. Perdas por correntes de Foucault (eddy currents): Causadas por campos eléctricos induzidos no núcleo. São reduzidas através da laminação do núcleo e isolamento entre folhas. Crescem com o quadrado da frequência e do valor de $B_{\text{max}}$.

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Representação Gráfica e Dados Experimentais

Os fabricantes de materiais magnéticos fornecem frequentemente gráficos de:

• Potência aparente por unidade de massa $S_a$ (VA/kg),

• Densidade de perdas $P_c$ (W/kg) em função de $B_{\text{max}}$ para diferentes frequências.

Estes dados são essenciais para o dimensionamento de transformadores, motores e outros dispositivos eletromagnéticos.

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Secção 1.5 — Ímanes Permanentes

A secção 1.5 analisa os materiais magnéticos que retêm magnetização mesmo na ausência de uma fonte de excitação — os chamados ímanes permanentes ou materiais magnéticos "duros". Estes são comparados com os materiais magnéticos "moles/macios", que necessitam de excitação contínua para gerar fluxo magnético.

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Características dos Ímanes Permanentes

• A principal característica de um íman permanente é a magnetização remanescente (Br) — o valor da densidade de fluxo magnético que permanece quando o campo magnético externo é removido.

• Outra grandeza importante é a coercividade (Hc) — a intensidade do campo magnético necessário para reduzir o fluxo magnético a zero.

Comparação entre materiais:

• Alnico 5: Br ≈ 1,22 T e Hc ≈ −49 kA/m (grande retenção de fluxo e elevada resistência à desmagnetização).

• Aço elétrico M-5: embora tenha Br elevada (1,4 T), tem Hc muito inferior (−6 A/m), o que o torna impróprio como íman permanente.

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Aplicação em Circuitos Magnéticos

Exemplo 1.9 demonstra que:

• Alnico 5 pode gerar fluxo magnético significativo num circuito com entreferro, mesmo sem excitação externa.

• M-5, apesar de ter remanescência elevada, não consegue manter fluxo magnético relevante devido à sua baixa coercividade.

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Produto Máximo Energia

• Define-se como o máximo valor do produto $B \cdot H$ no segundo quadrante da curva de histerese.

• Este produto representa a energia magnética por unidade de volume (J/m³) que o íman pode fornecer.

• Para uma determinada densidade de fluxo desejada num entreferro, operar no ponto de $(B \cdot H)_{\text{máx}}$ permite minimizar o volume necessário do íman.

Equação útil:

$$\text{Volume}_{\text{ímã}} = \frac{\text{Volume}_{\text{entreferro}} \cdot B_g^2}{\mu_0 (-H_m B_m)}$$

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Considerações Práticas

• A redução do comprimento do entreferro não permite aumentar indefinidamente o fluxo, pois o núcleo poderá entrar em saturação.

• O ponto de operação ideal de um íman é aquele em que se obtém máxima eficiência volumétrica (menor volume para o mesmo fluxo desejado).

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Secção 1.6 — Aplicação de Materiais de Íman Permanente

Esta secção aprofunda a aplicação prática dos materiais magnéticos permanentes, indo além da teoria vista na secção 1.5. São analisadas as curvas de magnetização, os efeitos da corrente de excitação, as curvas de retorno (recoil), e a dependência térmica — aspetos fundamentais no dimensionamento e estabilidade dos sistemas com ímanes permanentes.

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Curvas de Magnetização dos Materiais

A curva de magnetização representa o segundo quadrante do laço de histerese após saturação total do material. Diferentes materiais exibem diferentes comportamentos:

• Alnico 5 e 8: elevada magnetização remanescente (Br), mas baixa coercividade; muito sensíveis à desmagnetização.

• Ceramic 7 (Ferrite): menor Br, mas elevada Hc; curva quase linear.

• Samário-Cobalto: alta Br e Hc, muito estável, mesmo a altas temperaturas.

• Neodímio-Ferro-Boro (NdFeB): altíssimo Br e Hc; excelente desempenho magnético, mas sensível à temperatura.

As curvas da Fig. 1.19 mostram essas características comparativas.

