Resumo extraído do Capítulo 2 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 2 - Sistemas de Coordenadas e transformações

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2.1 Introdução

Nesta secção, o autor explica que as grandezas físicas em eletromagnetismo  dependem do espaço e do tempo. Para descrever as variações espaciais dessas grandezas, é necessário identificar pontos no espaço de forma única através de um sistema de coordenadas.
Existem sistemas de coordenadas ortogonais (em que as superfícies coordenadas são perpendiculares entre si) e não ortogonais (pouco usados, devido à complexidade).

Exemplos de sistemas ortogonais: cartesiano (ou retangular), cilíndrico circular, esférico, elíptico cilíndrico, parabólico cilíndrico, cónico, prolato esferoidal, oblato esferoidal e elipsoidal.
Um problema difícil num sistema pode tornar-se simples noutro, o que justifica a escolha adequada do sistema de coordenadas.

Neste capítulo, o autor foca-se apenas nos três mais usados:

• Cartesiano (x, y, z)

• Cilíndrico circular (r, φ, z)

• Esférico (r, θ, φ)

Os conceitos apresentados no sistema cartesiano no capítulo anterior também se aplicam aos outros sistemas. Por exemplo, o cálculo de produtos vetoriais é feito de forma análoga em qualquer sistema. Finalmente, o autor refere que muitas vezes é necessário transformar pontos e vetores de um sistema para outro, e que serão mostradas as técnicas para isso.

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2.2 Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

Um ponto $P$ pode ser representado por $(x, y, z)$, onde cada variável varia no intervalo $(-\infty, +\infty)$.

Um vetor $\mathbf{A}$ é escrito como:

$$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z) = A_x \mathbf{a}_x + A_y \mathbf{a}_y + A_z \mathbf{a}_z$$

onde $\mathbf{a}_x, \mathbf{a}_y, \mathbf{a}_z$ são vetores unitários ao longo dos eixos.
O sistema pode ser destro (mais comum) ou canhoto. No sistema destro, a regra da mão direita define a orientação entre os eixos.

Este sistema é adequado para problemas em que não existe simetria circular ou esférica. Serve como base para a generalização a outros sistemas de coordenadas.

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2.3 Coordenadas Cilíndricas Circulares (r, φ, z)

Este sistema é muito útil quando há simetria cilíndrica, por exemplo em cabos coaxiais.
Um ponto $P$ é representado por $(r, φ, z)$, onde:

• $r$: distância radial ao eixo z,

• $φ$: ângulo azimutal medido a partir do eixo x no plano xy,

• $z$: mesma coordenada que no sistema cartesiano.

Intervalos típicos:

$$0 \leq r < \infty, \quad 0 \leq φ < 2\pi, \quad -\infty < z < \infty$$

Um vetor $\mathbf{A}$ escreve-se como:

$$\mathbf{A} = (A_r, A_φ, A_z) = A_r \mathbf{a}_r + A_φ \mathbf{a}_φ + A_z \mathbf{a}_z$$

onde $\mathbf{a}_r, \mathbf{a}_φ, \mathbf{a}_z$ são vetores unitários mutuamente perpendiculares.
A magnitude do vetor é:

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_r^2 + A_φ^2 + A_z^2}$$

As relações de ortogonalidade e produtos vetoriais seguem a convenção de um sistema destro:

$$\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_φ = \mathbf{a}_z, \quad \mathbf{a}_φ \times \mathbf{a}_z = \mathbf{a}_r, \quad \mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_r = \mathbf{a}_φ$$

Transformações entre cartesiano e cilíndrico

• De cartesiano para cilíndrico:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad φ = \tan^{-1}(y/x), \quad z = z$$

• De cilíndrico para cartesiano:

$$x = r\cos φ, \quad y = r\sin φ, \quad z = z$$

Transformações de vetores

As componentes em cada sistema também podem ser relacionadas através de matrizes de transformação, permitindo converter vetores entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.

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2.4 Coordenadas Esféricas (r, θ, φ)

O sistema de coordenadas esféricas é indicado para problemas com simetria esférica, como campos radiados por antenas ou cargas puntuais.
Um ponto $P$ é representado por $(r, θ, φ)$, onde:

• $r$: distância radial do ponto à origem,

• $θ$ (colatitude): ângulo entre o eixo $z$ e o vetor posição,

• $φ$: ângulo azimutal, medido a partir do eixo $x$ no plano $xy$ (o mesmo que em coordenadas cilíndricas).

Intervalos típicos:

$$0 \leq r < \infty, \quad 0 \leq θ \leq \pi, \quad 0 \leq φ < 2\pi$$

Um vetor $\mathbf{A}$ é expresso como:

$$\mathbf{A} = (A_r, A_θ, A_φ) = A_r \mathbf{a}_r + A_θ \mathbf{a}_θ + A_φ \mathbf{a}_φ$$

• $\mathbf{a}_r$: aponta na direção radial (aumentando $r$),

• $\mathbf{a}_θ$: aponta na direção do aumento de $θ$,

• $\mathbf{a}_φ$: aponta na direção do aumento de $φ$.

Estes vetores são ortogonais e obedecem às regras de um sistema destro:

$$\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_θ = \mathbf{a}_φ, \quad \mathbf{a}_θ \times \mathbf{a}_φ = \mathbf{a}_r, \quad \mathbf{a}_φ \times \mathbf{a}_r = \mathbf{a}_θ$$

A magnitude de $\mathbf{A}$ é:

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_r^2 + A_θ^2 + A_φ^2}$$

Transformações entre cartesiano e esférico

• De cartesiano para esférico:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad θ = \tan^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}\right), \quad φ = \tan^{-1}(y/x)$$

• De esférico para cartesiano:

$$x = r \sin θ \cos φ, \quad y = r \sin θ \sin φ, \quad z = r \cos θ$$

Transformação de vetores

As componentes cartesianas $(A_x, A_y, A_z)$ podem ser relacionadas com $(A_r, A_θ, A_φ)$ através de matrizes de transformação. O processo pode ser feito de forma direta ou usando o produto escalar entre vetores unitários.

O autor destaca que a transformação de pontos e vetores não altera o objeto físico em si, apenas a forma como é representado. Por exemplo, o módulo de um vetor permanece constante em qualquer sistema de coordenadas.

Finalmente, a distância entre dois pontos é apresentada em forma geral para cada sistema (cartesiano, cilíndrico e esférico), mostrando como calcular $d = | \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 |$.

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2.5 Superfícies de Coordenada Constante

As superfícies de coordenada constante ajudam a visualizar a geometria de cada sistema:

• No sistema cartesiano:

  • $x = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $yz$,

  • $y = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xz$,

  • $z = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xy$.
    A interseção de duas superfícies é uma linha, e de três superfícies é um ponto.

• No sistema cilíndrico:

  • $r = \text{constante}$ → cilindro circular,

  • $φ = \text{constante}$ → semiplano que contém o eixo $z$,

  • $z = \text{constante}$ → plano paralelo ao plano $xy$.
    A interseção de duas destas superfícies pode ser uma linha reta ou um círculo, e a de três define um ponto.

• No sistema esférico:

  • $r = \text{constante}$ → esfera,

  • $θ = \text{constante}$ → cone com vértice na origem e eixo coincidente com $z$,

  • $φ = \text{constante}$ → semiplano a partir do eixo $z$.
    A interseção de duas superfícies dá curvas (ex.: círculos ou semicírculos), e a de três dá um ponto.

É também referido que o vetor normal a uma superfície de coordenada constante é dado por $\pm \mathbf{a}_n$, onde $n$ é a variável mantida constante.

O capítulo inclui exemplos resolvidos e exercícios práticos que mostram como calcular componentes tangenciais, normais ou ângulos de vetores relativamente a superfícies e linhas definidas nestes sistemas.

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Resumo

1. Os três sistemas de coordenadas mais usados em eletromagnetismo são o cartesiano, o cilíndrico e o esférico.

2. Um ponto $P$ é representado como:

   • $(x, y, z)$ em cartesiano,

   • $(r, φ, z)$ em cilíndrico,

   • $(r, θ, φ)$ em esférico.
     Um vetor $\mathbf{A}$ é expresso com as componentes correspondentes e respetivos vetores unitários de cada sistema.
     Para operações matemáticas (adição, produto escalar, produto vetorial, etc.), deve-se usar o mesmo sistema de coordenadas, recorrendo a transformações de pontos e vetores sempre que necessário.