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Efeitos de Excitação e Linhas de Retorno 

Quando se aplica corrente a uma bobina em torno de um íman:

• A curva B-H percorre o laço de histerese desde o ponto inicial (desmagnetizado) até à saturação.

• Ao remover a corrente, o ponto de operação fica em Br (residual).

• Se for aplicada uma corrente negativa ou houver uma alteração geométrica (ex.: aumento do entreferro), o ponto de operação desloca-se, formando um laço menor.

A partir daí, o íman passa a operar numa linha de retorno, que tem inclinação constante chamada permeabilidade de retorno (μR).

Uma vez desmagnetizado (mesmo parcialmente), o íman não volta a Br, mas a um valor inferior (ver Fig. 1.21).

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Estabilização de Ímanes

Para garantir o funcionamento estável:

• Pode-se estabilizar o íman forçando-o a operar numa determinada linha de retorno.

• Isto implica aceitar uma redução permanente em Br, mas assegura que, mesmo com variações de carga ou geometria, o íman não se desmagnetiza ainda mais.

O Exemplo 1.11 mostra como estabilizar um sistema com Alnico 5, através de um processo de magnetização controlada com uma bobina, ajustando o comprimento do íman para operar no ponto de produto energia máximo.

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Temperatura e Comportamento Térmico

A temperatura afecta significativamente os ímanes:

• Para materiais como NdFeB e Samário-Cobalto, o aumento da temperatura reduz Br e Hc (ver Fig. 1.24).

• Samário-Cobalto é mais estável termicamente do que o NdFeB.

• As cerâmicas (ferrites), pelo contrário, perdem Br com o aumento da temperatura, mas ganham coercividade (ver Fig. 1.25).

• Se a temperatura atingir o ponto de Curie, o material perde a magnetização permanentemente.

O Exemplo 1.12 mostra como calcular a corrente máxima admissível num sistema com um íman de NdFeB de modo a evitar que o fluxo magnético se torne negativo, o que levaria à desmagnetização.

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Modelação Linear da Curva B-H

Para materiais com alta coercividade e baixa permeabilidade de retorno, como os ímanes de terras raras, pode-se modelar a curva B-H como:

$$B = \mu_R (H - H'_c) = B_r + \mu_R H$$

Esta aproximação linear é válida na região útil de operação e simplifica o projeto de dispositivos eletromagnéticos com ímanes.

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Secção 1.7 — Sumário

Utilização de Materiais Ferromagnéticos

• Materiais ferromagnéticos são amplamente utilizados para conduzir e concentrar fluxos magnéticos.

• A sua elevada permeabilidade magnética (até dezenas de milhar de vezes maior do que o vácuo) permite que o fluxo seja confinado a caminhos bem definidos, determinados pela geometria do material.

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Aproximação Quasi-estática e Análise de Circuitos Magnéticos

• Em muitas aplicações práticas, os fenómenos magnéticos são suficientemente lentos para serem tratados como quasi-estáticos, ou seja, sem efeitos transitórios importantes.

• Nestes casos, os campos magnéticos podem ser analisados com base na força magnetomotriz (mmf) e na relutância dos caminhos magnéticos.

• Assim, a resolução de problemas magnéticos complexos pode ser feita de forma análoga à análise de circuitos eléctricos elétricos, convertendo o problema tridimensional num modelo unidimensional.

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Comportamento dos Materiais Magnéticos

• O comportamento magnético dos materiais é não linear e geralmente representado através das curvas B-H e dos laços de histerese.

• As perdas no núcleo (térmicas e energéticas) são causadas por dois mecanismos principais:

  1. Perdas por histerese, devidas à reversão cíclica dos domínios magnéticos.

  2. Perdas por correntes de Foucault (eddy currents), resultantes de tensões induzidas no próprio material condutor.

• Estas perdas dependem da frequência de operação, da densidade de fluxo e das propriedades físicas do material (ex: laminação, composição, espessura, etc.).

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Dados Experimentais

• Os fabricantes fornecem frequentemente curvas experimentais que representam:

  • Perdas no núcleo (W/kg),

  • Potência aparente de excitação por massa (VA/kg),

  • Curvas B-H para diferentes frequências.

• Estes dados são essenciais para o dimensionamento prático de componentes magnéticos.