3. Fixar uma coordenada define uma superfície; fixar duas define uma linha; fixar três define um ponto.

4. O vetor normal a uma superfície $n = \text{constante}$ é $\pm \mathbf{a}_n$.

O capítulo termina com uma tabela (2.1) que resume as transformações de variáveis e de componentes de vetores entre os três sistemas (cartesiano, cilíndrico e esférico).

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Resumo extraído do Capítulo 1 do livro: Elements of Electromagnetics — Sadiku & Matthew N. O., 7ed

Capítulo 1 - Álgebra vectorial

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1.1 Introdução

O eletromagnetismo é definido como o estudo das interações entre cargas elétricas, quer em repouso, quer em movimento. A disciplina envolve a análise, síntese, interpretação física e aplicação dos campos elétricos e magnéticos, constituindo um ramo essencial da física e da engenharia eletrotécnica.

Os princípios do eletromagnetismo têm aplicações em múltiplas áreas, como micro-ondas, antenas, comunicações por satélite, bioeletromagnetismo, plasmas, investigação nuclear, fibras óticas, compatibilidade eletromagnética, máquinas elétricas, conversão eletromecânica de energia, meteorologia por radar e deteção remota.

Exemplos práticos incluem:

• Uso de micro-ondas ou ondas curtas na medicina para estimular tecidos e tratar certas condições;

• Aquecimento indutivo para processos de fusão, forjamento ou soldadura;

• Aquecimento dielétrico para unir plásticos;

• Aplicações agrícolas, como a alteração do sabor de vegetais.

Os dispositivos eletromagnéticos mais comuns incluem transformadores, relés, motores, linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O seu projeto requer conhecimento profundo das leis e princípios do eletromagnetismo.

O autor recorda que o comportamento eletromagnético pode ser descrito de forma compacta pelas Equações de Maxwell, que relacionam as grandezas vetoriais fundamentais: campo elétrico (E), campo magnético (H), densidade de fluxo elétrico (D), densidade de fluxo magnético (B), densidade de carga (ρv) e densidade de corrente (J).

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1.2 Uma Antevisão do Livro

O livro está organizado em quatro partes principais:

1. Parte 1 – Introduz as ferramentas matemáticas necessárias, em particular a álgebra vetorial, já que as equações do eletromagnetismo envolvem grandezas vetoriais.

2. Parte 2 – Apresenta a dedução das equações de Maxwell em condições invariantes no tempo, bem como o significado físico das grandezas E, D, H, B, J e ρv.

3. Parte 3 – Explora aplicações dessas equações em situações práticas.

4. Parte 4 – Reexamina as equações no caso dependente do tempo e aplica-as a dispositivos como linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas e radares.

O objetivo é conduzir o leitor de uma base matemática sólida até às aplicações práticas modernas da teoria eletromagnética.

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1.3 Escalares e Vetores

Esta secção introduz a análise vetorial como ferramenta matemática indispensável para descrever conceitos eletromagnéticos. Antes de a aplicar, é necessário compreender as suas regras e técnicas.

• Escalares: grandezas totalmente descritas pela sua magnitude. Exemplos: tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico, população.

• Vetores: grandezas descritas por magnitude e direção no espaço. Exemplos: velocidade, força, aceleração, deslocamento, intensidade de campo elétrico.

• Tensores: constituem uma classe mais geral de grandezas, da qual escalares e vetores são casos particulares (embora o livro se foque principalmente nestes últimos).

A notação distingue vetores de escalares:

• Vetores: representados por letras com uma seta por cima (A→) ou a negrito (A).

• Escalares: representados por letras normais (A, B, U, V).

Introduz-se ainda o conceito de campo:

• Um campo é uma função que especifica um valor (escalar ou vetorial) em cada ponto de uma região do espaço (e possivelmente do tempo).

• Campos escalares: temperatura num edifício, intensidade sonora numa sala, potencial elétrico, índice de refração.

• Campos vetoriais: campo gravitacional, velocidade de gotas de chuva, campo elétrico.

A teoria do eletromagnetismo é essencialmente o estudo de campos elétricos e magnéticos que variam no espaço e no tempo.

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1.4 Vetor Unitário

Um vetor é caracterizado pela sua magnitude e direção.

• A magnitude de um vetor A é um escalar denotado por $|A|$ ou simplesmente A.

• Um vetor unitário é definido como um vetor de magnitude igual a 1, que aponta na mesma direção de A. É escrito como:

$$a_A = \frac{A}{|A|}$$

Assim, qualquer vetor pode ser expresso como:

$$A = A \, a_A$$

ou seja, magnitude multiplicada pelo vetor unitário que indica a sua direção.

Em coordenadas cartesianas, um vetor A pode ser representado de duas formas:

$$A = (A_x, A_y, A_z) \quad \text{ou} \quad A = A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z$$

onde $a_x, a_y, a_z$ são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respetivamente.

• Estes vetores unitários são dimensionais, de magnitude 1, e indicam a direção positiva de cada eixo.

• A magnitude de A é obtida pela fórmula pitagórica:

$$|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$

• O vetor unitário na direção de A é:

$$a_A = \frac{A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}}$$

Isto permite decompor qualquer vetor em componentes ao longo de cada eixo do sistema cartesiano.

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1.5 Adição e Subtração de Vetores

Dois vetores podem ser somados ou subtraídos:

• A soma de dois vetores $A + B = C$ resulta num vetor obtido somando as componentes correspondentes:

$$C = (A_x + B_x)a_x + (A_y + B_y)a_y + (A_z + B_z)a_z$$

• A diferença entre dois vetores é definida como:

$$D = A - B = (A_x - B_x)a_x + (A_y - B_y)a_y + (A_z - B_z)a_z$$

Graficamente, estas operações podem ser representadas por dois métodos:

1. Regra do paralelogramo – constrói-se um paralelogramo com lados correspondentes a A e B; a diagonal representa a soma.

2. Regra cabeça-cauda – coloca-se a cabeça de um vetor na cauda do outro; o vetor resultante vai da cauda do primeiro até à cabeça do segundo.

Propriedades da adição e subtração de vetores:

• Comutativa: $A + B = B + A$

• Associativa: $A + (B + C) = (A + B) + C$

• Distributiva: $k(A + B) = kA + kB$, onde $k$ é um escalar

Estas leis mostram que os vetores obedecem a regras algébricas semelhantes às dos números escalares.

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1.6 Vetores de Posição e de Distância

Um ponto P no espaço cartesiano é representado por coordenadas $(x, y, z)$.

• O vetor de posição de P, denotado por $r_P$, é o vetor que liga a origem $O$ a $P$:

$$r_P = x a_x + y a_y + z a_z$$

Este vetor indica a posição do ponto no espaço.

• O vetor de distância (ou de deslocamento) entre dois pontos $P(x_P, y_P, z_P)$ e $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ é dado por:

$$r_{PQ} = r_Q - r_P = (x_Q - x_P)a_x + (y_Q - y_P)a_y + (z_Q - z_P)a_z$$

A magnitude deste vetor corresponde à distância entre os dois pontos:

$$d = |r_{PQ}| = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}$$

Diferença entre ponto e vetor:

• Um ponto $P(x, y, z)$ não é um vetor por si só; o que é vetor é o vetor de posição que liga a origem a esse ponto.

• No entanto, um vetor pode depender da posição de um ponto (por exemplo, campos vetoriais).

Vetores constantes vs. variáveis:

• Um vetor é constante (uniforme) se não depende de $x, y, z$.

• É variável (não uniforme) se os seus valores mudam de ponto para ponto.

Exemplo:

• $B = 3a_x - 2a_y + 10a_z$ → vetor uniforme.

• $A = 2xy a_x + y^2 a_y - xz^2 a_z$ → vetor não uniforme.

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1.7 Multiplicação de Vetores

A multiplicação de vetores pode produzir dois tipos de resultados: um escalar ou um vetor, dependendo da operação. Existem quatro formas principais:

(A) Produto Escalar (ou Produto Interno)

O produto escalar de dois vetores $A$ e $B$ é definido como:

$$A \cdot B = |A||B| \cos\theta$$

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores. O resultado é um escalar.