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Ímanes Permanentes (Materiais Magnéticos Duros)

• Certos materiais (como Alnico, ferrites, samário-cobalto, neodímio-ferro-boro) têm propriedades que os tornam ideais para uso como ímanes permanentes.

• Caracterizam-se por:

  • Magnetização remanescente elevada,

  • Coercividade elevada,

  • Capacidade de gerar fluxo em circuitos com entreferros sem necessidade de corrente de excitação.

• Têm aplicações em dispositivos como:

  • Motores e geradores,

  • Colunas de som,

  • Sensores,

  • Medidores analógicos.

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Estabilidade Operacional

• Alguns ímanes necessitam de ser estabilizados para funcionarem com variações de carga ou temperatura.

• Ímanes modernos de terras raras (NdFeB, SmCo) tendem a ser altamente estáveis, desde que operem na zona linear da sua curva B-H e abaixo do seu ponto de Curie.

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Secção 1.8 — Variáveis do Capítulo 1

A secção 1.8 fornece uma lista organizada das variáveis e símbolos utilizados ao longo do Capítulo 1, que trata de circuitos magnéticos e materiais magnéticos. Este glossário técnico serve como referência rápida para os leitores e é essencial para a interpretação rigorosa das equações e análises apresentadas no capítulo.

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Lista das Variáveis

As variáveis estão agrupadas por ordem alfabética, juntamente com as respetivas unidades no Sistema Internacional (SI), e representam grandezas físicas relevantes para o estudo dos fenómenos magnéticos:

Símbolo	Descrição	Unidade (SI)
$\mu$	Permeabilidade magnética	H/m (henry por metro)
$\mu_0$	Permeabilidade do vácuo ($4\pi \times 10^{-7}$)	H/m
$\mu_r$	Permeabilidade relativa ($\mu / \mu_0$)	adimensional
$\mu_R$	Permeabilidade de retorno (recoil permeability)	H/m
$\phi, \varphi$	Fluxo magnético	Wb (weber)
$\phi_{\text{max}}$	Fluxo magnético de pico	Wb
$\omega$	Frequência angular ($2\pi f$)	rad/s
$\rho$	Densidade de massa	kg/m³
$A$	Área da secção transversal	m²
$B$	Densidade de fluxo magnético	T (tesla)
$B_r$	Magnetização remanescente (remanescência)	T
$e, E$	Força electromotriz / tensão	V (volt)
$\mathcal{E}$	Intensidade de campo elétrico	V/m
$f$	Frequência	Hz
$\mathcal{F}$	Força magnetomotriz (mmf)	A (ampère-volta)
$g$	Comprimento do entreferro	m
$H$	Intensidade do campo magnético	A/m
$H_c$	Coercividade	A/m
$i, I$	Corrente elétrica	A
$i_\phi, I_{\phi,\text{rms}}$	Corrente de excitação e respetivo valor eficaz	A
$J$	Densidade de corrente elétrica	A/m²
$l$	Comprimento linear (ex: do núcleo)	m
$L$	Indutância	H (henry)
$N$	Número de espiras	adimensional
$P$	Potência elétrica	W (watt)
$P_{\text{core}}$	Perdas no núcleo magnético	W
$P_c$	Densidade de perdas no núcleo (por massa)	W/kg
$\mathcal{P}$	Permeância	H
$\mathcal{R}$	Relutância	H⁻¹
$S$	Potência aparente de excitação (VA)	VA
$S_a$	Potência aparente de excitação por unidade de massa	VA/kg
$t$	Tempo	s
$T$	Período de um ciclo (também usado para temperatura)	s ou ºC
$V$	Tensão / diferença de potencial	V
$\text{Vol}$	Volume	m³
$W$	Energia armazenada	J (joule)

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Subscritos Usuais

Para facilitar a distinção entre variáveis aplicadas a diferentes partes do sistema magnético, são também indicados subscritos específicos:

Subscrito	Significado
$c$	Relativo ao núcleo (core)
$g$	Relativo ao entreferro (gap)
$m$, $\text{mag}$	Relativo ao íman (magnet)
$\text{max}$	Valor máximo de uma grandeza
$\text{rms}$	Valor eficaz (root mean square)
$\text{tot}$	Valor total (ex: energia ou potência)

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