• Em termos de componentes:

$$A \cdot B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$

• Propriedades:

  • Comutativo: $A \cdot B = B \cdot A$

  • Distributivo: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

  • $A \cdot A = |A|^2$

• Dois vetores são ortogonais se $A \cdot B = 0$.

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(B) Produto Vetorial (ou produto externo)

O produto vetorial de $A$ e $B$ é um vetor definido por:

$$A \times B = |A||B| \sin\theta \, a_n$$

onde $a_n$ é o vetor unitário perpendicular ao plano formado por $A$ e $B$, seguindo a regra da mão direita.

• Em termos de determinante:

$$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

• Propriedades:

  • Não comutativo: $A \times B = - (B \times A)$

  • Não associativo: $A \times (B \times C) \neq (A \times B) \times C$

  • Distributivo: $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

  • $A \times A = 0$

  • Segue a regra cíclica: $a_x \times a_y = a_z$, $a_y \times a_z = a_x$, $a_z \times a_x = a_y$.

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(C) Produto Triplo Escalar

Dado três vetores $A, B, C$, define-se:

$$A \cdot (B \times C)$$

O resultado é um escalar, que corresponde ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Em forma de determinante:

$$A \cdot (B \times C) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix}$$

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(D) Produto Triplo Vetorial

Definido como:

$$A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$$

Conhecido como a regra “bac-cab”. O resultado é um vetor.

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1.8 Componentes de um Vetor

O produto escalar pode ser usado para calcular a projeção (ou componente) de um vetor numa direção:

• Componente escalar de $A$ ao longo de $B$:

$$A_B = A \cdot a_B$$

onde $a_B$ é o vetor unitário na direção de $B$.

• Componente vetorial de $A$ ao longo de $B$:

$$A_B = (A \cdot a_B) a_B$$

Assim, qualquer vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais:

• uma paralela a $B$,

• outra perpendicular a $B$.

Observação importante: a divisão de vetores não é definida em geral, exceto quando $A = kB$. Diferenciação e integração de vetores serão estudadas mais tarde.

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Resumo

A secção final do capítulo sintetiza os conceitos apresentados:

1. Um campo é uma função que especifica uma quantidade em cada ponto do espaço. Pode ser escalar (ex.: $V(x,y,z)$) ou vetorial (ex.: $A(x,y,z)$).

2. Um vetor $A$ é especificado pela sua magnitude e pelo vetor unitário na sua direção ($A = |A| a_A$).

3. A multiplicação de dois vetores pode resultar em:

   • um escalar (produto escalar: $A \cdot B = |A||B|\cos\theta$),

   • ou um vetor (produto vetorial: $A \times B = |A||B|\sin\theta a_n$).
     A multiplicação de três vetores pode originar:

   • um escalar ($A \cdot (B \times C)$),

   • ou um vetor ($A \times (B \times C)$).

4. A projeção escalar de $A$ em $B$ é $A_B = A \cdot a_B$. A projeção vetorial é $A_B = (A \cdot a_B) a_B$.

5. O capítulo inclui ainda comandos MATLAB úteis:

   • dot(A,B) para produto escalar;

   • cross(A,B) para produto vetorial;

   • norm(A) para magnitude;

   • A/norm(A) para vetor unitário.

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Resumo extraído do Capítulo 32, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

Capítulo 32 – Indutância

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32.1 Auto-indução e Indutância

Quando fechamos um circuito com uma fonte de força electromotriz (f.e.m.), um interruptor e uma resistência, a corrente não atinge imediatamente o valor final dado por ε/R. À medida que a corrente aumenta, o campo magnético gerado pela corrente cria um fluxo magnético através da área do circuito. Segundo a Lei de Faraday, esta variação de fluxo induz uma f.e.m. no próprio circuito.

A f.e.m. induzida tem sinal oposto à f.e.m. da bateria — por isso chama-se força contra-electromotriz — e resiste ao aumento da corrente, fazendo com que esta cresça de forma gradual. Este fenómeno chama-se auto-indução, porque a variação de fluxo que causa a f.e.m. surge do próprio circuito.

A f.e.m. auto-induzida (eL) é proporcional à taxa de variação temporal da corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

onde L é a indutância, uma constante que depende da geometria do circuito (número de espiras, área, comprimento, etc.). Para um enrolamento de N espiras, com fluxo magnético Φ_B através de cada uma:

$$L = \frac{N \Phi_B}{i}$$

A indutância mede a oposição a variações de corrente, de forma semelhante ao modo como a resistência mede a oposição ao fluxo de corrente. A unidade SI de indutância é o henry (H), definido como 1 V·s/A.

O exemplo clássico é o solenoide de N espiras, comprimento ℓ (muito maior que o raio) e área A:

$$L = \mu_0 \frac{N^2 A}{\ell}$$

Este exemplo mostra que L depende fortemente do número de espiras ao quadrado e da geometria do enrolamento. A analogia com a capacitância (dependência da geometria das placas) e com a resistência (dependência do comprimento e área do condutor) é salientada.

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32.2 Circuitos RL

Um circuito RL contém uma resistência e uma bobine (indutor) ligadas em série a uma fonte de f.e.m. A presença de uma bobine impede mudanças instantâneas na corrente. Quando se fecha o interruptor, a corrente começa em zero e cresce de forma exponencial, pois a força contra-electromotriz da bobine opõe-se ao aumento.

Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff:

$$\varepsilon - iR - L \frac{di}{dt} = 0$$

Resolvendo a equação diferencial obtém-se:

$$i(t) = \frac{\varepsilon}{R} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

com a constante de tempo:

$$\tau = \frac{L}{R}$$

Esta constante representa o tempo necessário para a corrente atingir 63,2% do valor final (ε/R). Quanto maior a indutância L ou menor a resistência R, mais lenta será a resposta do circuito.

Quando a fonte é desligada (substituída por um curto-circuito), o circuito passa a ter apenas a resistência e a bobine. A corrente decresce exponencialmente:

$$i(t) = I_i e^{-t/\tau}$$

A bobine impede que a corrente caia instantaneamente a zero. A força contra-electromotriz gerada tenta manter a corrente, libertando a energia armazenada no campo magnético.

Em resumo, a bobine «suaviza» as variações de corrente, criando uma resposta "preguiçosa" ou atrasada às mudanças de tensão.

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32.3 Energia num Campo Magnético

Quando uma bobine conduz corrente, armazena energia no seu campo magnético. Parte da energia fornecida pela fonte é dissipada em calor na resistência, mas parte é armazenada como energia magnética na bobine.

A taxa de fornecimento de energia pela fonte é:

$$\varepsilon i = iR + L i \frac{di}{dt}$$

O termo $iR$ é a potência dissipada como calor. Já $L i \frac{di}{dt}$ corresponde à taxa de armazenamento de energia na bobine. Integrando, obtém-se a energia total armazenada:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

Esta forma é análoga à energia armazenada num condensador:

$$U_E = \frac{1}{2} C V^2$$

Para um solenoide (ou outra distribuição de campo magnético conhecido), podemos calcular a densidade de energia magnética (energia por unidade de volume):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

Este resultado mostra que a energia armazenada no campo magnético depende do quadrado da intensidade do campo, de forma semelhante à densidade de energia num campo eléctrico.

Um exemplo trabalhado no texto demonstra que quando a bobine descarrega (por exemplo, num circuito RL isolado), toda a energia inicialmente armazenada no campo magnético se converte em energia interna (calor) na resistência.

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32.4 Indutância Mútua

Nesta secção, introduz-se o conceito de indutância mútua. Quando há dois circuitos próximos, a corrente variável num deles pode induzir uma f.e.m. no outro, porque o campo magnético de um atravessa a área do outro.

Imagina duas bobinas próximas (bobina 1 e bobina 2):

• A corrente i₁ em 1 cria um campo magnético. Parte desse campo atravessa a área de 2, gerando fluxo magnético Φ₁₂ em 2.

• Se i₁ varia no tempo, Φ₁₂ varia, induzindo uma f.e.m. em 2.

Define-se indutância mútua M₁₂ como:

$$M_{12} = \frac{N_2 \Phi_{12}}{i_1}$$

onde N₂ é o número de espiras da bobina 2.

A f.e.m. induzida em 2 devido a i₁ é:

$$\varepsilon_2 = -M_{12} \frac{di_1}{dt}$$

Analogamente, se i₂ em 2 variar, induz uma f.e.m. em 1:

$$\varepsilon_1 = -M_{21} \frac{di_2}{dt}$$

Pode-se demonstrar que M₁₂ = M₂₁ = M, porque depende apenas da geometria mútua dos circuitos e das suas orientações.

A unidade de indutância mútua é o henry (H), como na auto-indução.

Exemplo prático: carregadores sem fios. Uma bobina na base (primária) cria um campo magnético variável, induzindo corrente na bobina do aparelho (secundária).

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32.5 Oscilações num Circuito LC

Nesta secção estuda-se o circuito LC ideal: um condensador ligado a uma bobine, sem resistência e sem radiação electromagnética.

• Supondo o condensador inicialmente carregado (carga Q_max), quando o circuito se fecha, a energia armazenada no campo eléctrico do condensador começa a transferir-se para a bobine.

• À medida que o condensador se descarrega, a corrente aumenta, armazenando energia no campo magnético da bobine.

• Quando o condensador está totalmente descarregado, a energia está toda na bobine.

• A corrente continua, recarregando o condensador com polaridade oposta.

Este processo repete-se, criando oscilações electromagnéticas entre energia eléctrica (condensador) e magnética (bobine).

Matematicamente:

• A equação diferencial do circuito é:

$$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$$

• Solução:

$$q(t) = Q_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)$$

onde

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

é a frequência angular natural das oscilações.

• A corrente é:

$$i(t) = \frac{dq}{dt} = -\omega Q_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)$$

Observa-se que carga e corrente estão desfasadas de 90°: quando a carga é máxima, a corrente é zero e vice-versa.

A energia total do circuito (conservada no ideal):

$$U = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L i^2$$

oscila entre o campo eléctrico do condensador e o campo magnético da bobine, mas permanece constante no tempo se não houver perdas.

Analogia mecânica: é como um sistema massa–mola sem atrito, em oscilação harmónica simples.

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32.6 O Circuito RLC

Aqui estuda-se o circuito RLC em série (resistência R, bobine L e condensador C).

Ao contrário do LC ideal:

• A resistência provoca dissipação de energia.

• A energia armazenada no campo eléctrico do condensador e no campo magnético da bobine diminui com o tempo, transformando-se em energia interna (calor) na resistência.

A equação diferencial que descreve o circuito é:

$$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$$

Esta é matematicamente equivalente à equação de movimento de um oscilador harmónico amortecido:

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$

onde:

• q ↔ posição x

• i ↔ velocidade dx/dt

• L ↔ massa m

• R ↔ coeficiente de atrito b

• 1/C ↔ constante elástica k

Solução para amortecimento fraco (R pequeno):

$$q(t) = Q_{\text{max}} e^{-Rt/2L} \cos(v_d t)$$

com

$$v_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}$$

 As oscilações são amortecidas: a amplitude decai exponencialmente com o tempo.

 Para valores altos de R, as oscilações podem desaparecer totalmente (sobreamortecimento ou amortecimento crítico).

O comportamento geral do circuito RLC inclui:

• Oscilações amortecidas (R pequeno).

• Resposta crítica ou sobreamortecida (R grande).

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32.7 Resumo

• A auto-indução L mede a oposição de um circuito a variações de corrente:

$$e_L = -L \frac{di}{dt}$$

• A energia armazenada num campo magnético é:

$$U_B = \frac{1}{2} L i^2$$

• A densidade de energia magnética (no campo B):

$$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

• Indutância mútua M relaciona as f.e.m. induzidas entre dois circuitos:

$$\varepsilon_2 = -M \frac{di_1}{dt}, \quad \varepsilon_1 = -M \frac{di_2}{dt}$$

• Circuito RL: apresenta resposta retardada à variação de corrente, com constante de tempo τ = L/R.

• Circuito LC: oscilações sinusoidais ideais, sem perdas:

$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

• Circuito RLC: oscilações amortecidas, com energia dissipada na resistência.

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